108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班甲組《電子材料概論》

本題為概念解釋題，主要在於測試考生對電子材料基本名詞的理解程度。以下逐一解釋：

(a) Screw dislocation (螺位錯)：
螺位錯是一種線缺陷，其特徵是晶體結構中存在一個螺旋形的斷裂面。當施加剪應力時，原子鍵的斷裂與重組會沿著螺位錯線傳播，導致原子層的滑移，進而引起材料的塑性變形。其核心概念是原子平面形成螺旋階梯狀。

(b) Bragg's law (布拉格定律)：
布拉格定律描述了 X 光或中子繞射時，晶體結構與繞射波之間的關係。當入射波長為 $\lambda$ 的輻射與晶體中的原子平面發生繞射時，若繞射角為 $\theta$，原子平面間距為 $d$，則產生建設性干涉的條件為 $n\lambda = 2d\sin\theta$，其中 $n$ 為整數，代表繞射級數。此定律是利用 X 光繞射分析晶體結構的基礎。

(c) Intermetallic compounds (金屬間化合物)：
金屬間化合物是由兩種或兩種以上金屬元素，或金屬與非金屬元素，以固定比例或一定範圍比例結合而成的化合物。它們通常具有特定的化學計量比、規則的晶體結構、高硬度、高熔點、脆性等特性，與其組成金屬的性質有顯著差異。例如，黃銅（Cu-Zn）、青銅（Cu-Sn）等。

(d) Piezoelectric material (壓電材料)：
壓電材料是一種在受到機械應力作用時，其表面會產生電極化的材料，進而產生電壓；反之，當施加電場時，材料會產生機械變形。這種現象稱為壓電效應。壓電材料常應用於感測器、致動器、換能器等領域。常見的壓電材料有石英、壓電陶瓷（如 PZT）等。

(e) Seebeck effect (塞貝克效應)：
塞貝克效應是熱電效應的一種，指當兩種不同導體或半導體連接成閉合迴路，且兩個接點的溫度不同時，迴路中會產生電動勢（電壓）的現象。這種現象是將熱能轉換為電能的基礎，應用於溫差電發電機。

(f) Fick's first law (菲克第一定律)：
菲克第一定律描述了在穩態條件下，擴散通量與濃度梯度之間的關係。它指出，擴散通量（單位時間內通過單位面積的粒子數）與濃度梯度成正比，方向與濃度降低的方向相反。

本題要求比較體心立方 (bcc)、面心立方 (fcc) 和六方密堆積 (hcp) 三種晶體結構的原子堆積因子 (Atomic Packing Factor, APF)。原子堆積因子定義為單位晶胞中原子體積佔晶胞總體積的比例。

計算步驟如下：

1. 體心立方 (bcc):

   • 單位晶胞中有 2 個原子 (8 個角原子 x 1/8 + 1 個中心原子)。
   • 原子視為硬球，且緊密接觸。在 bcc 結構中，體對角線上的原子是緊密接觸的。
   • 設原子半徑為 $r$，晶胞邊長為 $a$。體對角線長度為 $\sqrt{3}a$。
   • 體對角線上有 3 個原子半徑的總和，即 $4r = \sqrt{3}a$。
   • 因此，$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$。
   • 單位晶胞體積 $V_{cell} = a^3 = (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$。
   • 原子總體積 $V_{atoms} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$。
   • APF$_{bcc} = \frac{V_{atoms}}{V_{cell}} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi}{64/\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68$。

2. 面心立方 (fcc):

   • 單位晶胞中有 4 個原子 (8 個角原子 x 1/8 + 6 個面中心原子 x 1/2)。
   • 在 fcc 結構中，面上的對角線上的原子是緊密接觸的。
   • 設原子半徑為 $r$，晶胞邊長為 $a$。

本題考查的是固溶體形成的 Hume-Rothery 規則。Hume-Rothery 規則是判斷兩種金屬是否容易形成固溶體（特別是取代型固溶體）的經驗法則，主要考量以下四個因素：

1. 原子半徑差異 (Atomic Size Factor)：原子半徑差異越小，越容易形成固溶體。一般認為，若原子半徑差異大於 15%，則形成連續固溶體的可能性較小。
2. 晶體結構 (Crystal Structure)：兩種金屬應具有相同的或非常相似的晶體結構。
3. 電負度差異 (Electronegativity Difference)：電負度差異越小，越有利於形成固溶體。較大的電負度差異可能導致形成金屬間化合物。
4. 價電子數 (Valence Electron Concentration)：價電子數較高的元素傾向於溶解價電子數較低的元素，反之則較難。

本題中，我們主要關注原子半徑和價電子數這兩個關鍵因素，因為題目已給出原子半徑，且 Cu、Zn、Ni 都為金屬，晶體結構和電負度差異也相對接近，可初步判斷。

已知數據:

• 銅 (Cu)：原子半徑 $r_{Cu} = 0.125$ nm
• 鋅 (Zn)：原子半徑 $r_{Zn} = 0.133$ nm
• 鎳 (Ni)：原子半徑 $r_{Ni} = 0.1246$ nm

分析步驟:

1. 比較原子半徑差異:
   • Cu 與 Zn:
     • 半徑差異 $= |r_{Zn} - r_{Cu}| = |0.133 - 0.125| = 0.008$ nm
     • 差異百分比 $= \frac{0.008}{0.125} \times 100\% = 6.4\%$
     • 這個差異百分比小於 15%，符合 Hume-Rothery 規則。
   • Cu 與 Ni:

本題要求繪製立方晶系單位晶胞中的特定晶向向量。繪製晶向向量的基本步驟是：

1. 選擇原點。通常選擇晶胞的某一個頂點作為原點 (0,0,0)。
2. 根據向量的指數 [uvw]，確定向量終點的座標。向量 [uvw] 代表從原點出發，沿 x, y, z 三個軸方向移動 u, v, w 單位的距離（單位通常是晶胞邊長 a）。如果指數不是整數，需要先化簡為最簡整數比。
3. 連接原點與終點，即為所求的晶向向量。

繪製說明:
我們以立方晶胞的左下後頂點為原點 (0,0,0)。x 軸指向右，y 軸指向前，z 軸指向上。晶胞邊長為 $a$。

(a) [110] 向量:

• 指數為 (1, 1, 0)。
• 表示從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸移動 1 個單位 ($a$)，沿 y 軸移動 1 個單位 ($a$)，沿 z 軸移動 0 個單位。
• 終點座標為 (1, 1, 0)。
• 繪製：從原點 (0,0,0) 出發，沿著 x 軸走到 x=a 的邊，再沿著 y 軸走到 y=a 的邊，則到達 (1,1,0) 點。此點位於下底面的右上角。連接原點 (0,0,0) 與此點 (1,1,0)，即為 [110] 向量。這個向量位於 xy 平面上，沿著 xy 平面上的對角線。

(b) [210] 向量:

• 指數為 (2, 1, 0)。
• 首先，需要將指數化簡為最簡整數比。在單位晶胞的範圍內，指數通常指的是相對於晶胞邊長的倍數。如果指數大於 1，則表示向量的終點超出一個單位晶胞，或者需要理解為相對位置。對於晶向，我們通常考慮方向，所以可以將 [210] 理解為方向向量 (2,1,0)。
• 表示從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸移動 2 個單位 ($2a$)，沿 y 軸移動 1 個單位 ($a$)，沿 z 軸移動 0 個單位。
• 在一個單位晶胞內，我們通常只考慮終點在晶胞內或與晶胞邊界相交的向量。如果我們從 (0,0,0) 出發，終點是 (2a, a, 0)，這超出了單位晶胞。
• 然而，[uvw] 代表的是方向。所以，向量 (2,1,0) 的方向與向量 (1, 0.5, 0) 的方向相同。如果我們考慮的是從原點 (0,0,0) 出發，終點在晶胞內的向量，則我們應考慮一個代表該方向的向量。
• 一般來說，[uvw] 代表從原點出發，終點在 (ua, va, wa) 的點。對於 [210]，終點是 (2a, a, 0)。
• 如果我們將原點設在晶胞的左下後頂點 (0,0,0)，那麼向量 (2,1,0) 的終點會超出晶胞。
• 重要概念: 晶向向量的指數代表的是方向，而不是絕對位置。[uvw] 指向從原點到 (u,v,w) 的方向。在一個單位晶胞內，我們可以選擇任何一個頂點作為原點。
• 讓我們從晶胞的左下後頂點 (0,0,0) 開始。那麼向量 [210] 的終點是 (2,1,0)。這個點超出了單位晶胞。
• 更標準的理解: [uvw] 代表從原點出發，終點座標為 $(u \cdot a, v \cdot a, w \cdot a)$。對於 [210]，終點是 $(2a, a, 0)$。
• 在單位晶胞內表示: 我們需要找到一個代表此方向的向量，其終點在晶胞內或與晶胞邊界相交。
• 另一種方法: 考慮從原點 (0,0,0) 出發，移動 2 個單位沿 x，1 個單位沿 y。如果我們從晶胞中央的某個點出發，或者從另一個頂點出發，就可以畫出。
• 最常見的繪法: 選擇一個頂點作為原點 (0,0,0)。向量 [210] 代表從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸移動 2 倍晶胞長度，沿 y 軸移動 1 倍晶胞長度，沿 z 軸移動 0 倍晶胞長度。
• 解決方案: 由於指數是 2, 1, 0，這意味著向量的終點是 $(2a, a, 0)$。為了在一個單位晶胞內表示這個方向，我們可以將原點移動，或者考慮這個方向上的任意一點。
• 另一種理解方式: [uvw] 指向從原點 (0,0,0) 到 (u, v, w) 的方向。若 u,v,w 較大，則表示向量較長。
• 繪製 [210]: 我們可以從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸移動 2 個單位，沿 y 軸移動 1 個單位。這個終點會超出一個單位晶胞。
• 正確的繪法: [uvw] 代表方向。我們可以從晶胞的某個頂點出發，例如 (0,0,0)。終點是 (2a, a, 0)。
• 更簡潔的表示: 選擇一個原點，比如左下後頂點 (0,0,0)。那麼向量 [210] 的終點是 $(2a, a, 0)$。
• 另一種常見做法: 繪製從原點 (0,0,0) 出發，終點為 $(a, \frac{1}{2}a, 0)$ 的向量。這是與 [210] 同方向的向量。
• 直接繪製: 選擇原點 (0,0,0)。向量 [210] 的終點為 $(2a, a, 0)$。
• 最簡單的理解: [uvw] 代表從原點出發，終點座標為 $(u, v, w)$。我們從晶胞的左下後頂點 (0,0,0) 出發。沿 x 軸正向走 2 個單位，沿 y 軸正向走 1 個單位。這個終點會超出單位晶胞。
• 實際繪製: 通常是在單位晶胞內尋找能代表該方向的向量。我們可以將原點放在晶胞的左下後頂點。向量 [210] 的終點是 (2,1,0)。
• 標準繪製: 選擇原點 O=(0,0,0)。終點 P=(2,1,0)。
• 在單位晶胞內: 我們通常會考慮從某個頂點出發，終點在晶胞邊界上的向量。
• 最直觀的繪製: 從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸走到 x=a，再沿 y 軸走到 y=a，則到達 (1,1,0)。
• 對於 [210]，我們可以理解為從原點 (0,0,0) 出發，沿 x 軸移動 2 倍晶胞邊長，沿 y 軸移動 1 倍晶胞邊長。
• 繪製 [210]: 選擇原點 (0,0,0)。終點為 $(2a, a, 0)$。
• 簡化: 為了在一個單位晶胞內表示，我們可以將此向量縮放。例如，終點可以設為 $(1, 1/2, 0)$。

本題要求比較聚合物 (polymer)、半導體 (semiconductor) 和金屬 (metal) 三種材料的鍵結類型 (bonding types) 和電導率 (electric conductivity)。

1. 鍵結類型 (Bonding Types)

• 金屬 (Metal):

  • 鍵結類型: 金屬鍵 (Metallic bonding)。
  • 說明: 在金屬中，價電子脫離原子核的束縛，形成一個「電子海」(electron sea)，這些自由移動的電子將帶正電的金屬離子籠連結在一起。這種鍵結是離域的，使得金屬具有良好的延展性和導電性。

• 半導體 (Semiconductor):

  • 鍵結類型: 共價鍵 (Covalent bonding)，有時也帶有部分離子鍵的性質（如 III-V 族化合物半導體）。
  • 說明: 在典型的共價鍵半導體（如矽 Si、鍺 Ge）中，原子之間通過共享價電子形成穩定的共價鍵。每個原子都貢獻其價電子，形成飽和的、定域的鍵結。這使得純半導體在室溫下導電性較差。通過摻雜可以引入載流子，改變其導電性。

• 聚合物 (Polymer):

  • 鍵結類型: 主要為共價鍵 (Covalent bonding)，分子間有范德華力 (Van der Waals forces) 或氫鍵 (Hydrogen bonds)。
  • 說明: 聚合物是由重複的單元（單體）通過共價鍵連接形成長鏈分子。這些長鏈分子之間則通過較弱的范德華力或氫鍵相互作用。共價鍵是定域的，分子間作用力也是定域的。

2. 電導率 (Electric Conductivity)

• 金屬 (Metal):

  • 電導率: 非常高 ($\sigma \approx 10^6 - 10^8$ S/m)。
  • 說明: 由於存在大量自由移動的離域價電子（電子海），金屬對電子流的阻力很小，因此具有很高的電導率。電導率隨溫度升高而降低，因為熱振動會阻礙電子的移動。

• 半導體 (Semiconductor):

  • 電導率: 中等，介於金屬和絕緣體之間 ($\sigma \approx 10^{-6} - 10^4$ S/m)。
  • 說明: 純半導體（本質半導體）的導電性主要來自熱激發產生的電子-空穴對。其載流子濃度較低。

核心觀念

本題考查晶體的平面原子密度（planar atomic density, PAD）：

$$\text{平面原子密度} = \frac{\text{該晶面單位面積內的原子數}}{\text{晶面面積}}$$

對 HCP 結構而言，$(0001)$ 面就是與六方晶體基底平行的基面，也是原子最密堆積的平面。其平面上的原子排列形成二維六方晶格。

HCP 基面二維原胞可取為兩條長度皆為 $a$、夾角為 $60^\circ$ 的晶格向量，因此：

$$A_{\text{2D}}=a^2\sin60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$

一個二維原胞內恰含 $1$ 個原子，所以：

$$\text{PAD}_{(0001)} = \frac{1}{(\sqrt{3}/2)a^2} = \frac{2}{\sqrt{3}a^2}$$

題目給出的 $c$ 常數描述 HCP 晶胞在垂直基面方向的週期，但$(0001)$面的平面原子密度只與面內晶格常數 $a$ 有關，因此不需使用 $c$。

解題方法

已知：

$$a=0.22856\ \text{nm}$$

先計算二維原胞面積：

$$A_{\text{2D}} = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.22856)^2 \ \text{nm}^2$$ $$A_{\text{2D}} \approx 0.0452409\ \text{nm}^2$$

因此，以 $\text{nm}^{-2}$ 表示的平面原子密度為：

本題要求計算本質半導體 (intrinsic semiconductor) 矽 (Si) 在 300 K 時的電阻率 (electrical resistivity)。

已知條件:

• 材料：矽 (Si)，本質半導體
• 溫度：$T = 300$ K
• 本質載流子濃度：$n_i = 1.5 \times 10^{16}$ m⁻³
• 電子電荷：$q = 1.60 \times 10^{-19}$ C
• 電子遷移率：$\mu_n = 0.135$ m²/V-s
• 空穴遷移率：$\mu_p = 0.048$ m²/V-s

核心觀念:
電阻率 $\rho$ 與電導率 $\sigma$ 互為倒數，即 $\rho = \frac{1}{\sigma}$。
電導率 $\sigma$ 由材料中的載流子濃度和它們的遷移率決定。對於本質半導體，電子和空穴都參與導電。
電導率的公式為：$\sigma = nq\mu_n + p q\mu_p$
其中：

• $n$ 是電子濃度
• $p$ 是空穴濃度
• $q$ 是基本電荷
• $\mu_n$ 是電子遷移率
• $\mu_p$ 是空穴遷移率

對於本質半導體，電子濃度 $n$ 等於空穴濃度 $p$，且都等於本質載流子濃度 $n_i$。
所以，$\sigma = n_i q\mu_n + n_i q\mu_p = n_i q (\mu_n + \mu_p)$。

計算步驟:

1. 計算電導率 $\sigma$:
   $\sigma = n_i q (\mu_n + \mu_p)$
   $\sigma = (1.5 \times 10^{16} \text{ m}^{-3}) \times (1.60 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (0.135 \text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s} + 0.048 \text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s})$

核心觀念

本題考察二元共晶相圖的：

• 等溫連線（tie line）
• 槓桿定則（lever rule）
• 初析相（proeutectic phase）與共晶組織的質量計算

合金總質量為 $500\text{ g}$，成分為：

$$C_0=40\ \text{wt\% Ag}$$

由圖讀得共晶反應資料：

$$T_E=780^\circ\text{C},\qquad C_E=71.9\ \text{wt\% Ag}$$

在共晶溫度剛低於 $780^\circ\text{C}$ 時：

$$C_{\alpha E}=7.9\ \text{wt\% Ag},\qquad C_{\beta E}=91.2\ \text{wt\% Ag}$$

槓桿定則為：

$$W_\alpha=\frac{C_L-C_0}{C_L-C_\alpha}$$ $$W_L=\frac{C_0-C_\alpha}{C_L-C_\alpha}$$

其中 $W_\alpha$ 與 $W_L$ 分別代表 $\alpha$ 相與液相的質量分率。

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(a) $850^\circ\text{C}$ 時液相與初析 $\alpha$ 相的質量

由 $850^\circ\text{C}$ 的等溫連線讀圖：

$$C_\alpha\approx 5\ \text{wt\% Ag}$$ $$C_L\approx 55\ \text{wt\% Ag}$$

此時合金位於 $\alpha+L$ 兩相區，因此：

初析 $\alpha$ 相

$$W_\alpha = \frac{C_L-C_0}{C_L-C_\alpha} = \frac{55-40}{55-5} = \frac{15}{50} = 0.30$$ $$m_\alpha=0.30(500)=150\text{ g}$$

液相

$$W_L = \frac{C_0-C_\alpha}{C_L-C_\alpha} = \frac{40-5}{55-5} = \frac{35}{50} = 0.70$$ $$m_L=0.70(500)=350\text{ g}$$

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(b) 剛高於 $780^\circ\text{C}$ 時液相與初析 $\alpha$ 相的質量

在共晶溫度剛高於 $780^\circ\text{C}$ 時，兩相成分為：

$$C_\alpha=7.9\ \text{wt\% Ag}$$ $$C_L=71.9\ \text{wt\% Ag}$$

初析 $\alpha$ 相

$$W_{\alpha,\text{初析}} = \frac{71.9-40}{71.9-7.9} = \frac{31.9}{64} = 0.4984$$