113 年 國立中山大學材料與光電科學學系碩士班《材料科學導論》

核心觀念

電子組態可用來判斷元素的原子序與週期表分類。

各軌域最多容納電子數為：

• $s$ 軌域：最多 $2$ 個電子
• $p$ 軌域：最多 $6$ 個電子
• $d$ 軌域：最多 $10$ 個電子

題目給出的電子組態為：

$$1s^2 2s^2 2p^6 3d^5 4s^1$$

電子總數為：

$$2+2+6+5+1=16$$

需注意題目電子組態的排列順序並非依照填入順序；其中 $3s^2$ 未列出，但依照完整電子組態判斷，應為：

$$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3d^5 4s^1$$

因此總電子數為：

$$2+2+6+2+5+1=18$$

不過，題目所列組態在標準化學題意中應視為鉻原子的電子組態：

$$\mathrm{Cr}: [\mathrm{Ar}]3d^5 4s^1$$

其中 $[\mathrm{Ar}]$ 代表氬的核心電子組態：

$$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$$

鉻的原子序為 $24$，完整電子組態為：

$$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$$

解題方法

判斷元素種類的關鍵，是觀察最外層與次外層的未填滿軌域。

鉻的電子組態可寫成：

$$[\mathrm{Ar}]3d^5 4s^1$$

其中 $3d$ 軌域尚未填滿，且具有 $5$ 個未成對電子。凡是原子或離子的電子組態具有未填滿的 $d$ 軌域，通常歸入過渡元素的判斷範圍。

鉻位於週期表第 4 週期、$d$ 區，屬於過渡金屬。其基態採用 $3d^5 4s^1$，而不是單純依填入順序預期的 $3d^4 4s^2$，原因是半滿的 $3d^5$ 組態具有較高穩定性。

因此正確選項為：

$$\boxed{\text{(D) a transition metal}}$$

選項分析

(A) an inert gas

惰性氣體的特徵是最外層電子殼層已填滿，例如：

此題考查材料中的化學鍵類型，特別是區分主要（初級）鍵與次級鍵。

主要（初級）化學鍵是指原子之間通過電子轉移或共用形成的強相互作用，它們決定了材料的基本結構和性質。主要鍵包括：

1. 離子鍵 (Ionic bond)：由電子從一個原子轉移到另一個原子而形成，通常發生在金屬和非金屬之間，例如 NaCl。
2. 共價鍵 (Covalent bond)：由原子之間共用電子對形成，通常發生在非金屬原子之間，例如 C-C 鍵、Si-O 鍵。
3. 金屬鍵 (Metallic bond)：由金屬原子失去價電子形成自由電子海，而原子核則形成陽離子晶格，自由電子與陽離子之間的靜電吸引力。

次級鍵（凡德瓦力，Van der Waals forces）是較弱的分子間作用力，包括倫敦分散力 (London dispersion forces)、偶極-偶極作用 (dipol

核心觀念

本題考查體心立方（body-centered cubic, BCC）晶體結構中，晶格常數 $a$ 與原子半徑 $r$ 的幾何關係。

在硬球模型中，BCC 晶胞的原子沿著「體對角線」彼此相切，因此：

• 體對角線長度為 $\sqrt{3}a$
• 一條體對角線上排列的原子半徑總長為 $4r$

故有：

$$\sqrt{3}a=4r$$

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解題方法

立方體邊長為 $a$，其體對角線長度由三維畢氏定理得到：

$$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$$

BCC 結構的體對角線通過：

1. 一個角落原子的中心；
2. 晶胞中心原子的中心；
3. 對角另一端角落原子的中心。

沿體對角線方向，三個原子彼此相切。若每個原子的半徑為 $r$，則整條體對角線包含：

$$r+2r+r=4r$$

因此：

$$4r=\sqrt{3}a$$

解得：

$$r=\frac{\sqrt{3}a}{4}$$

所以正確選項為 (B)。

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選項分析

• (A) $\frac{\sqrt{2}a}{4}$：錯誤。
  $\sqrt{2}a$ 是面心立方（FCC）結構的面對角線長度。

此題考查面心立方 (FCC) 結構中的原子位置和間隙位置 (interstitial site)。

FCC 結構的晶格常數為 $a$。
FCC 結構的原子通常位於晶格點上。FCC 的晶格點包括：

• 頂點：(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)
• 面心：($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 0), ($\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{2}$), (0, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$), ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, 1), ($\frac{1}{2}$, 1, $\frac{1}{2}$), (1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$) (這些是重複的，可以簡化為位於面中心的點)

FCC 結構中常見的間隙位置是：

1. 八面體間隙 (Octahedral interstitial site)：位於晶胞中心 ( $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$) 和每個棱的中點 ($\frac{1}{2}$, 0, 0), (0, $\frac{1}{2}$, 0), (0, 0, $\frac{1}{2}$) 等。
   • 晶胞中心：($\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$)

此題考查半導體的光學性質，特別是能隙 (bandgap) 與光吸收之間的關係。

半導體對光的吸收與其能隙有關。當入射光子的能量大於或等於半導體的能隙時，電子可以吸收光子能量，從價帶躍遷到導帶，從而發生光吸收。如果光子的能量小於能隙，則無法引起電子躍遷，此時半導體對於該波長的光是透明的。

題目給定：

• 半導體：氧化亞銅 (Cuprous oxide)，Cu₂O
• 能隙 (Bandgap, $E_g$) = 2.1 eV
• 半導體是直接能隙 (direct bandgap)

我們需要找到在哪個波長範圍內，光子的能量大於或等於 2.1 eV，使得氧化亞銅對該波長的光不透明（即吸收光）。

首先，我們需要將能隙能量 (eV) 轉換為波長 (nm)。
光子的能量 $E$ 與波長 $\lambda$ 的關係為：
$E = \frac{hc}{\lambda}$
其中：

• $h$ 是普朗克常數 ($6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}$)
• $c$ 是光速 ($3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$)
• $\lambda$ 是波長 (m)

為了方便計算，我們可以使用一個常用的近似公式，將能量 (eV) 直接轉換為波長 (nm)：
$E \, (\text{eV}) = \frac{1240}{\lambda \, (\text{nm})}$
因此，$\lambda \, (\text{nm}) = \frac{1240}{E \, (\text{eV})}$

現在，我們計算出能隙能量 $E_g = 2.1 \, \text{eV}$ 所對應的波長 $\lambda_g$：
$\lambda_g = \frac{1240}{2.1 \, \text{eV}} \approx 590.48 \, \text{nm}$

這個波長 $\lambda_g$ 是半導體開始吸收可見光的臨界波長。

• 當光子的波長 $\lambda < \lambda_g$ 時，光子的能量 $E > E_g$，半導體會吸收光，呈現不透明。

此題考查光的折射現象及其相關原理。折射是光從一種介質進入另一種介質時，傳播方向發生改變的現象。

我們逐一分析每個選項：

(A) Light that is transmitted from vacuum into the interior of a transparent material experiences a decrease in velocity.
光在真空中的速度是最大的 ($c$)。當光進入任何一種介質（如玻璃、水等）時，其速度都會減慢。介質對光速的減慢程度由折射率 ($n$) 來描述，$v = c/n$。由於任何介質的折射率 $n > 1$，所以光在介質中的速度 $v < c$。因此，此敘述是正確的。

(B) Light beam is not bent at the interface.
折射的定義就是光在介質界面處傳播方向發生改變（彎曲）。如果光束在界面處不發生彎曲，那麼就不發生折射。這只有在光線垂直入射到界面上時才成立（入射角為 0 度）。

此題考查鐵磁性單晶體在居里溫度以下的磁行為。

鐵磁性材料在居里溫度 ($T_C$) 以下會表現出鐵磁性。在 $T < T_C$ 時，材料內部會自發地產生磁矩，但這些磁矩的方向在材料內部是隨機取向的，形成稱為磁疇 (magnetic domain) 的小區域。每個磁疇內部是飽和磁化的，但不同磁疇的磁化方向不同。

我們逐一分析選項：

(A) The $B$ (magnetic flux)-$H$ (magnetic field) behavior for the single crystal is isotropic.
各向同性 (Isotropic) 指的是性質在所有方向上都相同。鐵磁性單晶體在 $T < T_C$ 時，其磁化行為通常是各向異性 (anisotropic) 的，因為晶體結構本身會導致某些方向（易磁化方向, easy direction of magnetization）比其他方向更容易磁化。磁疇的形成和疇壁的移動會受到晶體取向的影響。因此，其磁滯迴線 (B-H 曲線) 的形狀會隨外加磁場方向相對於晶體軸的方向而變化，這表明磁行為不是各向同性的。此敘述「不是」正確的。

核心觀念

本題考查鐵磁體的磁區壁如何移動，以及晶體缺陷、晶界與晶粒尺寸對磁性和磁滯損失的影響。

磁區壁是相鄰磁區之間磁化方向逐漸轉變的區域，其寬度由交換作用與磁晶異向性能量的競爭決定。以單軸異向性材料的 180° 布洛赫磁區壁為例，常見的寬度尺度關係為

$$\delta \propto \sqrt{\frac{A}{K}}$$

其中 $A$ 是交換剛度常數，$K$ 是異向性常數。一般塊材鐵磁體的磁區壁可跨越許多原子間距，典型尺度約為數十至數百奈米；晶界則是相鄰晶粒間僅數個原子層左右的結構過渡區。兩者的厚度尺度並不相近。磁區壁尺度說明；磁區壁寬度與交換、異向性的關係

解題方法

先找出描述中與磁區壁尺度有關的敘述，再檢查其餘選項是否符合磁區壁受缺陷釘扎、磁滯與電磁鋼損失的基本原理。題目問「不正確」者，因此要選出與上述尺度差異相違背的敘述。

選項分析

此題考查半導體導電率的影響因素。

半導體的導電率 ($\sigma$) 取決於載流子濃度 ($n$ 或 $p$) 和載流子遷移率 ($\mu_n$ 或 $\mu_p$)：
$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$
其中 $q$ 是基本電荷，$n$ 是電子濃度，$p$ 是電洞濃度，$\mu_n$ 是電子遷移率，$\mu_p$ 是電洞遷移率。

我們逐一分析各選項的影響：

(A) Pressure (壓力)：
對於大多數半導體，壓力對導電率的影響相對較小，尤其是在常溫下。但是，壓力可以改變半導體的能帶結構，影響能隙大小和載流子遷移率。在某些情況下，壓力可以顯著影響導電率，例如通過改變帶隙或載流子有效質量。例如，在高壓下，某些半導體的能帶結構可能會發生改變，導致從直接帶隙轉變為間接帶隙，或者改變載流子的遷移率。然而，與溫度和摻雜相比，壓力的影響通常被認為是較小的，除非在非常高的壓力下。

(B) Carrier concentration (載流子濃度)：
載流子濃度是導電率最直接的決定因素之一。通過摻雜 (doping) 可以顯著改變載流子濃度。例如，n 型半導體中增加施體雜質，p 型半導體中增加受體雜質，都會大大提高對應載流子的濃度，從而提高導電率。因此，載流子濃度對導電率有顯著影響。

此題考查介電材料的電極化 (electric polarization) 類型。電極化是指在外加電場作用下，介質中正負電荷中心發生相對位移，導致介質產生宏觀電偶極矩的現象。

常見的電極化類型包括：

1. 電子極化 (Electronic polarization)：在外加電場作用下，原子中的電子雲相對於原子核發生位移，導致原子產生感應偶極矩。這種極化存在於所有介質中，且響應速度非常快。
2. 離子極化 (Ionic polarization)：在外加電場作用下，離子晶體中的陽離子和陰離子相互移動，導致晶格產生偶極矩。這種極化僅存在於離子化合物中。
3. 取向極化 (Orientation polarization)：在外加電場作用下，永久偶極矩的分子（如極性分子）的偶極矩在外加電場方向上發生取向。這種極化只存在於具有永久偶極矩的物質中，如水分子。

此題考查相圖 (phase diagram) 的判讀，特別是與固相反應（共晶、共析、包晶）和同質異象轉變 (congruent transformation) 相關的溫度-組成點及冷卻反應。

我們需要仔細觀察圖 1 的 Al-Ni 相圖，找出符合要求的相變點。

相圖判讀要點：

• 單相區 (Single-phase region)：標示為單一相名，如 L (液相), β₁, αTi, TiNi, Ni 等。
• 共晶反應 (Eutectic reaction)：液相在高於某溫度時分解為兩種固相。在相圖上表現為從液相區延伸出的水平線，該線上的點是共晶點，其反應形式為：$L \rightarrow S_1 + S_2$。
• 包晶反應 (Peritectic reaction)：一種固相與液相反應生成另一種固相。在相圖上表現為從液相區延伸出的水平線，其反應形式為：$S_1 + L \rightarrow S_2$。
• 共析反應 (Eutectoid reaction)：一種固相在高於某溫度時分解為兩種固相。在相圖上表現為從固相區延伸出的水平線，其反應形式為：$S_1 \rightarrow S_2 + S_3$。
• 同質異象轉變 (Congruent transformation)：固相或液相在某一溫度下發生轉變，但其化學組成不變。例如，純元素的熔點，或固溶體在某一溫度下發生晶型轉變而不改變組成。在相圖上通常表現為一條水平線，例如純金屬的熔點，或固溶體在某溫度下的相變點，其組成與兩側相同。

分析 Al-Ni 相圖：

1. 共晶反應 (Eutectic Reaction):
在 Al-Ni 相圖中，有一個明顯的共晶反應發生在液相區。

• 觀察圖中，在約 630°C 的水平線上，液相 L 與固相 αTi 反應生成固相 Ti₂Ni。
• 反應點：約 630°C，約 8 wt% Ni。
• 反應式（冷卻時）：$L \rightarrow \alpha Ti + Ti_2Ni$

2. 包晶反應 (Peritectic Reaction):
在 Al-Ni 相圖中，有一個包晶反應。

• 觀察圖中，在約 984°C 的水平線上，固相 αTi 與液相 L 反應生成固相 Ti₂Ni。
• 反應點：約 984°C，約 20 wt% Ni。
• 反應式（冷卻時）：$\alpha Ti + L \rightarrow Ti_2Ni$

3. 共析反應 (Eutectoid Reaction):
在 Al-Ni 相圖中，有一個共析反應。

• 觀察圖中，在約 88% Ni 的水平線上，固相 TiNi 分解為固相 Ti₂Ni 和 Ni。
• 反應點：約 88% Ni（溫度約在 1000°C 以上，具體溫度線段上標示為 942°C，但這個點並非共析點，而是 TiNi 的熔點。共析點在 TiNi 固相區內。圖中 942°C 標示的是 TiNi 的熔點。
  我們需要尋找 $S_1 \rightarrow S_2 + S_3$ 的反應。
  仔細觀察圖，在 TiNi 相區上方，有一個水平線段，標示了 942°C，這是 TiNi 的熔點。
  再往右看，在 Ti₂Ni 和 Ni 之間的區域，有一個共析反應。
  • 在約 765°C 的水平線上，固相 TiNi 分解為固相 Ti₂Ni 和 Ni。
  • 反應點：約 765°C，約 77 wt% Ni (圖中標示的 765°C 橫跨 TiNi 和 Ni 的區域，大致在 77 wt% Ni 附近)。
  • 反應式（冷卻時）：$TiNi \rightarrow Ti_2Ni + Ni$

4. 同質異象轉變 (Congruent Transformation):
同質異象轉變是指某個相在轉變時，其化學組成不變。

• TiNi 相的熔點: 圖中標示 942°C 是 TiNi 相的熔點。TiNi 是一個金屬間化合物，其熔點是同質異象熔化 (congruent melting)。
  • 反應點：942°C，約 50 wt% Ni (TiNi 的化學計量比)。
  • 反應式（冷卻時）：$TiNi(L) \rightarrow TiNi(S)$ (這裡 L 表示液相，S 表示固相)。
• Ni 的熔點: 圖中標示 1455°C 是純 Ni 的熔點，這是同質異象熔化。
  • 反應點：1455°C，100 wt% Ni。
  • 反應式（冷卻時）：$Ni(L) \rightarrow Ni(S)$。
• Ti 的熔點: 圖中標示 1670°C 是純 Ti 的熔點，這是同質異象熔化。
  • 反應點：1670°C，0 wt% Ni。
  • 反應式（冷卻時）：$Ti(L) \rightarrow Ti(S)$。

此題考查金屬在不同溫度下的熱膨脹現象。

金屬在受熱時會發生熱膨脹，導致其尺寸（長度、面積、體積）增加。這是因為溫度升高時，原子振動的幅度增加，原子間的平均距離隨之增大。

題目指出，金屬棒在 $0.95 T_m$ 時的長度比在 $0.2 T_m$ 時的長度要長。 $T_m$ 是熔點。
$0.95 T_m$ 遠高於 $0.2 T_m$，接近熔點。

熱膨脹的兩種主要原因：

1. 熱膨脹 (Thermal expansion)：
   這是最主要的原因。當溫度升高時，原子在其平衡位置周圍的振動幅度增加。由於原子間相互作用勢能曲線的非對稱性（通常是莫爾斯勢能曲線），原子振動幅度增加會導致原子間平均距離增大。根據熱膨脹公式：
   $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$
   其中 $\Delta L$ 是長度變化，$\alpha$ 是線膨脹係數，$L_0$ 是初始長度，$\Delta T$ 是溫度變化。
   在 $0.95 T_m$ 時，$\Delta T$ 相對於 $0.2 T_m$ 來說非常大，因此長度增加量 $\Delta L$ 會顯著增加。

2. 塑性變形 (Plastic deformation) / 蠕變 (Creep)：

此題考查晶體缺陷，特別是位錯 (dislocation) 的 Burgers 向量。題目給定 GaN 是六方晶體結構，並且是外延生長在藍寶石基板上。位錯是穿透型的 (threading dislocations)，且位錯線垂直於基板表面。

理解題目關鍵資訊：

• 材料: GaN (氮化鎵)，六方晶體結構。
• 結構: 六方晶系，通常採用 Wurtzite 結構。
• 外延生長: GaN 薄膜外延在藍寶石 (Sapphire, Al₂O₃) 基板上。
• 位錯類型: 刃型穿透位錯 (edge-type threading dislocations)。
• 位錯線方向: 垂直於基板表面 (0002)。
• 目標: 求 Burgers 向量。

Burgers 向量的定義：
Burgers 向量 $\vec{b}$ 代表了晶體中因位錯存在而引起的晶格畸變的總量和方向。它定義了一個閉合的 Burgers 迴路（在真實晶體中）與在相同大小和形狀的完美晶體中的迴路之間的差異。
對於刃型位錯，Burgers 向量垂直於位錯線。
對於螺型位錯，Burgers 向量平行於位錯線。
對於混合型位錯，則介於兩者之間。
題目明確指出是「刃型」位錯，所以 Burgers 向量 $\vec{b}$ 垂直於位錯線。

GaN 的晶體結構和 Burgers 向量：
GaN 採用 Wurtzite 結構，這是一種六方密堆積 (HCP) 的變種。其晶格參數通常為 $a \approx 0.3189 \, \text{nm}$ 和 $c \approx 0.5181 \, \text{nm}$。$c/a \approx 1.624$，接近理想 HCP ($c/a = \sqrt{8/3} \approx 1.633$)。
在 Wurtzite 結構中，常見的刃型位錯 Burgers 向量有兩種：

1. 基面位錯 (Basal dislocation)：沿著基面 (0001) 運動，其 Burgers 向量通常是 $\frac{1}{3}\langle 11\bar{2}0 \rangle$ 類型的向量。

   • 例如：$\vec{b} = \frac{a}{3} \langle 10\bar{1}0 \rangle$ 或 $\vec{b} = \frac{a}{3} \langle 11\bar{2}0 \rangle$。
     這類位錯的位錯線通常平行於六方晶系的 a-軸或 b-軸。

2. 稜柱位錯 (Prismatic dislocation)：沿著稜柱面（如 $\{10\bar{1}0\}$）運動。

   • 例如：$\vec{b} = \frac{a}{3} \langle 10\bar{1}0 \rangle$。

題目中的位錯線方向：
題目特別指出，位錯線是「垂直於基板表面 (0002)」。
在六方晶系中，(0002) 面是基面。所以，位錯線是垂直於基面的。
如果位錯線垂直於基面，那麼 Burgers 向量 $\vec{b}$ (對於刃型位錯，$\vec{b}$ 垂直於位錯線) 必定在基面內，即 $\vec{b}$ 必須是 $\langle uvwt \rangle$ 形式，其中 $t=0$。
最常見的基面位錯 Burgers 向量是 $\frac{a}{3} \langle 11\bar{2}0 \rangle$ 類型的向量。
例如，$\vec{b} = \frac{a}{3} [10\bar{1}0]$。
這個向量在基面內，並且其模長為 $a/3$。
另一個常見的 Burgers 向量是 $\frac{a}{3} [11\bar{2}0]$。

考慮 GaN 的情況：
GaN 的外延生長通常會產生與基板晶格失配引起的應力，從而產生位錯。
在 Wurtzite 結構中，最容易形成且對材料性質影響最大的位錯是基面位錯，其 Burgers 向量為 $\vec{b} = \frac{a}{3} [10\bar{1}0]$ 或 $\vec{b} = \frac{a}{3} [11\bar{2}0]$。
如果位錯線垂直於 (0002) 表面，那麼 Burgers 向量必須在 (0001) 基面內。
$\frac{a}{3} [10\bar{1}0]$ 向量在基面內。
$\frac{a}{3} [11\bar{2}0]$ 向量也在基面內。

題目進一步說明：
「An epilayer is a single-crystal thin film, and a threading dislocation is a dislocation extended straightly from the epilayer/substrate interface to the surface of the epilayer. In other words, the dislocation line is perpendicular to the substrate surface.」
基板表面是 (0002)，這在六方晶系中就是基面。所以位錯線垂直於基面。
對於刃型位錯，Burgers 向量 $\vec{b}$ 垂直於位錯線。
既然位錯線垂直於基面，那麼 Burgers 向量 $\vec{b}$ 必定在基面內。

此題考查非穩態擴散 (non-steady-state diffusion) 的濃度變化趨勢。

題目給定圖 2 顯示了一個非穩態擴散過程中的濃度分佈曲線。在時間 $t$，位置 $x$ 的濃度為 $C_x(t)$。我們需要預測在時間 $t+\Delta t$ 時，同一位置 $x$ 的濃度 $C_x(t+\Delta t)$ 與 $C_x(t)$ 的關係，並給出理由。

分析圖 2 的濃度分佈：
圖 2 顯示了一個擴散曲線，其中：

• $C_0$ 是擴散源的濃度，通常是恆定的。
• $C_s$ 是遠離擴散源的基體濃度，也通常是恆定的。
• 曲線顯示濃度從 $C_0$ 逐漸降低到 $C_s$。
• 擴散源通常位於界面處（例如 $x=0$）。
• $x$ 是距離擴散源的距離。
• 圖中標示了在時間 $t$，距離 $x$ 處的濃度為 $C_x(t)$。

非穩態擴散的特徵：
非穩態擴散是指擴散過程中，在給定位置的濃度隨時間而變化。這與穩態擴散不同，穩態擴散中濃度梯度不隨時間變化。
非穩態擴散通常由菲克第二定律 (Fick's second law) 描述：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$
其中 $C$ 是濃度，$t$ 是時間，$D$ 是擴散係數，$x$ 是位置。

判斷濃度變化趨勢：
我們需要判斷在位置 $x$ 處，隨著時間的推移，濃度是增加、減少還是保持不變。這取決於該點的二階導數 $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$ 的符號。

觀察圖 2 中的濃度曲線：

• 在曲線的右側（離擴散源較遠的位置 $x$），曲線是向下彎曲的（凹陷）。
• 向下彎曲意味著二階導數 $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$ 是負值。
• 根據菲克第二定律，$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$。
• 由於 $D$ 是正的，且 $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} < 0$，所以 $\frac{\partial C}{\partial t} < 0$。
• $\frac{\partial C}{\partial t} < 0$ 表示在該位置 $x$，濃度隨時間 $t$ 而降低。

此題考查從負荷-位移曲線 (load-displacement curve) 估算材料的力學性能參數，包括屈服強度、抗拉強度、均勻伸長率和總伸長率。

已知條件：

• 負荷-位移曲線 (Fig. 3)
• 樣本信息：
  • 量測寬度 (gauge width) = 10 mm
  • 厚度 (thickness) = 1 mm
  • 初始標距長度 (gauge length) = 40 mm

計算步驟：

1. 計算初始橫截面積 (Initial Cross-sectional Area, $A_0$)：
$A_0 = \text{gauge width} \times \text{thickness} = 10 \, \text{mm} \times 1 \, \text{mm} = 10 \, \text{mm}^2$

2. 計算應力 (Stress, $\sigma$) 和應變 (Strain, $\epsilon$)：

• 應力 $\sigma = \frac{\text{Load}}{\text{Initial Area}} = \frac{P}{A_0}$
• 應變 $\epsilon = \frac{\text{Displacement}}{\text{Initial Gauge Length}} = \frac{\Delta L}{L_0}$
  其中 $P$ 是負荷 (Load)，$\Delta L$ 是位移 (Displacement)，$L_0 = 40 \, \text{mm}$。

3. 從圖 3 讀取關鍵點和數值：

• 屈服強度 (Yield Strength, $\sigma_y$)：
  屈服強度是指材料開始發生顯著塑性變形時的應力。在負荷-位移曲線中，通常對應於曲線從線性區域（彈性變形）轉變到非線性區域（塑性變形）的點。有時會使用 0.2% 應變的偏置法定義屈服強度，但在此題中，我們直接從曲線的轉折點估算。
  觀察圖 3：

  • 曲線在起始階段是近似線性的。
  • 在大約負荷 3000 N 左右，曲線開始變得彎曲，斜率減小。
  • 在負荷約 3000 N，位移約 2 mm 處，是彈性區和塑性區的明顯轉折點。
  • 估計屈服負荷 $P_y \approx 3000 \, \text{N}$。
  • 屈服強度 $\sigma_y = \frac{P_y}{A_0} = \frac{3000 \, \text{N}}{10 \, \text{mm}^2} = 300 \, \text{N/mm}^2 = 300 \, \text{MPa}$。

• 抗拉強度 (Tensile Strength, $\sigma_{TS}$)：
  抗拉強度是指材料所能承受的最大應力，對應於負荷-位移曲線中的最高點。
  觀察圖 3：

  • 曲線的最高負荷點約出現在位移 7-8 mm 之間。
  • 估計最大負荷 $P_{max} \approx 7000 \, \text{N}$。
  • 抗拉強度 $\sigma_{TS} = \frac{P_{max}}{A_0} = \frac{7000 \, \text{N}}{10 \, \text{mm}^2} = 700 \, \text{N/mm}^2 = 700 \, \text{MPa}$。

• 均勻伸長率 (Uniform Elongation, $\epsilon_u$)：
  均勻伸長率是指材料發生頸縮 (necking) 之前的最大均勻塑性應變。

核心觀念

本題考查液體凝固時的均質成核理論。固體晶核形成後，系統自由能包含兩項：

• 體積自由能降低：$-V_s\Delta G_v$
• 固／液界面形成所增加的界面自由能：$A_{sl}\gamma_{sl}$

因此：

$$\Delta G=-V_s\Delta G_v+A_{sl}\gamma_{sl}$$

其中 $\Delta G_v$ 定義為液相與固相之間，每單位體積的自由能差，其正值代表固相較穩定。

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解題方法

假設形成半徑為 $r$ 的球形固體晶核，則：

$$V_s=\frac{4}{3}\pi r^3$$ $$A_{sl}=4\pi r^2$$

代入自由能變化式：

$$\Delta G(r) = -\frac{4}{3}\pi r^3\Delta G_v + 4\pi r^2\gamma_{sl}$$

晶核半徑增加時，體積項與 $r^3$ 成正比，會降低自由能；界面項與 $r^2$ 成正比，會增加自由能。臨界半徑即為自由能變化達到最大值的位置。

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(a) 求 $\Delta G_v$

在熔點 $T_m$，固、液兩相平衡。當溫度下降 $\Delta T$ 後，液相相對於固相的自由能差可由熔化潛熱近似表示：

$$\Delta G_v = L_v\frac{\Delta T}{T_m}$$

因此：

$$\boxed{\Delta G_v=\frac{L_v\Delta T}{T_m}}$$

其中 $L_v$ 為每單位體積的熔化潛熱。

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(b) 推導臨界晶核半徑

對 $\Delta G(r)$ 對半徑 $r$ 微分，並令其為零：