108 年 國立臺灣大學電信工程學研究所甲組《電磁學與電磁波》

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第 1 題10 分

In the system shown in Fig. 1, Line 1 and Line 2 are quarter-wavelength transmission lines with a characteristic impedance of Z0Z_0. Find Z0Z_0 for which there is no reflected wave to the signal source.

[Refer to Fig. 1 in the original document for the system diagram.]

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核心觀念

無反射波回到訊號源，表示訊號源所見的輸入阻抗等於其內阻。圖中的訊號源串聯電阻為 50 Ω50\,\Omega，因此外部網路的輸入阻抗須滿足

Zin=50 Ω.Z_{\text{in}}=50\,\Omega.

無損四分之一波長傳輸線的輸入阻抗為

Zin,line=Z02ZL,Z_{\text{in,line}}=\frac{Z_0^2}{Z_L},

其中 Z0Z_0 是傳輸線特性阻抗，ZLZ_L 是末端負載。

解題方法

令 AA 為訊號源下端節點、TT 為上端節點，並令 BB 為兩段傳輸線與中間電阻相接的節點。每段四分之一波長線末端皆接 100 Ω100\,\Omega，因此每段線從輸入端看入的阻抗為

Zline=Z02100.Z_{\text{line}}=\frac{Z_0^2}{100}.

圖中每段線都與一個 150 Ω150\,\Omega 電阻並聯。兩側結構相同，故每側等效阻抗皆為

R=150∥Z02100.R=150\parallel\frac{Z_0^2}{100}.

由 TT 經 BB 到 AA 的路徑包含兩個相同的 RR 串聯；此外，TT 與 AA 之間還有一個直接的 150 Ω150\,\Omega 電阻。因此訊號源所見阻抗為

Zin=150∥2R.Z_{\text{in}}=150\parallel 2R.

令 Zin=50 ΩZ_{\text{in}}=50\,\Omega：

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第 2 題12 分

A parallel-plate transmission line consists of an arrangement of two perfect dielectrics, and the transverse cross section is shown in Fig. 2. Answer the following problems by neglecting fringing of field.

(a) Are the TEM waves propagating in both dielectrics in phase? Explain the reason. (3 points)
(b) Compute the circuit parameters, inductance (H/m), capacitance (F/m) per unit length and characteristic impedance Z0Z_0 (Ω\Omega) of the transmission line. (9 points)

[Refer to Fig. 2 in the original document for the transverse cross section.]

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核心觀念

這題考平行板傳輸線中「並列的兩種介質」如何共同決定相速度與每單位長度電路參數。忽略邊緣效應時，兩介質區域的電容可相加；特性阻抗則可由總電壓與兩區域磁場所形成的總電流求得，再用 L′C′=1/vp2L'C'=1/v_p^2 求電感。

由圖可讀得板間距 d=0.01 md=0.01\,\text{m}，兩介質區域的寬度皆為 w1=w2=0.1 mw_1=w_2=0.1\,\text{m}，且

ε1=9ε0,μ1=μ0,ε2=3ε0,μ2=3μ0.\varepsilon_1=9\varepsilon_0,\quad \mu_1=\mu_0, \qquad \varepsilon_2=3\varepsilon_0,\quad \mu_2=3\mu_0.

(a) 兩介質中的 TEM 波是否同相？

各介質中的 TEM 相速度為

vp1=1μ1ε1=19μ0ε0=c3,v_{p1}=\frac{1}{\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}} =\frac{1}{\sqrt{9\mu_0\varepsilon_0}} =\frac{c}{3}, vp2=1μ2ε2=1(3μ0)(3ε0)=c3.v_{p2}=\frac{1}{\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}} =\frac{1}{\sqrt{(3\mu_0)(3\varepsilon_0)}} =\frac{c}{3}.

兩區域相速度相同，因此傳播常數也相同；兩區域中的 TEM 波同相。兩介質的波阻抗不同，所以電場與磁場的振幅比例不同，但不影響兩波同相。

(b) 求 L′L'、C′C' 與 Z0Z_0

**電容 C′C'：**兩區域承受相同的板間電壓，電容並聯相加：

C′=ε1w1d+ε2w2d=(9ε0)(0.1)+(3ε0)(0.1)0.01=120ε0.C'=\frac{\varepsilon_1 w_1}{d}+\frac{\varepsilon_2 w_2}{d} =\frac{(9\varepsilon_0)(0.1)+(3\varepsilon_0)(0.1)}{0.01} =120\varepsilon_0.

因此

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第 3 題12 分

In a system shown in Fig. 3(a), the system is initially uncharged, and the switch S is closed at t = 0. The component N is a lumped element (R, L, or C). The line voltage at z = 0 is shown in Fig. 3(b).

(a) What is the component N? Explain the reason. (6 points)
(b) Find the characteristic impedance of Line 2 (Z02Z_{02}). (6 points)

[Refer to Fig. 3 in the original document for the system diagram and line voltage waveform.]

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核心觀念

本題利用傳輸線的行波反射判斷集中元件，並用穩態直流等效電路求負載阻抗。

傳輸線在波抵達負載前，負載端尚未影響源端。波抵達負載後，電壓反射係數為

ΓL=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}

源端電壓變化則是入射波與反射波的疊加。此題源端電阻為 50 Ω50\,\Omega，而 Line 1 的特性阻抗 Z01=50 ΩZ_{01}=50\,\Omega，所以源端匹配，反射波返回源端後不再反射。

解題方法

(a) 判斷元件 NN

開關閉合後，源端送入 Line 1 的初始電壓為

V+=V05050+Z01=V05050+50=0.5V0V^+=V_0\frac{50}{50+Z_{01}} =V_0\frac{50}{50+50} =0.5V_0

因此波抵達節點前，z=0z=0 的電壓維持在 0.5V00.5V_0。

圖中電壓在 t=2T1t=2T_1 降至零，表示負載端產生了大小相同、方向相反的反射波。這對應負載端初始呈短路，電壓反射係數為

ΓL=−1\Gamma_L=-1
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第 4 題10 分

In a transmission line system as shown in Fig. 4(a), standing-wave measurements indicate that the voltage maximum and minimum are 2 mV and 1 mV, respectively, and a voltage minimum locates at a distance of 0.125λg0.125\lambda_g from the load, where λg\lambda_g is the wavelength of the transmission line.

(a) Derive the reflection coefficient (ΓL\Gamma_L). (6 points)
(b) Derive the load impedance (ZLZ_L). (4 points)
(c) As shown in Fig. 4(b), a transmission-line matching network which consists of a series transmission line and a shunt short stub is used to transform ZLZ_L to 50 Ω\Omega, and the length of transmission lines are both smaller than 0.25λg0.25\lambda_g. Use Smith chart to explain the impedance trace movement of the transmission-line matching circuit. (Note: Calculating the exact transmission line length is not necessary.) (6 points)

[Refer to Fig. 4 in the original document for the system diagram.]

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核心觀念

駐波比與負載端反射係數大小的關係為

S=Vmax⁡Vmin⁡=1+∣ΓL∣1−∣ΓL∣.S=\frac{V_{\max}}{V_{\min}} =\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}.

沿無耗傳輸線由負載往訊號源移動距離 ll 時，反射係數相位改變 −2βl-2\beta l，其中 β=2π/λg\beta=2\pi/\lambda_g。電壓最小點對應該處反射係數相位為 π\pi。

本題圖中傳輸線特性阻抗為 Z0=50 ΩZ_0=50\,\Omega。

(a) 求負載端反射係數

由 Vmax⁡=2 mVV_{\max}=2\,\mathrm{mV}、Vmin⁡=1 mVV_{\min}=1\,\mathrm{mV}，

S=21=2⟹∣ΓL∣=S−1S+1=13.S=\frac{2}{1}=2 \quad\Longrightarrow\quad |\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}=\frac{1}{3}.

電壓最小點距負載 l=0.125λg=λg/8l=0.125\lambda_g=\lambda_g/8，所以 2βl=π/22\beta l=\pi/2。令該點反射係數為 Γ(l)\Gamma(l)，則

arg⁡Γ(l)=arg⁡ΓL−2βl=π(mod2π).\arg\Gamma(l)=\arg\Gamma_L-2\beta l=\pi \pmod{2\pi}.

因此

arg⁡ΓL=3π2=−π2,ΓL=13e−jπ/2=−j3.\arg\Gamma_L=\frac{3\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}, \qquad \Gamma_L=\frac{1}{3}e^{-j\pi/2}=-\frac{j}{3}.

(b) 求負載阻抗

以傳輸線特性阻抗 Z0=50 ΩZ_0=50\,\Omega 代入阻抗反射係數關係式：

ZL=Z01+ΓL1−ΓL=501−j/31+j/3=50(0.8−j0.6).Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L} =50\frac{1-j/3}{1+j/3} =50(0.8-j0.6).

故

ZL=40−j30 Ω.Z_L=40-j30\,\Omega.

(c) 史密斯圖上的匹配路徑

先將負載阻抗正規化：

zL=ZLZ0=0.8−j0.6,yL=1zL=0.8+j0.6.z_L=\frac{Z_L}{Z_0}=0.8-j0.6, \qquad y_L=\frac{1}{z_L}=0.8+j0.6.
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