112 年 國立中山大學材料與光電科學學系前瞻應用材料碩士班《工程數學》

核心觀念
此題屬於一階線性常微分方程

$y'+P(x)y=Q(x),\qquad P(x)=\tan x,\; Q(x)=\sin 2x .$

解此類方程的關鍵是 積分因子法（Integrating Factor），利用

$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$

將方程轉換為可直接積分的形式。

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解題方法

1. 計算積分因子

$\int P(x)\,dx=\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x| .$

因此

$\mu(x)=e^{-\ln|\cos x|}= \frac{1}{\cos x}= \sec x .$

2. 兩側同乘積分因子
   原方程乘以 $\mu(x)=\sec x$ 得

$\sec x\,y' + \sec x\,\tan x\,y = \sec x\,\sin 2x .$

左側正好是 $(\mu y)'$，即

$(\sec x\;y)' = \sec x\,\sin 2x .$

3. 積分

$\sec x\,y = \int \sec x\,\sin 2x\,dx + C .$

把 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ 代入：

$\sec x\,\sin 2x = \sec x\cdot 2\sin x\cos x = 2\sin x .$

因此

$\int \sec x\,\sin 2x\,dx = \int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C_1 .$

4. 求 $y$

核心觀念

• 這是一階線性常微分方程 $\;y'+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)=\dfrac1x,\;Q(x)=-\dfrac1{x^{2}}$。
• 解這類方程的標準做法是積分因子法（Integrating‑Factor Method）。
• 積分因子 $\mu(x)$ 必須滿足 $\displaystyle \mu'(x)=P(x)\mu(x)$，即 $\displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$。
• 初始條件 $y(0)=1$ 必須落在方程 定義域 之內；若 $P(x)$、$Q(x)$ 在 $x=0$ 有奇點，則 $x=0$ 不能作為起始點。

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解題方法

1. 求積分因子

$\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp(\ln|x|)=|x|.$

為了方便取正向解，我們在 $x>0$ 的區間取 $\mu(x)=x$（對 $x<0$ 同理，只是符號會改變）。

2. 乘以積分因子

$x\,y' + y = -\frac{1}{x}.$

3. 辨識左側為導數

$\frac{d}{dx}(x y)=x\,y' + y.$

因此方程變成

$\frac{d}{dx}(x y) = -\frac{1}{x}.$

4. 積分

$x y = -\int\frac{1}{x}\,dx + C = -\ln|x| + C,$

其中 $C$ 為積分常數。

5. 求一般解

$y(x)=\frac{-\ln|x|+C}{x}= -\frac{\ln|x|}{x}+\frac{C}{x}.$

6. 特解（Particular Solution）
   若只要求滿足 ODE的任一解，取常數 $C=0$ 即得

$\boxed{y_p(x)= -\frac{\ln|x|}{x}} \qquad (x\neq0).$

核心觀念
本題測試的是 一階線性常微分方程 的解法。

• 標準形式：$y'+P(x)y=Q(x)$
• 解題工具：積分因子（Integrating Factor）
• 初始條件（IVP）用來唯一決定常數 $C$。

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解題方法

1. 寫成標準形式
   原式為

$x y'+4y=8x$

只要把 $y'$ 前的係數除以 $x$（$x\neq0$），即可得到

$y'+\frac{4}{x}y=8 .$

2. 求積分因子
   積分因子 $\mu(x)$ 定義為

$$\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int\frac{4}{x}\,dx\right) =\exp\!\bigl(4\ln|x|\bigr)=|x|^{4}=x^{4}\quad(x>0) .$$

由於題目只在 $x=1$ 附近求解，我們直接採用 $\mu(x)=x^{4}$。

3. 兩端同乘積分因子

$x^{4}y'+4x^{3}y = 8x^{5}.$

左邊恰好是 $\displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}y\bigr)$，因此

$\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}y\bigr)=8x^{5}.$

4. 積分

$x^{4}y = \int 8x^{5}\,dx = 8\cdot\frac{x^{6}}{6}+C = \frac{4}{3}x^{6}+C .$

5. 求解 $y$

$y = \frac{4}{3}x^{2}+C\,x^{-4}.$

6. 利用初始條件 $y(1)=2$ 求常數

核心觀念

• 本題屬於常係數與變係數線性常微分方程。
• 若方程式中每項皆含有相同的冪次 $x$（或 $x$ 的乘積），可嘗試把 $x$ 作為獨立變數的冪級數或以 Euler（Cauchy‑Euler）方程的技巧來化簡。
• Euler 方程的標準形式為
  $x^n y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_0 y=0$
  其解法是設 $y = x^{m}$，代入後得到一個代數方程（特徵方程）求 $m$。

解題方法

1. 觀察方程式
   $x^3y''' + 3x^2y'' - 6xy' - 6y = 0$
   每項的 $x$ 次數分別為 $3,2,1,0$，符合 Euler 方程的模式（指數依次遞減）。

2. 嘗試指數解
   設 $y = x^{m}$，則

$$\begin{aligned} y' &= m x^{m-1},\\ y'' &= m(m-1)x^{m-2},\\ y''' &= m(m-1)(m-2)x^{m-3}. \end{aligned}$$

代入原方程式：

$$\begin{aligned} x^3\bigl[m(m-1)(m-2)x^{m-3}\bigr] &+ 3x^2\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] \\ &- 6x\bigl[m x^{m-1}\bigr] - 6x^{m}=0 . \end{aligned}$$

簡化每項的 $x$ 次方：

$m(m-1)(m-2)x^{m} + 3m(m-1)x^{m} - 6m x^{m} - 6x^{m}=0 .$

把共同因子 $x^{m}$ 提出（$x\neq0$ 時可除去）：

$\bigl[m(m-1)(m-2) + 3m(m-1) - 6m - 6\bigr] =0 .$

3. 求特徵方程
   計算括號內的多項式：

$$\begin{aligned} m(m-1)(m-2) &= m(m^2-3m+2)=m^3-3m^2+2m,\\ 3m(m-1) &= 3(m^2-m)=3m^2-3m,\\ -6m-6 &= -6m-6. \end{aligned}$$

合併：

核心觀念

• 常係數線性齊次與非齊次常微分方程的通解可寫為齊次解 + 特解。
• 特解使用 未定係數法（method of undetermined coefficients）。
• 若右側為指數函數 $e^{\alpha x}$、多項式 $P_n(x)$ 或其乘積，則假設特解的形式與之相同，必要時乘以 $x$ 的適當次方以避免與齊次解重複。
• 初始條件 $y(0)=y_0,\;y'(0)=y'_0$ 用於求齊次解中的常數。

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解題方法

1. 求齊次解
   齊次方程
   $y''-3y'+2y=0$
   特徵方程 $r^2-3r+2=0\;\Rightarrow\;(r-1)(r-2)=0$，得根 $r_1=1,\;r_2=2$。
   因此齊次解
   $y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}.$

2. 右側分解
   $3e^{2x}+2x^2-7$
   包含兩部分：指數項 $3e^{2x}$ 與二次多項式 $2x^2-7$。

3. 未定係數法—指數項

   • $e^{2x}$ 已是齊次解的基底 $e^{2x}$（對應根 $r=2$），故假設特解需乘以 $x$：
     $y_{p1}=x\,(A e^{2x})=A x e^{2x}.$
   • 計算導數：

$$\begin{aligned} y_{p1}' &=A e^{2x}+2A x e^{2x}=A(1+2x)e^{2x},\\ y_{p1}''&=2A e^{2x}+2A(1+2x)e^{2x}=A(2+2+4x)e^{2x}=A(4+4x)e^{2x}. \end{aligned}$$

• 代入左側 $y''-3y'+2y$：

$$\begin{aligned} L[y_{p1}]&=y_{p1}''-3y_{p1}'+2y_{p1} \\ &=A(4+4x)e^{2x}-3A(1+2x)e^{2x}+2A x e^{2x}\\ &=A\bigl[4+4x-3-6x+2x\bigr]e^{2x}\\ &=A(1+0x)e^{2x}=A e^{2x}. \end{aligned}$$

• 要使 $L[y_{p1}]=3e^{2x}$，得到 $A=3$。
  因此
  $y_{p1}=3x e^{2x}.$

4. 未定係數法—多項式項
   • 右側多項式 $2x^2-7$ 為二次多項式，與齊次解無關，直接假設
     $y_{p2}=Bx^2+Cx+D.$
   • 計算導數：

$y_{p2}'=2Bx+C,\qquad y_{p2}''=2B.$

• 代入 $L[y]=y''-3y'+2y$：

核心觀念

• 線性齊次常係數微分方程系統：可寫成向量形式 $\mathbf y' = A\mathbf y$，其中 $A$ 為常係數矩陣。
• 特徵值與特徵向量：透過 $\det(A-\lambda I)=0$ 求得 $\lambda$，進而得到系統的基本解。
• 矩陣指數 $e^{At}$：若 $A$ 能分解為 $A = PDP^{-1}$，則 $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$；若 $A$ 可分解為 $-I+J$，其中 $J^2=-I$，則 $e^{At}=e^{-t}e^{Jt}$，而 $e^{Jt}$ 為旋轉矩陣。
• 實部與虛部的分離：特徵值若為複數 $\alpha\pm i\beta$，其實解可寫成 $e^{\alpha t}(\mathbf c_1\cos\beta t+\mathbf c_2\sin\beta t)$。

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解題方法

1. 寫成向量矩陣形式

$$\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}-1&-1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix},\qquad \mathbf y' =A\mathbf y .$$

2. 求特徵值

$$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} -1-\lambda & -1\\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix}=(-1-\lambda)^2+1=0.$$ $$(\lambda+1)^2=-1\;\Longrightarrow\;\lambda+1=\pm i \quad\Rightarrow\quad \boxed{\lambda_{1,2}=-1\pm i}.$$

3. 利用 $A=-I+J$ 的結構
   設

$$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad J^2=-I.$$

因此 $A=-I+J$。

$e^{At}=e^{-t}e^{Jt}.$

4. 求 $e^{Jt}$（旋轉矩陣）
   由 $J^2=-I$，利用泰勒級數得到

$$e^{Jt}=I\cos t+J\sin t =\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}.$$

核心觀念

• 拉普拉斯反變換 (Inverse Laplace Transform) 的基本對應式：
  $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{n+1}}\right\}= \frac{t^{n}}{n!},\qquad n\ge0$
• 若分子是一次或二次多項式，通常先把分母化為完成平方的形式，再利用平移與三角函數的反變換公式：
  $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\right\}=e^{at}\cos(\omega t)$
  $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\right\}=e^{at}\sin(\omega t)$

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(a) $\displaystyle \frac{2}{s^{4}}-\frac{48}{s^{6}}$

解題方法
直接套用 $\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n+1}\}=t^{n}/n!$：

1. $\displaystyle \frac{2}{s^{4}} = 2\cdot\frac{1}{s^{4}} = 2\cdot\frac{1}{s^{(3+1)}}$
   $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{4}}\right\}=2\cdot\frac{t^{3}}{3!}=2\cdot\frac{t^{3}}{6}= \frac{t^{3}}{3}.$

2. $\displaystyle \frac{48}{s^{6}} = 48\cdot\frac{1}{s^{6}} = 48\cdot\frac{1}{s^{(5+1)}}$
   $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{48}{s^{6}}\right\}=48\cdot\frac{t^{5}}{5!}=48\cdot\frac{t^{5}}{120}= \frac{2t^{5}}{5}.$

3. 把兩項相減：
   $f(t)=\frac{t^{3}}{3}-\frac{2t^{5}}{5}.$

解題技巧

• 只要分母是純 $s$ 的冪，立即對應至 $t$ 的多項式，不必做分式分解。
• 計算階乘時，可先約簡分子與分母，以免出現大數。

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(b) $\displaystyle \frac{6s+7}{2s^{2}+4s+10}$

核心觀念
將分母寫成完成平方的形式，以便使用 $\cos$ 與 $\sin$ 的標準反變換。

解題方法

1. 化簡分母

$$2s^{2}+4s+10 = 2\bigl(s^{2}+2s+5\bigr) =2\Bigl[(s+1)^{2}+4\Bigr].$$

2. 把分子拆成與 $(s+1)$ 和常數的組合

$6s+7 = 6\bigl[(s+1)-1\bigr]+7 = 6(s+1)+1.$

核心觀念

• 拉普拉斯變換 $\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt$。
• 常見微分項的拉普拉斯變換公式：

$$\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0).$$

• 拉普拉斯變換的線性性與代數求解能力，可將常係數線性 ODE 轉為代數方程求解 $Y(s)$，再經逆變換回到時域。

解題方法

1. 先對微分方程兩側做拉普拉斯變換。

$$\mathcal{L}\{y''-y\}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr]-Y(s)=0 .$$

2. 代入初值 $y(0)=1,\;y'(0)=\tfrac12$：

$$s^{2}Y(s)-s\cdot1-\tfrac12 -Y(s)=0 \;\Longrightarrow\; (s^{2}-1)Y(s)=s+\tfrac12 .$$

3. 解 $Y(s)$：

$$Y(s)=\frac{s+\tfrac12}{s^{2}-1} =\frac{s}{s^{2}-1}+\frac{1/2}{s^{2}-1}.$$

4. 把分子分解為部分分式（或直接對照已知逆變換）：

觀念重點

因初始條件給在 $t = 2$ 而非原點，先進行時間軸平移變數變換 $u = t - 2$，轉為標準 $u = 0$ 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）問題求解，最後再換回原變數 $t$。

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詳細解題步驟

第一步：變數變換（時間平移）
令 $u = t - 2$，並定義 $g(u) = y(u + 2) = y(t)$。
初始條件轉換為：
$g(0) = y(2) = -3$
$g'(0) = y'(2) = -5$
原微分方程轉化為：
$g''(u) + 2g'(u) - 3g(u) = 0$

第二步：對方程兩端取拉普拉斯轉換
設 $\mathcal{L}\{g(u)\} = G(s)$。代入微分性質：
$\mathcal{L}\{g'(u)\} = sG(s) - g(0)$
$\mathcal{L}\{g''(u)\} = s^2G(s) - sg(0) - g'(0)$

得到：
$[s^2G(s) - s(-3) - (-5)] + 2[sG(s) - (-3)] - 3G(s) = 0$
$s^2G(s) + 3s + 5 + 2sG(s) + 6 - 3G(s) = 0$
$(s^2 + 2s - 3)G(s) + 3s + 11 = 0$