112 年 國立中山大學材料與光電科學學系碩士班《工程數學》

核心觀念

• 一階線性常微分方程：形如 $y'+p(x)y=q(x)$，可利用積分因子將其化為全微分。
• 積分因子 $\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}$，滿足 $(\mu y)'=\mu q(x)$.
• 三角恆等式：$\sin2x=2\sin x\cos x$，在與 $\tan x$、$\sec x$ 結合時可大幅化簡。

解題方法

1. 寫出標準形式
   $y'+(\tan x)y=\sin2x,\qquad y(0)=1.$

2. 求積分因子

$\mu(x)=e^{\int \tan x\,dx}=e^{-\ln|\cos x|}= \frac1{\cos x}= \sec x .$

3. 兩側同乘 $\mu$，化為全微分

$(\sec x\,y)' =\sec x\;\sin2x .$

4. 化簡右側

$\sec x\;\sin2x=\frac{1}{\cos x}\cdot2\sin x\cos x =2\sin x .$

5. 積分

$\sec x\,y =\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C .$

6. 求 $y$

$y = \cos x\,(-2\cos x + C)= -2\cos^{2}x + C\cos x .$

核心觀念

• 本題屬於 一階線性常微分方程：
  $y'+p(x)y = q(x)$
  其通解可利用 積分因子 (integrating factor) 或 變參數法 (variation of parameters) 求得。
• 當右手項為 非多項式、非指數 的函數（如 $-1/x$）時，常用 指數積分函數 $Ei(x)$ 來表示不可初等積分的結果。

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解題方法

1. 寫出標準形式

$y'+y = -\frac{1}{x}\qquad (x\neq0)$

2. 計算積分因子

$\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}$

3. 兩側同乘積分因子

$e^{x}y' + e^{x}y = \bigl(e^{x}y\bigr)' = -\frac{e^{x}}{x}$

4. 積分

$e^{x}y = -\int \frac{e^{x}}{x}\,dx + C$

$\int \frac{e^{x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(x) \quad\text{（指數積分函數）}$

因此

$e^{x}y = -\operatorname{Ei}(x) + C$

5. 寫出一般解

$y(x)=C e^{-x}\;-\;e^{-x}\operatorname{Ei}(x)$

6. 特解（不含任意常數 $C$）

$\boxed{y_{\text{p}}(x)= -\,e^{-x}\operatorname{Ei}(x)}\qquad (x\neq0)$

這即為題目要求的 particular solution。

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選項分析（若本題為選擇題）

核心觀念

• 本題屬於一階線性常係數常微分方程（Linear First‑Order ODE）。
• 標準形式為
  $y'+P(x)\,y = Q(x)$
  其中 $P(x)$ 為 $y$ 的係數函數，$Q(x)$ 為右側非齊次項。
• 求解此類方程常用 積分因子法（Integrating Factor），或直接觀察可寫成全微分形式。
• 初值條件 $y(1)=2$ 用於決定常數 $C$，得到唯一的特解。

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解題方法

1. 整理原式
   $xy' + 4y = 8x$
   先把 $y'$ 前的係數除以 $x$（假設 $x\neq0$），得到
   $y' + \frac{4}{x}\,y = 8.$

2. 確認線性形式
   這已是 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中
   $P(x)=\frac{4}{x},\qquad Q(x)=8.$

3. 求積分因子
   積分因子 $\mu(x)$ 定義為

$$\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right) =\exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right) =\exp\!\left(4\ln|x|\right)=|x|^{4}.$$

因 $x>0$（由初值 $x=1$ 可得），可寫成 $\mu(x)=x^{4}$。

4. 乘以積分因子
   将原方程乘以 $x^{4}$：
   $x^{4}y' + 4x^{3}y = 8x^{5}.$

   左側恰為 $(x^{4}y)'$，因為
   $(x^{4}y)' = 4x^{3}y + x^{4}y'.$

   因此方程化為
   $(x^{4}y)' = 8x^{5}.$

5. 積分
   對兩側以 $x$ 為變數積分：
   $\int (x^{4}y)'\,dx = \int 8x^{5}\,dx,$
   $x^{4}y = \frac{8}{6}x^{6}+C = \frac{4}{3}x^{6}+C.$

6. 解出 $y$
   $y = \frac{4}{3}x^{2} + Cx^{-4}.$

7. 代入初值求 $C$
   初值 $y(1)=2$：

核心觀念

本題為高階變係數線性常微分方程（Higher-Order Linear ODE with Variable Coefficients）。涉及的核心觀念包含：

1. 正合常微分方程（Exact Linear ODE）之判別與降階：
   對於 $n$ 階線性微分方程：
   $P_n(x) y^{(n)} + P_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + P_1(x) y' + P_0(x) y = 0$
   其為正合方程式的充分必要條件為：
   $P_0(x) - P_1'(x) + P_2''(x) - P_3'''(x) + \dots + (-1)^n P_n^{(n)}(x) = 0$
   若滿足正合條件，可將原微分方程直接積分降為 $n-1$ 階微分方程。
2. 乘積微分法則之觀察法（Grouping / Inspection Method）：
   藉由微分算子或微積分基本公式，將項次配對寫成全微分項 $\frac{d}{dx}[\cdots] = 0$。
3. 正則奇點之 Frobenius 級數解法（Frobenius Method）：
   三階變係數齊次方程在正則奇點（Regular Singular Point）可利用指標方程式（Indicial Equation）與遞迴關係式求得級數基底解。

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解題方法

1. 正合性檢驗與直接積分（降階）：
   觀察各項係數與導函數階數的關聯：
   • 第一、二項：$x^3 y'''' + 3x^2 y''' = \frac{d}{dx}\left(x^3 y'''\right)$
   • 第三、四項：$-6xy' - 6y = \frac{d}{dx}\left(-6xy\right)$
     因此方程式可直接寫為全微分形式並積分一次，降階為三階常微分方程。
2. 求解降階後之微分方程：
   降階後得到 $x^3 y''' - 6xy = c_1$（即 $x^2 y''' - 6y = \frac{c_1}{x}$），針對齊次部分 $x^2 y''' - 6y = 0$，以 $x = 0$ 為正則奇點採用 Frobenius 級數法求出特徵指標與基底解。

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計算推導

步驟一：正合性檢驗與一階降階

給定微分方程：
$x^3 y'''' + 3x^2 y''' - 6xy' - 6y = 0$

將各項進行分組配對：
$\left(x^3 y'''' + 3x^2 y'''\right) - \left(6xy' + 6y\right) = 0$

利用乘積的微分法則：
$\frac{d}{dx}\left(x^3 y'''\right) = x^3 y'''' + 3x^2 y'''$
$\frac{d}{dx}\left(6xy\right) = 6xy' + 6y$

代回原式可得：
$\frac{d}{dx}\left(x^3 y''' - 6xy\right) = 0$

兩邊對 $x$ 積分一次，引入第一任意常數 $c_1$：
$x^3 y''' - 6xy = c_1$

在 $x \neq 0$ 條件下，同除以 $x$，化簡為：
$x^2 y''' - 6y = \frac{c_1}{x}$

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步驟二：求解齊次方程 $x^2 y''' - 6y = 0$ 之基底解（Frobenius 級數法）

設齊次解為：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}, \quad (a_0 \neq 0)$

對 $y(x)$ 連續求三階導函數：
$y'''(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)(n+r-2) a_n x^{n+r-3}$

代入 $x^2 y''' - 6y = 0$：
$\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)(n+r-2) a_n x^{n+r-1} - 6 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0$

將第二項平移指標（令 $k = n+1 \implies n = k-1$）：
$r(r-1)(r-2) a_0 x^{r-1} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n+r)(n+r-1)(n+r-2) a_n - 6a_{n-1} \right] x^{n+r-1} = 0$

核心觀念

• 線性常係數齊次與非齊次二階常微分方程的通解可寫成齊次解 + 特解。
• 齊次方程 $y''-3y'+2y=0$ 的特徣根由特徣方程 $r^{2}-3r+2=0$ 求得。
• 非齊次項為指數函數與多項式的線性組合，使用未定係數法（method of undetermined coefficients）猜測特解的形式，代入方程求出未知常數。
• 初值條件 $y(0)=1,\;y'(0)=0$ 用於確定齊次解的常數。

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解題步驟

1. 求齊次解

$r^{2}-3r+2=0\quad\Longrightarrow\quad (r-1)(r-2)=0\; \Rightarrow\; r_{1}=1,\; r_{2}=2$

齊次通解

$y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}.$

2. 猜測特解的形式
   非齊次項 $3e^{2x}+2x^{2}-7$ 包含兩部分：

   • 對 $3e^{2x}$：指數 $e^{2x}$ 已是齊次解的基底 $e^{2x}$，須乘以 $x$ 以避免與齊次解重複。形式設為 $y_{p1}=A x e^{2x}$。
   • 對 $2x^{2}-7$：多項式最高次為 $x^{2}$，係數為常數，與齊次解無關，因此採取二次多項式形式 $y_{p2}=Bx^{2}+Cx+D$。

   合併特解

$y_{p}=A x e^{2x}+Bx^{2}+Cx+D.$

3. 計算導數並代入方程

$$\begin{aligned} y_{p}' &= A e^{2x}+2A x e^{2x}+2Bx+C,\\ y_{p}''&=2A e^{2x}+4A x e^{2x}+2B. \end{aligned}$$

代入原方程 $y''-3y'+2y$：

$$\begin{aligned} y_{p}''-3y_{p}'+2y_{p} &=(2A e^{2x}+4A x e^{2x}+2B)\\ &\quad-3\bigl(A e^{2x}+2A x e^{2x}+2Bx+C\bigr)\\ &\quad+2\bigl(A x e^{2x}+Bx^{2}+Cx+D\bigr)\\ &=\underbrace{(2A-3A) e^{2x}}_{-A e^{2x}} +\underbrace{(4A-6A+2A) x e^{2x}}_{0\cdot x e^{2x}}\\ &\quad+\bigl(2B-6B+2B\bigr)\\ &\quad+\bigl(-3C+2C\bigr)\\ &\quad+2Bx^{2}+2Cx+2D\\ &= -A e^{2x}+2Bx^{2}+2Cx+2D- C+0. \end{aligned}$$

必須與右側 $3e^{2x}+2x^{2}-7$ 完全相等，對各類型係數配對：

核心觀念

• 線性常係數齊次微分方程系統：用矩陣形式寫成 $\mathbf y' = A\mathbf y$，其中 $A$ 為常係數方陣。
• 特徵值–特徵向量法：求 $A$ 的特徵值 $\lambda$，若 $\lambda$ 為複數 $\alpha\pm i\beta$，則對應的實解可寫成 $e^{\alpha t}\bigl( C_1\mathbf u\cos\beta t + C_2\mathbf u\sin\beta t \bigr)$，$\mathbf u$ 為從復特徵向量取實部、虛部得到的基底。
• 初值問題：使用給定的 $y_1(0),y_2(0)$ 決定常數 $C_1,C_2$。

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解題方法

1. 寫成矩陣形式

$$\mathbf y= \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}, \qquad A= \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf y' =A\mathbf y .$$

2. 特徵值

$$\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & -1\\ 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} =(\!-\!1-\lambda)^2+1=0 .$$

解得

$$(\lambda+1)^2+1=0\;\Longrightarrow\; \lambda=-1\pm i .$$

3. 特徵向量（取 $\lambda=-1+i$）
   解 $(A-\lambda I)\mathbf v=0$：

$$\begin{pmatrix} -i & -1\\ 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; -i\,v_1 - v_2 =0\;\Rightarrow\; v_2=-i\,v_1 .$$

取 $v_1=1$，得到復特徵向量

$\mathbf v = \begin{pmatrix}1\\ -i\end{pmatrix}.$

4. 實部、虛部基底

核心觀念

• 拉普拉斯變換的逆變換：$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)$。
• 常用的基本對應式

$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\}= \frac{1}{s+a},$$ $$\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}= \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}= \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.$$

• 平移性（第一位移定理）$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)$。
• 部分分式與配方（完成平方）是處理有理函數的常用技巧。

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(a) $\displaystyle \frac{s^{2}}{s^{4}}$

解題方法

$\frac{s^{2}}{s^{4}}=\frac{1}{s^{2}}.$

已知 $\mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}$，直接對照得到

$\boxed{\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{2}}{s^{4}}\right\}=t }.$

解題技巧

• 若分子次數小於分母次數，先化簡成標準形式；若分子次數大於或相等，先做長除法再處理餘式。

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(b) $\displaystyle \frac{6s+7}{2s^{2}+4s+10}$

核心觀念

• denominator 需配方，使其呈現 $(s+a)^{2}+b^{2}$ 形式，才能對應到 $\cos$ 與 $\sin$ 的拉普拉斯式。
• numerator 必須寫成 $(s+a)$ 與常數的線性組合，以分解為兩個已知型式。

解題步驟

1. 配方 denominator

$$2s^{2}+4s+10 = 2\bigl(s^{2}+2s+5\bigr) = 2\bigl[(s+1)^{2}+4\bigr].$$

2. 把 numerator 以 $(s+1)$ 表示

核心觀念

• 拉普拉斯變換：對於適當的函數 $f(t)$，其拉普拉斯變換定義為
  $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.$
• 導數的拉普拉斯變換（初值定理）

$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),\qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0).$$

• 線性性：變換後的微分方程會變成代數方程，可直接求解 $F(s)$，再求逆變換得到原函數。
• 分式分解：常見的形式 $\frac{s}{s^{2}-1}$ 需要寫成簡單的第一型分式，以便查表或直接逆變換。

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解題方法

1. 對 ODE 取拉普拉斯變換
   給定

$y''-y=0,\qquad y(0)=1,\;y'(0)=0.$

設 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$。根據導數變換公式，

$\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s.$

$\mathcal{L}\{y\}=Y(s).$

因此原方程在 $s$ 域內變為

$s^{2}Y(s)-s - Y(s)=0\;\Longrightarrow\; (s^{2}-1)Y(s)=s.$

2. 求 $Y(s)$ 並分式分解

$Y(s)=\frac{s}{s^{2}-1}.$

令

$\frac{s}{s^{2}-1}= \frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}.$

乘上分母得

核心觀念

本題旨在測驗拉普拉斯轉換（Laplace Transform）求解常係數線性常微分方程的應用能力，特別是針對非零初始時間點（$t_0 \neq 0$）的初值問題處理技巧。涉及的核心定義與定理包含：

1. 時間軸平移變數變換：
   當初始條件給定於 $t = t_0$（本題為 $t=2$）而非 $t = 0$ 時，定義新變數 $\tau = t - t_0$（即 $\tau = t - 2$），將初值條件平移至 $\tau = 0$，以便直接套用單邊拉普拉斯轉換公式。
2. 導數的拉普拉斯轉換性質：
   • $\mathcal{L}\{u'(\tau)\} = sU(s) - u(0)$
   • $\mathcal{L}\{u''(\tau)\} = s^2U(s) - s u(0) - u'(0)$
3. 部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）：利用覆蓋法（Heaviside Cover-up Method）將有理函數拆解為標準基本型態。
4. 反拉普拉斯轉換公式：
   • $\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s - a} \right\} = e^{a\tau}$

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解題方法

步驟一：定義平移變數使初始條件歸零

令 $\tau = t - 2$，即 $t = \tau + 2$。
定義新函數 $u(\tau) = y(\tau + 2) = y(t)$。
依據連鎖律：
$\frac{du}{d\tau} = y'(t), \quad \frac{d^2u}{d\tau^2} = y''(t)$

轉換後的初值條件為：
$u(0) = y(2) = -3$
$u'(0) = y'(2) = -5$

原微分方程在 $\tau$ 座標系下改寫為：
$u''(\tau) + 2u'(\tau) - 3u(\tau) = 0$

步驟二：對微分方程取拉普拉斯轉換

令 $U(s) = \mathcal{L}\{u(\tau)\}$，對等式兩邊取拉氏轉換：
$\mathcal{L}\{u''(\tau)\} + 2\mathcal{L}\{u'(\tau)\} - 3\mathcal{L}\{u(\tau)\} = 0$

代入微分性質公式：
$[s^2 U(s) - s u(0) - u'(0)] + 2[s U(s) - u(0)] - 3U(s) = 0$

代入初始值 $u(0) = -3$ 與 $u'(0) = -5$：
$[s^2 U(s) - s(-3) - (-5)] + 2[s U(s) - (-3)] - 3U(s) = 0$
$s^2 U(s) + 3s + 5 + 2s U(s) + 6 - 3U(s) = 0$

步驟三：整理代數式求 $U(s)$

將含有 $U(s)$ 的項與常數項分離：
$(s^2 + 2s - 3)U(s) + (3s + 11) = 0$
$(s + 3)(s - 1)U(s) = -(3s + 11)$