109 年 國立臺灣大學材料科學與工程研究所碩士班乙組《熱力學（B）》

本題主要考驗理想氣體反應的平衡常數計算以及反應焓的求取。

核心觀念：

• 化學平衡：平衡常數 $K_p$ 的定義與壓力相關。
• 平衡移動：凡德霍夫方程式 (Van't Hoff equation) 描述溫度對平衡常數的影響。

解題過程：

首先，我們需要建立反應過程中各組分的 mole 分數與分壓。
反應為 $3\text{A} \rightleftharpoons \text{B} + \text{C}$。
假設初始時有 $n_0$ 莫耳的 A，B 和 C 的莫耳數為 0。
當達到平衡時，若有 x 莫耳的 A 解離，則反應消耗了 x 莫耳的 A，生成了 $\frac{x}{3}$ 莫耳的 B 和 $\frac{x}{3}$ 莫耳的 C。
此時，各組分的莫耳數為：
$n_A = n_0 - x$
$n_B = \frac{x}{3}$
$n_C = \frac{x}{3}$
總莫耳數 $n_{total} = n_A + n_B + n_C = (n_0 - x) + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} = n_0 - \frac{x}{3}$。

題幹告知，在 1 bar 的總壓下，40% 的 A 解離。這表示 $x = 0.4 n_0$。
因此，各組分的莫耳數為：
$n_A = n_0 - 0.4 n_0 = 0.6 n_0$
$n_B = \frac{0.4 n_0}{3}$
$n_C = \frac{0.4 n_0}{3}$
總莫耳數 $n_{total} = n_0 - \frac{0.4 n_0}{3} = n_0 (1 - \frac{4}{30}) = n_0 (1 - \frac{2}{15}) = \frac{13}{15} n_0$。

各組分的 mole 分數 (y) 為：
$y_A = \frac{n_A}{n_{total}} = \frac{0.6 n_0}{\frac{13}{15} n_0} = \frac{0.6 \times 15}{13} = \frac{9}{13}$
$y_B = \frac{n_B}{n_{total}} = \frac{\frac{0.4 n_0}{3}}{\frac{13}{15} n_0} = \frac{0.4 \times 15}{3 \times 13} = \frac{6}{39} = \frac{2}{13}$
$y_C = \frac{n_C}{n_{total}} = \frac{\frac{0.4 n_0}{3}}{\frac{13}{15} n_0} = \frac{0.4 \times 15}{3 \times 13} = \frac{6}{39} = \frac{2}{13}$
檢查：$y_A + y_B + y_C = \frac{9}{13} + \frac{2}{13} + \frac{2}{13} = \frac{13}{13} = 1$。

分壓 (P) 為 $P_i = y_i P_{total}$。在此，$P_{total} = 1$ bar。
$P_A = \frac{9}{13}$ bar
$P_B = \frac{2}{13}$ bar
$P_C = \frac{2}{13}$ bar

反應的平衡常數 $K_p$ 定義為：
$K_p = \frac{P_B \cdot P_C}{(P_A)^3}$

a) 計算 T = 300 K 時的平衡常數 $K_p$。
將上述分壓代入：
$K_p(300 \text{ K}) = \frac{(\frac{2}{13} \text{ bar}) \cdot (\frac{2}{13} \text{ bar})}{(\frac{9}{13} \text{ bar})^3} = \frac{\frac{4}{13^2}}{\frac{9^3}{13^3}} = \frac{4 \cdot 13^3}{13^2 \cdot 9^3} = \frac{4 \cdot 13}{729} = \frac{52}{729}$
$K_p(300 \text{ K}) \approx 0.07133$ bar$^{-2}$。

b) 計算反應焓 $\Delta H$。
題幹給出另一個條件：當溫度從 300 K 增加 10 K (即 T = 301 K) 時，41% 的 A 解離。
我們需要計算 T = 301 K 時的 $K_p$。
在 T = 301 K 時，41% A 解離，即 $x = 0.41 n_0$。
$n_A = n_0 - 0.41 n_0 = 0.59 n_0$
$n_B = \frac{0.41 n_0}{3}$
$n_C = \frac{0.41 n_0}{3}$
總莫耳數 $n_{total} = n_0 - \frac{0.41 n_0}{3} = n_0 (1 - \frac{0.41}{3}) = n_0 (1 - 0.13667) = 0.86333 n_0$。

各組分的 mole 分數 (y) 為：
$y_A = \frac{0.59 n_0}{0.86333 n_0} \approx 0.6834$
$y_B = \frac{0.41 n_0 / 3}{0.86333 n_0} \approx \frac{0.13667}{0.86333} \approx 0.1583$

本題考驗二元相圖的繪製與相律的應用。

核心觀念：

• 相律 (Phase Rule): $f = c - p + 2$，其中 $f$ 為自由度，$c$ 為組元數，$p$ 為獨立相數。
• 二元共晶相圖 (Eutectic Phase Diagram): 描述兩組分在恆壓下隨溫度和組成變化的相平衡關係。

解題過程：

a) 繪製二元共晶相圖：
一個典型的二元共晶相圖在恆壓下（例如 1 atm）的溫度-組成空間中，具有以下特徵：

1. 兩條純組分的熔點： 相圖的兩側邊界代表純組分 A 和純組分 B。純 A 的熔點為 $T_{mA}$，純 B 的熔點為 $T_{mB}$。
2. 固相線 (Solidus Line)： 這是固體和液體共存的區域的下邊界。
3. 液相線 (Liquidus Line)： 這是液體和固體共存的區域的上邊界。
4. 共晶點 (Eutectic Point)： 這是液相線和固相線相交的最低溫點。在此點，液體直接轉變為兩種固體的混合物（通常是固溶體或純組分），無需經過固體相變。共晶點的溫度稱為共晶溫度 $T_E$，組成稱為共晶組成 $X_E$。
5. 單相區：
   • 液相區 (Liquid, L)： 在相圖的最高溫區域，整個系統為均勻的液體。
   • 固相區 (Solid, S)： 在相圖的最低溫區域，整個系統為均勻的固體。這可能是一個或多個固溶體區域，或純組分的固體區。
6. 兩相區：
   • 液體 + 固體 (L+S)： 在液相線下方和固相線上方之間的區域，系統包含液體和固體兩種相。
7. 共晶反應線： 在共晶點，發生共晶反應：$L \xrightarrow{T_E}$ $S_A + S_B$ (或 $S_{\alpha} + S_{\beta}$，取決於固相區域)。

繪圖步驟：

• 繪製座標軸：橫軸為組成（例如，從 0% B 到 100% B），縱軸為溫度。
• 標記純組分的熔點：在組成 0% B (純 A) 的位置標記 $T_{mA}$，在組成 100% B (純 B) 的位置標記 $T_{mB}$。
• 繪製液相線：從 $T_{mA}$ 和 $T_{mB}$ 開始，向內下方繪製兩條曲線，它們在某一點相交，形成共晶點 $(T_E, X_E)$。
• 繪製固相線：從共晶點 $(T_E, X_E)$ 向兩側上方繪製兩條曲線，它們一直延伸到 $T_{mA}$ 和 $T_{mB}$。
• 標記各區域的相：
  • 最上方為 L 區。
  • 液相線下方、固相線上方，在左右兩側分別是 L+$S_A$ 和 L+$S_B$ 區域 (如果存在固溶體，則表示為 L+$S_{\alpha}$ 和 L+$S_{\beta}$ 區域)。
  • 固相線下方，最左側為 $S_A$ 區，最右側為 $S_B$ 區（或 $S_{\alpha}$ 和 $S_{\beta}$ 區）。
  • 在共晶點，標記 L $\rightarrow S_A + S_B$ 的共晶反應。

【此處應繪製一張二元共晶相圖】
（請參考標準的二元共晶相圖，例如 Pb-Sn 系統的簡化圖。）
該圖的典型結構如下：

• 溫度 (Y軸)，組成 (X軸，例如從左到右為組分 A 到組分 B)。
• 左上角標記純 A 的熔點 $T_{mA}$。
• 右上角標記純 B 的熔點 $T_{mB}$。
• 從 $T_{mA}$ 和 $T_{mB}$ 向中間下方繪製兩條曲線，在最低點相交，此點為共晶點 $(T_E, X_E)$。
• 從共晶點向兩側上方繪製兩條曲線，連接到 $T_{mA}$ 和 $T_{mB}$。
• 在最高溫區域（液相線上方的整個區域）標記 L。
• 在最低溫區域（固相線下方的整個區域）標記 $S_A$ (左側) 和 $S_B$ (右側)。

核心觀念

溶液總體積可表示為各成分莫耳數乘以其偏莫耳體積之和：

$$V=n_{\mathrm{w}}\overline{V}_{\mathrm{w}} +n_{\mathrm{m}}\overline{V}_{\mathrm{m}}$$

其中：

• $\overline{V}_{\mathrm{w}}$：水的偏莫耳體積
• $\overline{V}_{\mathrm{m}}$：甲醇的偏莫耳體積

題目假設混合後水的偏莫耳體積不變，因此水在混合後仍佔有原本的 $100\ \mathrm{dm^3}$。混合造成的體積變化，全部由甲醇的偏莫耳體積反映。

解題方法

1. 求甲醇的莫耳數

甲醇體積為：

$$V_{\mathrm{m,pure}}=15\ \mathrm{dm^3} =15000\ \mathrm{cm^3}$$

其質量為：

$$m_{\mathrm{m}} =\rho_{\mathrm{m}}V_{\mathrm{m,pure}} =(0.7928)(15000) =11892\ \mathrm{g}$$

採用甲醇莫耳質量 $M_{\mathrm{m}}=32.04\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$：

$$n_{\mathrm{m}} =\frac{11892}{32.04} =371.2\ \mathrm{mol}$$

2. 求甲醇在溶液中的體積貢獻

混合前水的體積為 $100\ \mathrm{dm^3}$，且題目指定水的偏莫耳體積不變，因此混合後水的體積貢獻仍為：

核心觀念

本題考查 Gibbs 自由能的微分式。對定組成、封閉且僅有 $PV$ 功的簡單可壓縮系統，需使用：

• 熱力學第一定律：$dU=\delta Q-\delta W$
• 可逆過程的第二定律：$\delta Q_{\mathrm{rev}}=TdS$
• 可逆體積功：$\delta W_{\mathrm{rev}}=PdV$
• Gibbs 自由能定義：

$$G=H-TS=U+PV-TS$$

其中 $U$ 為內能、$H$ 為焓、$S$ 為熵、$T$ 為溫度、$P$ 為壓力、$V$ 為體積。

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解題方法與推導

熱力學第一定律表示系統能量的變化為吸收熱量扣除系統對外所作的功：

$$dU=\delta Q-\delta W$$

對僅有體積功的可逆過程，

$$\delta W_{\mathrm{rev}}=PdV$$

由熱力學第二定律，

$$\delta Q_{\mathrm{rev}}=TdS$$

代入第一定律，得到熱力學基本關係式：

$$dU=TdS-PdV$$

Gibbs 自由能的定義為

$$G=U+PV-TS$$

對此式取全微分：

$$dG=dU+d(PV)-d(TS)$$

利用乘積微分法則，

$$d(PV)=PdV+VdP$$ $$d(TS)=TdS+SdT$$

因此，

$$dG=dU+PdV+VdP-TdS-SdT$$

代入 $dU=TdS-PdV$：

$$\begin{aligned} dG &=(TdS-PdV)+PdV+VdP-TdS-SdT \\ &=VdP-SdT \end{aligned}$$

所以，

本題考驗對熱力學第三定律的理解及其在絕對零度方面的含義。

核心觀念：

• 熱力學第三定律 (Third Law of Thermodynamics)：
  • 版本一：任何純物質的完美晶體在絕對零度 (0 K) 時，其熵值為零。($S(T \to 0 \text{ K}) = 0$)
  • 版本二：不可能透過有限步驟達到絕對零度。

解題過程：

熱力學第三定律的陳述「It is impossible for any process, no matter how idealized, to reduce the temperature of any closed system to zero K in a finite number of operations」是該定律的一個重要推論。要理解這句話，我們需要從熵的觀點來分析。

從熱力學第三定律的第一個版本，我們知道，純物質完美晶體的熵在絕對零度時為零。對於任何物質，隨著溫度的降低，其熵值也會降低。這是因為溫度降低意味著分子運動減慢，系統的無序程度降低，因此熵減少。

現在考慮一個系統如何降溫。通常，降溫是通過將系統與一個較冷的「冷庫」(cold reservoir) 接觸來實現的。例如，製冷機就是利用這個原理。製冷機需要消耗功來將熱量從低溫處轉移到高溫處。

根據熱力學第二定律，一個過程的熵變 $\Delta S_{total} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surroundings} \ge 0$。
為了使系統的溫度降低，系統的熵必須降低（因為溫度降低意味著更有序的狀態）。
如果系統的熵降低，那麼為了滿足第二定律，環境（或冷庫）的熵必須增加得更多，以確保總熵增加或保持不變。

當我們試圖將系統的溫度降低到接近絕對零度時，會發生以下情況：

1. 系統的熵接近零： 根據第三定律，當溫度趨近於 0 K 時，系統的熵也趨近於零。這意味著系統變得越來越有序，幾乎沒有剩餘的自由度。
2. 能量轉移變得困難： 為了從系統中移除熱量（降低溫度），我們需要將熱量轉移到一個更冷的冷庫。然而，當系統的溫度極低時，系統與冷庫之間的溫差也變得極小。根據熱力學的原理，熱量的傳遞效率與溫差有關。溫差越小，轉移相同量熱量的效率就越低，或者說需要更多的功來完成這個轉移。
3. 熵增加的需求： 為了從系統中移除熱量 $\delta q < 0$（使系統降溫），我們必須將這些熱量轉移到冷庫，或者通過做功將其移除。如果我們將熱量轉移到冷庫，冷庫的溫度必須低於系統。假設冷庫的溫度是 $T_{cold}$。那麼，從系統移除熱量 $q$（假設是可逆過程）需要冷庫的熵增加 $\Delta S_{cold} = -q/T_{cold}$。

本題考驗對 Flory-Huggins 混合理論的理解，特別是混合自由能、相互作用參數 $\chi_{AB}$ 以及分子量對混合自由能的影響。

核心觀念：

• Flory-Huggins 混合理論：描述高分子與小分子或不同高分子混合時的混合自由能，考慮了格子模型、鏈構象和分子間相互作用。
• 混合自由能 ($\Delta F_{mix}$)：混合前後的自由能差，包含熵貢獻和焓貢獻。
• 相互作用參數 ($\chi_{AB}$)：描述組分 A 和組分 B 之間相互作用強度的參數，與焓有關。
• 分子量對混合的影響：高分子的混合行為與其分子量密切相關。

解題過程：

a) $\chi_{AB}$ 的物理意義：
Flory-Huggins 混合理論中的 $\chi_{AB}$ 參數是無因次的，它代表了組分 A 和組分 B 之間相對的相互作用強度。更具體地說，它與混合過程中的焓變有關。

$\chi_{AB}$ 的定義通常可以聯繫到單位格子點上的相互作用能：
$\chi_{AB} = \frac{z}{kT} [ E_{AB} - \frac{1}{2}(E_{AA} + E_{BB}) ]$
其中：

• $z$ 是格子的配位數 (coordination number)。
• $k$ 是玻爾茲曼常數。
• $T$ 是絕對溫度。
• $E_{AB}$ 是 A 和 B 分子間形成一個接觸點時的相互作用能。
• $E_{AA}$ 是 A 和 A 分子間形成一個接觸點時的相互作用能。
• $E_{BB}$ 是 B 和 B 分子間形成一個接觸點時的相互作用能。

從這個定義可以看出：

• 如果 $E_{AB} < \frac{1}{2}(E_{AA} + E_{BB})$，則 $\chi_{AB} < 0$。這表示 A-B 間的吸引力比 A-A 和 B-B 間的平均吸引力更強。此時，混合是放熱的（焓變為負），有利於混合。
• 如果 $E_{AB} > \frac{1}{2}(E_{AA} + E_{BB})$，則 $\chi_{AB} > 0$。這表示 A-B 間的排斥力比 A-A 和 B-B 間的平均排斥力更強。此時，混合是吸熱的（焓變為正），不利於混合。
• 如果 $E_{AB} = \frac{1}{2}(E_{AA} + E_{BB})$，則 $\chi_{AB} = 0$。這表示 A-B 間的相互作用與 A-A 和 B-B 間的平均相互作用相似，混合過程的焓變接近於零。

在 Flory-Huggins 方程式中，$\chi_{AB}\phi(1-\phi)$ 項代表了混合的焓貢獻。
因此，$\chi_{AB}$ 衡量了組分 A 與組分 B 之間相互作用的相對偏好性（或排斥性）。

物理意義： $\chi_{AB}$ 是衡量組分 A 和組分 B 之間相互作用強度的一個參數。

• $\chi_{AB} < 0$: A-B 相互作用比 A-A 和 B-B 平均相互作用更強，混合有利於放熱，傾向於形成混合物。
• $\chi_{AB} > 0$: A-B 相互作用比 A-A 和 B-B 平均相互作用更弱（或排斥更強），混合傾向於吸熱，不利於混合。
• $\chi_{AB} = 0$: A-B 相互作用與 A-A 和 B-B 平均相互作用相似，混合焓變為零。

b) 使用該方程式解釋分子量對 $\Delta F_{mix}$ 的影響：

Flory-Huggins 方程式為：
$\frac{\Delta F_{mix}}{kT} = \frac{1}{N_A} \ln \phi + \frac{1}{N_B} \ln(1-\phi) + \chi_{AB}\phi(1-\phi)$
其中 $\phi$ 是組分 A 的體積分數，$1-\phi$ 是組分 B 的體積分數。
$N_A$ 和 $N_B$ 是組分 A 和組分 B 的鏈長（分子量與單元分子量的比值）。

我們需要分析 $N_A$ 和 $N_B$ 如何影響 $\Delta F_{mix}$。

1. 熵貢獻 (Entropic Contribution)：
   方程中的前兩項 $\frac{1}{N_A} \ln \phi + \frac{1}{N_B} \ln(1-\phi)$ 代表了混合的熵貢獻。

   • $\frac{1}{N_A} \ln \phi$ 是組分 A 的熵貢獻。
   • $\frac{1}{N_B} \ln(1-\phi)$ 是組分 B 的熵貢獻。

   當分子量（鏈長）$N_A$ 或 $N_B$ 增大時，$\frac{1}{N_A}$ 或 $\frac{1}{N_B}$ 會減小。
   這意味著，對於高分子（大 $N$），其混合熵貢獻會減小。

   • 原因： 高分子的混合熵主要來源於其構象的自由度。當高分子混合時，它們的鏈段可以自由地排列和組合，產生混合熵。然而，由於高分子鏈的連接性，其構象自由度受到限制。

本題要求說明熱力學在高分子科學中的重要性，並提供一個具體範例。

核心觀念：

• 高分子科學中的熱力學：研究高分子的相行為、溶解度、相變、熱穩定性、機械性能等，這些都與自由能、焓、熵等熱力學量密切相關。
• 熱力學的預測能力：熱力學可以預測一個過程是否自發進行，以及系統在平衡時的狀態。

解題過程：

熱力學在高分子科學中至關重要，因為它提供了理解和預測高分子材料行為的基礎框架。高分子材料的許多關鍵特性，如溶解度、相行為（如結瘤、相分離）、玻璃轉變溫度、熔點、結晶度、機械性能（如強度、彈性）以及加工行為（如成型、擠出），都與熱力學原理緊密相連。

以下是熱力學在高分子科學中的重要性體現：

1. 預測溶解度和相行為：

   • 高分子的溶解度是其應用中的一個關鍵因素。熱力學的混合自由能 ($\Delta G_{mix}$) 可以預測一個高分子是否能與某種溶劑形成均勻溶液。
   • $\Delta G_{mix} = \Delta H_{mix} - T\Delta S_{mix}$。
   • 混合自發進行的條件是 $\Delta G_{mix} < 0$。
   • Flory-Huggins 理論就是一個基於熱力學原理的模型，用於計算高分子溶液的混合自由能，並預測溶解度參數和相分離行為。例如，它解釋了為什麼有些高分子易溶於某些溶劑，而有些則難溶，以及高分子溶液為何可能在特定溫度範圍內發生相分離（如 UCST 或 LCST 行為）。

2. 理解相變：

   • 高分子材料通常會經歷相變，如熔化（從結晶態到無定形態）、玻璃轉變（從剛性玻璃態到橡膠態）。
   • 這些相變的發生與自由能、焓和熵的變化有關。例如，熔化過程需要克服晶格能（焓的增加）並獲得構象自由度（熵的增加）。相變的溫度（如熔點 $T_m$）可以通過使固相和液相的吉布斯自由能相等來計算。
   • 熱力學的 Clausius-Clapeyron 方程式可以應用於估計熔點隨壓力變化的趨勢，或用於推導熔點與分子量、結晶度等參數的關係。

3. 解釋機械性能：

   • 高分子的機械性能，如彈性模量、強度、韌性，也與其微觀結構和熱力學穩定性有關。
   • 例如，橡膠的彈性可以通過熵來解釋：拉伸橡膠時，高分子鏈變得更規整，熵減少，這是一個不 favor 的過程，因此存在一個恢復力將其拉回無規狀態（熵力）。
   • 結瘤或結晶度對機械性能有顯著影響，而結晶的熱力學（如結晶焓和熵）決定了結瘤的程度和溫度。

範例：高分子溶解度與相分離

原因： 高分子科學中，許多應用都依賴於高分子能否溶解在特定溶劑中，或者在特定條件下發生相分離。例如，製作薄膜、纖維、塗料、藥物釋放系統等，都需要精確控制高分子的溶解度和相行為。熱力學提供了預測和解釋這些現象的工具。

範例說明：
考慮一個高分子 A 與溶劑 S 的混合體系。
根據熱力學的混合自由能：$\Delta G_{mix} = \Delta H_{mix} - T\Delta S_{mix}$。

好的，這是一份針對臺灣大學材料科學與工程研究所 109 年熱力學（B）考題第 8 題的詳解。

這題考的核心觀念是利用 Clausius-Clapeyron 方程式來估計物質的熔化焓。Clausius-Clapeyron 方程式描述了相平衡時，壓力隨溫度變化的關係，而這個關係與相變的焓值有關。透過測量在不同溫度下的平衡壓力，我們可以推算出熔化焓。

詳解

實驗設計：估計水的熔化焓

核心觀念：
Clausius-Clapeyron 方程式描述了在兩相平衡時，壓力 $P$ 隨溫度 $T$ 的變化率與相變焓 $\Delta H$ 和體積變化 $\Delta V$ 的關係。對於熔化過程，我們可以寫成：
$\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{fus}}{T\Delta V_{fus}}$
其中 $\Delta H_{fus}$ 是熔化焓，$\Delta V_{fus}$ 是熔化時的體積變化。

實驗步驟與原理說明：

1. 實驗裝置準備：

   • 需要一個能夠精確控制溫度並測量壓力的系統。
   • 一個高壓容器，內部裝有純水（固態冰與液態水的平衡狀態）。
   • 精確的溫度計（例如熱電偶或 RTD），能夠在冰點附近精確測量溫度。
   • 高精度的壓力計，能夠測量容器內的壓力。
   • 一個能夠穩定且緩慢地改變溫度的裝置（例如恆溫槽或加熱/冷卻系統）。
   • 一個能夠精確測量體積的裝置，雖然在實驗中我們不直接測量 $\Delta V_{fus}$，但需要了解其值。

2. 實驗操作：

   • 步驟 1：建立冰水平衡。 在高壓容器中放入足夠的純水，並使其部分結成冰，確保處於固液平衡狀態。
   • 步驟 2：測量初始平衡點。 在一個已知的、穩定的溫度 $T_1$ 下，測量系統的平衡壓力 $P_1$。此時，冰與水處於平衡狀態。
   • 步驟 3：緩慢改變溫度。 將系統的溫度緩慢地升高到另一個溫度 $T_2$（例如，每次升高 0.1°C 或 0.5°C），並確保系統有足夠的時間達到新的平衡狀態。
   • 步驟 4：測量新的平衡點。 在新的溫度 $T_2$ 下，測量系統的平衡壓力 $P_2$。此時，冰與水再次處於平衡狀態。
   • 步驟 5：重複測量。 重複步驟 3 和 4，在多個不同的溫度點上測量對應的平衡壓力，獲得一系列 $(T_i, P_i)$ 的數據點。

3. 數據處理與計算：

   • 近似處理 Clausius-Clapeyron 方程式： 對於有限的溫度變化 $\Delta T = T_2 - T_1$ 和壓力變化 $\Delta P = P_2 - P_1$，我們可以將 Clausius-Clapeyron 方程式近似為：
     $\frac{\Delta P}{\Delta T} \approx \frac{\Delta H_{fus}}{T_{avg}\Delta V_{fus}}$
     其中 $T_{avg} = (T_1 + T_2)/2$ 是平均溫度。
   • 估算熔化焓： 整理上述公式，我們可以得到熔化焓的估計值：
     $\Delta H_{fus} \approx \frac{\Delta P}{\Delta T} \cdot T_{avg} \cdot \Delta V_{fus}$
   • 使用多個數據點： 由於我們測量了多組 $(T_i, P_i)$ 數據，可以繪製 $P$ 對 $T$ 的圖。在冰水平衡區域，這個關係近似為一條直線（在較小的溫度範圍內）。我們可以對這些數據點進行線性擬合，得到斜率 $\frac{dP}{dT}$。
     $P = P_0 + \left(\frac{dP}{dT}\right)_{fit} T$
     然後，將擬合得到的斜率代入 Clausius-Clapeyron 方程式的近似形式：
     $\Delta H_{fus} \approx \left(\frac{dP}{dT}\right)_{fit} \cdot T_{avg} \cdot \Delta V_{fus}$
     其中 $T_{avg}$ 可以取數據範圍內的平均溫度。
   • 水的熔化體積變化 $\Delta V_{fus}$： 這是實驗設計中的一個已知量。水的密度在 0°C 時，冰的密度約為 $0.9167 \text{ g/cm}^3$，水的密度約為 $0.9998 \text{ g/cm}^3$。因此，熔化時的體積變化為：