115 年 國立臺灣大學化學工程系碩士班《單元操作與輸送現象》

本題主要考驗學生對工程柏努利方程式的理解及其應用。

(a) 工程柏努利方程式與其物理意義

工程柏努利方程式是針對穩態、不可壓縮、無黏性流體，在重力場中沿著一固定流線的能量守恆方程式。其形式為：

$\frac{P}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constant}$

其中：

• $\frac{P}{\rho g}$：壓力水頭 (Pressure head)。代表流體壓力所具有的位能。壓力越高，此項越大，表示流體具有越高的位能。
• $\frac{v^2}{2g}$：動水頭 (Kinetic head / Velocity head)。代表流體動能所具有的位能。流體速度越快，此項越大，表示流體具有越高的動能。
• $z$：位能水頭 (Potential head / Elevation head)。代表流體因重力而具有的位置位能。高度越高，此項越大，表示流體具有越高的位能。

此方程式說明，在理想情況下，流體沿著一條固定流線流動時，這三項總和（總水頭）是保持不變的。這實際上是能量守恆在流體力學中的一種表現形式，將壓力能、動能和位能轉換成相互的關係。

(b) 工程柏努利方程式解釋水平管流壓力下降現象

考慮一個不可壓縮流體沿著水平管 ( $z$ 保持不變，故 $z_1 = z_2$ ) 流動，且假設為穩態流動。若流體在流動過程中，其速度 $v$ 增加 (例如，管徑縮小)，則根據工程柏努利方程式：

本題主要考驗學生對 Stokes' law 的理解以及如何利用受力平衡求解沉降粒子的終端速度。

(a) Stokes' law

Stokes' law 是描述在低雷諾數 (Reynolds number, Re) 下，一個球形粒子在黏滯流體中運動時所受到的曳力 (drag force) 的定律。其形式為：

$F_D = 3\pi \mu d_p v$

其中：

• $F_D$ 是粒子所受到的曳力。
• $\mu$ 是流體的動力黏度。
• $d_p$ 是粒子的直徑。
• $v$ 是粒子相對於流體的相對速度。

Stokes' law 的適用條件是流體的雷諾數非常小，通常要求 $\text{Re} < 1$。雷諾數定義為 $\text{Re} = \frac{\rho v d_p}{\mu}$，其中 $\rho$ 是流體密度。此定律指出，在低速、小尺度、高黏度流體條件下，曳力與速度成正比。

(b) 終端速度 $v_t$ 的測定方法

終端速度 $v_t$ 是指當粒子在流體中自由沉降時，所能達到的最大穩定速度。此時，作用在粒子上的合力為零，即重力、浮力與曳力達到平衡。

測定終端速度 $v_t$ 的方法如下：

1. 受力分析 (Force Balance)：
   • 重力 (Gravitational force, $F_g$)：作用方向向下，大小為 $F_g = m_p g = (\frac{\pi}{6} d_p^3 \rho_p) g$，其中 $\rho_p$ 是粒子密度， $g$ 是重力加速度。
   • 浮力 (Buoyant force, $F_B$)：阿基米德原理，大小等於粒子所排開流體的重量，作用方向向上，大小為 $F_B = V_p \rho g = (\frac{\pi}{6} d_p^3 \rho) g$，其中 $\rho$ 是流體密度。
   • 曳力 (Drag force, $F_D$)：作用方向向上（與運動方向相反）。在低雷諾數下，可使用 Stokes' law，即 $F_D = 3\pi \mu d_p v_t$。

核心觀念

本題探討低雷諾數（潛流、Creeping flow / Stokes flow）下，剛性球體在無窮大靜止流體中繞對稱軸旋轉所引發的流場分布與所需維持旋轉之力矩（Torque）。核心知識點涵蓋：

1. Navier-Stokes 方程式之化簡：在 $\text{Re} \ll 1$ 時，慣性項相較於黏滯項可忽略（$\rho \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \approx \mathbf{0}$）；定常態（Steady state, $\partial/\partial t = 0$）；重力可納入修正壓力 $P = p + \rho g h$；由旋轉對稱性，方位角方向無壓力梯度。
2. 球座標系之邊界條件：球表面之無滑移條件（No-slip condition）及無窮遠處流體靜止條件（Quiescent fluid）。
3. 分離變數法與特徵函數：利用球面上速度與 $\sin\theta$ 成正比之幾何特徵，將偏微分方程（PDE）化簡為尤拉－柯西常微分方程（Euler-Cauchy ODE）。
4. 流體黏滯剪應力與力矩計算：利用牛頓黏滯定律求得表面剪應力 $\tau_{r\theta}$，乘上力臂 $R\sin\theta$ 與微表面積 $dA$ 後積分得總阻力矩。

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解題方法與推導

(a) 化簡 Navier-Stokes 方程式以獲得 $v_{\theta}$ 之控制方程式

在球座標系 $(r, \theta, \phi)$ 下，依題目給定條件與假設：

1. 定常流動（Steady flow）：$\dfrac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = \mathbf{0}$。
2. 潛流條件（Creeping flow, $\text{Re} \ll 1$）：慣性項 $\rho (\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}) \approx \mathbf{0}$。
3. 速度場假設：$v_r = 0$、$v_\phi = 0$，且 $v_\theta = v_\theta(r, \theta)$（軸對稱，對 $\phi$ 之偏微分為 $0$）。
4. 修正壓力：重力項已合併入修正壓力梯度中（$-\nabla P + \rho\mathbf{g} = -\nabla P_{\text{modified}}$）。流場僅由旋轉剪應力驅動，對稱軸方向無壓力驅動差，故 $\dfrac{\partial P}{\partial \theta} = 0$。

將上述假設代入 $\theta$ 方向之動量方程式（Navier-Stokes equation）：

$$\rho \left( \frac{\partial v_\theta}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v})_\theta \right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial \theta} + \mu (\nabla^2 \mathbf{v})_\theta$$

等號左側慣性項與非定常項為 $0$，右側壓力梯度項為 $0$，簡化為：

$$(\nabla^2 \mathbf{v})_\theta = 0$$

依題目所提供之球座標系拉普拉斯算子展開式，當 $v_r = 0$、$v_\phi = 0$ 且 $\dfrac{\partial}{\partial \phi} = 0$ 時，方程式簡化為：

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \right) - \frac{v_{\theta}}{r^2 \sin^2\theta} = 0$$

兩邊同乘 $r^2$，即得控制方程式：

$$\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial v_{\theta}}{\partial r} \right) + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} \right) - \frac{v_{\theta}}{\sin^2\theta} = 0$$

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(b) 提供解此問題所需之邊界條件

1. 球表面無滑移條件（No-slip condition at $r = R$）：
   球體半徑為 $R$，繞軸以角速度 $\omega$ 旋轉，球面上任一點至旋轉對稱軸之垂直距離為 $R\sin\theta$，故球面線速度為 $\omega R \sin\theta$：

$$v_\theta(R, \theta) = \omega R \sin\theta$$

2. 無窮遠處靜止條件（Quiescent fluid at $r \to \infty$）：
   流體在無窮遠處不受球體旋轉影響，維持靜止：

$$v_\theta(\infty, \theta) = 0$$

3. 旋轉對稱軸處之有限性／對稱條件（Regularity at $\theta = 0$ 與 $\theta = \pi$）：
   在旋轉軸兩極處，距離對稱軸半徑為 $0$，線速度必須為零且保持有限連續：

$$v_\theta(r, 0) = 0, \quad v_\theta(r, \pi) = 0$$

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(c) 解釋為何假設解的形式為 $v_{\theta} = f(r)\sin\theta$ 是合理的

1. 邊界條件之幾何匹配性：
   在球體表面 $r = R$ 處，無滑移邊界條件明確要求 $v_\theta(R, \theta) = \omega R \sin\theta$。此邊界的角度相依性完全由 $\sin\theta$ 決定。由於控制方程式為線性齊次偏微分方程式，流場內部的角度分布形式將直接由邊界條件之形式鎖定。
2. 滿足兩極之物理要求：
   在對稱軸兩極處（$\theta = 0$ 與 $\theta = \pi$），$\sin 0 = \sin \pi = 0$，該假設自動自然滿足兩極線速度為零的物理邊界條件。
3. 分離變數之特徵函數（Eigenfunction）性質：
   將 $g(\theta) = \sin\theta$ 代入角向微分算子：

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta \frac{d\sin\theta}{d\theta}\right) - \frac{\sin\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\theta) - \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta - 1}{\sin\theta} = -2\sin\theta$$

角向微分運算結果恰好為 $-2\sin\theta$，能將角度函數完全消去，使偏微分方程成功分離為純粹以 $r$ 為變數的常微分方程（ODE）。因此選取 $v_\theta = f(r)\sin\theta$ 是最精簡且必然合理的解形。

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(d) 求解速度分布 $v_{\theta}$

將 $v_{\theta} = f(r)\sin\theta$ 代入 (a) 小題之控制方程式：

本題考驗學生對能量守恆的應用，特別是太陽能板的穩態能量平衡，涉及到太陽輻射吸收、轉換效率、對流散熱以及絕熱條件。

核心觀念： 穩態條件下，進入系統的總能量等於離開系統的總能量。對於太陽能板，進入的能量是吸收的太陽輻射，離開的能量主要是對流散熱。

已知條件：

• 入射太陽輻射強度 (Incident solar irradiation), $G = 1000 \text{ W/m}^2$
• 太陽能板效率 (Panel efficiency), $\eta = 20\% = 0.20$
• 背部絕熱 (Back side perfectly insulated)
• 對流散熱係數 (Convection heat-transfer coefficient), $h = 20 \text{ W/(m}^2\text{K)}$
• 環境溫度 (Ambient air temperature), $T_{\infty} = 25^\circ\text{C}$
• 忽略熱輻射和熱儲存。
• 求穩態表面溫度 $T_s$。

解題步驟：

1. 計算太陽能板吸收的太陽輻射功率 (Absorbed Solar Power)
   太陽能板吸收的太陽輻射功率是入射輻射乘以吸收率。這裡效率 $\eta$ 指的是將太陽能轉換為電能的效率，而吸收率 (absorptivity) 通常與效率不同。然而，題目中沒有給出吸收率，只給了效率 $\eta$。在沒有其他資訊的情況下，我們通常假設效率 $\eta$ 是指將太陽輻射轉換為電能的效率，而板材本身會吸收一部分輻射並轉換成熱能。
   常見的理解是： 太陽能板接收到 $G$ 的輻射。其中 $\eta G$ 被轉換為電能，而 $(1-\eta) G$ 則被吸收並轉換為熱能，或者一部分被反射。
   另一種理解： 太陽能板的效率 $\eta$ 指的是將入射太陽能轉換為電能的比例。那麼，用於發電的部分是 $\eta G$，而剩餘的 $(1-\eta) G$ 則被吸收並用於加熱板材（除了反射掉的部分）。
   題目說明「效率是 20%」，「忽略熱輻射」。 這意味著，入射的 $G$ 之中，有 $\eta G$ 轉換為電能，一部分可能被反射，一部分被吸收。
   最直接的解釋是： 太陽能板吸收的總太陽輻射功率為 $G$。其中 $\eta G$ 轉換為電能，其餘的 $(1-\eta) G$ 則以熱能的形式散失（包括傳導、對流、輻射）。
   但是，題目說「忽略熱輻射」，且「背部絕熱」。 這表示所有未轉換成電能的能量，最終都必須通過前方表面散熱。
   因此，總入射功率 $G$，其中 $\eta G$ 轉換為電能，其餘的 $(1-\eta) G$ 則以熱能的形式被板材吸收。
   板材吸收的熱功率密度 (Absorbed heat power density) $Q_{abs}$:
   $Q_{abs} = G \times (1 - \eta)$ （假設沒有反射，所有未轉為電能的都成為熱能）
   $Q_{abs} = 1000 \text{ W/m}^2 \times (1 - 0.20) = 1000 \times 0.80 = 800 \text{ W/m}^2$

本題考驗學生對雙膜理論 (two-film theory) 的理解，包括總傳質係數的推導以及相控制的判斷。

核心觀念： 雙膜理論將界面兩側的流體視為薄膜，傳質過程在這些薄膜中通過擴散進行。總傳質係數是各階段傳質係數的組合，用於描述整體傳質速率。

(a) 推導總傳質係數 $K_y$ 和 $K_x$

雙膜理論模型如下：

• 氣相薄膜 (Gas film)：溶質 A 從氣相的本體 ($y_A$) 擴散到氣液界面 ($y_{A,i}$)。傳質係數為 $k_y$。
• 液相薄膜 (Liquid film)：溶質 A 從液相界面 ($x_{A,i}$) 擴散到液相的本體 ($x_A$)。傳質係數為 $k_x$。
• 界面平衡 (Interface equilibrium)：氣液界面處，溶質 A 的組成達到平衡，滿足 $y_{A,i} = m x_{A,i}$。

總傳質係數 $K_y$ (基於氣相組成)：
總傳質速率 $N_A$ 可以表示為：
$N_A = K_y (y_A - y_{A,s})$，其中 $y_{A,s}$ 是假想的氣相平衡組成，對應於液相本體組成 $x_A$。
根據雙膜理論，傳質速率也等於氣相薄膜的傳質速率：
$N_A = k_y (y_A - y_{A,i})$ (1)
同時，傳質速率也等於液相薄膜的傳質速率，但需要轉換成氣相的表達式。
從液相傳質速率： $N_A = k_x (x_{A,i} - x_A)$。
由於界面平衡關係 $y_{A,i} = m x_{A,i}$，我們有 $x_{A,i} = \frac{y_{A,i}}{m}$。
代入液相傳質速率： $N_A = k_x (\frac{y_{A,i}}{m} - x_A)$。
為了得到以氣相組成為基礎的傳質速率，我們需要將 $x_A$ 轉換成等效的氣相組成。
假設氣相和液相的本體組成與氣相平衡組成之間存在一個關係，這個關係通常是通過界面平衡來聯繫的。
考慮傳質速率 $N_A$。
從氣相本體到界面的傳質： $N_A = k_y (y_A - y_{A,i})$。
從液相本體到界面的傳質，轉換為氣相表示：
$N_A = k_x (x_{A,i} - x_A)$
$N_A = k_x (\frac{y_{A,i}}{m} - x_A)$
總傳質係數 $K_y$ 的定義是 $N_A = K_y (y_A - y_{A}^*)$，其中 $y_{A}^*$ 是與液相本體組成 $x_A$ 平衡的氣相組成。
根據界面平衡，$y_{A}^* = m x_A$。
所以，$N_A = K_y (y_A - m x_A)$。

現在，我們將傳質速率表示為兩個階段的串聯：
$N_A = k_y (y_A - y_{A,i})$
$N_A = k_x (x_{A,i} - x_A) = k_x (\frac{y_{A,i}}{m} - x_A)$
從第一個式子得到 $y_{A,i} = y_A - \frac{N_A}{k_y}$。
代入第二個式子：
$N_A = k_x (\frac{1}{m} (y_A - \frac{N_A}{k_y}) - x_A)$
$N_A = \frac{k_x}{m} y_A - \frac{k_x}{m k_y} N_A - k_x x_A$
$N_A (1 + \frac{k_x}{m k_y}) = \frac{k_x}{m} y_A - k_x x_A$
$N_A \frac{m k_y + k_x}{m k_y} = \frac{k_x}{m} y_A - k_x x_A$
$N_A = \frac{m k_y}{m k_y + k_x} (\frac{k_x}{m} y_A - k_x x_A)$
$N_A = \frac{k_x k_y}{m k_y + k_x} y_A - \frac{k_x k_y}{m k_y + k_x} m x_A$
$N_A = \frac{k_x k_y}{m k_y + k_x} (y_A - m x_A)$

與 $N_A = K_y (y_A - m x_A)$ 對比，得到：
$K_y = \frac{k_x k_y}{m k_y + k_x}$
可以改寫為：
$\frac{1}{K_y} = \frac{m k_y + k_x}{k_x k_y} = \frac{m k_y}{k_x k_y} + \frac{k_x}{k_x k_y} = \frac{m}{k_x} + \frac{1}{k_y}$
$\frac{1}{K_y} = \frac{1}{k_y} + \frac{m}{k_x}$

總傳質係數 $K_x$ (基於液相組成)：
總傳質速率 $N_A$ 也可以表示為：
$N_A = K_x (x_A - x_{A}^*)$，其中 $x_{A}^*$ 是與氣相本體組成 $y_A$ 平衡的液相組成。
根據界面平衡，$y_A = m x_{A}^* \implies x_{A}^* = \frac{y_A}{m}$。
所以，$N_A = K_x (x_A - \frac{y_A}{m})$。

從液相傳質速率： $N_A = k_x (x_{A,i} - x_A)$。
從氣相傳質速率，轉換為液相表示：
$N_A = k_y (y_A - y_{A,i})$
$y_{A,i} = m x_{A,i}$
$N_A = k_y (m x_{A,i} - y_{A,i})$
$N_A = k_y (m x_{A,i} - y_{A,i})$
$N_A = k_y (m x_{A,i} - y_{A,i})$
$N_A = k_y (y_A - y_{A,i}) \implies y_{A,i} = y_A - \frac{N_A}{k_y}$
$N_A = k_x (x_{A,i} - x_A)$
$x_{A,i} = x_A + \frac{N_A}{k_x}$
代入界面平衡： $y_{A,i} = m x_{A,i}$
$y_A - \frac{N_A}{k_y} = m (x_A + \frac{N_A}{k_x})$
$y_A - \frac{N_A}{k_y} = m x_A + \frac{m N_A}{k_x}$

核心觀念

本題考查具有表面散熱的薄板一維穩態導熱。雷射切割線位於 $x=0$，並維持在 $T_m$；熱量由切割線沿鋁板向兩側傳導，同時由鋁板上、下表面以對流方式散失。

以「垂直於切割線、沿鋁板方向」的 $x$ 軸建立能量平衡：

• 鋁板厚度：$t$
• 單位切割線寬度：$1\ \mathrm{m}$
• 上、下表面總對流散熱面積：$2\ \mathrm{m^2}$／單位寬度
• 材料導熱係數：$k$
• 對流係數：$h$

由於幾何與邊界條件關於 $x=0$ 對稱，因此溫度分布只與 $|x|$ 有關。

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解題方法：建立微分方程

取位於 $x$ 至 $x+dx$ 的微小控制體，對單位寬度鋁板進行穩態能量平衡。

沿 $x$ 方向的導熱量為

$$q_x=-kt\frac{dT}{dx}$$

單位長度的上下表面对流散熱量為

$$dq_{\mathrm{conv}}=2h(T-T_o)\,dx$$

穩態下，導熱量的減少等於表面散熱，因此

$$\frac{d}{dx}\left(kt\frac{dT}{dx}\right)-2h(T-T_o)=0$$

由於 $k$ 與 $t$ 為常數，可得

$$kt\frac{d^2T}{dx^2}-2h(T-T_o)=0$$

整理為

$$\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{2h}{kt}(T-T_o)=0$$

定義特徵參數

$$m=\sqrt{\frac{2h}{kt}}$$

並令

$$\theta=T-T_o$$

則控制方程式為

$$\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0$$

其一般解為

$$\theta=C_1e^{mx}+C_2e^{-mx}$$

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(a) 穩態溫度分布

先考慮 $x>0$。因為距離切割線無限遠處會回到環境溫度，所以

$$T(x)\to T_o\qquad \text{當 }x\to\infty$$

因此 $e^{mx}$ 項必須捨去，得到

$$T(x)-T_o=C_2e^{-mx}$$

在切割線處，

$$T(0)=T_m$$

所以

$$C_2=T_m-T_o$$

因此 $x>0$ 時，

$$T(x)=T_o+(T_m-T_o)e^{-mx}$$

由於溫度場對 $x=0$ 對稱，完整解為

$$\boxed{ T(x)=T_o+(T_m-T_o) \exp\left(-\sqrt{\frac{2h}{kt}}\,|x|\right) }$$

代入數值：

核心觀念

本題考察垂直 Stefan tube 中水蒸氣 $A$ 穿過靜止空氣 $B$ 的定態擴散。

雖然題目忽略自然對流，但水蒸氣由液面蒸發後會造成整體的 Stefan flow，因此不能直接使用等摩爾反向擴散公式。由於空氣停滯：

$N_B=0$

二元氣體中 $A$ 的總莫耳通量為

$N_A=-cD_{AB}\frac{dy_A}{dz}+y_A(N_A+N_B)$

代入 $N_B=0$，得

$N_A=-\frac{cD_{AB}}{1-y_A}\frac{dy_A}{dz}$

其中：

• $A$：水蒸氣
• $B$：空氣
• $y_A$：水蒸氣莫耳分率
• $c=P/(RT)$：氣體總莫耳濃度

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(a) 控制方程與邊界條件

令 $z=0$ 位於液面，$z=L$ 位於管口，且 $z$ 軸向上。

在定態、等溫、等壓、$D_{AB}$ 為常數下，$N_A$ 為常數，因此

$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-y_A}\frac{dy_A}{dz}\right)=0$

這就是 $y_A(z)$ 的控制微分方程。

液面處的水蒸氣與液態水達到平衡：

$y_A(0)=\frac{P_{\mathrm{sat}}}{P}$

管口處的水蒸氣分壓由相對濕度決定：

$$y_A(L)=\frac{p_{A,L}}{P} =\frac{\phi P_{\mathrm{sat}}}{P}$$

因此本題的邊界條件為

$y_A(0)=\frac{3.17}{101.325}=0.03130$

$y_A(L)=\frac{0.50(3.17)}{101.325}=0.01565$

且

$L=0.10\ \mathrm{m}$

積分控制方程可得水蒸氣濃度分布：

$$y_A(z) =1-\left[1-y_A(0)\right] \left[ \frac{1-y_A(L)}{1-y_A(0)} \right]^{z/L}$$

代入本題數值：

$$y_A(z) =1-0.96870 \left(\frac{0.98435}{0.96870}\right)^{z/0.10}$$

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(b) 蒸發速率

由 Stefan diffusion 通量式：

$N_A=-\frac{cD_{AB}}{1-y_A}\frac{dy_A}{dz}$

由 $z=0$ 積分至 $z=L$：

$$N_A =\frac{cD_{AB}}{L} \ln\left[ \frac{1-y_A(L)}{1-y_A(0)} \right]$$

氣體總莫耳濃度為