112 年 國立中山大學材料與光電科學學系碩士班《材料科學導論》

此題考驗光與物質的交互作用。當可見光由空氣進入固體時，主要會發生吸收、反射、穿透（透射）等現象。

此題考驗磁性材料的基本概念。我們逐一分析各選項：

(A) 錯誤。原子的淨磁矩不僅來自電子的軌道運動和自旋運動的貢獻，也可能包含原子核的磁矩貢獻（雖然通常遠小於電子貢獻）。更重要的是，這句話沒有提到「淨」磁矩。

(B) 錯誤。抗磁性（Diamagnetism）是所有物質都具有的基本磁性，它源於外加磁場感應出的電子軌道運動的變化，產生與外磁場方向相反的感應磁矩。而題幹描述的「電子自旋運動的變化」更像是描述順磁性（Paramagnetism）在外磁場下的行為。

(C) 錯誤。順磁性材料具有永久的原子偶極矩，但這些偶極矩在外磁場中是傾向於隨機取向，或在外磁場作用下才部分排列，但它們之間通常沒有強烈的耦合而互相對齊。題幹描述的「耦合且互相對齊」是描述鐵磁性（Ferromagnetism）的特徵，而非順磁性。

此題考驗電介質極化（electric polarization）的相關知識。我們逐一分析各選項：

(A) 正確。電介質的極化機制主要有三種：電子極化（electronic polarization，原子中電子雲繞原子核移動）、離子極化（ionic polarization，離子晶體中陽離子與陰離子相對位移）和取向極化（orientation polarization，永久偶極矩在外電場下取向）。

核心觀念

在 $0\ \mathrm{K}$ 時，電子會優先填入能量較低的電子能帶。材料的導電性主要取決於：

• 最高已填滿能帶與最低未填滿能帶之間是否存在能隙。
• 能隙大小是否足以讓電子容易受到熱能或外加能量激發。
• 是否存在部分填滿的能帶或能帶重疊。

判斷原則如下：

1. 導體（conductor）：能帶部分填滿，或已填滿能帶與未填滿能帶重疊，幾乎沒有能隙。
2. 半導體（semiconductor）：價帶與導帶之間有較小能隙，電子可藉由熱能激發至導帶。
3. 絕緣體（insulator）：價帶與導帶之間有較大能隙，電子不易被激發，因此導電性極低。

解題方法

逐一觀察 Figure 1 中各能帶的排列：

• 若填滿能帶與空能帶重疊或相接，判定為導體。
• 若兩者之間有小能隙，判定為半導體。
• 若兩者之間有大能隙，判定為絕緣體。

圖中的判斷結果為：

• (i)：填滿狀態與空狀態之間具有較小能隙，屬於半導體。
• (ii)：填滿能帶與空能帶相接，沒有能隙，屬於導體。
• (iii)：填滿能帶與空能帶之間具有較大能隙，屬於絕緣體。

此題考驗原子擴散（atomic diffusion）的相關概念。我們逐一分析各選項：

(A) 錯誤。對於給定的主體金屬，間隙原子（interstitial atoms）通常比取代原子（substitutional atoms）擴散得更快。這是因為間隙原子體積較小，可以在晶格的空隙中移動，移動的阻力較小，活化能也較低。取代原子需要取代晶格點上的原子，通常需要較大的體積和較高的活化能。

(B) 正確。取代型擴散（Substitutional diffusion）是通過原子與鄰近的空位（vacancy）交換來實現的。

核心觀念

晶格種類由單位晶胞的邊長、軸間角與格點位置判定。三個軸長互異、軸間角有兩個為 $90^\circ$、一個不為 $90^\circ$，符合單斜晶系；若一對相對基面的中心另有格點，則為底心單斜晶格。

米勒指數 $(hkl)$ 是晶面在 $a,b,c$ 三軸截距（以晶格常數為單位）的倒數。負截距以指數上方的橫線表示。

解題方法

圖 2 標出三個晶軸長度為 $0.50$、$0.38$、$0.30\ \mathrm{nm}$，軸間角為 $90^\circ$、$90^\circ$、$85^\circ$；晶胞一對相對基面的中央各有一個格點。右圖的陰影面通過 $+a$ 軸端點、$+c$ 軸端點及 $a+b+c$ 頂點。

由一個軸間角為 $85^\circ$、另兩個為 $90^\circ$，判定為單斜晶系。基面中央的格點表示晶格為底心，因此晶格名稱為 base-centered monoclinic。

此題考驗材料中空位（vacancy）的形成能與溫度的關係。
空位的平衡數量 $N_v$ 與溫度 $T$ 的關係通常可以用以下公式描述：
$N_v = N \exp(-\frac{E_f}{k_B T})$
其中：

• $N_v$ 是空位的數量。
• $N$ 是總的原子數量（或晶格點的數量）。
• $E_f$ 是形成一個空位的活化能（或稱形成能，formation energy）。
• $k_B$ 是玻爾茲曼常數。
• $T$ 是絕對溫度。

根據題意，我們有兩個不同溫度下的空位數量：
在溫度 $T_1$ 時，空位數量為 $N_v(1)$：
$N_v(1) = N \exp(-\frac{E_f}{k_B T_1})$ (方程式 1)

在溫度 $T_2$ 時，空位數量為 $N_v(2)$：
$N_v(2) = N \exp(-\frac{E_f}{k_B T_2})$ (方程式 2)

我們需要估計空位的形成能 $E_f$。
可以將兩個方程式相除，以消去總原子數 $N$：
$\frac{N_v(1)}{N_v(2)} = \frac{N \exp(-\frac{E_f}{k_B T_1})}{N \exp(-\frac{E_f}{k_B T_2})}$
$\frac{N_v(1)}{N_v(2)} = \exp(-\frac{E_f}{k_B T_1} + \frac{E_f}{k_B T_2})$
$\frac{N_v(1)}{N_v(2)} = \exp(\frac{E_f}{k_B} (\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}))$

核心觀念

離子間的平衡間距 $r_0$ 代表系統總能量最低的位置，因此必須滿足：

其中總能量為吸引能與排斥能之和：

對離子晶體而言，庫侖吸引能通常與 $1/r$ 成正比，而短程排斥能與 $1/r^n$ 成正比。因此標準模型寫為：

其中 $A>0$、$B>0$，且 $n>1$。

解題方法與推導

在平衡間距 $r_0$ 處，總能量對距離的變化率為零：

先對總能量微分：

因此：

令其在 $r=r_0$ 時為零：

移項得：

兩邊乘以 $r_0^{n+1}$：

所以平衡間距為：

題目式子的文字說明

題目列出的吸引能為：

核心觀念

本題比較的是各種晶體表面與界面的單位面積界面能 $\gamma$。晶體中的原子若因界面而偏離穩定排列、形成較多未飽和鍵或晶格錯配，界面能通常較高。

相干雙晶界的兩側晶格能在界面上良好銜接，原子排列失真小，因此能量很低。小角度次晶界可視為由一列列位錯構成，錯取向角越大，位錯密度通常越高，界面能也越高。高角度晶界的錯配較大，能量高於一般小角度晶界；外部自由表面則有大量未飽和鍵，能量通常高於晶內晶界。材料文獻亦指出，相干雙晶界能量遠低於一般高角度晶界，而高角度晶界能量常約為自由表面能的三分之一。相干界面與晶界能量概述、晶界能量與表面能比較

解題方法

先依界面結構判斷能量高低，再將四者由低至高排列：

• 相干雙晶界（ii）：雙晶兩側在界面上的晶格排列相互配合，結構失真小，是低能量界面。

• 8° 次晶界（iii）：8° 屬小角度錯取向，可用 Read–Shockley 關係描述其能量隨錯取向角增加的趨勢：

  $\gamma_{\mathrm{LAGB}}=\gamma_m\frac{\theta}{\theta_m}\left[1-\ln\left(\frac{\theta}{\theta_m}\right)\right]$

核心觀念

本題考查晶體塑性中的「施密德定律（Schmid’s law）」：

其中：

• $\tau_R$：特定滑移系統上的解析剪應力
• $\sigma$：外加拉伸應力
• $\phi$：拉伸軸與滑移面法線的夾角
• $\lambda$：拉伸軸與滑移方向的夾角

體心立方金屬常見滑移系統為：

因此，滑移方向 $[1\bar{1}1]$ 必須位於滑移面內，才構成合法的滑移系統。

解題方法

外加應力方向為 $[010]$，滑移方向為 $[1\bar{1}1]$。

1. 計算 $\cos\lambda$

拉伸軸方向向量為：

滑移方向向量為：

因此：

若只比較解析剪應力大小，取其絕對值：

2. 各個 $\{110\}$ 晶面的 $\cos\phi$

六個不同的 $\{110\}$ 晶面可列為：

晶面法線即為晶面指數，例如 $(110)$ 的法線為 $[110]$。

因拉伸方向為 $[010]$，所以：

• 法線的第二個指數為 $\pm1$ 時，$|\cos\phi|=1/\sqrt{2}$
• 法線的第二個指數為 $0$ 時，$\cos\phi=0$

各晶面的解析剪應力

由：

對於 $|\cos\phi|=1/\sqrt{2}$ 的晶面：

利用 $\sqrt{6}=2.45$：

| 滑移面 | $|\cos\phi|$ | 解析剪應力大小 | $[1\bar{1}1]$ 是否位於面內 |
|---|---:|---:|---|
| $(110)$ | $1/\sqrt{2}$ | $4.08\ \text{MPa}$ | 是 |

核心觀念

本題考查 X 光繞射的布拉格定律、晶體取向與粉末繞射的隨機取向效應。

布拉格定律為

其中 $d_{hkl}$ 是 $(hkl)$ 晶面的間距，$\theta$ 是入射 X 光與晶面的夾角。

在一般 $0$–$2\theta$ 的對稱式 XRD 掃描中，樣品表面固定，入射角與偵測角同步改變。因此，主要能被偵測到的是：

與樣品表面平行的晶面。

對立方晶體而言，

所以 $(400)$ 晶面的間距為

矽為鑽石立方結構，$(400)$ 反射屬於允許繞射峰，並非系統性消光峰。

解題方法：比較單晶晶圓與多晶矽的晶粒取向

1. 單晶矽晶圓的情況

題目給的是 $(100)$ 矽晶圓，表示晶圓表面法線方向為 $[100]$，因此與表面平行的晶面就是 $(100)$ 晶面及其週期性晶面。

$(400)$ 與 $(100)$ 具有相同的晶面方向，因為其法線皆沿著 $[100]$ 方向。因此，$(400)$ 晶面平行於晶圓表面：

在對稱式 $0$–$2\theta$ 掃描中，晶圓表面上的絕大多數晶格都具有相同取向，且 $(400)$ 晶面同時滿足布拉格條件。也就是說：

• 幾乎整個受 X 光照射的單晶區域都具有正確取向；
• 大量晶格平面同時參與 $(400)$ 繞射；
• 繞射波具有高度方向性，並在探測器方向上集中。

因此，$(400)$ 峰的峰高非常大。

2. 多晶矽樣品的情況

多晶矽由許多不同取向的晶粒組成。雖然每一個晶粒內部都可能存在 $(400)$ 晶面，但各晶粒的晶向彼此隨機。

在固定的 $0$–$2\theta$ 幾何條件下，只有少數晶粒的 $(400)$ 晶面恰好與樣品表面平行，並能滿足布拉格條件：

其他晶粒的 $(400)$ 晶面方向偏離正確角度，無法將繞射光送入目前的偵測器方向。因此，來自 $(400)$ 晶面的繞射強度被分散到不同空間方向，固定偵測器在單一掃描路徑上只能收集其中很小一部分。

為何會相差數個數量級？

原子種類、晶格常數與結構因子基本上相同，因此單晶與多晶矽的 $(400)$ 單一晶面繞射能力並沒有本質上的巨大差異。強度差異主要來自晶粒取向分布。

繞射峰強度可概念性地表示為

核心觀念

本題考查晶體繞射中的結構因子。結構因子描述同一個單位晶胞內，各原子散射波因相位差所產生的總和，定義為

其中：

• $F_{hkl}$：$(hkl)$ 晶面的結構因子
• $f_j$：第 $j$ 個原子的原子散射因子
• $(x_j,y_j,z_j)$：第 $j$ 個原子在單位晶胞中的分數座標
• $h,k,l$：Miller indices

銅為面心立方結構（FCC），一個慣用晶胞中的等效晶格點位置為

所有原子皆為 Cu，因此其原子散射因子均可寫成 $f_{\mathrm{Cu}}$。

解題方法

將 FCC 的四個晶格點代入結構因子公式。一般而言，FCC 的結構因子為

因為

其餘兩項同理。

對於 $\{111\}$ 晶面，可取代表性的 $(111)$ 反射，即

因此

由於

所以

得到

核心觀念

本題考查二元相圖的判讀：

• 兩相區：相圖中由兩種相共存的區域。
• 三相反應：在固定溫度與組成下，三種相同時平衡，常見反應包括共晶反應。
• 槓桿定則：用於計算兩相區內各相的平衡莫耳分率：

其中 $C_0$ 為合金總組成，$C_{\alpha}$、$C_{\beta}$ 為等溫線兩端兩相的組成。

解題方法與判讀

（a）兩相區數量

由 Figure 3 可辨識出下列兩相區：

1. Liquid + Ni-fcc
2. Ni-fcc + MgNi$_2$
3. Liquid + MgNi$_2$
4. MgNi$_2$ + Mg$_2$Ni
5. Liquid + Mg$_2$Ni
6. Mg$_2$Ni + Mg-hcp
7. Liquid + Mg-hcp

因此共有：

（b）三相反應及反應類型

相圖中有三個水平不變反應點，皆為共晶反應：

1. 在 $1379\ \mathrm{K}$：

為 共晶反應（eutectic reaction）。

2. 在 $1033\ \mathrm{K}$：

為 共晶反應。

3. 在 $784\ \mathrm{K}$：

為 共晶反應。

$1424\ \mathrm{K}$ 處為 MgNi$_2$ 的一致熔化點，屬於：

這不是三相反應，因此不列入（b）。

（c）40 mole% Mg、1200 K 時的平衡相與莫耳分率

核心觀念

磷（P）是矽（Si）的五價雜質，取代矽原子後會多提供一個自由電子，因此屬於施體雜質（donor）。題目已假設所有磷原子皆游離，故施體濃度為

室溫下半導體符合電中性條件，且電子與電洞濃度滿足質量作用定律：

其中

材料的電導率為

其中 $q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$，$\mu_n$ 與 $\mu_p$ 分別為電子與電洞遷移率。

解題方法

（a）判斷材料類型

磷為施體雜質，游離後會提供額外電子，使電子濃度大幅增加。因此材料中的多數載子為電子，屬於 n 型半導體。

在沒有受體雜質的情況下，電中性條件為

由於 $N_D\gg n_i$，可直接判定

因此：

（b）計算電導率

1. 電子濃度

由於所有磷原子皆游離，且施體濃度遠大於本質載子濃度：

所以

2. 電洞濃度

利用質量作用定律：

因此

代入數值：

可見電洞濃度遠小於電子濃度，符合 n 型半導體的特徵。

3. 電導率

題目給定

故

代入 $n=1.0\times10^{15}$ 與 $p=1.0\times10^5$：