112 年 國立臺灣大學生醫電子與資訊學研究所甲組《應用電子學》

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第 1 題5 分

  1. (5%) Please derive an expression for vo/vsv_o/v_s for the circuit shown in Fig. 1.
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Fig. 1.Rs+ Us-+ υπ-ro+ 8υπ-RL+ vo-\begin{array}{c} \text{Fig. 1.} \\ \begin{array}{c} R_s \\ \text{+ } \\ \text{Us} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ \text{υπ} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{ro} \\ \text{+ } \\ \text{8υπ} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_L \\ \text{+ } \\ \text{vo} \quad \text{-} \end{array} \end{array}
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核心觀念

本題考查 BJT 小訊號 hybrid-π\pi 模型的電壓增益推導，使用：

  • 輸入端分壓：
    vπ=vsrπRs+rπv_\pi=v_s\frac{r_\pi}{R_s+r_\pi}
  • 輸出端等效負載：
    Rout=ro∥RLR_{\mathrm{out}}=r_o\parallel R_L
  • 受控電流源造成反相電壓：
    vo=−gmvπ(ro∥RL)v_o=-g_m v_\pi(r_o\parallel R_L)

圖中發射極接交流地，因此 rπr_\pi、ror_o 與受控電流源皆可依小訊號模型直接分析。

解題方法

先分析輸入端。由於訊號源內阻 RsR_s 與 rπr_\pi 串聯，基極電壓即為 vπv_\pi，因此由分壓定理：

vπvs=rπRs+rπ\frac{v_\pi}{v_s} = \frac{r_\pi}{R_s+r_\pi}

再分析輸出端。集極端接有 ror_o 與 RLR_L，兩者皆連接至交流地，因此其等效電阻為：

ro∥RL=roRLro+RLr_o\parallel R_L = \frac{r_oR_L}{r_o+R_L}

受控電流源 gmvπg_mv_\pi 的方向由集極流向發射極，使集極電壓相對於地產生負電壓，因此：

vo=−gmvπ(ro∥RL)v_o=-g_mv_\pi(r_o\parallel R_L)

將輸入端關係式代入：

vo=−gm(ro∥RL)(vsrπRs+rπ)v_o = -g_m(r_o\parallel R_L) \left( v_s\frac{r_\pi}{R_s+r_\pi} \right)

所以電壓增益為：

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第 2 題5 分

  1. In Fig. 2, (5%) (a) Please derive an expression for Vi(s)/Vs(s)V_i(s)/V_s(s). (5%) (b) Find the 3-dB frequency for the case Rs=10 kΩR_s = 10 \text{ k}\Omega, R1=40 kΩR_1 = 40 \text{ k}\Omega, and C1=5 pFC_1 = 5 \text{ pF}.
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Fig. 2.Rs+ Vs-+ Vi-R1- + V-C1\begin{array}{c} \text{Fig. 2.} \\ \begin{array}{c} R_s \\ \text{+ } \\ V_s \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ V_i \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_1 \\ \text{- } \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ \text{V} \quad \text{-} \end{array} \quad C_1 \end{array}
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核心觀念

圖 2 是由訊號源電阻 RsR_s 串聯，並由 R1R_1 與電容 C1C_1 並聯接地的 RC 低通電路。使用阻抗分壓可求出 Vi(s)/Vs(s)V_i(s)/V_s(s)；其 3-dB 頻率是相對於低頻增益下降 33 dB 的頻率。

解題方法

電容在 ss 域的阻抗為 1/(sC1)1/(sC_1)。輸出端對地阻抗為

Zp=R1∥1sC1=R11+sR1C1.Z_p=R_1\parallel\frac{1}{sC_1} =\frac{R_1}{1+sR_1C_1}.

套用分壓公式：

Vi(s)Vs(s)=ZpRs+Zp=R1Rs+R1+sRsR1C1.\frac{V_i(s)}{V_s(s)} =\frac{Z_p}{R_s+Z_p} =\frac{R_1}{R_s+R_1+sR_sR_1C_1}.

改寫成標準一階低通形式：

Vi(s)Vs(s)=R1Rs+R1⋅11+s(Rs∥R1)C1.\frac{V_i(s)}{V_s(s)} =\frac{R_1}{R_s+R_1} \cdot \frac{1}{1+s(R_s\parallel R_1)C_1}.

因此低頻增益為 R1/(Rs+R1)R_1/(R_s+R_1)，極點角頻率為

ω3dB=1(Rs∥R1)C1.\omega_{3\text{dB}}=\frac{1}{(R_s\parallel R_1)C_1}.

換算成頻率：

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第 3 題10 分

  1. In the circuit of Fig. 3, the NMOS transistor has ∣VTH∣=0.5 V|V_{TH}| = 0.5 \text{ V} and VA=50 VV_A = 50 \text{ V} and operates with ID=1 mAI_D = 1 \text{ mA}. (10%) (a) What is the voltage gain vo/viv_o/v_i? (10%) (b) What do VDV_D and the gain become for IDI_D increased to 1 mA?
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Fig. 3.+VDD|+ +Vin-RGinf+ vi-10 MΩ- + vo-RL10 kΩ>1 = 500 μA>GND\begin{array}{c} \text{Fig. 3.} \\ \begin{array}{c} \text{+V}_{DD} \\ \text{|} \\ \text{+ } \\ \text{+V}_{in} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_G \\ \text{inf} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ \text{v}_i \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{10 M}\Omega \\ \text{- } \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ \text{v}_o \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_L \\ \text{10 k}\Omega \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{>} \\ \text{1 = 500 }\mu\text{A} \\ \text{>} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{GND} \end{array} \end{array}
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核心觀念

依原卷掃描圖，Fig. 3 的電流源為 I=500 μAI=500\,\mu\text{A}，原工作點為 VD=1 VV_D=1\,\text{V}；題目接著問將 II 增加至 1 mA1\,\text{mA} 時的結果。直流時閘極經 RGR_G 接到汲極，且閘極電流為零，因此 VG=VDV_G=V_D，源極接地，故 VGS=VDV_{GS}=V_D。

交流分析時，耦合電容視為短路，理想直流電流源視為開路。使用

gm=2IDVGS−VTH,ro=VAIDg_m=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_{TH}},\qquad r_o=\frac{V_A}{I_D}

求小訊號參數。求第二個工作點時，以平方律模型 ID∝(VGS−VTH)2I_D\propto(V_{GS}-V_{TH})^2 計算，並依小訊號模型以 VAV_A 求 ror_o。

解題方法

令 viv_i 為輸入電容右側的閘極小訊號電壓。汲極節點套用 KCL，包含受控電流源 gmvig_m v_i、ror_o、RLR_L，以及跨接閘極與汲極的 RGR_G：

gmvi+voro+voRL+vo−viRG=0g_m v_i+\frac{v_o}{r_o}+\frac{v_o}{R_L} +\frac{v_o-v_i}{R_G}=0

因此

vovi=−gm−1RG1ro+1RL+1RG\frac{v_o}{v_i} = -\frac{g_m-\dfrac{1}{R_G}} {\dfrac{1}{r_o}+\dfrac{1}{R_L}+\dfrac{1}{R_G}}

原工作點中 VGS=VD=1 VV_{GS}=V_D=1\,\text{V}，所以過驅電壓為

VOV=VGS−VTH=1−0.5=0.5 VV_{OV}=V_{GS}-V_{TH}=1-0.5=0.5\,\text{V}

直流汲極電流等於電流源電流，即 ID=500 μAI_D=500\,\mu\text{A}。於是

gm=2(500 μA)0.5 V=2 mS,ro=50 V500 μA=100 kΩg_m=\frac{2(500\,\mu\text{A})}{0.5\,\text{V}} =2\,\text{mS},\qquad r_o=\frac{50\,\text{V}}{500\,\mu\text{A}} =100\,\text{k}\Omega

代入 RG=10 MΩR_G=10\,\text{M}\Omega、RL=10 kΩR_L=10\,\text{k}\Omega：

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第 4 題8 分

  1. Assume the op amp to be ideal. In Fig. 4, (8%) (a) Find the resistances looking into node 1, R1R_1; node 2, R2R_2; node 3, R3R_3; and node 4, R4R_4. (10%) (b) Find the currents i1,i2,i3,i_1, i_2, i_3, and i4i_4, in terms of the input current II. (8%) (c) Find the voltages at nodes 1, 2, 3, and 4, that is, V1,V2,V3,V_1, V_2, V_3, and V4V_4 in terms of I⋅RI \cdot R.
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Fig. 4.R1/223R/234R/24R4+ op amp-R/212R/223R/234R/24input current I\begin{array}{c} \text{Fig. 4.} \\ \begin{array}{c} R \\ \text{1} \\ \text{/} \\ \text{2} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{2} \\ \text{3} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R} \\ \text{/} \\ \text{2} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{3} \\ \text{4} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R} \\ \text{/} \\ \text{2} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{4} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R} \\ \text{4} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ \text{op amp} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R/2} \\ \text{1} \\ \text{2} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R/2} \\ \text{2} \\ \text{3} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R/2} \\ \text{3} \\ \text{4} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{R/2} \\ \text{4} \\ \text{input current I} \end{array} \end{array}
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核心觀念

理想運算放大器的非反相端接地，因此反相端為虛地：

V−=0V_- = 0

且輸入端不吸收電流。圖中每個垂直支路電阻皆為 RR，相鄰節點間及節點 4 到輸出端的串聯電阻皆為 R/2R/2。

由於理想運算放大器輸出端具有零輸出電阻，因此計算「看入」各節點的等效電阻時，輸出端可視為交流接地。

解題方法

由最右端開始使用串並聯等效電阻逐級向左化簡。

(a) 各節點的看入電阻

節點 4 的右側為 R/2R/2 串接理想電壓源輸出端，輸出端等效為接地，因此

R4=R∥R2=R3R_4=R\parallel \frac{R}{2} =\frac{R}{3}

節點 3 看入右側為 R/2+R4R/2+R_4，所以

R3=R∥(R2+R4)R_3 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+R_4\right) R3=R∥(R2+R3)=R∥5R6=5R11R_3 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+\frac{R}{3}\right) =R\parallel\frac{5R}{6} =\frac{5R}{11}

節點 2：

R2=R∥(R2+R3)R_2 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+R_3\right) R2=R∥(R2+5R11)=R∥21R22=21R43R_2 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+\frac{5R}{11}\right) =R\parallel\frac{21R}{22} =\frac{21R}{43}

節點 1：

R1=R∥(R2+R2)R_1 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+R_2\right) R1=R∥(R2+21R43)=R∥85R86=85R171R_1 =R\parallel\left(\frac{R}{2}+\frac{21R}{43}\right) =R\parallel\frac{85R}{86} =\frac{85R}{171}

因此

R1=85R171,R2=21R43,R3=5R11,R4=R3\boxed{ R_1=\frac{85R}{171},\quad R_2=\frac{21R}{43},\quad R_3=\frac{5R}{11},\quad R_4=\frac{R}{3} }

(b) 各垂直支路電流

令流入節點 1 的電流為 II。因為節點電壓皆為負值，圖中箭頭向上的支路電流大小為

ik=−VkRi_k=\frac{-V_k}{R}

節點 1：

V1=−IR1=−I85R171V_1=-IR_1=-I\frac{85R}{171}

因此

i1=−V1R=85171Ii_1=\frac{-V_1}{R} =\frac{85}{171}I

流往節點 2 的電流為

I2=I−i1=(1−85171)I=86171II_2=I-i_1 =\left(1-\frac{85}{171}\right)I =\frac{86}{171}I

節點 2：

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第 5 題10 分

  1. In the circuit shown in Fig. 5, the transistor has a ẞ of 200. (10%) (a) What is the dc voltage at the collector? (15%) (b) Please find the input resistances RibR_{ib} and RinR_{in} and the overall voltage gain (vo/Vsigv_o/V_{sig}) (neglecting ror_o).
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Fig. 5.Rsig1 kΩ+ Vsig-Rin?+1.5 V|10 mA|10 kΩ|>>+5 V|>RC100Ω+ vo-GND\begin{array}{c} \text{Fig. 5.} \\ \begin{array}{c} R_{sig} \\ 1 \text{ k}\Omega \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ V_{sig} \quad \text{-} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_{in} \\ \text{?} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+1.5 V} \\ \text{|} \\ \text{10 mA} \\ \text{|} \\ \text{10 k}\Omega \\ \text{|} \\ \text{>} \\ \text{>} \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+5 V} \\ \text{|} \\ \text{>} \end{array} \quad \begin{array}{c} R_C \\ 100 \Omega \end{array} \quad \begin{array}{c} \text{+ } \\ v_o \quad \text{-} \end{array} \quad \text{GND} \end{array}
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核心觀念

本題為 PNP 電晶體共基極（common-base）放大器：

  • 直流分析：由 10 mA 理想電流源設定發射極電流 IEI_E。
  • 小訊號分析：旁路電容視為短路，因此發射極為交流接地。
  • 基極輸入電阻為 rπr_{\pi}，並聯上偏壓電阻 10 kΩ10\text{ k}\Omega 後得到總輸入電阻。
  • 忽略 ror_o 時，電壓增益由跨導 gmg_m 與集極電阻 RCR_C 決定。

以下採用 VT=25 mVV_T=25\text{ mV}，並取 VEB≈0.7 VV_{EB}\approx 0.7\text{ V}。

（a）集極直流電壓

電流源設定：

IE=10 mAI_E=10\text{ mA}

由

IC=ββ+1IEI_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E

得

IC=200201(10 mA)=9.95 mAI_C=\frac{200}{201}(10\text{ mA}) =9.95\text{ mA}

集極接有 RC=100ΩR_C=100\Omega，因此

VC=ICRC=(9.95 mA)(100Ω)=0.995 VV_C=I_C R_C =(9.95\text{ mA})(100\Omega) =0.995\text{ V}

所以集極直流電壓為

VC≈0.995 V\boxed{V_C\approx 0.995\text{ V}}

補充檢查：基極電流為

IB=IEβ+1=10 mA201=49.75 μAI_B=\frac{I_E}{\beta+1} =\frac{10\text{ mA}}{201} =49.75\ \mu\text{A}

基極電壓約為

VB=1.5 V+IB(10 kΩ)=1.5+0.4975=1.9975 VV_B=1.5\text{ V}+I_B(10\text{ k}\Omega) =1.5+0.4975 =1.9975\text{ V}

PNP 電晶體發射極電壓約為

VE=VB+0.7≈2.70 VV_E=V_B+0.7\approx 2.70\text{ V}

確實高於集極電壓 0.995 V0.995\text{ V}，電晶體工作於放大區。

（b）輸入電阻與整體電壓增益

1. 電晶體跨導

gm=ICVT=9.95 mA25 mV=0.398 Sg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{9.95\text{ mA}}{25\text{ mV}} =0.398\text{ S}

2. 基極輸入電阻 RibR_{ib}

由 BJT 小訊號模型：

Rib=rπ=βgmR_{ib}=r_{\pi}=\frac{\beta}{g_m}

因此

Rib=2000.398≈502.5ΩR_{ib}=\frac{200}{0.398} \approx 502.5\Omega

故

Rib≈503Ω\boxed{R_{ib}\approx 503\Omega}

3. 總輸入電阻 RinR_{in}

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