108 年 國立臺灣大學電信工程學研究所乙組《通信原理》

核心觀念

在加性白色高斯雜訊（AWGN）中，二元訊號的最佳接收器可用匹配濾波器實現。對兩個候選訊號 $s_1(t)$ 與 $s_2(t)$，判決所需的訊號差為 $s_1(t)-s_2(t)$，因此匹配濾波器的脈衝響應，是這個差訊號在觀察區間 $[0,T]$ 內的時間反轉並平移：

$$h(t)= \begin{cases} s_1(T-t)-s_2(T-t), & 0\le t\le T,\\ 0, & \text{其他時間}. \end{cases}$$

其中整體乘上任意非零常數不改變判決結果。兩個符號等機率會影響判決門檻，不會改變匹配濾波器的波形形式。

解題方法

令接收訊號為 $r(t)$。將其通過上述濾波器，並在符號區間結束時取樣：

$$y(T)=\int_{0}^{T} r(\tau)h(T-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{T}r(\tau)\bigl[s_1(\tau)-s_2(\tau)\bigr]\,d\tau.$$

核心觀念

本題考查符元間干擾（ISI）與奈奎斯特零 ISI 條件。接收端的等效脈衝響應為

$$P_v(t)=h_r(t)*h_c(t)*h_1(t).$$

在取樣時刻 $t_m=mT_b+t_d$，第 $k$ 個符元的脈衝響應取值為 $P_v((m-k)T_b)$。若等效脈衝響應滿足 $P_v(0)=1$，且在其他符元取樣時刻為零，就能在取樣輸出中消除 ISI。

解題方法

將 $t_m=mT_b+t_d$ 代入接收訊號：

$$v(t_m) =\sum_k a_kP_v\bigl((m-k)T_b\bigr)+n_v(t_m).$$

把 $k=m$ 的目標符元項分離：

$$v(t_m) =a_mP_v(0) +\sum_{k\ne m}a_kP_v\bigl((m-k)T_b\bigr) +n_v(t_m).$$

因此，第 (a) 題的 ISI 為

$$\boxed{\operatorname{ISI}_m =\sum_{k\ne m}a_kP_v\bigl((m-k)T_b\bigr)}.$$

若 $P_v(0)=1$，取樣輸出可寫成 $a_m+\operatorname{ISI}_m+n_v(t_m)$。題目訊號式中的 $A$ 若表示共同振幅，則將上述各項乘上 $A$；本題依題目所給 $a_k\in\{+1,-1\}$ 表示符元振幅。

(a) 取樣輸出的 ISI

目標符元以外的所有符元，在第 $m$ 個取樣時刻造成的總干擾就是

$$\boxed{\sum_{k\ne m}a_kP_v\bigl((m-k)T_b\bigr)}.$$

若等效脈衝在所有非零整數倍的 $T_b$ 處皆為零，這個總和便為零。

(b) 消除 ISI 所需的傅立葉轉換形式

在 $P_v(0)=1$ 的正規化下，奈奎斯特零 ISI 條件的時域形式為

$$P_v(nT_b)= \begin{cases} 1,&n=0,\\ 0,&n\ne 0, \end{cases} \qquad n\in\mathbb{Z}.$$

核心觀念

接收端觀察到訊號 $r$，要判斷傳送的是哪個符號 $s_i$。令 $P(s_i)$ 為傳送 $s_i$ 的先驗機率，$p(r\mid s_i)$ 為在傳送 $s_i$ 時觀察到 $r$ 的條件機率密度函數。

最大後驗機率偵測器（MAP）選擇後驗機率最大的符號：

$$\hat{s}_{\mathrm{MAP}} =\arg\max_i P(s_i\mid r)$$

由貝氏定理，

$$P(s_i\mid r) =\frac{p(r\mid s_i)P(s_i)}{p(r)}$$

由於 $p(r)$ 對所有候選符號都相同，MAP 判決可寫成：

$$\hat{s}_{\mathrm{MAP}} =\arg\max_i p(r\mid s_i)P(s_i)$$

最大似然偵測器（ML）則選擇使觀察到目前訊號 $r$ 最有可能的符號：

$$\hat{s}_{\mathrm{ML}} =\arg\max_i p(r\mid s_i)$$

解題方法

辨認兩種偵測器的判決量即可區分：

核心觀念

本題考查：

1. 以正交載波 $\cos(2\pi f_ct)$、$\sin(2\pi f_ct)$ 表示 QAM 訊號。
2. 符號能量的定義：
   $E_s(a,b)=\int_0^T |s(t)|^2dt.$
3. 16QAM 的星座座標為
   $a,b\in\{-3,-1,1,3\}.$
4. AWGN 通道下，最大概似決策等同於選擇距離接收點最近的星座點。

由於 $f_c=1/T$，在一個符號期間內，正弦與餘弦彼此正交。

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解題方法

先將訊號平方積分求得每個 $(a,b)$ 的符號能量，再對所有 $16$ 個等機率星座點取平均。

符號錯誤率則將 16QAM 分解成兩個獨立的四階 PAM。每一維的座標為 $-3,-1,1,3$，利用最近鄰決策與高斯雜訊的 $Q$ 函數求得一維正確率，再合併兩維。

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(a) 平均符號能量

給定

$$s(t)=\frac{\sqrt{2E_s}}{T} \left[ a\cos(2\pi f_ct)+b\sin(2\pi f_ct) \right].$$

符號能量為

$$E(a,b)=\int_0^T s^2(t)\,dt.$$

展開平方：

$$\begin{aligned} E(a,b) &=\frac{2E_s}{T^2}\int_0^T \left[ a^2\cos^2(2\pi f_ct) +b^2\sin^2(2\pi f_ct)\right.\\ &\qquad\left. +2ab\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_ct) \right]dt. \end{aligned}$$

因為 $f_c=1/T$，所以

$$\int_0^T\cos^2(2\pi f_ct)\,dt=\frac{T}{2},$$ $$\int_0^T\sin^2(2\pi f_ct)\,dt=\frac{T}{2},$$ $$\int_0^T\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_ct)\,dt=0.$$

因此

$$\begin{aligned} E(a,b) &=\frac{2E_s}{T^2} \left[ a^2\frac{T}{2}+b^2\frac{T}{2} \right]\\ &=\frac{E_s}{T}(a^2+b^2). \end{aligned}$$

由於 $a,b$ 均勻取自 $\{-3,-1,1,3\}$，

$$\mathbb{E}[a^2] =\frac{9+1+1+9}{4}=5,$$

同理，

$$\mathbb{E}[b^2]=5.$$

所以平均符號能量為

$$\boxed{ \overline{E}_{\text{sym}} =\frac{E_s}{T}(5+5) =\frac{10E_s}{T} }.$$

註記：題目常見的標準寫法

通信原理教材中的 16QAM 常寫成

$$s(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T}} \left[ a\cos(2\pi f_ct)+b\sin(2\pi f_ct) \right].$$

若題目原意為此標準正規化形式，則平均符號能量為

$$\boxed{\overline{E}_{\text{sym}}=10E_s}.$$

本題依照題目明列的係數 $\sqrt{2E_s}/T$ 計算，答案為 $10E_s/T$。

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(b) 最大概似決策下的符號錯誤率

以下假設通道為相干 AWGN 通道，雙側雜訊功率頻譜密度為 $N_0/2$。

1. 等效星座座標

使用正規化基底

$$\phi_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos(2\pi f_ct),$$ $$\phi_2(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\sin(2\pi f_ct).$$

將 $s(t)$ 投影到兩個基底後，等效星座座標為

$$x_a=\sqrt{\frac{E_s}{T}}\,a, \qquad x_b=\sqrt{\frac{E_s}{T}}\,b.$$

令

$$d=\sqrt{\frac{E_s}{T}}.$$

則每一維的四個電平為

核心觀念

本題考查最大長度二元序列（maximum-length sequence，簡稱 m-sequence）的週期自相關函數，以及其「偽隨機」性質。

令序列週期為

$$N=2^m-1$$

通信系統通常將二元序列先作雙極性映射：

$$0\mapsto +1,\qquad 1\mapsto -1$$

所得序列記為 $a[n]\in\{+1,-1\}$。其週期自相關函數定義為

$$R_a[k]=\sum_{n=0}^{N-1}a[n]a[n+k]$$

其中索引以週期 $N$ 為循環，即 $a[n+N]=a[n]$。

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解題方法

最大長度序列具有下列重要性質：

1. 每一週期中，$1$ 的數目為 $2^{m-1}$。
2. 每一週期中，$0$ 的數目為 $2^{m-1}-1$。
3. 對任意非零循環位移 $k$，移位後的序列與原序列具有固定的匹配與不匹配數目。

對 $k=0$，每一項皆與自身相乘，因此

$$R_a[0] =\sum_{n=0}^{N-1}a[n]^2 =N$$

對 $k\neq 0\pmod N$，最大長度序列的循環移位性質使得匹配項與不匹配項之差固定為 $-1$。因此

$$R_a[k]=-1, \qquad k\neq 0\pmod N$$

所以其週期自相關函數為

$$R_a[k]= \begin{cases} N, & k\equiv 0\pmod N\\[4pt] -1, & k\not\equiv 0\pmod N \end{cases}$$

代入 $N=2^m-1$，可寫成

$$R_a[k]= \begin{cases} 2^m-1, & k\equiv 0\pmod{2^m-1}\\[4pt] -1, & \text{其他循環位移} \end{cases}$$

若使用歸一化自相關函數，則除以 $N$：

$$\rho_a[k]= \begin{cases} 1, & k\equiv 0\pmod N\\[4pt] -\dfrac{1}{N}, & k\not\equiv 0\pmod N \end{cases}$$

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二元 $0/1$ 表示法的補充

若題目中的「binary sequence」直接以 $b[n]\in\{0,1\}$ 定義，且自相關採用

$$R_b[k]=\sum_{n=0}^{N-1}b[n]b[n+k]$$

則結果不同。

在 $k=0$ 時，

$$R_b[0]=\sum_{n=0}^{N-1}b[n] =2^{m-1}$$

這題要求解釋兩個基本的系統理論概念：線性時不變（LTI）系統和有限脈衝響應（FIR）濾波器。

核心觀念：
線性時不變（LTI）系統是信號處理和系統分析中最重要的一類系統。它們的輸出僅取決於輸入訊號和系統本身的特性，並且輸出訊號的波形是輸入訊號的變換，而不是隨時間任意變化。FIR 濾波器是 LTI 系統的一種常見實現。

(a) 線性時不變（LTI）系統 (Linear Time-Invariant System)

一個系統被定義為線性時不變（LTI）系統，如果它同時滿足線性和時不變兩個性質。

1. 線性 (Linearity):
   一個系統是線性的，如果它滿足疊加原理 (Superposition Principle)。疊加原理包含兩個條件：

   • 可加性 (Additivity): 如果輸入 $x_1(t)$ 產生輸出 $y_1(t)$，輸入 $x_2(t)$ 產生輸出 $y_2(t)$，那麼輸入 $x_1(t) + x_2(t)$ 產生的輸出是 $y_1(t) + y_2(t)$。
     $\text{If } x_1(t) \rightarrow y_1(t) \text{ and } x_2(t) \rightarrow y_2(t), \text{ then } x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t)$
   • 齊次性 (Homogeneity) / 比例性 (Scaling): 如果輸入 $x(t)$ 產生輸出 $y(t)$，那麼對於任何常數 $c$，輸入 $c \cdot x(t)$ 產生的輸出是 $c \cdot y(t)$。
     $\text{If } x(t) \rightarrow y(t), \text{ then } c \cdot x(t) \rightarrow c \cdot y(t)$
     結合這兩點，一個系統是線性的，如果對於任意輸入 $x_1(t), x_2(t)$ 和任意常數 $c_1, c_2$，有：
     $\text{System}(c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t)) = c_1 \text{System}(x_1(t)) + c_2 \text{System}(x_2(t))$

2. 時不變 (Time-Invariance):
   一個系統是時不變的，如果其特性不隨時間改變。也就是說，如果對於任何輸入訊號 $x(t)$，它在時間 $t_0$ 開始產生輸出 $y(t)$，那麼如果相同的輸入訊號在時間 $t_0 + \Delta t$ 開始，輸出的形式應該只是時間上延遲了 $\Delta t$。
   $\text{If } x(t) \rightarrow y(t), \text{ then } x(t - \Delta t) \rightarrow y(t - \Delta t) \text{ for any } \Delta t$
   換句話說，系統的響應模式不依賴於訊號開始的時間。

LTI 系統的關鍵特性：

• LTI 系統可以用其脈衝響應 $h(t)$（對於連續時間系統）或 $h[n]$（對於離散時間系統）來完全表徵。
• 對於連續時間 LTI 系統，輸出 $y(t)$ 是輸入 $x(t)$ 和脈衝響應 $h(t)$ 的卷積：
  $y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$
• 對於離散時間 LTI 系統，輸出 $y[n]$ 是輸入 $x[n]$ 和脈衝響應 $h[n]$ 的卷積：

核心觀念

卷積定義為

$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(x-\tau)\,d\tau.$$

可用傅立葉轉換的卷積定理計算：時域卷積對應頻域相乘。以下採用

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega x}\,d\omega.$$

本解採通信與訊號處理常用的正規化定義 $\operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。

解題方法

(a) $\operatorname{sinc}(x)*\operatorname{sinc}(2x)$

正規化 sinc 的傅立葉轉換為

$$\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(x)\} = \begin{cases} 1,&|\omega|<\pi,\\ 0,&|\omega|>\pi. \end{cases}$$

由尺度性質，

$$\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(2x)\} = \frac12 \begin{cases} 1,&|\omega|<2\pi,\\ 0,&|\omega|>2\pi. \end{cases}$$

時域卷積對應頻域相乘。兩個頻譜相乘後，只在 $|\omega|<\pi$ 重疊，故

$$\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(x)*\operatorname{sinc}(2x)\} = \begin{cases} \frac12,&|\omega|<\pi,\\ 0,&|\omega|>\pi. \end{cases}$$

反轉換得到

核心觀念

雙邊 Z 轉換定義為

$$F(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}.$$

因此，只要將 $F(z)$ 展開成 $z^{-n}$ 的冪次形式，即可直接讀出 $f[n]$。

因題目指定 $f[n]$ 為因果序列，表示

$$f[n]=0,\qquad n<0.$$

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(a) 解題方法

已知

$$F(z)=1-4z^{-1}+3z^{-2}.$$

依照 Z 轉換定義，各項分別對應為

$$1=1\cdot z^{0},$$ $$-4z^{-1}=-4\cdot z^{-1},$$ $$3z^{-2}=3\cdot z^{-2}.$$

與

$$F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f[n]z^{-n}$$

比較係數，可得

$$f[0]=1,\qquad f[1]=-4,\qquad f[2]=3.$$

其餘時間索引沒有對應項，因此為零：

$$f[n]=0,\qquad n\geq 3.$$

因題目又指定序列為因果序列，$n<0$ 時同樣為零。故可寫成

$$f[n]=\delta[n]-4\delta[n-1]+3\delta[n-2].$$

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(b) 解題方法

已知

$$F(z)=z^2\left(\exp(-z^{-2})-1\right).$$

使用指數函數的冪級數展開：

$$\exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}.$$

令 $x=-z^{-2}$，則

$$\exp(-z^{-2}) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}z^{-2k}.$$

扣除 $1$ 後，$k=0$ 項消失：

$$\exp(-z^{-2})-1 = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}z^{-2k}.$$

再乘上 $z^2$：

$$F(z) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}z^{2-2k}.$$

Z 轉換中的一般項為 $f[n]z^{-n}$。令

$$2-2k=-n,$$

可得

$$n=2k-2.$$

因此只有非負偶數索引會出現非零值。由

核心觀念

採用通信原理常用的傅立葉變換定義：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

反變換為：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

本題使用的主要觀念有：

1. 三角形頻譜與 $\operatorname{sinc}^2(t)$ 波形互為傅立葉變換。
2. Parseval 定理。
3. 時域相乘與頻域摺積的關係；其中與 $\delta(t-t_0)$ 相乘可直接利用抽樣性質。

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解題方法

題目給定

$$F(\omega)= \begin{cases} 1-\dfrac{|\omega|}{2\pi}, & -2\pi<\omega<2\pi,\\[6pt] 0, & \text{其他情況}. \end{cases}$$

此頻譜為以 $\omega=0$ 為中心、高度為 $1$、底寬為 $4\pi$ 的三角形頻譜。

（a）求 $f(t)$

由傅立葉反變換：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-2\pi}^{2\pi} \left(1-\frac{|\omega|}{2\pi}\right)e^{j\omega t}\,d\omega$$

由於 $F(\omega)$ 為實偶函數，故 $f(t)$ 也是實偶函數，因此：

$$f(t)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \left(1-\frac{\omega}{2\pi}\right)\cos(\omega t)\,d\omega$$

對 $t\neq 0$，計算積分：

$$\int_{0}^{2\pi} \left(1-\frac{\omega}{2\pi}\right)\cos(\omega t)\,d\omega = \frac{1-\cos(2\pi t)}{2\pi t^2}$$

因此：

$$f(t)=\frac{1-\cos(2\pi t)}{2\pi^2t^2}$$

利用恆等式 $1-\cos(2x)=2\sin^2x$：

$$f(t)=\frac{\sin^2(\pi t)}{\pi^2t^2}$$

寫成標準化 sinc 函數形式：

$$\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$$

所以：

$$\boxed{ f(t)=\operatorname{sinc}^2(t) =\left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right)^2 }$$

在 $t=0$ 處取極限：

$$f(0)=\lim_{t\to 0} \left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right)^2=1$$

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（b）求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)\,dt$

由 Parseval 定理：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2\,d\omega$$

本題的 $f(t)$ 為實函數，因此 $|f(t)|^2=f^2(t)$。又因為 $F(\omega)$ 為實偶函數：

$$\int_{-\infty}^{\infty}F^2(\omega)\,d\omega = 2\int_{0}^{2\pi} \left(1-\frac{\omega}{2\pi}\right)^2d\omega$$

令

$$u=1-\frac{\omega}{2\pi}, \qquad d\omega=-2\pi\,du$$

當 $\omega=0$ 時，$u=1$；當 $\omega=2\pi$ 時，$u=0$。因此：