108 年 國立高雄大學化學工程及材料工程學系碩士班乙組《輸送現象》

核心觀念

本題考查圓管內穩態層流的速度分布，核心定律包括：

• 動量殼層平衡：壓力作用力與黏滯剪應力達到平衡。
• 牛頓流體本構關係：

$$\tau_{rz}=\mu\frac{du}{dr}$$

• 無滑移邊界條件：管壁處流體速度等於管壁速度，因此 $u(R)=0$。
• 對稱性條件：管中心速度梯度為零，因此 $\left.du/dr\right|_{r=0}=0$。

假設流體為穩態、不可壓縮、軸向對稱，且為充分發展流，因此軸向速度僅隨半徑 $r$ 變化：

$$u_z=u(r)$$

令管長為 $L$，入口與出口壓力差為

$$\Delta P=P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{out}}>0$$

並定義沿流動方向的壓力降梯度：

$$G=\frac{\Delta P}{L}=-\frac{dp}{dz}>0$$

---

解題方法：動量殼層平衡

取半徑為 $r$、厚度為 $dr$、長度為 $L$ 的圓柱形流體殼層。

1. 軸向壓力推動力

殼層兩端的壓力作用力合併後，沿流動方向的淨推動力為

$$F_P=\Delta P_r(2\pi r\,dr)$$

以微分形式表示，單位長度上的壓力推動力為

$$G(2\pi r\,dr)L$$

2. 剪應力阻力

半徑 $r$ 處的剪應力作用於圓柱表面，表面積為

$$A=2\pi rL$$

因此黏滯剪力為

$$F_\tau=\tau(r)(2\pi rL)$$

3. 進行殼層平衡

穩態下殼層沒有軸向加速度，壓力推動力等於剪應力阻力：

$$G(2\pi r\,dr)L = \tau(r)(2\pi rL)$$

更嚴謹地，對半徑小於 $r$ 的流體柱進行平衡，可得

$$G\pi r^2L=\tau(r)2\pi rL$$

整理得剪應力分布：

$$\boxed{\tau(r)=\frac{Gr}{2}}$$

因此剪應力與半徑成正比，在管中心為零，在管壁達到最大值。

---

由牛頓流體定律求速度梯度

管中心速度最大，越靠近管壁速度越小，因此 $du/dr<0$。以剪應力大小表示牛頓流體定律：

$$\tau(r)=-\mu\frac{du}{dr}$$

代入 $\tau(r)=Gr/2$：

$$-\mu\frac{du}{dr}=\frac{Gr}{2}$$

因此

$$\frac{du}{dr}=-\frac{G}{2\mu}r$$

積分一次：

$$u(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C_1$$

---

套用無滑移邊界條件

管壁處 $r=R$，流體速度為零：

$$u(R)=0$$

代入速度分布式：

$$0=-\frac{G}{4\mu}R^2+C_1$$

所以

$$C_1=\frac{GR^2}{4\mu}$$

因此圓管內的速度分布為

$$\boxed{ u(r)=\frac{G}{4\mu}\left(R^2-r^2\right) }$$

由 $G=\Delta P/L$，可寫成

$$\boxed{ u(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L}\left(R^2-r^2\right) }$$

核心觀念

本題考查：

1. 以微元素進行 $z$ 方向的動量平衡，求垂直壁面上液膜的速度分布。
2. 以微元素進行穩態能量平衡，建立液膜內的溫度控制方程。
3. 薄膜為層流、牛頓流體，且 $\rho$、$\mu$、$C_p$、$k$ 均為常數。

取座標如下：

• $z$ 軸沿液膜下落方向，向下為正。
• $y=0$ 位於壁面。
• $y=\delta$ 位於液膜自由表面。
• 壁面速度為零，故 $v_z(0)=0$。
• 自由表面無剪應力，故 $\left.\dfrac{dv_z}{dy}\right|_{y=\delta}=0$。

---

（a）速度分布推導

對穩態、充分發展的一維流動，速度僅隨 $y$ 變化：

$$v_z=v_z(y)$$

在 $z$ 方向作微小流體元素的動量平衡。由於壓力梯度可忽略，重力為主要驅動力，因此：

$$0=\rho g+\mu\frac{d^2v_z}{dy^2}$$

整理得：

$$\frac{d^2v_z}{dy^2}=-\frac{\rho g}{\mu}$$

第一次積分：

$$\frac{dv_z}{dy} =-\frac{\rho g}{\mu}y+C_1$$

利用自由表面無剪應力條件：

$$\left.\frac{dv_z}{dy}\right|_{y=\delta}=0$$

因此：

$$0=-\frac{\rho g}{\mu}\delta+C_1$$ $$C_1=\frac{\rho g\delta}{\mu}$$

所以：

$$\frac{dv_z}{dy} =\frac{\rho g}{\mu}(\delta-y)$$

再積分一次：

$$v_z=\frac{\rho g}{\mu} \left(\delta y-\frac{y^2}{2}\right)+C_2$$

壁面無滑移條件為：

$$v_z(0)=0$$

故 $C_2=0$，得到：

$$v_z=\frac{\rho g}{\mu} \left(\delta y-\frac{y^2}{2}\right)$$

將 $\delta^2/2$ 提出，並改寫成無因次形式：

$$v_z =\frac{\rho g\delta^2}{2\mu} \left[ 2\left(\frac{y}{\delta}\right) -\left(\frac{y}{\delta}\right)^2 \right]$$

因此證得題目所給速度分布：

$$\boxed{ v_z =\frac{\rho g\delta^2}{2\mu} \left[ 2\left(\frac{y}{\delta}\right) -\left(\frac{y}{\delta}\right)^2 \right] }$$

---

近壁面近似

當液膜內靠近壁面，滿足：

$$y\ll\delta$$

此時二次項可忽略：

$$\left(\frac{y}{\delta}\right)^2 \ll 2\left(\frac{y}{\delta}\right)$$

因此：

$$v_z \approx \frac{\rho g\delta^2}{2\mu} \left[ 2\left(\frac{y}{\delta}\right) \right]$$

整理得：

$$\boxed{ v_z\approx\frac{\rho g\delta}{\mu}y }$$

這表示靠近壁面時，速度分布近似為線性分布。

---

本題考查化學反應與擴散耦合的問題，屬於反應擴散問題。要求在穩態下，找出液體中反應物 A 的濃度分佈。

核心觀念：

• 質量傳輸： 反應物 A 從氣相界面擴散到液相中。
• 化學反應： 在液相中，A 與 B 發生反應，反應速率與 A 的濃度有關（一級反應）。
• 穩態質量平衡： 在穩態下，液體中任一點的組分 A 的淨流入率（擴散）等於其反應速率。

解題步驟：

1. 建立質量平衡方程式：
   考慮一個垂直於界面的薄液層，厚度為 $\Delta y$，面積為 $S$。
   假設 $y$ 軸垂直於液體自由表面，向上為正。
   液體中的 A 的質量平衡方程式為：
   (A 的淨擴散進入量) + (A 在此薄層中產生的量) = (A 在此薄層中累積的量)

   在穩態下，累積項為零。
   淨擴散進入量 = (擴散進入的通量) $\times$ (面積) - (擴散出去的通量) $\times$ (面積)
   A 的通量由擴散和反應決定。
   擴散通量（Fick's Law）：$J_A = -D_{AB} \frac{dC_A}{dy}$，其中 $D_{AB}$ 是 A 在 B 中的擴散係數。
   反應速率（單位體積）：$R_A = -k_1 C_A$。

   考慮一個厚度為 $\Delta y$ 的薄層，其在 $y$ 位置的質量流入率為：
   $J_A(y) \cdot S = (-D_{AB} \frac{dC_A}{dy}|_y) S$
   在 $y+\Delta y$ 位置的質量流出率為：
   $J_A(y+\Delta y) \cdot S = (-D_{AB} \frac{dC_A}{dy}|_{y+\Delta y}) S$

   在此薄層中反應消耗的 A 的速率為：
   $R_A \cdot (\text{體積}) = (-k_1 C_A) \cdot (S \Delta y)$

   穩態質量平衡：
   $J_A(y) \cdot S - J_A(y+\Delta y) \cdot S + R_A \cdot (S \Delta y) = 0$
   $(-D_{AB} \frac{dC_A}{dy}|_y) S - (-D_{AB} \frac{dC_A}{dy}|_{y+\Delta y}) S + (-k_1 C_A) S \Delta y = 0$

   除以 $S \Delta y$ 並令 $\Delta y \to 0$:
   $-D_{AB} \frac{d}{dy} (\frac{dC_A}{dy}) - k_1 C_A = 0$
   $D_{AB} \frac{d^2 C_A}{dy^2} - k_1 C_A = 0$
   $\frac{d^2 C_A}{dy^2} - \frac{k_1}{D_{AB}} C_A = 0$

   令 $\lambda^2 = \frac{k_1}{D_{AB}}$，則方程式變為：
   $\frac{d^2 C_A}{dy^2} - \lambda^2 C_A = 0$

2. 求解微分方程式：
   這是一個二階齊次線性微分方程式。其通解為：
   $C_A(y) = A e^{\lambda y} + B e^{-\lambda y}$
   其中 $A$ 和 $B$ 是待定常數。

3. 確定積分常數 $A$ 和 $B$：
   需要兩個邊界條件。

   • 邊界條件 1： 在自由表面 ($y=0$)，A 的濃度為 $C_{Ao}$。
     $C_A(0) = C_{Ao}$
     $A e^0 + B e^0 = C_{Ao}$

核心觀念

進料線（$q$ 線）描述精餾段與提餾段操作線的交點所滿足的關係。它由進料的物料衡算與進料熱狀態決定，並通過對角線上的進料組成點 $(z_F,z_F)$。

$q$ 表示每莫耳進料所增加的液相流率，亦可視為進料在塔內條件下轉變成液體的等效莫耳分率。當進料為過冷液體時，$q>1$；當進料為過熱蒸氣時，$q<0$。因此，$q$ 超出 $0$ 到 $1$ 的範圍時，表示液體或蒸氣還伴隨顯熱變化，並非實際液相莫耳分率超出物理範圍。

解題方法與推導

令：

• $F$：進料莫耳流率。
• $z_F$：進料中較易揮發成分的莫耳分率。
• $L$、$V$：進料板上方精餾段的液相、氣相莫耳流率。
• $\bar L$、$\bar V$：進料板下方提餾段的液相、氣相莫耳流率。
• $x$：液相中較易揮發成分的莫耳分率。
• $y$：氣相中較易揮發成分的莫耳分率。
• $D$、$B$：塔頂餾出液與塔底產品的莫耳流率；其較易揮發成分莫耳分率分別為 $x_D$、$x_B$。

由 $q$ 的定義，進料使液相流率增加 $qF$，所以

$$\bar L-L=qF$$

對進料板作總莫耳衡算：

$$L+\bar V+F=\bar L+V$$

代入 $\bar L-L=qF$，得到

$$\bar V-V=(q-1)F$$

在精餾段操作線與提餾段操作線的交點，兩操作線所對應的液相組成與氣相組成同為 $x,y$。兩段操作線的組分衡算分別為

$$Vy=Lx+Dx_D$$ $$\bar V y=\bar Lx-Bx_B$$

以提餾段式減去精餾段式：

$$(\bar V-V)y=(\bar L-L)x-(Dx_D+Bx_B)$$

全塔較易揮發成分衡算為

$$Dx_D+Bx_B=Fz_F$$

再代入液相與氣相流率差，可得

$$(q-1)Fy=qFx-Fz_F$$

除以 $F$ 並整理，即為進料線方程式：

$$y=\frac{q}{q-1}x-\frac{z_F}{q-1}$$

等價形式為

$$qx+(1-q)y=z_F$$

核心觀念

本題考查精餾塔在**全回流（total reflux）**條件下，利用氣液平衡關係推導最少理論板數的 Fenske equation。

所需定義如下：

• $x$：液相中輕組分 A 的莫耳分率。
• $y$：氣相中輕組分 A 的莫耳分率。
• $x_D$：塔頂產品中輕組分 A 的莫耳分率。
• $x_B$：塔底產品中輕組分 A 的莫耳分率。
• $\alpha_{AB}$：A 相對於 B 的相對揮發度。

假設：

1. A、B 為二元混合物。
2. 每一理論板均達到氣液平衡。
3. 相對揮發度 $\alpha_{AB}$ 為定值。
4. 塔在全回流下操作。
5. 全凝器不計為理論板，再沸器是否計入須依題目板數定義而定。

---

解題方法

全回流時，沒有淨產品取出，因此精餾段與提餾段的操作線均退化為：

$$y=x$$

這表示在全回流下，從某一理論板離開的氣相，經冷凝後所形成的液相，其組成等於該氣相組成。因此，每一板都可視為利用平衡關係使輕組分逐板濃縮。

---

第一步：建立單一理論板的氣液平衡式

對理想二元系統，氣液平衡關係可由相對揮發度表示：

$$\alpha_{AB} = \frac{y_A/x_A}{y_B/x_B}$$

因為二元系統中：

$$x_B=1-x_A$$

且：

$$y_B=1-y_A$$

將 $x_A=x$、$y_A=y$ 代入，可得：

$$\alpha_{AB} = \frac{y/(1-y)}{x/(1-x)}$$

因此：

$$\frac{y}{1-y} = \alpha_{AB}\frac{x}{1-x}$$

此式顯示，氣相中 A 對 B 的莫耳比，是液相中 A 對 B 莫耳比的 $\alpha_{AB}$ 倍。

---

第二步：套用全回流條件

由於全回流時操作線為 $y=x$，上方理論板的液相組成可視為下方理論板產生的氣相組成。

令第 $i$ 板液相中 A 的莫耳分率為 $x_i$，而第 $i+1$ 板液相中 A 的莫耳分率為 $x_{i+1}$。在全回流下：

$$x_{i+1}=y_i$$

將 $y_i=x_{i+1}$ 代入氣液平衡式：

$$\frac{x_{i+1}}{1-x_{i+1}} = \alpha_{AB} \frac{x_i}{1-x_i}$$

這表示每通過一個理論板，A 對 B 的濃度比增加 $\alpha_{AB}$ 倍。

---

第三步：逐板累乘

從塔底開始，令：

$$x_0=x_B$$

經過第一個理論板後：

$$\frac{x_1}{1-x_1} = \alpha_{AB} \frac{x_B}{1-x_B}$$

經過第二個理論板後：

$$\frac{x_2}{1-x_2} = \alpha_{AB} \frac{x_1}{1-x_1} = \alpha_{AB}^2 \frac{x_B}{1-x_B}$$