115 年 國立中山大學材料與光電科學學系前瞻應用材料碩士班《材料科學導論》

此題考驗光與物質交互作用的基本現象。當可見光從空氣進入非晶質固體時，會發生反射、穿透、吸收、散射等現象。繞射（diffraction）是光波遇到障礙物或通過狹縫時，會偏離直線傳播而繞到障礙物陰影部分的現象。對於非晶質固體，其原子排列無序，無法像晶體一樣形成規則的繞射光柵，因此在一般情況下，可見光進入非晶質固體時，不會發生明顯的繞射現象。

此題探討影響材料透明度的微觀結構因素。透明材料的關鍵在於光能夠無阻礙地穿透，這要求材料結構均勻，且沒有會顯著散射或吸收光的結構特徵。

(A) 多晶微結構 (Polycrystalline microstructure)：晶粒界（grain boundaries）會引起光的散射，當晶粒尺寸小於光波長時，散射效應更加明顯，可能導致材料變得不透明。
(B) 雙相微結構 (Two-phase microstructure)：不同相之間的界面會引起光的散射和反射，如果兩種相的折射率差異較大，則會顯著降低透明度。

此題考查鐵磁性材料的磁性行為及其相關概念。題目要求找出不正確的敘述。

(A) 鐵磁性單晶的磁化行為是異向性的 (anisotropic)。這是正確的。鐵磁性材料在不同晶向上的磁化能不同，因此在相同外磁場下，磁化強度會沿著特定方向（易磁化方向）更容易達到飽和。
(B)Saturation magnetization ($M_s$) 在最低 $H$ 場下達成的晶向是易磁化方向 (easy magnetization direction)。這是正確的。易磁化方向是指磁疇壁移動或磁疇旋轉最容易發生的方向，在外磁場作用下，該方向的磁化強度最快達到飽和。
(C) 在居禮溫度 (Curie temperature, $T_C$) 以下，鐵磁性材料由磁疇組成，每個磁疇內部的淨磁偶極矩是整齊排列的，且磁化是飽和的。這句話有誤。

此題考查固體材料的熱容與能量吸收機制。題目要求找出不正確的敘述。

(A) 大部分固體材料吸收的能量主要用於增加原子的振動能量。這是正確的。在相對較低的溫度下，固體材料的熱容主要由晶格振動（聲子）貢獻。
(B) 只有特定的振動能量值是允許的；一個振動能量的量子稱為聲子 (phonon)。這是正確的。聲子是晶格振動的量子化表現，類似於光子的概念。
(C) 對於許多晶體固體，在接近絕對零度 (0 K) 時，在恆定體積下測得的熱容 ($C_v$) 與絕對溫度的立方成正比。這是正確的。這是德拜模型 (Debye model) 的一個重要結論，稱為德拜立方定律 (Debye T³ law)。

此題考查固體材料的熱膨脹現象。題目要求找出正確的敘述。

熱膨脹的根本原因是溫度升高導致原子振動幅度增加，平均原子間距增大，進而使宏觀尺寸增大。

(A) 長度變化率與溫度變化的立方成正比。這是錯誤的。通常，熱膨脹是近似與溫度變化成正比的，即 $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$，其中 $\alpha$ 是熱膨脹係數，$L_0$ 是初始長度，$\Delta T$ 是溫度變化。
(B) 熱膨脹反映了平均原子直徑的增加。這是正確的。

核心觀念

本題考查「電偶極、磁偶極與介電材料」的基本定義。

• 電偶極（electric dipole）：正、負電荷量相等而彼此分離，形成電偶極矩
  $\mathbf{p}=q\mathbf{d}$
  其中 $q$ 為電荷量，$\mathbf{d}$ 為由負電荷指向正電荷的位移向量。
• 磁偶極（magnetic dipole）：可由微觀電流迴路、電子自旋或軌道運動產生，磁偶極矩通常表示為
  $\boldsymbol{\mu}=IA\hat{\mathbf{n}}$
  其中 $I$ 為電流、$A$ 為迴路面積、$\hat{\mathbf{n}}$ 為面積法向量。
• 介電材料（dielectric material）：本質上是電絕緣體或低導電材料，具有束縛電荷；外加電場時，正負電荷中心發生微小位移，因而產生極化。極化強度可表示為
  $\mathbf{P}=\frac{\text{單位體積的偶極矩總和}}{}$

解題方法

本題直接比較各選項敘述與標準定義：

1. 判斷選項所描述的是電偶極還是磁偶極。
2. 判斷介電材料的主要性質是導電，還是絕緣與極化。
3. 只要敘述中的關鍵定義錯誤，該選項即不正確。

選項分析

(A) 錯誤

選項描述「在原子或分子尺度上，正、負電荷實體具有空間上的淨分離」。這正是電偶極的概念，而不是磁偶極。

正、負電荷分離會產生電偶極矩：

$\mathbf{p}=q\mathbf{d}$

此題考查半導體的基本性質，特別是本質半導體和摻雜半導體的區別。題目要求找出不正確的敘述。

(A) 對於本質半導體（intrinsic semiconductors），其導電性質來自純材料本身，電子和電洞的濃度相等。這是正確的。在純半導體中，熱激發產生的電子和電洞數量相等，即 $n_i = p_i$，其中 $n_i$ 是電子濃度，$p_i$ 是電洞濃度。
(B) 對於摻雜半導體（extrinsic semiconductors），其電氣行為由錯位（dislocations）決定。這是錯誤的。摻雜半導體的電氣行為主要由摻雜的雜質原子決定，雜質原子提供或接受電子，形成多數載流子（電子或電洞）。錯位是晶體結構中的缺陷，雖然會影響載流子遷移率，但並非決定其電氣行為的主要因素。

核心觀念

金屬腐蝕可依腐蝕形貌、發生位置及主導機制，分類為常見的九種形式：

1. 全面腐蝕（uniform attack）
2. 電偶腐蝕（galvanic corrosion）
3. 狹縫腐蝕（crevice corrosion）
4. 點蝕（pitting）
5. 晶界腐蝕（intergranular corrosion）
6. 選擇性溶出（selective leaching）
7. 沖蝕腐蝕（erosion-corrosion）
8. 應力腐蝕龜裂（stress corrosion cracking）
9. 氫脆（hydrogen embrittlement）

本題要求找出「不屬於上述九種金屬腐蝕形式」的選項。

解題方法

直接將各選項與金屬腐蝕的標準分類逐一比對即可。須注意，選項中的 Erosion 通常是 erosion-corrosion 的簡稱，指流體高速流動、固體微粒撞擊或氣泡破裂等機械作用，加速金屬腐蝕的現象。

選項分析

(A) Scission

Scission 並非金屬腐蝕的標準分類，也不在上述九種腐蝕形式之中。

在材料破壞或高分子材料領域，scission 可表示分子鏈斷裂；在一般力學語境中，也可指斷裂或分離。但它不是金屬因電化學反應所形成的特定腐蝕型態。

因此，(A) 為正確答案候選。

(B) Erosion

Erosion 本身是材料表面受到流體、砂粒、液滴或氣泡等沖刷而產生的機械磨耗；當此機械作用同時加速金屬的電化學溶解時，稱為沖蝕腐蝕（erosion-corrosion）。

沖蝕腐蝕屬於金屬腐蝕的九種形式之一，因此 (B) 不選。

(C) Pitting

此題考查陶瓷材料的定義和分類。陶瓷材料通常是指由金屬或類金屬元素與非金屬元素（如氧、氮、碳、硫等）組成的無機非金屬材料。它們通常具有高硬度、高熔點、耐腐蝕、絕緣性好等特點。

我們來分析各選項：
(A) 玻璃 (Glasses)：玻璃是一種無定形（非晶質）固體，主要成分是二氧化矽，屬於無機非金屬材料，是陶瓷材料的一種。
(B) 黏土 (Clays)：黏土是天然形成的含水鋁矽酸鹽礦物，是陶瓷製品（如磚塊、陶器）的重要原料，本身也屬於無機非金屬材料，可歸類為陶瓷。

此題考查陶瓷材料的力學性能特點及其原因。陶瓷材料通常表現出高抗壓強度但低抗拉強度，以及脆性斷裂的特點。

我們來分析各選項：
(A) 弱的原子間結合 (Weak interatomic bonding)：陶瓷材料通常由強的離子鍵和/或共價鍵構成，原子間結合力很強，這與「弱結合」的說法相反。強的結合力是陶瓷材料高硬度和高熔點的原因，但也意味著其斷裂韌性較低。
(B) 微觀缺陷的存在 (Presence of microscopic flaws)：這是陶瓷材料低抗拉強度和脆性的主要原因。陶瓷材料在製備和加工過程中容易產生微裂紋、孔洞等缺陷。這些缺陷在受拉應力時會起到應力集中作用，導致裂紋尖端應力急劇增大，在較低的總體應力下就可能引發裂紋擴展，導致脆性斷裂。相比之下，抗壓應力下，這些缺陷的影響較小。

此題考查固體形成過程中均勻成核和異質成核的熱力學原理。

(a) 均勻成核的臨界半徑 $r^*$ 與活化自由能 $\Delta G^*$

均勻成核是指在純液體中，由於原子熱運動的漲落，自發形成的微小固體核心。這個過程需要克服自由能的增加。

1. 自由能變化:
   當液體凝固成固體時，總的自由能變化 $\Delta G$ 包括兩個部分：

   • 體積自由能變化 ($\Delta G_v$)：由於從液態轉變為固態，體系釋放潛熱，體積自由能降低。每單位體積的自由能變化為 $\Delta G_v = \frac{\Delta G}{V} = -\frac{L_f}{T_m} \Delta T = -\frac{L_f \Delta T}{T_m}$，其中 $L_f$ 是熔化潛熱， $T_m$ 是平衡熔點，$\Delta T = T_m - T$ 是過冷度（$T$ 是實際溫度）。
   • 界面自由能變化 ($\Delta G_s$)：新形成的固體核心與周圍液體之間存在界面，需要增加界面自由能。對於一個半徑為 $r$ 的球形核心，界面自由能為 $\Delta G_s = 4\pi r^2 \gamma_{sl}$，其中 $\gamma_{sl}$ 是固液界面能。

   因此，形成半徑為 $r$ 的球形固體核心的總自由能變化為：
   $\Delta G(r) = \Delta G_v + \Delta G_s = \frac{4}{3}\pi r^3 \left(-\frac{L_f \Delta T}{T_m}\right) + 4\pi r^2 \gamma_{sl}$
   為了簡化，我們通常將 $\Delta G_v$ 表示為每單位體積的自由能變化，即 $\Delta g = -\frac{L_f \Delta T}{T_m}$。
   則 $\Delta G(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \Delta g + 4\pi r^2 \gamma_{sl}$。

2. 臨界半徑 $r^*$:
   要使核心穩定形成並繼續長大，自由能變化必須達到一個極大值，然後才能降低。這個極大值對應的半徑稱為臨界半徑 $r^*$。我們通過對 $\Delta G(r)$ 對 $r$ 求導並令其為零來找到極值：
   $\frac{d(\Delta G)}{dr} = 4\pi r^2 \Delta g + 8\pi r \gamma_{sl} = 0$
   $4\pi r^2 \Delta g = -8\pi r \gamma_{sl}$
   $r \Delta g = -2 \gamma_{sl}$
   $r^* = -\frac{2\gamma_{sl}}{\Delta g} = \frac{2\gamma_{sl} T_m}{L_f \Delta T}$

3. 活化自由能 $\Delta G^*$:
   將臨界半徑 $r^*$ 代入自由能變化公式 $\Delta G(r)$ 中，得到成核所需的最小自由能，即活化自由能 $\Delta G^*$：
   $\Delta G^* = \Delta G(r^*) = \frac{4}{3}\pi (r^*)^3 \Delta g + 4\pi (r^*)^2 \gamma_{sl}$
   代入 $\Delta g = -\frac{2\gamma_{sl}}{r^*}$：
   $\Delta G^* = \frac{4}{3}\pi (r^*)^3 \left(-\frac{2\gamma_{sl}}{r^*}\right) + 4\pi (r^*)^2 \gamma_{sl}$
   $\Delta G^* = -\frac{8}{3}\pi (r^*)^2 \gamma_{sl} + 4\pi (r^*)^2 \gamma_{sl}$
   $\Delta G^* = \frac{4}{3}\pi (r^*)^2 \gamma_{sl}$
   再將 $r^*$ 的表達式代入：

此題考查物質的相變溫度差異及其原因，涉及分解、熔化、昇華等過程，以及分子結構和鍵能的影響。

(1) 分解溫度與熔化/昇華溫度的巨大差異的原因

物質的分解、熔化和昇華是不同的化學或物理過程，它們的發生需要克服的能量障礙不同。

• 分解 (Decomposition)：分解是指一個分子分解成更小的分子或原子。對於 CO2 分解成 CO 和 O2，以及 H2O 分解成 H2 和 O2，這涉及到破壞分子內部的化學鍵。CO2 分子中的 C=O 鍵（實際上是兩個雙鍵共振，或認為是共價鍵）和 H2O 分子中的 O-H 鍵都是非常強的共價鍵。要破壞這些強化學鍵，需要非常高的能量，因此分解溫度非常高（>1700 °C）。
• 熔化 (Melting)：熔化是固體轉變為液體的過程，涉及到克服分子之間的較弱的分子間作用力（如范德華力、偶極-偶極相互作用），而分子內部的化學鍵保持不變。
• 昇華 (Sublimation)：昇華是固體直接轉變為氣體的過程，同樣涉及到克服分子間的作用力。

原因:
分解過程需要破壞分子內部的強化學鍵（共價鍵），而熔化和昇華過程僅需克服分子之間的較弱分子間作用力（如范德華力、偶極-偶極作用、氫鍵）。化學鍵的鍵能遠大於分子間作用力的能量，因此破壞化學鍵所需的溫度遠高於克服分子間作用力所需的溫度。

例如，CO2 分子中的 C=O 鍵能很高，而 CO2 分子之間的范德華力（主要是倫敦分散力）相對較弱。因此，CO2 分子本身不易分解，但分子間的吸引力較弱，容易在較低的溫度下克服而發生昇華。

(2) CO2 的昇華溫度遠低於冰的熔化溫度的原因

這個問題涉及到 CO2 和 H2O 分子結構、分子量以及分子間作用力的差異。

此題考查晶體學中的方向和晶面指數計算，以及 X 光繞射的基本原理。

已知條件:

• 晶體結構：面心立方 (FCC)
• 晶格常數 $a = 0.3524$ nm
• X 光波長 $\lambda = 0.1541$ nm

(a) 計算方向 [110] 和 [211] 之間的夾角

對於立方晶系，方向向量 $\vec{u} = [u_1 u_2 u_3]$ 和 $\vec{v} = [v_1 v_2 v_3]$ 之間的夾角 $\theta$ 可以通過方向向量的點積來計算：
$\cos\theta = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}$

在這裡，方向向量分別是 $\vec{u} = [110]$ (即 $u_1=1, u_2=1, u_3=0$) 和 $\vec{v} = [211]$ (即 $v_1=2, v_2=1, v_3=1$)。

代入公式：
$\cos\theta = \frac{(1)(2) + (1)(1) + (0)(1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$
$\cos\theta = \frac{2 + 1 + 0}{\sqrt{1 + 1 + 0} \sqrt{4 + 1 + 1}}$
$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{2} \sqrt{6}}$
$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{12}}$
$\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

因此，夾角 $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$。

公式:
$\cos\theta = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}$

(b) 計算 (220) 晶面的 d-spacing

對於立方晶系，晶面 (hkl) 的 d-spacing ($d_{hkl}$) 與晶格常數 $a$ 和晶面指數 (hkl) 的關係為：
$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$

在這裡，晶面指數是 (220)，即 $h=2, k=2, l=0$。

代入公式：
$d_{220} = \frac{a}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2}}$
$d_{220} = \frac{a}{\sqrt{4 + 4 + 0}}$
$d_{220} = \frac{a}{\sqrt{8}}$
$d_{220} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$

將 $a = 0.3524$ nm 代入：

此題考查鋼的等溫轉變圖 (Isothermal Transformation Diagram, IT Diagram) 的應用，用於預測不同熱處理條件下鋼的最終顯微組織。題目提供了 4340 合金鋼的 IT 圖（圖 1）。

已知資訊:

• 鋼種：4340 合金鋼
• 奧氏體化溫度：870 °C (通常在 A3 線上方，確保完全奧氏體化)
• 圖例：A: 沃斯田鐵 (Austenite), F: 肥粒鐵 (Ferrite), P: 波來鐵 (Pearlite), B: 變韌鐵 (Bainite), M: 麻田散鐵 (Martensite)

各步驟分析:

(a) 處理過程:

1. 奧氏體化: 在 870 °C 持續 3600 秒 (1 小時)。從圖上看，870 °C 遠高於 A3 線，此時鋼材為純奧氏體 (A)。
2. 等溫冷卻至 650 °C: 快速冷卻到 650 °C。
3. 在 650 °C 保溫 3600 秒 (1 小時):
   • 觀察 IT 圖。在 650 °C 溫度線上，尋找 3600 秒 (10^3.6 秒) 的位置。
   • 在 650 °C，轉變開始線（通常是 1% 奧氏體轉變）大約在 10 秒左右。
   • 在 650 °C，轉變結束線（通常是 99% 奧氏體轉變）大約在 10^3.5 秒（約 3162 秒）左右。
   • 由於保溫時間為 3600 秒，這意味著奧氏體在 650 °C 已經完全轉變。
   • 觀察 650 °C 附近的相區。在該溫度下，奧氏體首先轉變為波來鐵 (Pearlite, P)。在較低的溫度下，波來鐵的片層間距變小，稱為細波來鐵 (fine pearlite)；在較高的溫度下，片層間距變大，稱為粗波來鐵 (coarse pearlite)。650 °C 處於高溫波來鐵區。
   • 圖中顯示，在 650 °C，奧氏體轉變為波來鐵 (P)。
4. 冷卻至室溫: 將完全轉變後的組織冷卻到室溫。在 650 °C 完全轉變為波來鐵後，再冷卻到室溫，不會發生新的相變（假設沒有殘留奧氏體）。

最終組織: 主要為波來鐵 (Pearlite, P)。

(b) 處理過程:

1. 奧氏體化: 在 870 °C 持續 3600 秒，得到純奧氏體 (A)。
2. 等溫冷卻至 400 °C: 快速冷卻到 400 °C。
3. 在 400 °C 保溫 200 秒:
   • 觀察 IT 圖。在 400 °C 溫度線上，尋找 200 秒 (10^2.3 秒) 的位置。
   • 在 400 °C，轉變開始線（通常是 1% 奧氏體轉變）大約在 10 秒左右。

此題考查固態擴散問題，特別是表面濃度突然改變時，材料內部某一點濃度隨時間變化的問題。這屬於非穩態擴散問題，通常使用菲克第二定律的解來處理。

已知條件:

• 初始碳濃度（體積平均）: $C_0 = 0.1$ wt%
• 表面碳濃度（恆定）: $C_s = 1.1$ wt%
• 目標位置：距離表面 $x = 0.1$ mm $= 0.1 \times 10^{-3}$ m
• 目標碳濃度：$C(x,t) = 0.6$ wt%
• 擴散溫度：$T = 950$ °C
• 擴散係數：$D = 1.6 \times 10^{-11} \text{ m}^2/\text{s}$

問題:
估計達到目標濃度所需的時間 $t$。

解題思路:
此問題符合邊界條件為表面濃度突然改變的非穩態擴散問題。其解可以用高斯誤差函數 (Error function, erf) 或互補誤差函數 (Complementary error function, erfc) 來表示。

菲克第二定律的無限體擴散解，當邊界條件為 $C(x=0, t) = C_s$ (恆定)，初始條件為 $C(x, t=0) = C_0$ (恆定) 時，內部某一點的濃度 $C(x,t)$ 為：
$C(x,t) = C_0 + (C_s - C_0) \text{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$

其中：

• $C(x,t)$ 是在距離表面 $x$、$t$ 時間時的濃度。
• $C_0$ 是初始濃度。
• $C_s$ 是表面濃度。
• $x$ 是距離表面的深度。
• $D$ 是擴散係數。
• $t$ 是時間。
• $\text{erfc}(u)$ 是互補誤差函數，定義為 $\text{erfc}(u) = 1 - \text{erf}(u) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_u^\infty e^{-z^2} dz$。

計算步驟:

1. 代入已知數值:
   我們需要求解 $t$。將已知值代入公式：
   $0.6 = 0.1 + (1.1 - 0.1) \text{erfc}\left(\frac{0.1 \times 10^{-3} \text{ m}}{2\sqrt{(1.6 \times 10^{-11} \text{ m}^2/\text{s}) \times t}}\right)$
   $0.6 = 0.1 + 1.0 \times \text{erfc}\left(\frac{0.1 \times 10^{-3}}{2\sqrt{1.6 \times 10^{-11} t}}\right)$

2. 簡化方程:
   $0.5 = \text{erfc}\left(\frac{0.1 \times 10^{-3}}{2\sqrt{1.6 \times 10^{-11} t}}\right)$

3. 求解 erfc 的參數:
   我們需要找到 $\text{erfc}(u) = 0.5$ 時的 $u$ 值。查閱互補誤差函數表或使用近似方法。
   通常，$\text{erfc}(0) = 1$，$\text{erfc}(\infty) = 0$。
   對於 $\text{erfc}(u) = 0.5$， $u$ 的值大約在 0.4 到 0.5 之間。
   查表可得：

   • $\text{erfc}(0.4) \approx 0.5205$
   • $\text{erfc}(0.45) \approx 0.4753$
   • $\text{erfc}(0.42) \approx 0.5036$

此題考查金屬材料中位錯運動的滑移平面。滑移平面是位錯能夠滑移的晶面，其特徵是原子密度較高，且滑移方向（Burgers vector）必須位於該滑移平面內。題目給定了镍 (Ni) 的晶體結構，镍是面心立方 (FCC) 結構。

基本概念:

• Burgers vector ($\vec{b}$): 表示位錯引起的晶格畸變的量和方向。
• 滑移方向 (Slip direction): 位錯運動的方向，通常與 Burgers vector 平行。
• 滑移平面 (Slip plane): 位錯滑移發生的平面。
• FCC 結構: 在 FCC 結構中，原子密度最高的晶面是 $\{111\}$ 面族，滑移方向是 $<110>$ 方向族。

(a) 螺位錯，Burgers vector 為 [110]

對於 FCC 結構，Burgers vector 的形式通常是 $\frac{a}{2}<110>$。題目給定的 $\vec{b} = [110]$ 符合此形式。
滑移方向是 [110]。

要確定滑移平面，需要找到一個包含 [110] 方向的 FCC 結構中的高原子密度平面。在 FCC 結構中，常見的滑移平面是 $\{111\}$ 面族，即 (111), (11$\bar{1}$), (1$\bar{1}$1), ($\bar{1}$11)。

我們需要檢查 [110] 方向是否落在這些 $\{111\}$ 平面內。一個方向向量 $[u v w]$ 落在一個晶面 $(h k l)$ 內，當且僅當其點積為零：$uh + vk + wl = 0$。

1. 平面 (111):
   [110] $\cdot$ [111] = $(1)(1) + (1)(1) + (0)(1) = 1 + 1 + 0 = 2 \neq 0$。
   所以 [110] 不在 (111) 平面上。

2. 平面 (11$\bar{1}$):
   [110] $\cdot$ [11$\bar{1}$] = $(1)(1) + (1)(1) + (0)(-1) = 1 + 1 + 0 = 2 \neq 0$。
   所以 [110] 不在 (11$\bar{1}$) 平面上。

3. 平面 (1$\bar{1}$1):
   [110] $\cdot$ [1$\bar{1}$1] = $(1)(1) + (1)(-1) + (0)(1) = 1 - 1 + 0 = 0$。
   所以 [110] 在 (1$\bar{1}$1) 平面上。

4. 平面 ($\bar{1}$11):
   [110] $\cdot$ [$\bar{1}$11] = $(1)(-1) + (1)(1) + (0)(1) = -1 + 1 + 0 = 0$。
   所以 [110] 在 ($\bar{1}$11) 平面上。

因此，對於 Burgers vector 為 [110] 的螺位錯，滑移平面是 (1$\bar{1}$1) 和 ($\bar{1}$11)。
在 FCC 結構中，[110] 方向是滑移方向之一，而 (111) 是最常見的滑移平面。但是，[110] 方向也可能在其他平面上滑移，只要該方向向量與平面法向量的點積為零。

答案 (a): 滑移平面是 (1$\bar{1}$1) 和 ($\bar{1}$11)。

(b) 刃位錯，延伸方向為 [121]，Burgers vector 為 $\frac{1}{2}$[101]

對於 FCC 結構，Burgers vector 的形式是 $\frac{a}{2}<110>$。題目給定的 $\vec{b} = \frac{1}{2}[101]$ 是一個 Burgers vector。
刃位錯的位錯線（延伸方向）與 Burgers vector 是垂直的。然而，題目說「刃位錯 extending along [121] direction」。這句話有點歧義。通常，刃位錯的位錯線方向是指其延伸方向。
如果位錯線方向是 [121]，而 Burgers vector 是 $\frac{1}{2}[101]$，那麼這是一個混合位錯，因為位錯線方向和 Burgers vector 不垂直。

讓我們假設題目是想問：對於 Burgers vector 為 $\vec{b} = \frac{1}{2}[101]$ 的位錯，在 FCC 結構中，哪一個滑移平面包含這個 Burgers vector？
滑移方向是 [101]。

我們需要找到一個包含 [101] 方向的 FCC 結構中的高原子密度平面。同樣，考慮 $\{111\}$ 面族。

1. 平面 (111):
   [101] $\cdot$ [111] = $(1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2 \neq 0$。
   所以 [101] 不在 (111) 平面上。

2. 平面 (11$\bar{1}$):
   [101] $\cdot$ [11$\bar{1}$] = $(1)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0$。
   所以 [101] 在 (11$\bar{1}$) 平面上。