113 年國立臺灣大學高分子科學與工程學研究所甲組《單元操作與輸送現象》考古題與詳解

Question 1

Problem 1 (13 points)
Please answer the questions listed below:
(a) Explain the difference(s) between the molecular transport and convective transport processes. (3 points)
(b) Why do we introduce the "overall mass transfer coefficients" to estimate the mass/molar fluxes? (3 points)
(c) How do we apply the "Reynolds analogy"? (3 points)
(d) What's the Fourier's first law of heat conduction? (1 point) & What's the counterpart of it in momentum transport? (1 point)
(e) What's the Fourier's second law of heat conduction? (1 point) & What's the counterpart of it in mass transport? (1 point)

Accepted Answer

本題主要考察輸送現象中的基本概念，包括分子傳輸與對流傳輸的區別、總傳質係數的意義、雷諾類比的應用，以及傅立葉定律在熱傳、動量傳輸和質傳中的對應關係。 (a) 分子傳輸（Molecular Transport）與對流傳輸（Convective Transport）的區別： 分子傳輸是依靠分子熱運動（例如碰撞）在介質中傳遞動量、能量或質量的過程。它發生在靜止或流動的介質中，是微觀層面的傳輸機制。例如，擴散（Diffusion）就是一種分子傳輸。 對流傳輸是藉由流體整體的宏觀運動（流動）來傳遞動量、能量或質量的過程。當流體整體移動時，會挾帶其內部的動量、能量或質量一同移動。這是一種宏觀層面的傳輸機制，通常比分子傳輸快得多。例如，河流中的水流帶動污染物，或者風吹動空氣。 (b) 總傳質係數（Overall Mass Transfer Coefficients）的意義： 在實際的傳質過程中，往往涉及到多個阻力串聯的傳輸步驟，例如從氣相到液相的傳質，可能包含氣相的對流、氣液界面的傳質、以及在液相中的擴散和對流。如果我們希望用一個單一的係數來描述從一個相的某一點到另一個相的某一點的總體傳質速率，就需要引入總傳質係數。 總傳質係數（如 $KG$ 或 $KL$）將複雜的多步驟傳質過程簡化為一個等效的單步驟傳質過程，使得質通量（Molar Flux）的計算得以簡化。例如，氣相總傳質係數 $KG$ 描述了從氣相的某個濃度到與氣相平衡的液相組成的傳質速率，它包含了氣相側和液相側的傳質阻力。引入總傳質係數可以方便地估計整體傳質速率，而無需分別處理每個步驟的詳細傳輸細節。 (c) 雷諾類比（Reynolds Analogy）的應用： 雷諾類比是將動量傳遞（黏滯）與熱傳遞（導熱）之間建立聯繫的一種方法。它指出，在某些條件下（例如，不可壓縮流體、穩態、湍流、無外力作用、流場對稱等），動量傳遞的係數（如動力黏滯係數 $
u$）與熱擴散係數（如熱擴散率 $\alpha$）以及質擴散係數（如擴散係數 $D{AB}$）之間存在類似的關係，可以推導出類似的無因次數之間的關聯式。 具體來說，雷諾類比將動量傳遞的史特勞哈爾數（Strouhal number, $Sr$）或努塞數（Nusselt number, $Nu$）與動量傳遞中的表面傳熱係數 $h$ 聯繫起來，並進一步與質傳中的表面傳質係數 $kG$ 聯繫起來。 在動量傳輸中，我們考慮的是動量通量（Shear Stress, $	au$）。在熱傳輸中，我們考慮的是熱通量（Heat Flux, $q$）。在質傳輸中，我們考慮的是質量通量（Mass Flux, $N$）。 雷諾類比的基本形式將表面傳熱係數 $h$ 與動量傳遞係數（例如，表面剪應力 $	auw$）以及流體性質聯繫起來，推導出 $Nu = Re \cdot Pr$ 的形式。

Question 2

Problem 2 (20 points) You are asked to analyze a one-dimensional (x-direction), steady-state, incompressible, hydrodynamically fully-developed laminar flow through a parallel plate channel, which is shown in Figure 1. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 Figure 1. A schematic diagram of the system in Problem 2. (a) (4 points) By applying appropriate assumptions and performing shell momentum balance, please show that the x-momentum equation has the form: $ \mu \frac{d^2u}{dy^2} - \frac{dP}{dx} = 	ext{constant} $ and explain the reason why both terms are constant. (b) (6 points) Please show that the velocity profile $u(y)$ and average (or mean) velocity $um$ are of the forms: $ u(y) = \frac{a^2}{2\mu} \left(-\frac{dP}{dx}ight) \left[1 - \left(\frac{y}{a/2}ight)^2ight] $ $ um = \frac{a^2}{12\mu} \left(-\f…

Accepted Answer

核心觀念 本題探討經典的不可壓縮黏性流體於平行平板間之層流流動（Plane Poiseuille Flow），主要考核四大核心觀念： 1. 殼層動量平衡（Shell Momentum Balance）：選取微元流體控制體積，考量壓力與黏滯剪應力（Newton's Law of Viscosity）的平衡，推導動量守恆方程式。 2. 微分方程式分離變數法與物理意義：解析獨立變數（$x$ 與 $y$）之相依性，說明為何壓力梯度與黏滯力項必為常數。 3. 無滑移邊界條件（No-slip Boundary Condition）：求得拋物線速度分佈（Velocity Profile）並透過積分求算平均流速（Mean Velocity）。 4. 水力直徑（Hydraulic Diameter）與穆迪摩擦因子（Moody Friction Factor）：非圓形管流之水力等效直徑定義、雷諾數定義，以及摩擦因子 $f = C / Re{Dh}$ 中幾何常數 $C$ 的推導。 --- 解題方法與詳細推導 依題意，平行平板間距為 $a$（通道高度），平板寬度為 $W$（$W \gg a$），流道長度為 $L$。原點設於兩板中央平面，$y \in [-a/2, a/2]$，流動方向為 $x$ 方向。 流動為穩態（Steady-state）、一維不可壓縮（Incompressible）且完全發展之層流（Fully-developed laminar flow），因此速度場為 $\mathbf{v} = (u(y), 0, 0)$。 --- (a) 殼層動量平衡推導與常數說明 取厚度為 $\Delta y$、長度為 $\Delta x$、寬度為 $W$ 的微元殼層控制體積（位於 $y$ 至 $y + \Delta y$ 之間）： 1. 動量對流率（Convection）： 因流動完全發展且流體不可壓縮，$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$，由流動進入與流出殼層的動量流率精確抵消（淨動量對流率為 0）。 2. 作用力平衡（Forces on the Shell）： - $x = x$ 面受到的正向壓力：$P|x \cdot (W \Delta y)$ - $x = x + \Delta x$ 面受到的正向壓力：$P|{x+\Delta x} \cdot (W \Delta y)$ - $y = y$ 面受到的剪應力（由 $-y$ 指向 $+y$ 面的黏滯力）：$	au{yx}|y \cdot (W \Delta x)$ - $y = y + \Delta y$ 面受到的剪應力：$	au{yx}|{y+\Delta y} \cdot (W \Delta x)$ 依穩態動量守恆，合力為零： $$ (P|x - P|{x+\Delta x}) W \De…

Question 3

Problem 3 (21 points) As shown in Figure 2, a catalytic surface is placed in a gas stream to promote a heterogeneous chemical reaction involving species A. Assume that the reaction produces species A at a rate R"A, which is defined as the molar rate of production of A per unit surface area of the catalyst. Once steady-state conditions are reached, the rate of species transfer from the surface, NAx must equal the surface reaction rate: NAx = R"A It is assumed that species A leaves the surface as a result of one-dimensional transfer through a thin film of thickness L and that no reactions occur within the film itself. Assume the medium to be stationary, and total concentration (C) and diffusion coefficient (DAB) to be constant. The mole fraction of A equals XA.L at x = L, whereas the surface…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 穩態、無反應薄膜中的物質傳遞。 2. 絕對莫耳通量與擴散莫耳通量的關係。 3. Fick 定律。 4. 表面一級反應與薄膜擴散阻力串聯。 5. 反應限制與擴散限制的極限情況。 薄膜內沒有反應，且介質靜止，因此： $$ N{A,x}=J{A,x} $$ 由 Fick 定律： $$ J{A,x}=-D{AB}\frac{dCA}{dx} $$ 因為總濃度 $C$ 為常數，且 $CA=CxA$，所以： $$ N{A,x}=-CD{AB}\frac{dxA}{dx} $$ 以下以 $N{A,x}$ 的「離開催化表面的通量大小」作為正值，與題目所給的答案形式一致。 --- 解題方法 薄膜範圍為 $0\leq x\leq L$。在 $x=0$ 為催化表面，在 $x=L$ 為氣體主流。 薄膜內無反應，穩態下物種 A 的通量不隨 $x$ 改變，因此可由連續方程式求得濃度分布，再利用表面反應速率作為 $x=0$ 的邊界條件。 --- (a) $k''$ 的單位 表面反應速率為： $$ RA''=k''CA(0) $$ 其中： - $RA''$ 的單位為 $\mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}$ - $CA$ 的單位為 $\mathrm{mol\,m^{-3}}$ 因此： $$ [k''] = \frac{\mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}} {\mathrm{mol\,m^{-3}}} = \mathrm{m\,s^{-1}} $$ 所以： $$ \boxed{[k'']=\mathrm{m\,s^{-1}}} $$ --- (b) 推導 $xA$ 的二階微分方程 物種 A 的連續方程式為： $$ -
abla\cdot\vec{N}A+RA = \frac{\partial CA}{\partial t} $$ 薄膜內無反應，且為穩態，因此： $$ RA=0, \qquad \frac{\partial CA}{\partial t}=0 $$ 一維傳遞下： $$ -\frac{dN{A,x}}{dx}=0 $$ 所以： $$ \frac{dN{A,x}}{dx}=0 $$ 由於介質靜止，絕對莫耳通量等於擴散莫耳通量： $$ N{A,x}=J{A,x} $$ Fick 定律給出： $$ N{A,x} = -CD{AB}\frac{dxA}{dx} $$ 代入穩態通量方程式： $$ \frac{d}{dx} \left( -CD{AB}\frac{dxA}{dx} ight)=0 $$ 因為 $C$ 與 $D{AB}$ 均為常數，所以： $$ -CD{AB}\frac{d^2xA}{dx^2}=0 $$ 因此： $$ \boxed{\frac{d^2xA}{dx^2}=0} $$ 表示薄膜內的莫耳分率…

Question 4

Problem 4 (10 points)
A mixture of benzene and toluene containing 40 mole per cent benzene is to be separated to give a product containing 90 mole per cent benzene at the top, and a bottom product containing not more than 10 mole per cent benzene. The feed enters the column at its boiling point, and the vapor leaving the column which is condensed but not cooled, provides reflux and product. It is proposed to operate the unit with a reflux ratio of 3 kmol/kmol product. It is required to find the number of theoretical plates needed and the position of entry for the feed. The equilibrium diagram at 100 kN/m² is shown in the figure below. (Note: Use Lewis-Sorel Method that is calculate the answer by the operating lines numerically, do not use McCabe-Thiele Method.)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Figure: equilibrium diagram of mole fraction $\text{C}_6\text{H}_6$ in vapour ( $y$ ) versus mole fraction $\text{C}_6\text{H}_6$ in liquid ( $x$ ).

Accepted Answer

核心觀念 本題考二元精餾的 Lewis–Sorel 逐板計算法。每一理論板上，離開板的氣、液兩相達平衡；相鄰板的組成則由操作線的物料衡算連接。進料為沸點液體，因此 $q=1$，進料板以上與以下的氣相流率相同，液相流率則因加入進料而改變。 令苯的莫耳分率為 $x$（液相）與 $y$（氣相），並取產品組成 $xD=0.90$、$xB=0.10$、$zF=0.40$。底部產品採題目允許的最大苯含量 $0.10$ 計算。 解題方法 以進料量 $F$ 為基準，總物料與苯衡算得： $$ \frac{D}{F}=\frac{zF-xB}{xD-xB} =\frac{0.40-0.10}{0.90-0.10}=0.375, \qquad \frac{B}{F}=0.625 $$ 回流比 $R=L/D=3$，所以精餾段液、氣流率為 $L=3D$、$V=4D$。由於進料是飽和液體，提餾段液流率為 $L'=L+F$，氣流率為 $V'=V$。因此： $$ \frac{L}{V}=\frac{3}{4}=0.75, \qquad \frac{L'}{V'}=\frac{3D+F}{4D} =\frac{2.125}{1.5}=1.4167 $$

Question 5

Problem 5 (8 points)
A bubble-cap column with 30 plates is to be used to remove n-pentane from a solvent oil by means of steam
stripping. The inlet oil contains 6 kmol of n-pentane per 100 kmol of pure oil and it is desired to reduce the
solute content to 0.1 kmol per 100 kmol of solvent. Assuming isothermal operation and an overall plate
efficiency of 30%, find the specific steam consumption (2 points), that is the kmol of steam required per
kmol of solvent oil treated, and the ratio of the specific and minimum steam consumptions (4 points). How
many plates would be required if this ratio were 2.0? (2 points)

Note: The equilibrium relation for the system may be taken as Ye = 3.0X, where Ye and X are expressed in
mole ratios of pentane in the gas and liquid phases respective.

Accepted Answer

核心觀念

本題是以蒸汽進行液相溶質逆流汽提，採用 McCabe–Thiele／Kremser 法。因正戊烷在油相與蒸汽相間達平衡，且平衡關係以莫耳比表示：

$Y^*=mX=3X$

其中：

$X$ ：液相正戊烷對純溶劑油的莫耳比
$Y$ ：氣相正戊烷對蒸汽的莫耳比
$m=3$ ：平衡線斜率
$L$ ：溶劑油流率
$V$ ：蒸汽流率

題目給定：

$X_F=\frac{6}{100}=0.06$

$X_B=\frac{0.1}{100}=0.001$

因此液相溶質比的分離倍數為：

$\frac{X_F}{X_B}=\frac{0.06}{0.001}=60$

30 塔板、總板效率為 $30\%$ ，相當於理論板數：

$N=30(0.30)=9$

以下採用溶劑油與蒸汽的純載體流率近似為常數。

解題方法：Kremser 汽提方程式

令

$S=\frac{mV}{L}$

其中 $S$ 為汽提因子。對於進料端液相莫耳比為 $X_F$ 、塔底液相莫耳比為 $X_B$ ，且進入蒸汽不含正戊烷，即 $Y_{\mathrm{in}}=0$ 的情況， $N$ 個理論板的 Kremser 關係式為：

$\frac{X_F}{X_B}=1+S+S^2+\cdots+S^N$

亦可寫成：

$\frac{X_F}{X_B}=\frac{S^{N+1}-1}{S-1}$

本題因此滿足：

$60=1+S+S^2+\cdots+S^9$

或

$\frac{S^{10}-1}{S-1}=60$

數值解得：

$S\approx 1.3692$

由 $S=mV/L$ ，且 $m=3$ ：

\frac{V}{L}=\frac{S}{m} =\frac{1.3692}{3} =0.4564

最小蒸汽消耗量

最小蒸汽消耗量發生在塔頂形成 pinch 的情況，也就是離開塔頂的蒸汽與進料液體達平衡：

$Y_{\mathrm{out}}=mX_F$

整塔溶質衡算為：

$L(X_F-X_B)=V_{\min}Y_{\mathrm{out}}$

代入 $Y_{\mathrm{out}}=mX_F$ ：

$L(X_F-X_B)=V_{\min}mX_F$

因此：

\frac{V_{\min}}{L} =\frac{X_F-X_B}{mX_F}

\frac{V_{\min}}{L} =\frac{0.06-0.001}{3(0.06)} =\frac{0.059}{0.18} =0.3278

特定蒸汽消耗量與最小值之比

\frac{V}{V_{\min}} = \frac{V/L}{V_{\min}/L} = \frac{0.4564}{0.3278}

所以：

Question 6

Problem 6 (4 points)
A 50 per cent solution of solute C in solvent A is extracted with a second solvent B in a countercurrent multiple contact extraction unit. The mass of B is 25 per cent of that of the feed solution.
Determine the number of ideal stages required and the mass and concentration of the first extract if the final raffinate contains 15% of solute C.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Figure: triangular diagram with vertices A, B and C, showing the solubility (binodal) curve and tie lines.

Accepted Answer

核心觀念 本題考逆流多級液液萃取的三元相圖解法。每一理想級都讓萃取相與萃餘相達到液液平衡；兩相組成位於溶解度曲線的兩側，並由同一條繫線連接。級數以繫線與操作線交替踏步計數。 先以總物料衡算求混合點。令進料質量為 $F$，則進料含溶質 $C$ 50%、溶劑 $A$ 50%，純溶劑 $B$ 的質量為 $0.25F$。以 $(A,B,C)$ 表示組成： $$ \boldsymbol{x}F=(0.50,0,0.50),\qquad \boldsymbol{x}S=(0,1,0) $$ $$ \boldsymbol{x}M =\frac{F\boldsymbol{x}F+0.25F\boldsymbol{x}S}{1.25F} =(0.40,0.20,0.40) $$ 解題方法 在完整且有比例的三元相圖上，先由 $C=15\%$ 與萃餘相側的溶解度曲線定位最終萃餘相 $RN$。再連接 $RN$ 與混合點 $M$，延伸至萃取相側溶解度曲線，得到第一萃取相 $E1$。這條線代表全流程總物料衡算：

Question 7

Problem 7 (3 points)
The constants in the Antoine equation are:
For benzene: $k_1 = 6.90565$ , $k_2 = 1211.033$ , $k_3 = 220.79$
For toluene: $k_1 = 6.95334$ , $k_2 = 1343.943$ , $k_3 = 219.377$
where $P^0$ is in mm Hg, $T$ is in °C and $\log_{10}$ is used instead of $\log_e$ .
Determine the vapor phase composition of a mixture in equilibrium with a liquid mixture of 0.5 mole fraction benzene and 0.5 mole fraction of toluene at 338 K. Will the liquid vaporize at a pressure of 101.3 kN/m²?

Antoine equation: $\ln P^0 = k_1 - \dfrac{k_2}{T + k_3}$

Accepted Answer

核心觀念 假設液相為理想溶液、氣相近似理想氣體，使用拉午耳定律： $$ pi = xi Pi^0 $$ 其中 $Pi^0$ 是純物質在該溫度下的飽和蒸氣壓。泡點總壓與平衡氣相組成分別為： $$ P{\mathrm{bubble}}=\sumi xiPi^0, \qquad yi=\frac{xiPi^0}{P{\mathrm{bubble}}} $$ 題目說明使用常用對數，因此 Antoine 式應按 $\log{10}Pi^0=k1-\dfrac{k2}{T+k3}$ 計算；式末的 $\ln$ 與題目所給的對數底數說明不一致。 解題方法 先將溫度換成攝氏： $$ T=338-273.15=64.85^\circ\mathrm{C} $$ 代入 Antoine 式，計算兩個純物質的飽和蒸氣壓。 苯： $$ \log{10}P{\mathrm{Bz}}^0 =6.90565-\frac{1211.033}{64.85+220.79} =2.66593 $$ $$ P{\mathrm{Bz}}^0=10^{2.66593}\approx463.3\ \mathrm{mmHg} $$ 甲苯： $$ \log{10}P{\mathrm{Tol}}^0 =6.95334-\frac{1343.943}{64.85+219.377} =2.22493 $$ $$ P{\mathrm{Tol}}^0=10^{2.22493}\approx167.9\ \mathrm{mmHg} $$

Question 8

Problem 8 (10 points)
In a shell-and-tube feedwater heater, cold water at 15°C flowing at the rate of 180 kg/h is preheated to 90°C by flue gases from 150°C flowing at the rate of 900 kg/h. The water flows inside the copper tubes (

d_i = 25

mm,

d_o = 32

mm) having thermal conductivity

k_w = 381

W/m·K. The heat transfer coefficients on gas and water sides are 120 and 1200 W/m²·K, respectively. The fouling factor on the water side is 0.002 m²·K/W. Determine the flue gas outlet temperature, the overall heat transfer coefficient based on the outside tube diameter, and the true mean temperature difference for heat transfer. Consider specific heats

c_p

for flue gases and water as 1.05 and 4.19 J/g·K respectively, and the total tube outside surface area as 5 m². There are no fins inside or outside the tubes, and there is no fouling on the gas side.

Accepted Answer

核心觀念 本題使用三個關係： 1. 熱量衡算：水吸收的熱量等於煙氣放出的熱量。 2. 以管外面積為基準的總熱傳係數：將管內熱阻、管壁熱阻與管外熱阻換算到同一面積基準後相加。 3. 真實平均溫差：由熱傳速率式 $\dot Q=UoAo\Delta T{\mathrm{true}}$ 求得；它反映實際熱交換器的流動配置。 解題方法 1. 求煙氣出口溫度 先算水的熱容量流率與吸熱速率。題目給的 $cp$ 單位為 $\mathrm{J/(g\cdot K)}$，數值等同於 $\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。 $$ \dot Qc =\dot mc c{p,c}(T{c,o}-T{c,i}) =(180)(4.19)(90-15) =56565\ \mathrm{kJ/h} $$ 令煙氣放熱量等於水吸熱量： $$ 56565 =(900)(1.05)(150-T{h,o}) $$ 因此 $$ T{h,o} =150-\frac{56565}{945} =90.14^\circ\mathrm C $$ 2. 求以管外面積為基準的總熱傳係數 以管外面積為基準，水側熱阻與水側污垢熱阻都須乘上面積比 $Ao/Ai=do/di$。圓管壁熱阻換算至管外面積後為 $\dfrac{do}{2kw}\ln(do/di)$。因此 $$ \frac{1}{Uo} = \frac{1}{h{\mathrm{gas}}} +\frac{do}{2kw}\ln\left(\frac{do}{di}\right) +\frac{do}{di}\left(\frac{1}{h{\mathrm{water}}}+R{w,f}\right) $$ 代入數值：

Question 9

Problem 9 (4 points)
A gas-to-air crossflow waste heat recovery exchanger, having both fluids unmixed, has NTU = 6 and $C^* = 1$ . The inlet fluid temperatures on the hot and cold sides are 360°C and 25°C, respectively. Determine the outlet fluid temperatures with and without longitudinal wall heat conduction. Assume that $\lambda_c = \lambda_h = 0.04$ , and $(\eta_o hA)_h = (\eta_o hA)_c = 1$ .

Accepted Answer

核心觀念

本題考查交叉流熱交換器的有效度－NTU 法，以及壁面縱向導熱對熱交換器效能的影響。

熱交換器有效度定義為實際熱傳率與最大可能熱傳率之比：

\varepsilon=\frac{Q}{Q_{\max}}, \qquad Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,i}-T_{c,i})

其中 $C=\dot m c_p$ 為熱容量率。本題 $C^*=C_{\min}/C_{\max}=1$ ，因此 $C_h=C_c=C_{\min}$ 。知道有效度後，可由能量平衡求兩側出口溫度：

T_{h,o}=T_{h,i}-\varepsilon(T_{h,i}-T_{c,i})

T_{c,o}=T_{c,i}+\varepsilon(T_{h,i}-T_{c,i})

壁面縱向導熱會沿壁面溫度梯度傳熱，降低熱流體傳給冷流體的淨熱量，因此降低有效度。本題需分別求「忽略壁面縱向導熱」與「納入壁面縱向導熱」兩種情況。

解題方法

1. 不考慮壁面縱向導熱

當縱向導熱參數為零時，交叉流且兩側皆未混合的熱交換器，其 $NTU=6$ 、 $C^*=1$ 有效度為：

\varepsilon_0=0.7729

代入入口溫差 $T_{h,i}-T_{c,i}=360-25=335^\circ\mathrm{C}$ ：

T_{h,o}=360-0.7729(335)=101.1^\circ\mathrm{C}

T_{c,o}=25+0.7729(335)=283.9^\circ\mathrm{C}

2. 考慮壁面縱向導熱

Question 10

Problem 10 (4 points)
It is desired to cool down 0.34 kg/s of an aqueous solution with a heat capacity similar to water from 60 to 50°C. The cooling fluid will be 0.3 kg/s of water at 25°C. A double-pipe heat exchanger will be used. The external diameter of the interior tube is 0.025 m. The overall heat transfer coefficient is estimated as 1,600 W/(m²·K). Calculate the necessary tube length if
(a) A countercurrent arrangement is used. (2 points)
(b) A co-current arrangement is used. (2 points)

Accepted Answer

核心觀念 本題使用熱量衡算與對數平均溫差法計算雙管式熱交換器所需長度。穩態下，熱流體放出的熱量等於冷卻水吸收的熱量： $$ Q=\dot mh c{p,h}(T{h,i}-T{h,o}) =\dot mc c{p,c}(T{c,o}-T{c,i}) $$ 熱交換面積與管長的關係為： $$ Q=UA\Delta T{\mathrm{lm}},\qquad A=\pi Do L $$ 其中 $Do$ 是內管外徑。對數平均溫差為： $$ \Delta T{\mathrm{lm}} =\frac{\Delta T1-\Delta T2} {\ln(\Delta T1/\Delta T2)} $$ 兩端的溫差配對會依逆流或並流而不同。 解題方法 將溶液與水的比熱都近似為水的比熱： $$ cp=4.18	imes10^3\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} $$ 熱流體的熱負荷為： $$ Q=(0.34)(4180)(60-50) =14212\ \mathrm{W} $$ 由能量衡算求冷卻水出口溫度： $$ T{c,o}=25+\frac{14212}{(0.30)(4180)} =36.33^\circ\mathrm{C} $$ 先求所需熱交換面積，再以 $L=A/(\pi Do)$ 求長度；題目給定 $Do=0.025\ \mathrm{m}$、$U=1600\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$。 (a) 逆流 逆流兩端的溫差分別為： $$ \Delta T1=T{h,i}-T{c,o}=60-36.33=23.67\ \mathrm{K} $$

Question 11

Problem 11 (3 points)
A mercury-in-glass thermometer having $\varepsilon = 0.9$ hangs in a metal building and indicates a temperature of 20°C. The walls of the building are poorly insulated and have a temperature of 5°C. The value of $h$ for the thermometer may be taken as 8.3 W/m²·°C. Calculate the true air temperature.

( $\sigma = 5.669 \times 10^{-8}\ W/m^2 \cdot K^4$ )

Accepted Answer

核心觀念

溫度計達到穩態時，從空氣吸收的對流熱量等於向較冷牆面放出的輻射熱量。因為牆面溫度低於溫度計示值，溫度計會因輻射而比空氣冷，因此真實空氣溫度高於 $20^\circ\mathrm{C}$ 。

假設溫度計與周圍牆面間的淨輻射可用灰體對大等溫環境的公式表示，且忽略溫度計支桿導熱：

h(T_{\text{air}}-T_{\text{thermometer}}) = \varepsilon\sigma \left(T_{\text{thermometer}}^4-T_{\text{wall}}^4\right)

輻射項中的溫度必須使用絕對溫度，單位為 K。

解題方法

溫度計示值即其感溫部分的溫度：

T_{\text{thermometer}}=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}

牆面絕對溫度為：

T_{\text{wall}}=5+273.15=278.15\ \mathrm{K}

先計算溫度計對牆面的淨輻射熱通量：

113 年 國立臺灣大學高分子科學與工程學研究所甲組《單元操作與輸送現象》

第 Problem 1 題13 分

第 Problem 2 題20 分

核心觀念

解題方法與詳細推導

(a) 殼層動量平衡推導與常數說明

(b) 速度分佈 u(y)u(y)u(y) 與平均流速 umu_mum​ 的推導

第 Problem 3 題21 分

核心觀念

解題方法

(a) k′′k''k′′ 的單位

(b) 推導 xAx_AxA​ 的二階微分方程

(c) 邊界條件與莫耳分率分布

邊界條件

求解濃度分布

第 Problem 4 題10 分

第 Problem 5 題8 分

核心觀念

解題方法：Kremser 汽提方程式

最小蒸汽消耗量

特定蒸汽消耗量與最小值之比

第 Problem 6 題4 分

第 Problem 7 題3 分

核心觀念

解題方法

第 Problem 8 題10 分

核心觀念

解題方法

1. 求煙氣出口溫度

2. 求以管外面積為基準的總熱傳係數

第 Problem 9 題4 分

核心觀念

解題方法

1. 不考慮壁面縱向導熱

2. 考慮壁面縱向導熱

第 Problem 10 題4 分

第 Problem 11 題3 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

113 年臺灣大學的其他科目

臺灣大學《單元操作與輸送現象》其他年度

其他學校的化工與材料考古題

113 年國立臺灣大學高分子科學與工程學研究所甲組《單元操作與輸送現象》

(b) 速度分佈 $u(y)$ 與平均流速 $u_m$ 的推導

(a) $k''$ 的單位

(b) 推導 $x_A$ 的二階微分方程