109 年 國立成功大學電機工程學系碩士班甲組《電子材料概論》

本題為選擇題，共十個子題，涵蓋了電子材料中的多個基本概念，包含缺陷、晶體學、擴散、相圖等。需分別對每個名詞進行簡潔但準確的定義與說明。

(a) Screw dislocation: 螺位錯是一種線缺陷，其滑移面和螺鏇面是垂直的。想像一條螺絲的螺紋，其形狀就是螺位錯的幾何模型。在晶體中，它是由於在滑移平面上插入或移除半個原子層而產生的，導致原子排列發生螺旋狀的扭曲。

(b) Bragg's law for x-ray diffraction: 布拉格定律是描述 X 光或中子繞射現象的定律。當入射波與晶體中的原子層發生相干散射時，只有當入射波與原子層的夾角滿足特定條件時，才會產生增強的繞射波。其數學表達式為 $2d \sin\theta = n\lambda$，其中 $d$ 是晶面間距，$\theta$ 是入射角（或繞射角的一半），$n$ 是整數（繞射級數），$\lambda$ 是入射波的波長。

(c) Intermetallic compounds: 金屬互化物是指由兩種或兩種以上金屬元素，或金屬與非金屬元素形成的具有明確化學計量比、規則的晶體結構以及介於金屬與離子/共價化合物之間的性質的化合物。它們通常具有較高的硬度、熔點和脆性，且導電性介於純金屬和陶瓷之間。

(d) Schottky defect: 蕭特基缺陷是晶體中常見的點缺陷。在離子晶體中，它表現為一對陽離子空位和陰離子空位的存在，以維持整個晶體的電中性。例如，在 NaCl 晶體中，一個 Na$^+$ 空位和一個 Cl$^-$ 空位的組合就構成一個蕭特基缺陷。

(e) Burger's vector: 柏格向量（或稱布氏向量）是描述位錯大小和方向的向量。它定義為在有位錯的晶體中，從某一點沿著一封閉回路移動，然後在無位錯的理想晶體中從起始點繪製相同尺寸和形狀的回路，最後從終點到起始點的向量。對於螺位錯，柏格向量垂直於位錯線；對於刃位錯，柏格向量平行於位錯線。

(f) Fick's first law for solid-state diffusion: 費克第一定律描述了穩態擴散的速率與濃度梯度之間的關係。

本題要求比較聚合物 (polymer)、陶瓷 (ceramic) 和金屬 (metal) 三種材料的鍵結類型與導電性。

1. 鍵結類型 (Bonding Types)

• 金屬 (Metal): 主要鍵結類型是金屬鍵 (Metallic Bonding)。金屬原子傾向於釋放出價電子，形成自由電子海 (sea of electrons)。這些自由電子在整個金屬晶體中自由移動，將帶正電的金屬離子束縛在一起。金屬鍵的特點是電子是離域的，這使得金屬具有良好的導電性和延展性。

• 陶瓷 (Ceramic): 主要鍵結類型是離子鍵 (Ionic Bonding) 和共價鍵 (Covalent Bonding)，或兩者的混合。陶瓷通常由金屬元素（通常是電正性較強的）和非金屬元素（通常是電負性較強的）組成。例如，氧化物、氮化物、碳化物等。離子鍵是由電子從金屬原子轉移到非金屬原子而形成的，產生靜電吸引力。共價鍵則是由原子間共享電子對而形成。由於電子被緊密束縛在離子或共價鍵中，離域電子極少，因此陶瓷通常是電和熱的絕緣體。

• 聚合物 (Polymer): 主要鍵結類型是共價鍵 (Covalent Bonding)，原子之間通過共享電子對形成強的鍵結。在聚合物鏈內部，共價鍵非常穩定。然而，聚合物分子之間通常只有較弱的凡得瓦力 (Van der Waals forces) 或氫鍵 (Hydrogen bonds) 相互作用。共價鍵的電子是局域的，不自由移動，因此大多數聚合物是電絕緣體。少數特殊聚合物（如導電聚合物）由於其特殊的分子結構（如共軛雙鍵系統）允許電子離域，因而具有一定的導電性。

2. 電導性 (Electric Conductivity)

• 金屬 (Metal): 高導電性。由於存在大量的自由移動的電子，金屬能夠非常有效地傳導電流。其電導率通常在 $10^6$ 至 $10^8$ S/m 的範圍。

本題要求說明介電材料的極化類型及其機制。介電材料在電場作用下會產生極化現象，即材料內部產生宏觀的電偶極矩。常見的極化類型有電子極化、離子極化、取向極化和空間電荷極化。

1. 電子極化 (Electronic Polarization)

• 機制: 當介電材料置於外電場 $E$ 中時，原子核（帶正電）和核外電子雲（帶負電）會發生相對位移。原子核受到電場的推動，電子雲受到電場的吸引。這種位移導致原子內部產生一個微小的電偶極矩。
• 特點: 這種極化是所有原子和分子都具有的，與溫度無關，響應速度非常快（約 $10^{-15}$ s），是介電損耗的主要來源之一。其極化率 $\alpha_e$ 較小。

2. 離子極化 (Ionic Polarization)

• 機制: 僅存在於含有離子鍵的化合物（如離子晶體或極性分子）中。在外電場作用下，陽離子和陰離子會沿著相反的方向移動，導致正負電荷中心分離，產生一個淨的電偶極矩。
• 特點: 這種極化只發生在離子化合物中。響應速度比電子極化慢（約 $10^{-13}$ s）。其極化率 $\alpha_i$ 比電子極化大。

3. 取向極化 (Orientation Polarization)

• 機制: 僅存在於具有永久電偶極矩的分子（如極性分子，例如 H$_2$O）中。在外電場作用下，這些永久電偶極矩會傾向於沿電場方向排列，從而產生宏觀的淨電偶極矩。然而，熱運動會阻止它們完全排列。
• 特點: 這種極化依賴於分子的永久偶極矩，並且與溫度有關（溫度越高，熱運動越劇烈，取向極化越弱）。響應速度相對較慢（約 $10^{-10}$ s）。其極化率 $\alpha_o$ 通常較大。

4. 空間電荷極化 (Space Charge Polarization)

• 機制: 這種極化是當材料中存在載子（如電子、離子）在電場作用下發生不均勻累積時產生的。例如，在異質界面、雜質區域或晶界處，載子的遷移受阻，導致電荷累積，形成宏觀的偶極矩。
• 特點: 這種極化僅在非均勻材料或存在載子遷移的材料中發生。響應速度最慢（通常在 $10^{-5}$ s 以上），對頻率非常敏感，在較高頻率下會消失。

極化率與介電常數的關係：

本題是關於 X 光繞射在金屬鎢 (W) 材料分析的應用。已知使用的 X 光波長為 $\lambda = 0.1542$ nm。題目假設鎢的晶體結構為 FCC 或 BCC，並給出了繞射強度與繞射角 $2\theta$ 的圖。

核心觀念：

• 布拉格定律 ($2d \sin\theta = n\lambda$)
• FCC 和 BCC 晶體的結構因子 (Structure factor) 決定了哪些晶面會產生繞射。
• FCC 和 BCC 晶體的面間距公式 ($d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$)。
• FCC 和 BCC 晶體的原子半徑與晶格常數的關係。

解題步驟：

(a) 確定可能的晶體結構 (FCC 或 BCC)

結構因子決定了哪些晶面會產生繞射。對於 BCC 結構，只有當 $h+k+l$ 為偶數時，繞射才會發生。對於 FCC 結構，只有當 $h, k, l$ 皆為奇數或皆為偶數時，繞射才會發生。

我們觀察圖中的繞射峰，從低角度到高角度，其 $2\theta$ 值約為 40.2° 和 58.15°。
首先，我們需要知道 BCC 和 FCC 結構允許的最小幾個晶面繞射角。
對於 BCC 結構，允許的晶面指數 (hkl) 及其 $h^2+k^2+l^2$ 值為：
(110) → $1^2+1^2+0^2 = 2$
(200) → $2^2+0^2+0^2 = 4$
(211) → $2^2+1^2+1^2 = 6$
(220) → $2^2+2^2+0^2 = 8$
(310) → $3^2+1^2+0^2 = 10$
(222) → $2^2+2^2+2^2 = 12$
...

對於 FCC 結構，允許的晶面指數 (hkl) 及其 $h^2+k^2+l^2$ 值為：
(111) → $1^2+1^2+1^2 = 3$
(200) → $2^2+0^2+0^2 = 4$
(220) → $2^2+2^2+0^2 = 8$
(311) → $3^2+1^2+1^2 = 11$
(222) → $2^2+2^2+2^2 = 12$
...

我們比較兩個峰的相對位置。
第一個峰的 $2\theta_1 \approx 40.2^\circ$, 則 $\theta_1 \approx 20.1^\circ$。
第二個峰的 $2\theta_2 \approx 58.15^\circ$, 則 $\theta_2 \approx 29.075^\circ$。

為了判斷是 BCC 還是 FCC，我們可以看這兩個峰對應的 $h^2+k^2+l^2$ 值的比例。
若為 BCC，可能的 $h^2+k^2+l^2$ 順序為 2, 4, 6, 8, 10, 12...
若為 FCC，可能的 $h^2+k^2+l^2$ 順序為 3, 4, 8, 11, 12...

從圖上看，第一個峰的 $2\theta$ 值較小，對應的 $d$ 值較大。
假設第一個峰是 (110) for BCC，則 $h^2+k^2+l^2 = 2$。
假設第一個峰是 (111) for FCC，則 $h^2+k^2+l^2 = 3$。

我們來計算一下兩種結構下，如果第一個峰對應 (110) 或 (111) 時，第二個峰可能的 $h^2+k^2+l^2$ 值，以及它們的 $2\theta$ 值。

情況一：假設為 BCC 結構
若第一個峰是 (110)，則 $h^2+k^2+l^2 = 2$。
從圖上看，第二個峰的 $2\theta$ 值比第一個峰大約 $58.15^\circ - 40.2^\circ = 17.95^\circ$。
對應的 $d$ 值與 $\sin\theta$ 成反比。
$\sin\theta_1 = \sin(20.1^\circ) \approx 0.3436$
$\sin\theta_2 = \sin(29.075^\circ) \approx 0.4860$

若第一個峰是 (110) (BCC)，則 $d_1 \propto \frac{1}{\sqrt{2}}$。
若第二個峰是 (200) (BCC)，則 $d_2 \propto \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$。
比例關係：$\frac{d_1}{d_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$
$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{0.3436}{0.4860} \approx 0.707 \approx \frac{1}{\sqrt{2}}$
所以 $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1} \approx \frac{0.4860}{0.3436} \approx 1.414$。
這與 BCC 的 (110) 和 (200) 晶面的比例 $\sqrt{2}$ 是吻合的。
因此，第一個峰很可能是 (110)，第二個峰很可能是 (200)。

情況二：假設為 FCC 結構
若第一個峰是 (111)，則 $h^2+k^2+l^2 = 3$。
若第二個峰是 (200) (FCC)，則 $h^2+k^2+l^2 = 4$。
比例關係：$\frac{d_1}{d_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1/\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$

本題包含兩個部分，(a) 要求計算六方密堆積 (HCP) 結構的特定晶面原子密度，(b) 要求比較 BCC、FCC 和 HCP 三種常見晶體結構的原子堆積因子。

部分 (a): 計算 HCP 鈹 (Beryllium) 的 (0001) 晶面原子密度

核心觀念：

• HCP 晶體的單位晶胞結構。
• 平面原子密度 (Planar Atomic Density, PAD) 的定義：單位面積上的原子數。PAD = (單位晶胞中落在該晶面上的原子數) / (該晶面的面積)。
• HCP 晶格常數 $a$ 和 $c$ 的關係。

解題步驟：

HCP (Hexagonal Close-Packed) 結構的單位晶胞是一個六方柱體。
晶格常數為 $a$ 和 $c$。
(0001) 晶面是 HCP 結構中的底面，它是一個正六邊形。

1. 計算 (0001) 晶面的面積：
   HCP 單位晶胞的底面是一個邊長為 $a$ 的正六邊形。
   一個正六邊形的面積可以看作是六個邊長為 $a$ 的正三角形的面積之和。
   每個正三角形的面積為 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
   所以，正六邊形的面積為 $6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
   另外一種計算方式：由兩個平行邊長為 $a$ 的三角形組成，高為 $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$。面積為 $a \times \sqrt{3}a = \sqrt{3}a^2$。這是平行四邊形。
   正六邊形由兩個平行四邊形組成，每個平行四邊形的面積為 $a \times (\frac{\sqrt{3}}{2}a) \times 2 = \sqrt{3}a^2$.
   啊，這個計算方式有誤。
   一個邊長為 $a$ 的正六邊形，其面積是 $6 \times (\frac{1}{2} a \times a \sin(60^\circ)) = 3 a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$。
   或者，可以將其看作一個矩形（寬度為 $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$，高度為 $a$）加上兩個三角形。
   最直接的理解是，它由六個等邊三角形組成，邊長為 $a$。
   一個等邊三角形面積是 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
   所以，正六邊形面積 $A = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。

   給定的 $a = 0.2286$ nm。
   $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} (0.2286 \text{ nm})^2$
   $A = \frac{3 \times 1.732}{2} \times (0.05225796) \text{ nm}^2$
   $A \approx 2.598 \times 0.05225796 \text{ nm}^2 \approx 0.13577 \text{ nm}^2$

2. 計算單位晶胞中落在 (0001) 晶面上的原子數：
   HCP 單位晶胞包含 6 個原子。
   (0001) 晶面是底面，它包含了：

   • 頂點上的原子：有 6 個頂點，每個頂點被 3 個晶胞共用（在六方晶系中，頂點原子被 6 個晶胞共用，但考慮到底面，這裡的共用因子是 3）。
   • 中心原子：底面中心有一個原子，但這個原子是屬於上層或下層的。
   • HCP 結構的原子分佈：
     HCP 單位晶胞的原子數是 6。
     頂點原子：12 個頂點，每個頂點原子屬於 6 個晶胞，所以總共 $12 \times \frac{1}{6} = 2$ 個原子。
     底面和頂面的中心原子：2 個，每個屬於 2 個晶胞，所以 $2 \times \frac{1}{2} = 1$ 個原子。
     內部原子：3 個。
     總計 $2+1+3 = 6$ 個原子。

   對於 (0001) 晶面，我們關注的是平面上的原子。
   在 HCP 結構中，(0001) 晶面是由位於 $z=0$ 和 $z=c$ 的原子層構成的。
   位於 $z=0$ 的原子層：有 6 個頂點原子，每個頂點原子屬於 3 個晶胞（沿 z 軸方向），所以落在底面上的頂點原子貢獻為 $6 \times \frac{1}{3} = 2$ 個原子。
   位於 $z=c$ 的原子層（頂面）也是一樣，也貢獻 2 個原子。
   所以，(0001) 晶面上有 $2+2=4$ 個原子。
   另外一種理解：HCP 單位晶胞的底面是一個正六邊形。在這個六邊形內部，有 6 個頂點，每個頂點上的原子貢獻 $1/3$ 給這個晶胞的底面。所以頂點原子總共貢獻 $6 \times (1/3) = 2$ 個原子。
   在 HCP 結構中，(0001) 晶面上的原子實際上是位於晶胞頂點的原子。每個頂點原子被 3 個相鄰的六方晶胞共享。因此，一個六方晶胞的底面（(0001) 晶面）上的原子數是 $6 \times \frac{1}{3} = 2$。

   重新確認 HCP 單位晶胞結構和原子數：
   HCP 單位晶胞是個六方柱。
   頂點原子：12 個，每個貢獻 $1/6$。總計 $12 \times 1/6 = 2$。
   底面和頂面的中心原子：2 個，每個貢獻 $1/2$。總計 $2 \times 1/2 = 1$。
   內部原子：3 個。
   總原子數 = $2+1+3 = 6$。

   (0001) 晶面的原子數：
   (0001) 晶面是六方柱的底面。
   底面上有 6 個頂點，每個頂點原子貢獻 $1/3$ 給這個底面（因為一個頂點被 3 個相鄰的六方晶胞共享）。
   所以，底面上的原子數為 $6 \times \frac{1}{3} = 2$。
   頂面 (0001) 也是一樣，也貢獻 2 個原子。
   所以，(0001) 晶面上的原子數是 2。

3. 計算平面原子密度 (PAD)：
   PAD = (單位晶胞中落在 (0001) 晶面上的原子數) / ((0001) 晶面的面積)
   PAD = $\frac{2 \text{ atoms}}{0.13577 \text{ nm}^2}$
   PAD $\approx 14.73$ atoms/nm$^2$

4. 將單位轉換為 atoms/mm$^2$：
   1 nm = $10^{-9}$ m
   1 mm = $10^{-3}$ m
   所以，1 nm = $10^{-6}$ mm
   1 nm$^2$ = $(10^{-6} \text{ mm})^2 = 10^{-12}$ mm$^2$

   PAD = $14.73 \text{ atoms/nm}^2 \times \frac{1 \text{ nm}^2}{10^{-12} \text{ mm}^2}$
   PAD = $14.73 \times 10^{12}$ atoms/mm$^2$
   PAD = $1.473 \times 10^{13}$ atoms/mm$^2$

部分 (b): 比較 BCC, FCC, HCP 的原子堆積因子 (APF)

核心觀念：

• 原子堆積因子 (Atomic Packing Factor, APF) 的定義：APF = (單位晶胞內原子體積) / (單位晶胞體積)。
• APF = $\frac{\text{Number of atoms per unit cell} \times \text{Volume of one atom}}{\text{Volume of unit cell}}$。
  其中，原子體積為 $\frac{4}{3}\pi R^3$，其中 $R$ 是原子半徑。

解題步驟：

1. BCC (Body-Centered Cubic)
   • 單位晶胞中的原子數 (N) = 2。
   • 原子間的關係：原子在體對角線方向上緊密接觸。體對角線長度為 $\sqrt{3}a = 4R$。所以 $a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$。
   • 單位晶胞體積 $V_{cell} = a^3 = (\frac{4R}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64R^3}{3\sqrt{3}}$。
   • 單位晶胞內原子體積 = $N \times \frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$。

本題要求繪製兩種異質接面的能帶圖：(a) 金屬與 P 型半導體的蕭特基接面，(b) 直接帶隙系統的 n 型 Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As 與 n 型 GaAs 的異質接面。

部分 (a): 金屬與 P 型半導體的蕭特基接面 (Schottky contact of metal and p-type semiconductor)

核心觀念：

• 蕭特基接面是指金屬與半導體形成的接面。
• 能帶圖表示了能帶的相對位置，包括導帶底 ($E_c$)、價帶頂 ($E_v$)、費米能階 ($E_F$)。
• 在接面形成時，為了達到熱力學平衡，金屬和半導體的費米能階必須對齊。
• 金屬功函數 $\phi_m$ 和半導體功函數 $\phi_s$ 的關係決定了接面類型（歐姆接觸或蕭特基阻擋接觸）。對於 P 型半導體，$\phi_s = \chi_s + (E_g - E_F)$，其中 $\chi_s$ 是電子親和勢，$E_g$ 是帶隙，$E_F$ 離價帶頂較近。
• 歐姆接觸 (Ohmic contact): 當 $\phi_m < \phi_s$ (對於 P 型半導體)，形成歐姆接觸，能帶彎曲很小，載子容易隧穿。
• 蕭特基阻擋接觸 (Schottky barrier contact): 當 $\phi_m > \phi_s$ (對於 P 型半導體)，形成蕭特基阻擋接觸，能帶彎曲較大，形成勢壘。

繪製步驟：

1. 繪製獨立的金屬和 P 型半導體能帶圖：

   • 金屬： 導帶和價帶重疊，只有一個費米能階 $E_{Fm}$。
   • P 型半導體： 導帶底 $E_{c,s}$，價帶頂 $E_{v,s}$。由於是 P 型，費米能階 $E_{F,s}$ 靠近價帶頂 $E_{v,s}$。

2. 接面形成後的費米能階對齊：
   將金屬和 P 型半導體接觸後，它們的費米能階必須對齊，即 $E_{Fm} = E_{F,s} = E_F$。

3. 繪製彎曲的能帶：

   • 由於費米能階對齊，且金屬和半導體有不同的功函數和電子親和勢，它們的能帶會發生彎曲，以形成一個共同的費米能階。
   • 對於 P 型半導體，當形成蕭特基阻擋接觸時（假設 $\phi_m > \phi_s$），半導體的能帶會向上彎曲，形成一個向下的勢壘。
   • 在接面處，半導體的導帶底 $E_{c,s}$ 和價帶頂 $E_{v,s}$ 都會向上彎曲。
   • 金屬的能帶在接面附近幾乎是平坦的。
   • 標示出金屬的功函數 $\phi_m$ 和半導體的功函數 $\phi_s$。
   • 標示出半導體的電子親和勢 $\chi_s$、帶隙 $E_g$、以及費米能階 $E_F$ 相對於導帶底 $E_{c,s}$ 和價帶頂 $E_{v,s}$ 的位置。
   • 蕭特基勢壘高度 $q\phi_{Bn}$ (對於 P 型半導體) 是指金屬的費米能階與半導體導帶底之間的能量差。

繪圖要點：

• 左側為金屬，右側為 P 型半導體。
• 金屬部分能帶平坦，標示 $E_{Fm}$。
• P 型半導體部分，在遠離接面處，$E_{F,s}$ 靠近 $E_{v,s}$。
• 在接面處，所有費米能階對齊。
• P 型半導體的能帶 (Ec, Ev) 在接面附近向上彎曲。
• 標示出接面勢壘的高度（對於 P 型，通常是指 $E_{F}$ 到 $E_{v,s}$ 的距離，或者 $E_{F}$ 到 $E_{c,s}$ 的距離，這裡是指 $E_{F}$ 到 $E_{c,s}$ 的勢壘高度 $q\phi_{Bn}$）。
• 標示出半導體的電子親和勢 $\chi_s$。

圖示說明：
假設金屬功函數 $\phi_m$ 大於 P 型半導體的功函數 $\phi_s$ ($\phi_s = \chi_s + (E_g - E_F)$)。
則在平衡時，金屬的費米能階 $E_{Fm}$ 與 P 型半導體的費米能階 $E_{F,s}$ 對齊。
由於 $\phi_m > \phi_s$，半導體的能帶會向上彎曲，形成一個向下的勢壘（蕭特基勢壘）。
金屬的 $E_c$ 會比半導體的 $E_{c,s}$ 低。
金屬的 $E_F$ 會處於半導體價帶和導帶之間。
半導體的 $E_{c,s}$ 和 $E_{v,s}$ 在接面處向上彎曲。
蕭特基勢壘高度 $q\phi_{Bn} = E_{Fm} - E_{c,s}(\text{at interface})$。
通常，在繪製能帶圖時，會從左到右繪製，左側是金屬，右側是 P 型半導體。

部分 (b): n-Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As / n-GaAs 異質接面

核心觀念：

• 異質接面 (Heterojunction) 是由兩種不同半導體材料形成的接面。
• Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As 和 GaAs 都是直接帶隙半導體。
• Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As 的帶隙 $E_g = 1.85$ eV，GaAs 的帶隙 $E_g = 1.43$ eV。Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As 的帶隙較大。
• 兩者都是 n 型半導體，意味著費米能階 $E_F$ 靠近導帶底 $E_c$。
• 接面形成時，費米能階對齊。
• 帶隙差會導致導帶和價帶的相對偏移，形成能帶階 (conduction band offset $\Delta E_c$ 和 valence band offset $\Delta E_v$)。
• $\Delta E_c + \Delta E_v = E_{g1} - E_{g2}$。
• 題目給出：帶隙差 $\Delta E_g = 1.85 - 1.43 = 0.42$ eV。
  $\Delta E_c \approx \frac{2}{3} \Delta E_g = \frac{2}{3} \times 0.42 \text{ eV} = 0.28 \text{ eV}$。
  $\Delta E_v \approx \frac{1}{3} \Delta E_g = \frac{1}{3} \times 0.42 \text{ eV} = 0.14 \text{ eV}$。
  $\Delta E_c + \Delta E_v = 0.28 + 0.14 = 0.42$ eV，符合。

繪製步驟：

1. 繪製獨立的 n-Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As 和 n-GaAs 能帶圖：

   • n-Al$_{0.3}$Ga$_{0.7}$As: 導帶底 $E_{c1}$，價帶頂 $E_{v1}$，帶隙 $E_{g1} = 1.85$ eV。費米能階 $E_{F1}$ 靠近 $E_{c1}$。
   • n-GaAs: 導帶底 $E_{c2}$，價帶頂 $E_{v2}$，帶隙 $E_{g2} = 1.43$ eV。費米能階 $E_{F2}$ 靠近 $E_{c2}$。

2. 接面形成後的費米能階對齊：
   將兩種材料接觸後，其費米能階對齊：$E_{F1} = E_{F2} = E_F$。