114 年 國立中山大學材料與光電科學學系前瞻應用材料碩士班《材料科學導論》

本題主要考驗學生對光纖結構、半導體雷射原理、發光現象 (Luminescence) 的基本認識，以及螢光 (Fluorescence) 與磷光 (Phosphorescence) 的區別。

題幹要求選出「不正確」的敘述。我們逐一檢視：

(A) 光纖的結構包含核心 (core)、包覆層 (cladding) 及保護塗層 (coating)。為了有效約束光線在核心中傳播，包覆層的折射率必須略低於核心的折射率，這樣才能利用全反射原理。此敘述中提到「cladding must have a slightly higher refractive index than the core」，這是錯誤的。包覆層的折射率應低於核心。

本題考查材料的透明度與微觀結構之間的關係，特別是影響光散射的因素。題幹要求找出「不會」導致材料變得半透明或不透明的原因。

材料的透明度與光線的傳播路徑有關。當光線穿過材料時，如果材料內部存在界面或缺陷，光線就可能發生散射，進而降低材料的透明度，使其呈現半透明或不透明的狀態。

我們逐一分析各選項：

(A) 多晶體形式 (Polycrystalline form)：單晶材料通常具有較高的透明度。然而，當材料變成多晶體時，晶粒與晶粒之間的界面 (grain boundaries) 會成為光線散射的來源。光線在通過這些晶界時會發生偏折和散射，導致材料變得半透明或不透明。因此，多晶體形式會導致材料變得不透明。

(B) 空位濃度 (Vacancies in an equilibrium concentration)：空位 (vacancies) 是晶體結構中的一種點缺陷。在平衡濃度下，空位的數量通常相對較少，且其尺寸與原子相當。

核心觀念

本題考查電磁輻射與材料中原子、離子及電子的交互作用，重點包括：

1. 電子極化（electronic polarization）
   外加電磁波的電場使原子中的電子雲相對於原子核發生微小位移，形成感應偶極矩。材料的折射與部分光吸收皆與此作用有關。

2. 電子激發（electron excitation）
   電子吸收電磁輻射的能量後，可由較低能階躍遷至較高能階。所需能量滿足：

   $\Delta E = h\nu$

   其中 $h$ 為普朗克常數，$\nu$ 為電磁波頻率。

3. 折射與反射
   光由一透明介質進入另一折射率不同的介質時，界面會產生反射與折射。垂直入射時，反射率可表示為：

   $R=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$

   只要 $n_1\neq n_2$，便會有部分光線被反射。

4. 金屬的不透明性
   金屬內有大量自由電子，入射光會使自由電子集體響應。光能主要在金屬表面極薄的區域內被吸收，並以熱能及再輻射等形式耗散。此作用深度通常小於 $1\,\mu\text{m}$，而非大於 $1\,\mu\text{m}$。

解題方法

題目問「不正確」的敘述，因此逐項檢查各選項是否符合電磁輻射與材料交互作用的基本物理。

判斷金屬選項時，特別注意光在金屬中的有效穿透深度。金屬的自由電子會強烈屏蔽電磁波，使光只能進入表面極薄層，通常以奈米至數百奈米為主，遠小於 $1\,\mu\text{m}$。因此，凡是將金屬的吸收與再放射描述成發生在「超過 $1\,\mu\text{m}$ 厚」表面層內的敘述，即不符合實際情形。

選項分析

(A) 正確

電子極化會改變材料對電磁波的響應，使光在材料中的傳播速度與真空不同，因而產生折射。

此外，若電磁波頻率與材料內電子的能階差或振動響應相匹配，材料便會吸收部分光能。因此，電子極化的結果可包含：

• 光的折射；
• 特定頻率光的吸收。

本題考查磁性材料中的幾種重要能量概念，包括磁疇壁能、靜磁能、磁致伸縮能以及交換耦合能。題幹要求選出「不正確」的敘述。

我們逐一分析選項：

(A) 磁疇壁能 (Domain wall energy)：磁疇壁是磁性材料中相鄰磁疇（具有不同磁化方向的區域）之間的過渡區域。在這個區域內，磁矩的取向是逐漸變化的。這種磁矩的逐漸變化需要能量來克服，這就是磁疇壁能。它與磁矩取向的梯度有關。此敘述正確。

(B) 靜磁能 (Magnetostatic energy)：靜磁能（也稱為 shape anisotropy energy 或 demagnetization energy）是指由於材料的形狀而產生的磁矩與外部磁場或內部磁場之間的相互作用勢能。它與磁矩在外部或內部磁場中的取向有關，但更精確地說，它是磁矩與其自身產生的退磁場之間的相互作用勢能。說它是「儲存在外部磁場中」不夠精確，更準確的說法是磁矩與其自身產生的磁場（或外部磁場）之間的相互作用能。然而，相較於其他選項，這個描述還可以被接受，因為外部磁場確實會影響靜磁能。但我們需要仔細比較。

(C) 磁致伸縮能 (Magnetostrictive energy)：磁致伸縮是指材料在磁場作用下發生形變，或者在形變作用下產生磁化的現象。磁致伸縮能是材料由於磁化而引起的晶格應變所儲存的能量。這種能量是材料磁化狀態與其晶格形變之間耦合的結果。此敘述正確。

本題考查不同材料的磁化率 (magnetic susceptibility, $\chi_m$) 的數值及其對應的磁性分類（抗磁性、順磁性、反鐵磁性、鐵磁性）。題幹要求選出「不正確」的敘述。

磁化率 $\chi_m$ 定義了材料在外加磁場 $H$ 下的磁化強度 $M$ 的大小，關係式為 $M = \chi_m H$。

• 抗磁性 (Diamagnetism)：$\chi_m < 0$ 且值很小 (通常在 $10^{-5}$ 到 $10^{-6}$ 的數量級)。材料會被磁場排斥。
• 順磁性 (Paramagnetism)：$\chi_m > 0$ 且值很小 (通常在 $10^{-5}$ 到 $10^{-3}$ 的數量級)。材料會被磁場吸引。
• 反鐵磁性 (Antiferromagnetism)：$\chi_m > 0$ 且值通常比順磁性材料大，但通常小於鐵磁性材料。在低溫下，相鄰的磁矩反向排列，但總磁矩為零。
• 鐵磁性 (Ferromagnetism)：$\chi_m >> 0$ 且值非常大 (通常在 $10^3$ 到 $10^6$ 或更高)。材料會被磁場強烈吸引，並且在沒有外加磁場時也能保持磁性（剩磁）。

我們逐一檢驗各選項的敘述：

(A) 矽 (Silicon, Si)：矽是半導體材料，其原子最外層電子填充的軌域是飽和的。當施加外磁場時，原子核外的電子雲會產生感應磁矩，其方向與外磁場相反，因此矽是抗磁性材料。其磁化率通常在 $-1 \times 10^{-5}$ 的數量級。

核心觀念

本題考查三個熱物理與材料性質：

1. 不同材料的線膨脹係數比較。
2. 固體中的熱傳導機制。
3. Debye 模型下固體熱容量與溫度的關係。
4. 線性熱膨脹公式的應用。

常用公式如下：

• 線性熱膨脹：

$$\Delta L=\alpha L_0\Delta T$$

其中 $\alpha$ 為線膨脹係數，$L_0$ 為初始長度，$\Delta T$ 為溫度變化。

• 高於 Debye 溫度時，理想晶體的定容熱容量遵守 Dulong–Petit 定律：

$$C_V\approx 3R$$

解題方法

逐一檢查各選項的物理敘述，並以正確的材料科學定律或公式判斷。此題只有一個正確選項，因此只要找出符合固體熱傳導基本機制的敘述即可。

選項分析

（A）Polymeric materials typically exhibit thermal expansion coefficients lower than those of ceramics.

聚合物的線膨脹係數通常比陶瓷大，而不是較低。

聚合物分子鏈之間主要透過較弱的凡得瓦力或交聯結構維繫，溫度升高時分子鏈容易產生較大的振動、轉動與構形變化，因此熱膨脹通常較明顯。

陶瓷具有強烈的離子鍵或共價鍵，原子間鍵結剛性大，熱振動造成的平均鍵長變化較小，因此線膨脹係數通常較低。

典型趨勢為：

$$\alpha_{\text{polymer}}>\alpha_{\text{metal}}>\alpha_{\text{ceramic}}$$

所以（A）錯誤。

（B）For solid materials, heat is transported by free electrons and by phonons.

對固體而言，熱能主要透過自由電子與晶格振動傳遞。

• 在金屬中，自由電子數量多，電子可攜帶能量，因此熱傳導主要由自由電子負責。
• 在陶瓷、半導體及大多數非金屬固體中，自由電子數量少，熱能主要藉由晶格振動的量子化形式，也就是 phonons（聲子）傳遞。

固體的熱傳導率可概念性表示為電子貢獻與聲子貢獻之和：

$$k=k_e+k_{ph}$$

其中 $k_e$ 為自由電子熱傳導貢獻，$k_{ph}$ 為聲子熱傳導貢獻。

因此（B）正確。

（C）Above the Debye temperature, the heat capacity (Cv) becomes nearly temperature-independent and approaches a value of approximately 2R, where R

核心觀念

本題旨在考查陶瓷材料中的點缺陷（Point Defects in Ceramics）與電荷守恆原理（Electroneutrality Principle）。

1. 陶瓷中的固有缺陷（Intrinsic Defects）：

   • 弗蘭克爾缺陷（Frenkel Defect）：由一個陽離子空缺（cation vacancy）與一個陽離子填隙（cation interstitial）成對出現所組成，整體維持化學計量比與電中性。
   • 肖特基缺陷（Schottky Defect）：由一個陽離子空缺與一個陰離子空缺（依照化學計量比）成對出現所組成。

2. 雜質缺陷與電中性補償（Defect Compensation & Electroneutrality）：
   陶瓷（離子晶體）中存在強烈的庫侖靜電力，晶體內部必須維持嚴格的電中性。

   • 當不同價數的異價離子（Aliovalent Ion）進行取代固溶時，晶格會產生具有「有效電荷（Effective Charge）」的缺陷。
   • 為了維持整體電中性，晶體必須藉由產生異號有效電荷的點缺陷（如空缺或填隙離子）來平衡電荷：
     $\sum [\text{正有效電荷}] = \sum [\text{負有效電荷}]$

3. 非化學計量化合物（Non-stoichiometric Compounds）：
   具有可變價態陽離子（如過渡金屬離子 $\text{Fe}^{2+}/\text{Fe}^{3+}$）的陶瓷材料，常藉由價態改變來補償因金屬缺乏（金屬空缺）所造成的電荷不平衡。

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解題方法

判斷異價固溶時缺陷補償機制的關鍵在於有效電荷（Kröger-Vink Notation）的平衡：

1. 定義基底與溶質：
   基底為 $\text{NaCl}$（$\text{Na}^+$ 與 $\text{Cl}^-$），溶質為 $\text{CaCl}_2$（$\text{Ca}^{2+}$ 取代 $\text{Na}^+$）。

2. 計算取代後的有效電荷：
   二價的 $\text{Ca}^{2+}$ 取代一價的 $\text{Na}^+$ 格位，相對於正常晶格帶有 $+1$ 的有效正電荷，記為 $\text{Ca}_{\text{Na}}^{\bullet}$。

3. 推導電中性補償缺陷：
   為了抵消 $+1$ 的有效正電荷，晶格必須生成帶有 $-1$ 有效負電荷的缺陷。可能的補償機制為：

   • 生成一個一價鈉離子空缺 $\text{V}_{\text{Na}}'$（帶 $-1$ 有效負電荷）。
   • 或生成一個氯離子填隙 $\text{Cl}_i'$（帶 $-1$ 有效負電荷，但因陰離子半徑較大較難發生）。

   缺陷反應式為：
   $\text{CaCl}_2 \xrightarrow{\text{NaCl}} \text{Ca}_{\text{Na}}^{\bullet} + \text{V}_{\text{Na}}' + 2\text{Cl}_{\text{Cl}}^{\times}$

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選項分析

本題考查材料科學中的相圖 (phase diagram) 判讀，特別是針對耐火材料 (refractory materials) 的選擇。耐火材料的特性是需要在高溫下保持穩定，不易熔化或發生結構轉變。因此，在相圖中，我們尋找熔點最高或固相區範圍最廣的區域。

圖 1 是 Yb$_2$O$_3$-SiO$_2$ 的二元相圖。橫軸表示 SiO$_2$ 的莫耳百分比，縱軸表示溫度。圖中有幾個重要的固相化合物，如 Yb$_2$SiO$_5$ (1:1 比例)，Yb$_4$Si$_3$O$_{12}$ (4:3 比例)，Yb$_2$Si$_2$O$_7$ (1:2 比例)。

我們要判斷哪種成分最適合做為耐火材料。耐火材料的關鍵是其熔點要高，並且在工作溫度範圍內不發生明顯的相變。在相圖中，這通常對應於最高熔點的化合物或處於高熔點固相區域的成分。

我們來看各選項的成分在相圖中的位置和相變溫度：

(A) 10 mol% Yb$_2$O$_3$-90 mol% SiO$_2$：這點位於 SiO$_2$ 附近，靠近 SiO$_2$ 的熔點 (約 1700 °C)。在 SiO$_2$ 附近，存在 SiO$_2$ + liquid 或 SiO$_2$ + Yb$_2$Si$_2$O$_7$ 的區域。

(B) 30 mol% Yb$_2$O$_3$-70 mol% SiO$_2$：這點位於 Yb$_2$Si$_2$O$_7$ (1:2 比例) 的右側，靠近 Yb$_2$Si$_2$O$_7$ 的熔點。Yb$_2$Si$_2$O$_7$ 的熔點標示為 1700 °C。

核心觀念

本題考查晶體學中的 seven crystal systems（七大晶系），以及各晶系慣用的 unit cell geometry（單位晶胞幾何條件）。

單位晶胞以三條晶格軸長 $a,b,c$ 與三個晶格軸夾角 $\alpha,\beta,\gamma$ 描述：

• $a,b,c$：三條晶軸的長度
• $\alpha$：$b$ 軸與 $c$ 軸的夾角
• $\beta$：$a$ 軸與 $c$ 軸的夾角
• $\gamma$：$a$ 軸與 $b$ 軸的夾角

七大晶系依晶胞軸長與軸角的對稱關係分類。必須注意：晶系描述的是晶體的對稱性；晶格型式（如 primitive、body-centered、face-centered）則是另一種分類。

解題方法

作答時逐一列出七個晶系，並寫出其晶胞軸長與軸角關係。可依對稱性由高到低排列：

1. Cubic
2. Tetragonal
3. Orthorhombic
4. Hexagonal
5. Trigonal
6. Monoclinic
7. Triclinic

其中「$a\ne b\ne c$」表示三者彼此不相等；「$\alpha\ne\beta\ne\gamma$」表示三個角彼此不相等。

七大晶系與單位晶胞幾何

晶系英文名稱	中文名稱	軸長關係	軸角關係	單位晶胞幾何
Cubic	立方晶系	$a=b=c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	立方體
Tetragonal	四方晶系	$a=b\ne c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	具有正方形底面的直角柱體
Orthorhombic	正交晶系	$a\ne b\ne c$	$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	長方體
Hexagonal	六方晶系	$a=b\ne c$	$\alpha=\beta=90^\circ,\ \gamma=120^\circ$	六角柱體
Trigonal	三方晶系	$a=b=c$	$\alpha=\beta=\gamma\ne90^\circ$	菱方體（rhombohedron）
Monoclinic	單斜晶系	$a\ne b\ne c$	$\alpha=\gamma=90^\circ,\ \beta\ne90^\circ$	傾斜的平行六面體
Triclinic	三斜晶系	$a\ne b\ne c$	$\alpha\ne\beta\ne\gamma$，且通常皆不為 $90^\circ$	一般斜平行六面體

1. Cubic crystal system

$$a=b=c$$ $$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$$

三條晶軸等長且彼此垂直，因此晶胞為立方體。這是七大晶系中對稱性最高者。

2. Tetragonal crystal system

$$a=b\ne c$$ $$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$$

其中兩條水平晶軸等長，垂直方向晶軸長度不同，晶胞可視為正方形底面的直角柱體。

3. Orthorhombic crystal system

$$a\ne b\ne c$$ $$\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$$

三條晶軸長度均不同，但三軸仍互相垂直，幾何形狀為長方體。

4. Hexagonal crystal system

六方晶系通常採用四軸表示法，其中三條位於基面內的軸互成 $120^\circ$，第四軸垂直於基面。若採三軸表示法，則：

核心觀念

• 方向指數 $[uvw]$：取終點座標減起點座標，化為最小整數比。
• 晶面指數 $(hkl)$：先求晶面與 $x,y,z$ 軸的截距，再取截距倒數並化為最小整數比。
• 截距以晶格常數 $a,b,c$ 為單位表示。

一、方向指數

由圖可讀得方向箭頭：

• 起點位於 $x=a,\ y=0,\ z=0$，即 $(1,0,0)$；
• 終點位於 $x=0,\ y=b,\ z=c/3$，即 $(0,1,1/3)$。

因此方向分量為

$$\Delta x=0-1=-1,\qquad \Delta y=1-0=1,\qquad \Delta z=\frac13-0=\frac13$$

將其乘以 $3$ 化為最小整數比：

$$[-1,\ 1,\ 1/3]\times 3=[\bar{3},\ 3,\ 1]$$

所以方向指數為

$$[\bar{3}\ 3\ 1]$$

二、晶面指數

核心觀念

本題考查離子晶體的勢能平衡與體積彈性模數：

1. 平衡距離 $r_0$ 由勢能最低點決定，因此滿足
   $\left.\frac{dE}{dr}\right|_{r=r_0}=0.$

2. 體積彈性模數定義為
   $K=-V\frac{dP}{dV},$
   其中壓力
   $P=-\frac{dE}{dV}.$

對晶體而言，每一對離子的體積與晶格距離的三次方成正比，取單位比例關係為
$V=r^3.$

題目中的勢能可整理為
$E(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^n}.$

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解題方法：求平衡離子間距離 $r_0$

平衡位置是勢能曲線的極小值，因此令一階導數為零：

$$\frac{dE}{dr} =\frac{A}{r^2}-\frac{nB}{r^{n+1}}=0.$$

移項得

$$\frac{A}{r_0^2} =\frac{nB}{r_0^{n+1}}.$$

兩邊乘以 $r_0^{n+1}$：

$$Ar_0^{n-1}=nB.$$

因此平衡離子間距離為

$$\boxed{r_0=\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{n-1}}}.$$

由於通常 $A>0$、$B>0$ 且 $n>1$，此結果具有正的物理距離。

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解題方法：求體積彈性模數 $K$

先計算勢能的二階導數：

$$\frac{d^2E}{dr^2} =-\frac{2A}{r^3} +\frac{n(n+1)B}{r^{n+2}}.$$

在平衡位置，前面已知

$$nB=Ar_0^{n-1}.$$

因此

$$\frac{n(n+1)B}{r_0^{n+2}} = \frac{(n+1)Ar_0^{n-1}}{r_0^{n+2}} = \frac{(n+1)A}{r_0^3}.$$

所以

$$\left.\frac{d^2E}{dr^2}\right|_{r_0} = -\frac{2A}{r_0^3} +\frac{(n+1)A}{r_0^3} = \frac{(n-1)A}{r_0^3}.$$

接著由

$$V=r^3,\qquad \frac{dV}{dr}=3r^2$$

以及

核心觀念

本題旨在測驗**材料擴散（Diffusion in Solids）**中的「穩態擴散」基本定義與「費克定律（Fick's Laws）」的物理意義：

1. 擴散通量（Diffusion Flux, $J$）：單位時間內通過單位截面積的質量（或原子數），單位為 $\text{kg/(m}^2\cdot\text{s)}$ 或 $\text{atoms/(m}^2\cdot\text{s)}$。
2. 穩態擴散（Steady-State Diffusion）：當擴散系統中任意位置的擴散通量 $J$ 與濃度分布 $C(x)$ 均不隨時間改變時，即稱為穩態擴散。
3. 費克第一定律（Fick's First Law）：
   $J = -D \frac{dC}{dx}$
   適用於穩態擴散條件，其中 $D$ 為擴散係數，$\frac{dC}{dx}$ 為濃度梯度。
4. 費克第二定律（Fick's Second Law）：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$
   描述非穩態擴散中濃度隨時間的變化率。

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解題方法

1. 判斷擴散狀態：
   題目明確指出氫氣以定額速率（constant rate） $J = 6 \times 10^{-11}\text{ kg/(m}^2\cdot\text{s)}$ 從鋼槽向外洩漏。這表示通過鋼槽壁的質量通量 $J$ 保持恆定、不隨時間變化，系統已達到穩態擴散（Steady-State Diffusion）。

2. 穩態擴散之數學與物理意義：
   依據穩態擴散的定義，材料內部各位置（包含槽壁內表面、外表面及壁厚內部任一點）的濃度分布皆不隨時間改變，即濃度對時間的偏微分為零：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = 0$

核心觀念

三個晶界在三叉晶界交會處達到力平衡。每一個晶界能 $\gamma_{ij}$ 都可視為沿該晶界方向作用的界面張力，平衡條件為三個界面張力向量的合力為零。

若三個晶粒的夾角分別為 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$，則由正弦定理：

$$\frac{\gamma_{12}}{\sin\theta_3} = \frac{\gamma_{13}}{\sin\theta_2} = \frac{\gamma_{23}}{\sin\theta_1}$$

其中，某一晶界能所對應的是「該晶界對面的晶粒夾角」。

解題方法

由 Figure 3 估計三個晶粒夾角約為

$$\theta_1 \approx 120^\circ,\qquad \theta_2 \approx 135^\circ,\qquad \theta_3 \approx 105^\circ$$

因此：

$$\gamma_{12}:\gamma_{13}:\gamma_{23} = \sin\theta_3:\sin\theta_2:\sin\theta_1$$

代入數值：

本題考查材料力學中的應力、應變與彈性性質之間的關係，特別是楊氏模數 (Young's modulus)、卜松比 (Poisson's ratio) 以及應變的計算。題目給定了一個鎢 (tungsten) 圓柱形金屬棒在單軸拉伸下的情況，要求計算加載後的長度和直徑。

已知條件：

• 拉伸應力 ($\sigma_z$) = 560 MPa
• 未加載長度 ($L_0$) = 1000 mm
• 未加載直徑 ($d_0$) = 10 mm
• 楊氏模數 ($E$) = 400 GPa = $400 \times 10^3$ MPa
• 剪切模數 ($G$) = 160 GPa (此題為單軸拉伸，G 可能用不到，除非計算剪應變)
• 卜松比 ($\nu$) = 0.28
• 屈服應力 ($\sigma_y$) = 750 MPa

分析：
首先，需要判斷材料是否處於彈性變形範圍內。
施加的拉伸應力 $\sigma_z = 560$ MPa。
鎢的屈服應力 $\sigma_y = 750$ MPa。
由於 $\sigma_z < \sigma_y$ (560 MPa < 750 MPa)，所以材料處於彈性變形範圍內，可以使用虎克定律 (Hooke's Law)。

1. 計算加載後的長度：

在單軸拉伸下，沿著受力方向（縱向，這裡設為 z 方向）的應力為 $\sigma_z$。
由虎克定律，縱向應變 $\epsilon_z$ 為：
$\epsilon_z = \frac{\sigma_z}{E}$

代入數值：
$\epsilon_z = \frac{560 \text{ MPa}}{400 \times 10^3 \text{ MPa}} = \frac{560}{400000} = \frac{56}{40000} = \frac{7}{5000} = 1.4 \times 10^{-3}$

長度的變化量 $\Delta L$ 為：
$\Delta L = \epsilon_z \times L_0$
$\Delta L = (1.4 \times 10^{-3}) \times (1000 \text{ mm}) = 1.4 \text{ mm}$

加載後的長度 $L$ 為：
$L = L_0 + \Delta L = 1000 \text{ mm} + 1.4 \text{ mm} = 1001.4 \text{ mm}$

2. 計算加載後的直徑：

在單軸拉伸下，除了縱向應變 $\epsilon_z$ 外，還會產生橫向應變 (radial strain)。
卜松比 ($\nu$) 定義了橫向應變與縱向應變的比值：
$\nu = -\frac{\epsilon_{\text{transverse}}}{\epsilon_z}$
其中 $\epsilon_{\text{transverse}}$ 是橫向應變（例如徑向或周向應變）。
由於拉伸導致長度增加，直徑會減小，所以橫向應變是負的。

$\epsilon_{\text{transverse}} = -\nu \times \epsilon_z$
$\epsilon_{\text{transverse}} = -0.28 \times (1.4 \times 10^{-3})$
$\epsilon_{\text{transverse}} = -0.392 \times 10^{-3}$

直徑的變化量 $\Delta d$ 為：
$\Delta d = \epsilon_{\text{transverse}} \times d_0$
$\Delta d = (-0.392 \times 10^{-3}) \times (10 \text{ mm})$
$\Delta d = -3.92 \times 10^{-3} \text{ mm}$

加載後的直徑 $d$ 為：
$d = d_0 + \Delta d = 10 \text{ mm} - 3.92 \times 10^{-3} \text{ mm}$
$d = 10 \text{ mm} - 0.00392 \text{ mm}$
$d = 9.99608 \text{ mm}$

核心觀念

位錯在外加應力下的移動方向，由 Peach–Koehler 力決定：

$$\mathbf{f}=(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{b})\times\boldsymbol{\xi}$$

其中：

• $\mathbf{f}$：位錯每單位長度所受的力，也是位錯的移動方向；
• $\boldsymbol{\sigma}$：外加應力張量；
• $\mathbf{b}$：柏格斯向量；
• $\boldsymbol{\xi}$：位錯線方向。

圖中座標為 $x$ 軸向左下、$y$ 軸向右、$z$ 軸向上。由圖示可判定：

• Case 1、2 為刃型位錯，$\boldsymbol{\xi}\parallel y$；
• Case 3、4 為螺旋型位錯，$\boldsymbol{\xi}\parallel\mathbf{b}$；
• 圖中 $\mathbf{b}$ 與位錯線在 $x$–$z$ 平面內，方向可表示為
  $\mathbf{b}\parallel\boldsymbol{\xi}\parallel(\hat z-\hat x).$

解題方法

Case 1

外加剪應力為 $yz$ 平面上的剪應力：

$$\sigma_{yz}=\sigma_{zy}=\tau$$

由於 $\mathbf{b}$ 沒有 $y$ 分量，

$$\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{b}\parallel \hat y$$

而刃型位錯線方向亦為 $\boldsymbol{\xi}\parallel\hat y$，因此

$$\mathbf{f} =(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{b})\times\boldsymbol{\xi} \parallel\hat y\times\hat y=0$$

所以位錯不受 Peach–Koehler 力，不會移動。

Case 2

此時外加剪應力方向與 Case 1 相反，且作用於 $xz$ 平面：

$$\sigma_{xz}=\sigma_{zx}=-\tau$$

由 $\mathbf{b}\parallel(\hat z-\hat x)$，可得

核心觀念

本題考查二元相圖中的：

1. 液相冷卻時的初晶相形成。
2. 包晶反應（peritectic reaction）：
   $L+\alpha\rightarrow\beta$
   $L+\beta\rightarrow\gamma$
3. 共晶反應（eutectic reaction）：
   $L\rightarrow\beta+\gamma$
4. 慢速冷卻時依相圖達到接近平衡的相變化，以及在 $T_6$ 淬火後保留當時的相組成與組織形貌。

三條垂直線分別代表整體成分 $C_1$、$C_2$、$C_3$。判斷各試片的最終組織，必須沿著相應成分線由 $T_1$ 冷卻至 $T_6$，依序觀察所穿越的相區與反應線。

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$C_1$ 試片

由 $T_1$ 開始時，試片為均勻液相 $L$。冷卻後先進入 $L+\alpha$ 兩相區，因此會先形成初晶 $\alpha$。

當溫度降至 $T_2$，發生包晶反應：

$L+\alpha\rightarrow\beta$

由於整體成分正好為包晶成分 $C_1$，在足夠慢的冷卻與擴散條件下，原先形成的液相與 $\alpha$ 會完全轉變為 $\beta$。繼續冷卻至 $T_6$ 時，$C_1$ 位於單相 $\beta$ 區域。

因此，淬火前的組織為均勻的單相 $\beta$；由於淬火時沒有新的平衡相變化時間，淬火後仍可視為單相 $\beta$。

組織示意：

$$\beta\ \beta\ \beta\ \beta\ \beta$$

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$C_2$ 試片

由 $T_1$ 冷卻時，液相先進入 $L+\beta$ 兩相區，因此會析出初晶 $\beta$。

當溫度降至 $T_4$，剩餘液相發生共晶反應：

$L\rightarrow\beta+\gamma$

由於 $C_2$ 正好是共晶成分，整體液相在 $T_4$ 時會全部轉變為共晶組織，不會留下額外的初晶 $\beta$。所以最終組織為：

• $\beta+\gamma$ 細密共晶組織；
• $\beta$ 與 $\gamma$ 以層片狀或細小交錯方式分布；
• 不存在獨立粗大的初晶相。