113 年 國立中山大學光電工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念
本題考查 一階線性常微分方程 的解法。
對於形如

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

的方程，通常使用 積分因子法（Integrating Factor），其核心步驟是將左側變為一個導數的形式，進而積分得到通解。

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解題方法

1. 辨識係數
   方程已寫成

$\frac{dy}{dx}+2y=4e^{-2x},$

因此 $P(x)=2$，$Q(x)=4e^{-2x}$。

2. 求積分因子
   積分因子 $\mu(x)$ 定義為

$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.$

3. 兩側同乘積分因子

$e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=4e^{2x}e^{-2x}=4.$

左側正好是 $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)$，因此

$\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=4.$

4. 積分

$e^{2x}y=\int 4\,dx=C+4x,$

其中 $C$ 為積分常數（任意實數）。

5. 求解 $y$
   兩側除以 $e^{2x}$（$e^{2x}>0$），得到一般解

$y(x)=\frac{C+4x}{e^{2x}}=Ce^{-2x}+4xe^{-2x}.$

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解題技巧與常見陷阱

• 積分因子不要寫錯：$e^{\int P(x)dx}$ 時，若 $P(x)$ 為常數，積分結果是 $e^{P x}$。若漏掉常數或寫成 $e^{P}$ 會導致錯誤。

核心觀念

本題考恰當微分方程。將方程寫成

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$$

若在定義域內滿足

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$$

則存在函數 $F(x,y)$，使得 $dF=M\,dx+N\,dy$。因此通解可寫成隱式形式 $F(x,y)=C$。

解題方法

將原式視為微分形式：

$$\cos(x+y)\,dx+ \left(3y^2+2y+\cos(x+y)\right)\,dy=0.$$

因此

$$M(x,y)=\cos(x+y),\qquad N(x,y)=3y^2+2y+\cos(x+y).$$

先檢查恰當性：

$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin(x+y).$$

兩者相等，故此方程為恰當微分方程。

核心觀念

• 二階常係數線性齊次微分方程的通解依賴於其特徵方程的根。
• 若特徵方程有兩個實根 $r_1,\;r_2$（不相等），則通解為
  $y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.$
• 若根相等或為共軛複根，則會出現 $x e^{rx}$ 或 $\sin,\cos$ 等項，與本題無關。

解題方法

1. 寫出特徵方程
   針對方程
   $y''+3y'+2y=0,$
   令 $y=e^{rx}$，代入得到
   $r^2 e^{rx}+3r e^{rx}+2 e^{rx}=0\;\Longrightarrow\;r^2+3r+2=0.$

核心觀念

1. 一階可分離變數微分方程（Separable First-Order ODE）：
   若一階常微分方程可表示為 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$，則可將變數完全分離為 $\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$，兩端直接對各自的自變數積分求得通解。
   （註：本題為國立中山大學光電所 113 年考題，原題方程式為 $\frac{dy}{dx} = (x+1)e^{-x}y^2$，題目中 $e^{-x}y^2$ 係指 $e^{-x}\cdot y^2$）

2. 分部積分法（Integration by Parts）：
   對於多項式與指數函數相乘的積分 $\int P(x)e^{ax} dx$，使用分部積分公式：
   $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
   或使用快速微積分表格法（DI Method）求得積分結果。

3. 奇異解／平衡解（Equilibrium / Singular Solution）：
   在分離變數除以 $y^2$ 的過程中，隱含 $y \neq 0$ 的前提，因此需單獨檢驗 $y(x) = 0$ 是否亦為原微分方程的解。

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解題方法

給定一階常微分方程：
$\frac{dy}{dx} = (x+1)e^{-x}y^2$

步驟一：分離變數

當 $y \neq 0$ 時，將含 $y$ 的項移至左端，含 $x$ 的項移至右端：
$\frac{1}{y^2} dy = (x+1)e^{-x} dx$

步驟二：兩端同時積分

$\int y^{-2} dy = \int (x+1)e^{-x} dx$

• 左端積分：
  $\int y^{-2} dy = -y^{-1} = -\frac{1}{y}$

• 右端積分（利用分部積分法）：
  設 $u = x+1 \implies du = dx$
  設 $dv = e^{-x} dx \implies v = -e^{-x}$

核心觀念

單邊拉普拉斯轉換的定義為

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.$$

本題可用指數位移性質：若 $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$，則乘上 $e^{at}$ 後，轉換式中的 $s$ 換成 $s-a$。

解題方法

令 $a,\omega$ 為實數，從定義出發：

$$F(s)=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}\cos(\omega t)\,dt =\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\cos(\omega t)\,dt.$$

利用

$$\cos(\omega t)=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2},$$

可將積分拆成兩項：

$$F(s) =\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s-a-i\omega)t}\,dt +\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-(s-a+i\omega)t}\,dt.$$

核心觀念

使用拉普拉斯轉換處理含初始條件的常微分方程。令 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$，並利用

$$\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}.$$

初始條件可直接代入微分項的轉換式，轉換後便能求出 $Y(s)$。

解題方法

對方程

$$y''-y=t,\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=1$$

兩側取拉普拉斯轉換：

$$s^2Y(s)-s-1-Y(s)=\frac{1}{s^2}.$$

整理得

$$Y(s)=\frac{s+1+\frac{1}{s^2}}{s^2-1}.$$

將其拆成容易反轉換的部分：

$$Y(s)=\frac{s+1}{s^2-1}+\frac{1}{s^2(s^2-1)}.$$

第一項因 $s^2-1=(s-1)(s+1)$，可約分為

$$\frac{s+1}{s^2-1}=\frac{1}{s-1}.$$

第二項作部分分式分解：

核心觀念

• 線性方程組的解的存在性與唯一性取決於系統的 一致性（consistency）與矩陣的 秩（rank）。
• 若增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則系統 無解（矛盾）。
• 常用方法：代入消元（substitution）或 高斯‑喬爾丹消去（Gaussian elimination）檢查秩。

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解題方法
採用 代入消元 先由前兩式找出 $x_1,x_2,x_3$ 之關係，再代入其餘兩式驗證是否同時成立。若出現矛盾則判定系統無解。此方法直觀且計算量小，適合考試時間緊迫的情況。

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步驟詳解

1. 由第一、二式建立關係

$$\begin{aligned} &\text{(1)}\; x_1 - x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_2 - x_3,\\ &\text{(2)}\; -x_1 - x_2 + x_3 = 0 . \end{aligned}$$

把 $x_1 = x_2 - x_3$ 代入 (2)：

$$-(x_2 - x_3) - x_2 + x_3 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x_2 + 2x_3 = 0 \;\Longrightarrow\; x_2 = x_3 .$$

2. 求出 $x_1$
   由 $x_2 = x_3$ 代回 $x_1 = x_2 - x_3$ 得

$x_1 = 0 .$

3. 代入第三、四式檢驗

   • 代入 第四式 $\;20x_1 + 10x_2 = 80$

$20\cdot0 + 10x_2 = 80\;\Longrightarrow\; x_2 = 8 .$

 因 $x_2 = x_3$，得到 $x_3 = 8$。

核心觀念

• 逆矩陣的定義：若 $A$ 為 $n\times n$ 方陣且存在矩陣 $A^{-1}$ 使 $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$，則 $A$ 為可逆，$A^{-1}$ 為其逆矩陣。
• 可逆條件：矩陣 $A$ 的行列式 $\det(A)\neq0$。
• 逆矩陣求法：$\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$，其中 $\operatorname{adj}(A)$ 為伴隨矩陣（共軛轉置），由每個元素的代數餘子式組成再轉置取得。

解題方法

1. 計算 $\det(A)$。
2. 若 $\det(A)\neq0$，求每個元素的代數餘子式 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$（$M_{ij}$ 為去除第 $i$ 列第 $j$ 行後的 $2\times2$ 子矩陣之行列式），構成余子矩陣 $C$。
3. 取 $C$ 的轉置得到伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A)$。
4. 用 $\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$ 完成求逆。

詳細計算

1. 行列式

$$\begin{aligned} \det(A)&= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 3 & -1& 1\\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix}\\ &=-1\begin{vmatrix}-1&1\\3&4\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}3&1\\-1&4\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}3&-1\\-1&3\end{vmatrix}\\ &=-1[(-1)(4)-1\cdot3]-1[3\cdot4-1(-1)]+2[3\cdot3-(-1)(-1)]\\ &=-1[-4-3]-1[12+1]+2[9-1]\\ &=-1[-7]-1[13]+2[8]\\ &=7-13+16=10 . \end{aligned}$$

因此 $\det(A)=10\neq0$，$A$ 可逆。

2. 代數餘子式（列出 $C_{ij}$）

核心觀念

傅立葉變換的數值會隨採用的慣例而異。題目未註明變換定義，以下採用工程數學常見的定義：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx.$$

本題的函數只在 $-1<x<1$ 時等於 $1$，其餘處為 $0$，因此積分只需計算區間 $[-1,1]$。

解題方法

將函數代入傅立葉變換定義：

$$F(\omega) =\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x}\,dx.$$

當 $\omega\ne 0$ 時，直接積分：

$$F(\omega) =\left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{-1}^{1} =\frac{e^{-i\omega}-e^{i\omega}}{-i\omega}.$$

利用 $e^{-i\omega}-e^{i\omega}=-2i\sin\omega$，得到

$$F(\omega)=\frac{2\sin\omega}{\omega},\qquad \omega\ne 0.$$

核心觀念

• 傅立葉轉換 (Fourier Transform, FT)：將時域函數 $f(t)$ 以指數基底 $\mathrm{e}^{-j\omega t}$ 展開，得到頻域函數 $F(\omega)$：
  $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,\mathrm{e}^{-j\omega t}\,dt.$
• 反變換 (Inverse FT)：可將頻域資訊復原為時域：
  $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\,\mathrm{e}^{j\omega t}\,d\omega.$
• 重要性質
  • 線性：$a f_1(t)+b f_2(t)\;\xrightarrow{\mathcal{F}}\;aF_1(\omega)+bF_2(\omega)$.
  • 卷積定理：$(f*g)(t)\;\xrightarrow{\mathcal{F}}\;F(\omega)G(\omega)$.
  • 微分/積分：$f'(t)\;\xrightarrow{\mathcal{F}}\;j\omega F(\omega)$， $\int f(t)dt\;\xrightarrow{\mathcal{F}}\;\frac{F(\omega)}{j\omega}$.
  • Parseval/能量守恆：$\int |f(t)|^{2}dt=\frac{1}{2\pi}\int |F(\omega)|^{2}d\omega$.

解題方法
本題要求列舉「真實」的應用，必須把抽象的頻域概念對應到具體工程或科學問題。步驟如下：

1. 辨認問題類型：判斷是訊號處理、影像處理、通訊、控制、物理模型或醫學影像等領域。
2. 選取適當的傅立葉模型：連續 FT、離散 FT (DFT) 或快速傅立葉轉換 (FFT)；根據取樣率、訊號長度與計算資源決定。
3. 利用性質化簡或求解：例如利用卷積定理把線性時不變系統的濾波問題轉成頻域相乘；利用 Parseval 評估功率或雜訊比例。
4. 逆變換還原結果：在需要時將頻域處理後的 $F(\omega)$ 逆變回時域或空間域，以得到最終實務輸出。

主要實務應用與詳細說明

領域	應用實例	核心傅立葉概念	具體步驟與結果
訊號處理	音訊頻譜分析與均衡	連續 FT → 瞭解音頻能量分布；FFT 供即時處理	1. 取得音訊 $x[n]$；2. 以 FFT 計算 $X[k]$；3. 觀察 $
影像處理	JPEG 壓縮	2‑D 離散餘弦變換 (DCT) 為實際上離散 FT 的特殊形式；頻域衰減高頻係數	1. 把影像分割成 $8\times8$ 區塊；2. 對每塊做 2‑D DCT；3. 按量化表將高頻係數除以大數，產生零值；4. 逆 DCT 重建影像，得到可接受的失真與大幅檔案縮減。
通訊工程	正交分頻多工 (OFDM)	利用 IFFT 把多子載波的頻域符號 $\{X_k\}$ 同時映射到時域訊號 $x[n]$；