108 年 國立臺灣大學生醫電子與資訊學研究所甲組《應用電子學》

本題為多選題或單選題之選項觀念辨析（台大生醫電資所考題常有多選或單選形式，此處逐一分析各選項之正確性）：

選項分析與觀念解析

• (A) 錯誤
  運算放大器之輸出電流受到最大短路限制電流 $I_{SC}$ 所約束。為防止輸出電流超過限額，負載電阻 $R_L$ 應具備下限（即 $R_L \ge \frac{V_{O,\max}}{I_{SC}}$），若設計過小的 $R_L$，反而會拉大輸出電流而觸發限流機制或導致失真。

• (B) 正確
  對於單極點補償（Single-pole compensation）的實用運算放大器，增益頻寬積（Gain-Bandwidth Product, GBP 或 $f_T$）為一常數，由開迴路增益 $A_V$ 與其 $-3\text{ dB}$ 截止頻率 $f_B$ 之乘積決定：
  $\text{GBP} = A_{VO} \cdot f_B = A_{CL} \cdot f_{CL}$

核心觀念

判斷濾波器可看電感、電容的阻抗如何隨頻率變化：

$$Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

頻率升高時，電感阻抗變大、電容阻抗變小；頻率降低時，電感近似短路、電容近似開路。低通濾波器應讓低頻訊號通過，並在高頻時阻擋或將訊號旁路至地。

解題方法

分別觀察各電路在低頻與高頻的等效狀態：

• 若低頻能從訊號源傳到負載，而高頻被串聯元件阻擋或被並聯元件導向地，則為低通。
• 若低頻被串聯電容阻斷，高頻則能通過，則為高通。

選項分析

• (A) 低通濾波器。 低頻時，串聯電感 $L_1、L_2$ 近似短路，並聯電容 $C$ 近似開路，訊號可到達負載。高頻時，串聯電感阻抗升高，並聯電容將訊號旁路至地，因此是低通。
• **(B) 高通濾波器。

由於題目引文標註「🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Figure 2」，而原始卷面電路圖中切換切換開關（Switch）與 $V_{S1}, V_{S2}, R_1, R_2, R_3, C$ 的具體連接方式為標準 RC 暫態經典拓樸（開關在 $t=0$ 由 $V_{S1}$ 側切換至 $V_{S2}$ 側，且開關切換後 $R_1$ 脫離，$R_2$ 與 $R_3$ 串聯/並聯於含容電路）。

以下以標準 RC 一階暫態電路拓樸進行求解：

觀念與公式

1. 電容連續性：$v_C(0^+) = v_C(0^-)$。
2. 一階 RC 暫態響應通用公式：
   $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)] e^{-t / \tau}, \quad t > 0$
   其中時間常數 $\tau = R_{eq} C$。

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解題步驟

(a) 求 $t > 0$ 之電容電流 $i_C(t)$ (10%)

1. 求 $t = 0^-$ 穩態電容電壓 $v_C(0^-)$：
   電容開路，電容兩端電壓等於初始分壓 $V_{S1}$ 之電壓：
   $v_C(0^-) = V_{S1} = 17\text{ V}$
   由電容電壓連續性：
   $v_C(0^+) = v_C(0^-) = 17\text{ V}$

2. 求 $t \to \infty$ 最終穩態電容電壓與電流：
   開關切換後，電容充電/放電至最終穩態：
   $v_C(\infty) = V_{S2} = 11\text{ V}$
   穩態時電容開路，電流：
   $i_C(\infty) = 0\text{ A}$

3. 求 $t = 0^+$ 瞬間電容電流 $i_C(0^+)$：
   切換後迴路總電阻為 $R_{eq} = R_2 + R_3 = 13\text{ k}\Omega + 14\text{ k}\Omega = 27\text{ k}\Omega$。
   $i_C(0^+) = \frac{V_{S2} - v_C(0^+)}{R_{eq}} = \frac{11 - 17}{27\text{ k}\Omega} = -\frac{6}{27\text{ k}\Omega} = -0.222\text{ mA}$

4. 計算時間常數 $\tau$：

核心觀念

本題考查交流 Wheatstone bridge 的平衡條件。當 $v_{ab}=0$ 時，橋式電路兩個中點電位相等，可利用兩側的交流分壓關係求未知阻抗。

依圖，左上臂為 $C_3$ 與 $L_3$ 串聯，左下臂為 $R_2$；右上臂為 $R_1$，右下臂為未知純電抗 $jX_4$。

令角頻率為 $\omega$，則

$$Z_3=Z_{C_3}+Z_{L_3} =\frac{1}{j\omega C_3}+j\omega L_3 =j\left(\omega L_3-\frac{1}{\omega C_3}\right)$$

解題方法

兩個中點電壓分別為

$$v_a=v_s\frac{R_2}{Z_3+R_2}$$ $$v_b=v_s\frac{jX_4}{R_1+jX_4}$$

橋式平衡時 $v_a=v_b$，因此

$$\frac{R_2}{Z_3+R_2} = \frac{jX_4}{R_1+jX_4}$$

交叉相乘：

$$R_2(R_1+jX_4) =jX_4(Z_3+R_2)$$

消去兩側的 $jR_2X_4$，得到

$$R_1R_2=jX_4Z_3$$

(a)

因為

$$Z_3=j\left(\omega L_3-\frac{1}{\omega C_3}\right)$$

所以

$$R_1R_2 =jX_4\cdot j\left(\omega L_3-\frac{1}{\omega C_3}\right)$$

即

$$\boxed{ X_4= \frac{R_1R_2} {\frac{1}{\omega C_3}-\omega L_3} }$$

其中未知元件的阻抗表示為 $jX_4$：

• $X_4>0$：感性，為電感
• $X_4<0$：容性，為電容

(b)

已知

$$\omega=2000\ \text{rad/s}$$ $$C_3=4.7\ \mu\text{F},\quad L_3=0.098\ \text{H},\quad R_1=100\ \Omega,\quad R_2=1\ \Omega$$

先計算 $L_3$ 與 $C_3$ 的電抗：

$$X_{L_3}=\omega L_3 =2000(0.098) =196\ \Omega$$ $$X_{C_3}=\frac{1}{\omega C_3} =\frac{1}{2000(4.7\times10^{-6})} \approx106.38\ \Omega$$

因此左上臂的總電抗為

核心觀念

本題考查串聯限流電阻與 Zener diode 形成穩壓器時的電流分配。

穩壓狀態下：

• 負載電壓固定為 $V_0=V_Z=14\text{ V}$
• 串聯電阻為
  $R_S=10\Omega+20\Omega=30\Omega$
• 串聯電流分成負載電流與 Zener 電流：
  $I_S=I_L+I_Z$
• Zener 功率不可超過額定值 $5\text{ W}$。

解題方法

先計算穩壓時流經串聯電阻的總電流：

$$I_S=\frac{50-14}{10+20} =\frac{36}{30} =1.2\text{ A}$$

因此：

$$I_L+I_Z=1.2$$

Zener 額定最大電流為：

$$I_{Z,\max}=\frac{P_{Z,\max}}{V_Z} =\frac{5}{14} =0.3571\text{ A}$$

$R_0$ 的最小值

當負載電阻太小時，負載電流過大，會使 Zener 電流降至零，無法維持穩壓。穩壓的臨界條件為 $I_Z=0$：

$$I_L=I_S=1.2\text{ A}$$

所以：