109 年 國立臺灣大學化學工程系碩士班《單元操作與輸送現象》

本題主要在測試學生對物理量單位系統的掌握度，特別是 SI 單位。

(a) Rate of strain (應變率)：
應變率定義為速度梯度，其單位為速度除以長度，即 $\frac{[L]/[T]}{[L]} = \frac{1}{[T]}$。SI 單位為 s⁻¹。

(b) Thermal diffusivity (熱擴散係數)：
熱擴散係數 $\alpha$ 的定義為 $\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$，其中 $k$ 是熱導係數 (W/(m·K))，$\rho$ 是密度 (kg/m³)，$c_p$ 是定壓比熱 (J/(kg·K))。
因此，$\alpha$ 的單位為 $\frac{W/(m \cdot K)}{(kg/m^3) \cdot (J/(kg \cdot K))} = \frac{W \cdot m}{J}$。
由於 $W = J/s$，所以單位變為 $\frac{(J/s) \cdot m}{J} = \frac{m}{s}$。
SI 單位為 m²/s。

(c) NPSH (Net Positive Suction Head)：
NPSH 是指液體在泵入口處的絕對壓力頭，扣除液體蒸氣壓頭後，再加上動能頭。其單位通常是壓力 (Pa) 或長度 (m)。在工程上，常以壓力或液柱高度表示。
若表示為壓力，SI 單位為 Pa。若表示為液柱高度，SI 單位為 m。題目要求 SI 單位，通常指壓力單位 Pa。

(d) Fanning friction factor (Fanning 摩擦係數)：

本題主要在測試學生對 Navier-Stokes 方程式的理解，包括各種近似情況下的簡化以及其適用範圍。

Navier-Stokes 方程式為：
$\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$
其中：

• $\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}$：非定常項 (Unsteady term)
• $\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}$：對流項 (Convective term)
• $-\nabla p$：壓力梯度項 (Pressure gradient term)
• $\mu \nabla^2 \mathbf{v}$：黏滯項 (Viscous term)
• $\rho \mathbf{g}$：重力項 (Gravitational term)

(a) For a steady velocity field, which term(s) in the above equation can be neglected? (1 point)
穩態 (steady) 表示流場不隨時間變化，即 $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = 0$。因此，非定常項 $\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}$ 可以被忽略。
【答案】$\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}$

(b) For a flow with very small Reynolds number, which term(s) in the above equation can be neglected? (2 points)
雷諾數 (Reynolds number, Re) 是慣性力與黏滯力之比。
$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$，其中 $v$ 是特徵速度，$L$ 是特徵長度。
當雷諾數非常小 ($Re \ll 1$) 時，慣性力遠小於黏滯力。
慣性力主要體現在非定常項 $\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}$ 和對流項 $\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}$。
因此，當 $Re \ll 1$ 時，慣性力項可以被忽略。

本題考驗的是物質傳輸中的隨跡導數 (material derivative) 或實質導數 (substantial derivative) 的概念，以及如何應用於觀察者隨流體運動時的濃度變化率。

給定的魚類濃度分佈函數為：
$C(x, y, z, t) = 5t + 3x + 2y + z$

觀察者（船）的運動速度為：
$V_x = \frac{dx}{dt} = 5$ m/min
$V_y = \frac{dy}{dt} = 2$ m/min
$V_z = \frac{dz}{dt} = 0$ m/min

我們要求的是觀察者所感受到的濃度隨時間的變化率，也就是隨跡導數 $\frac{DC}{Dt}$。
隨跡導數的定義為：
$\frac{DC}{Dt} = \frac{\partial C}{\partial t} + V_x \frac{\partial C}{\partial x} + V_y \frac{\partial C}{\partial y} + V_z \frac{\partial C}{\partial z}$
其中 $\frac{\partial C}{\partial t}$ 是局部變化率 (local rate of change)，而 $V_x \frac{\partial C}{\partial x} + V_y \frac{\partial C}{\partial y} + V_z \frac{\partial C}{\partial z}$ 是對流變化率 (convective rate of change)。

首先，我們需要計算濃度 $C$ 對空間座標的偏導數：
$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (5t + 3x + 2y + z) = 3$
$\frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (5t + 3x + 2y + z) = 2$
$\frac{\partial C}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (5t + 3x + 2y + z) = 1$

同時，濃度 $C$ 對時間的偏導數為：
$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (5t + 3x + 2y + z) = 5$

現在，將這些值代入隨跡導數的公式：
$\frac{DC}{Dt} = \frac{\partial C}{\partial t} + V_x \frac{\partial C}{\partial x} + V_y \frac{\partial C}{\partial y} + V_z \frac{\partial C}{\partial z}$

本題主要考查分離單元操作中，萃取和蒸餾的基本參數定義及其關聯性。

(a) Give the definition of the "selectivity ratio" and "distribution coefficient" in extraction? (6 points)

Distribution Coefficient (分配係數), $K$ 或 $D$
在液-液萃取中，分配係數定義為在平衡狀態下，某一特定組分在兩種互不相溶的溶劑中濃度（或活度）之比。通常，它表示溶質在萃取劑（溶質溶解度較高的一相）與溶質在原溶劑（溶質溶解度較低的一相）中的濃度比。
假設有組分 $i$，在萃取劑相（通常是重相，記為 2）和原溶劑相（通常是輕相，記為 1）中的平衡濃度分別為 $C_{i,2}$ 和 $C_{i,1}$。
則分配係數 $K_i$ 為：
$K_i = \frac{C_{i,2}}{C_{i,1}}$
在實際應用中，常用莫耳分數或質量分數來表示濃度。對於理想溶液，分配係數為常數；對於非理想溶液，則使用活度比。

Selectivity Ratio (選擇性比), $\beta$ 或 $\alpha$
選擇性比用於衡量萃取系統分離兩種組分的能力。它定義為兩種組分在兩相間分配係數之比。
假設要分離組分 $A$ 和 $B$，它們在萃取劑相（2）和原溶劑相（1）中的分配係數分別為 $K_A$ 和 $K_B$。
則選擇性比 $\beta$ 為：
$\beta = \frac{K_A}{K_B} = \frac{(C_{A,2}/C_{A,1})}{(C_{B,2}/C_{B,1})} = \frac{C_{A,2}/C_{B,2}}{C_{A,1}/C_{B,1}}$
選擇性比越大，表示萃取系統分離這兩種組分的能力越強。理想情況下，$\beta \gg 1$ 或 $\beta \ll 1$。

本題主要考查固定床反應器或填充塔中，流體流動與壓降之間的關係，特別是氣液逆流操作時的特殊現象。

題目圖示為壓力降 (Pressure drop) 與氣體速度 (Gas velocity) 在填充塔中的關係，其中液體向下流動，氣體向上流動（逆流操作）。
圖中顯示，隨著氣體速度的增加，壓力降也隨之增加。然而，在某一點之後，壓力降的增加率會急劇變大。

Point X:
Point X 通常代表 最小氣體速度 (Minimum Gas Velocity) 或 起始壓降點 (Onset of significant pressure drop)。
在這個點之前，氣體流速較低，液體主要以層流方式向下流動，氣體與液體的接觸主要發生於液體表面。此時的壓降主要由氣體通過填充物床層的阻力以及液體層流的重力流動所引起。
在 X 點之後，隨著氣體流速的增加，氣體開始對液體產生顯著的拖曳作用，導致液體流動模式改變，可能開始出現霧沫流 (mist flow) 或其他更複雜的流動模式。壓降的增加率在此點後開始顯著加快。

Point Y:
Point Y 通常代表 最小液體負荷點 (Minimum Liquid Loading Point) 或 負荷現象的開始點 (Onset of loading)。

核心觀念

本題考查二元混合物中的：

• 絕對莫耳通量：$N_i=c_i\mathbf v_i$
• 莫耳平均速度：

$$\mathbf v=\frac{c_A\mathbf v_A+c_B\mathbf v_B}{c_A+c_B}$$

• 相對於莫耳平均速度的擴散通量：

$$\mathbf J_i=c_i(\mathbf v_i-\mathbf v)$$

• 菲克第一定律：

$$\mathbf J_A=-C D_{AB}\nabla x_A$$

其中

$$C=c_A+c_B,\qquad x_A=\frac{c_A}{C}$$

若總莫耳濃度 $C$ 為常數，則 $\nabla x_A=\nabla c_A/C$，因此可寫成

$$\mathbf J_A=-D_{AB}\nabla c_A$$

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解題方法

先將絕對莫耳通量分解為「整體平均運動造成的通量」與「相對擴散造成的通量」，再利用二元混合物中兩組分的擴散通量大小相等、方向相反，證明互擴散係數相等。最後令 B 為停滯組分，求出 A 的絕對通量。

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（1）推導 A 的絕對莫耳通量

A 的絕對莫耳通量定義為

$$\mathbf N_A=c_A\mathbf v_A$$

將 $\mathbf v_A$ 寫成莫耳平均速度與相對速度之和：

$$\mathbf v_A=\mathbf v+(\mathbf v_A-\mathbf v)$$

因此

$$\mathbf N_A =c_A\mathbf v+c_A(\mathbf v_A-\mathbf v)$$

定義 A 相對於平均速度的擴散通量為

$$\mathbf J_A=c_A(\mathbf v_A-\mathbf v)$$

所以

$$\mathbf N_A=c_A\mathbf v+\mathbf J_A$$

依菲克第一定律，

$$\mathbf J_A=-C D_{AB}\nabla x_A$$

故 A 的一般形式絕對莫耳通量為

$$\boxed{\mathbf N_A=c_A\mathbf v-C D_{AB}\nabla x_A}$$

若總莫耳濃度 $C$ 為常數，則

$$C\nabla x_A=\nabla c_A$$

因此得到常見的濃度形式：

$$\boxed{\mathbf N_A=c_A\mathbf v-D_{AB}\nabla c_A}$$

其中：

• $c_A\mathbf v$ 是因混合物整體平均運動所造成的莫耳通量；
• $-D_{AB}\nabla c_A$ 是 A 的擴散通量；
• 擴散方向總是由高濃度指向低濃度。

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（2）證明 $D_{AB}=D_{BA}$

由莫耳平均速度的定義：

$$C\mathbf v=c_A\mathbf v_A+c_B\mathbf v_B$$

因此

$$c_A(\mathbf v_A-\mathbf v) +c_B(\mathbf v_B-\mathbf v)=0$$

也就是

$$\mathbf J_A+\mathbf J_B=0$$

故

$$\mathbf J_B=-\mathbf J_A$$

對 A 使用菲克第一定律：

$$\mathbf J_A=-C D_{AB}\nabla x_A$$

對 B 使用菲克第一定律：

$$\mathbf J_B=-C D_{BA}\nabla x_B$$

由二元混合物關係

$$x_A+x_B=1$$

可得

$$\nabla x_B=-\nabla x_A$$

所以

$$\mathbf J_B =-C D_{BA}(-\nabla x_A) =C D_{BA}\nabla x_A$$

另一方面，由 $\mathbf J_B=-\mathbf J_A$：

$$\mathbf J_B=C D_{AB}\nabla x_A$$

比較兩式：

$$C D_{AB}\nabla x_A =C D_{BA}\nabla x_A$$

在非均勻濃度分布下，$C\neq 0$ 且 $\nabla x_A\neq 0$，因此

本題主要考查蒸發冷卻的原理、其在濕度圖上的應用，以及在台灣的適用性。

核心觀念：
蒸發冷卻 (Evaporative Cooling) 是一種利用水蒸發時吸收熱量來降低空氣溫度的過程。當空氣通過充滿濕潤介質（如濕的稻草、濾網）的裝置時，水會蒸發，從空氣中吸收潛熱，從而降低空氣的溫度。

(1) Please explain the working principle of this cooler. (5 points)
此冷卻器的工作原理是基於水的蒸發冷卻效應。

1. 濕潤介質： 裝置內裝有濕潤的稻草（或其他多孔濕潤材料），這些材料提供了較大的水表面積。
2. 空氣通過： 暖濕空氣被強制通過這些濕潤的稻草。
3. 蒸發過程： 濕潤的稻草中的水分會蒸發到流過的空氣中。
4. 吸熱降溫： 水的蒸發是一個吸熱過程（潛熱）。這些熱量從流過的空氣中吸收。
5. 冷卻效果： 當空氣失去熱量後，其溫度會降低。同時，由於水分蒸發進入空氣，空氣的濕度會增加。
6. 最終產物： 離開裝置的空氣溫度較低，但濕度較高。

這種冷卻方式的極限是空氣達到濕球溫度 (Wet-bulb temperature)。在理想情況下，如果空氣與濕潤介質充分接觸，並且有足夠的水供應，空氣的溫度可以接近其濕球溫度。

(2) A psychometric chart can be used to estimate the maximum temperature drop of the air obtainable with such
cooler. Sketch the chart with the marks on important properties (8 points) and describe how to estimate the
maximum temperature drop using the chart. (4 points).

濕度圖 (Psychrometric Chart) 簡介：
濕度圖是一種圖表，用於顯示空氣的各種熱力學性質之間的關係，通常以大氣壓為基準。常見的坐標軸是：

• 橫坐標：乾球溫度 (Dry-bulb temperature, $T_{db}$)，表示空氣的實際溫度。
• 縱坐標：絕對濕度 (Absolute humidity, $\omega$) 或相對濕度 (Relative humidity, $\phi$)。有時也用焓值 (Enthalpy, $h$) 作為縱坐標。

Sketch the chart with the marks on important properties (8 points):

🖼️【此處需要繪製濕度圖。請參考標準濕度圖，標示出以下重要性質線：】

• 橫軸： 乾球溫度 ($T_{db}$)。
• 縱軸： 絕對濕度 ($\omega$) 或焓值 ($h$)。
• 等濕度線 (Constant humidity ratio lines)： 垂直線（如果縱軸是焓值或濕度），表示絕對濕度 $\omega$ 不變。
• 等乾球溫度線 (Constant dry-bulb temperature lines)： 垂直線（如果橫軸是溫度），表示乾球溫度 $T_{db}$ 不變。
• 等焓值線 (Constant enthalpy lines)： 通常是與濕球溫度線接近平行的斜線。
• 等濕球溫度線 (Constant wet-bulb temperature lines, $T_{wb}$)： 這是蒸發冷卻過程的關鍵。這些線通常是從左上方傾斜到右下方。
• 等相對濕度線 (Constant relative humidity lines, $\phi$)： 這些線呈曲線狀，從左上方（高濕度）向右下方（低濕度）延伸。100% 相對濕度線是飽和曲線。
• 飽和曲線 (Saturation curve)： 位於圖的最左邊，代表 100% 相對濕度。

標示方法：

1. 繪製基本的濕度圖框架。
2. 標示橫軸為乾球溫度 $T_{db}$。
3. 標示縱軸為絕對濕度 $\omega$ 或焓值 $h$。

本題主要考查穩態熱傳導問題，特別是球座標系下的熱傳導微分方程式及其邊界條件的建立與應用，以及總熱平衡的概念。

核心觀念：
穩態熱傳導，溫度只與徑向座標 $r$ 有關。
總熱量產生率 = 總熱量散失率。
熱傳導微分方程式（球座標系，徑向）：
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 k \frac{dT}{dr}) + S = 0$
其中 $S$ 是單位體積的熱源強度。

幾何參數：

• 燃料芯半徑：$R_F$
• 包覆層外半徑：$R_C$
• 燃料芯熱導係數：$k_F$
• 包覆層熱導係數：$k_C$
• 燃料芯單位體積產熱率：$S_F$ (常數)
• 外部對流換熱係數：$h$
• 環境溫度：$T_a$
• 溫度函數：$T(r)$

溫度分佈：

• 燃料芯溫度：$T_F(r)$，對於 $0 \le r \le R_F$
• 包覆層溫度：$T_C(r)$，對於 $R_F \le r \le R_C$
• 介面溫度：$T_0 = T_F(R_F) = T_C(R_F)$
• 外表面溫度：$T_1 = T_C(R_C)$

(1) Find $T_1$ (the temperature at $r=R_C$) without solving any differential equations. (8 points) (Hint: overall heat
balance may help)

總熱平衡：
系統的總熱量產生率必須等於從系統散失到環境的總熱量。
總熱量產生率 (Heat Generation Rate)：
熱量在燃料芯中產生，體積為 $V_F = \frac{4}{3} \pi R_F^3$。
總產熱率 $Q_{gen} = S_F \times V_F = S_F \times \frac{4}{3} \pi R_F^3$。

總熱量散失率 (Heat Dissipation Rate)：
熱量通過對流從燃料元件的外表面 ($r=R_C$) 散失到環境中。
散熱面積 $A_1 = 4 \pi R_C^2$。
根據牛頓冷卻定律，散熱率 $Q_{loss} = h A_1 (T_1 - T_a)$。
$Q_{loss} = h (4 \pi R_C^2) (T_1 - T_a)$。

熱平衡方程：
$Q_{gen} = Q_{loss}$
$S_F \times \frac{4}{3} \pi R_F^3 = h (4 \pi R_C^2) (T_1 - T_a)$

求解 $T_1$：
$T_1 - T_a = \frac{S_F \times \frac{4}{3} \pi R_F^3}{h (4 \pi R_C^2)}$
$T_1 - T_a = \frac{S_F R_F^3}{3 h R_C^2}$
$T_1 = T_a + \frac{S_F R_F^3}{3 h R_C^2}$

這個結果不涉及求解微分方程，而是基於總熱平衡。
【答案】$T_1 = T_a + \frac{S_F R_F^3}{3 h R_C^2}$

(2) Write down the differential equation and the boundary conditions needed to solve $T_C$, the temperature in the
cladding. Find $T_0-T_1$, the temperature drop across the cladding. You are asked to find the answer without
solving $T_F$, the temperature in the sphere of fissionable material. (10 points)

包覆層 (Cladding) 的熱傳導微分方程式：
在包覆層區域 ($R_F \le r \le R_C$)，沒有內部熱源，所以 $S=0$。
熱導係數為 $k_C$。
微分方程式為：
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 k_C \frac{dT_C}{dr}) = 0$
$\frac{d}{dr} (r^2 \frac{dT_C}{dr}) = 0$

邊界條件 (Boundary Conditions, BCs)：

1. 在內表面 ($r=R_F$)：溫度連續。
   $T_C(R_F) = T_0$
   其中 $T_0$ 是燃料芯與包覆層之間的介面溫度。
2. 在外表面 ($r=R_C$)：熱流與對流換熱相等。
   $-k_C \frac{dT_C}{dr} \bigg|_{r=R_C} = h (T_1 - T_a)$
   我們已經知道 $T_1 = T_a + \frac{S_F R_F^3}{3 h R_C^2}$。
   所以，$-k_C \frac{dT_C}{dr} \bigg|_{r=R_C} = h (\frac{S_F R_F^3}{3 h R_C^2}) = \frac{S_F R_F^3}{3 R_C^2}$。

求解 $T_0 - T_1$：
我們需要求解 $T_C(r)$，然後計算 $T_0 - T_1$。
積分 $\frac{d}{dr} (r^2 \frac{dT_C}{dr}) = 0$ 兩次。
第一次積分：$r^2 \frac{dT_C}{dr} = C_1$
$\frac{dT_C}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$

第二次積分：$T_C(r) = \int \frac{C_1}{r^2} dr = -\frac{C_1}{r} + C_2$
所以，$T_C(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2$。

應用邊界條件：

1. $T_C(R_C) = T_1$：
   $T_1 = -\frac{C_1}{R_C} + C_2$
2. $-k_C \frac{dT_C}{dr} \bigg|_{r=R_C} = \frac{S_F R_F^3}{3 R_C^2}$
   $\frac{dT_C}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$
   $-k_C \frac{C_1}{R_C^2} = \frac{S_F R_F^3}{3 R_C^2}$
   $C_1 = -\frac{S_F R_F^3}{3 k_C}$

現在將 $C_1$ 代入 $T_C(r)$ 和 $T_1$ 的表達式：
$T_C(r) = -(-\frac{S_F R_F^3}{3 k_C}) \frac{1}{r} + C_2 = \frac{S_F R_F^3}{3 k_C r} + C_2$
$T_1 = -\frac{C_1}{R_C} + C_2 = -(-\frac{S_F R_F^3}{3 k_C}) \frac{1}{R_C} + C_2 = \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C} + C_2$
所以，$C_2 = T_1 - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}$。

因此，包覆層的溫度分佈為：
$T_C(r) = \frac{S_F R_F^3}{3 k_C r} + T_1 - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}$

現在求解 $T_0 - T_1$。
首先，求 $T_0 = T_C(R_F)$：
$T_0 = \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_F} + T_1 - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}$
$T_0 = \frac{S_F R_F^2}{3 k_C} + T_1 - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}$

計算 $T_0 - T_1$：
$T_0 - T_1 = (\frac{S_F R_F^2}{3 k_C} + T_1 - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}) - T_1$
$T_0 - T_1 = \frac{S_F R_F^2}{3 k_C} - \frac{S_F R_F^3}{3 k_C R_C}$