109 年 國立高雄大學化學工程及材料工程學系碩士班乙組《輸送現象》

本題主要在考察輸送現象中常見的無因次參數的定義、物理意義以及其無因次性的證明。這些無因次參數在相似準則中扮演重要角色，能幫助我們在實驗或模擬中進行縮尺設計與結果推廣。

核心觀念：

1. 因次分析 (Dimensional Analysis)： 根據 Buckingham Pi 定理，任何物理現象都可以用一組無因次參數來描述。
2. 無因次參數的物理意義： 代表不同力或流動特徵之間的相對重要性。
3. 相似準則 (Similitude)： 當不同尺度下的無因次參數相等時，物理現象就具有相似性。

解題步驟：
對於每一項，我們需要：
a. 寫出其定義式。
b. 解釋其物理意義。
c. 進行因次分析，證明其為無因次參數。

常用基本因次：
質量 (M), 長度 (L), 時間 (T), 溫度 (Θ)

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(i) Reynold number (Re)

• 定義式：
  $Re = \frac{\rho u L}{\mu}$
  其中：

  • $\rho$：流體密度 (mass/volume) $[M L^{-3}]$
  • $u$：特徵速度 (length/time) $[L T^{-1}]$
  • $L$：特徵長度 (length) $[L]$
  • $\mu$：流體動力黏度 (mass/(length·time)) $[M L^{-1} T^{-1}]$

• 物理意義：
  Re 是慣性力與黏滯力之比。

  • 慣性力 ($F_I \propto \rho u^2 L^2$)：代表流體運動慣性的抵抗力。
  • 黏滯力 ($F_\mu \propto \mu u L$)：代表流體內部摩擦力的抵抗力。
    當 Re 較小時，黏滯力佔主導，流動傾向於層流；當 Re 較大時，慣性力佔主導，流動傾向於紊亂。

• 無因次性證明：
  $[Re] = \frac{[M L^{-3}] [L T^{-1}] [L]}{[M L^{-1} T^{-1}]} = \frac{[M L^{-1} T^{-1}]}{[M L^{-1} T^{-1}]} = 1$
  Re 為無因次參數。

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(ii) Nusselt number (Nu)

• 定義式：
  $Nu = \frac{h L}{k}$
  其中：

  • $h$：對流傳熱係數 (heat flux / (area·temperature difference)) $[Q L^{-2} \Theta^{-1}]$，或寫成 $[M T^{-3} \Theta^{-1}]$ (因 $Q = \dot{m} c_p \Delta T$, $c_p$ 單位為 $[L^2 T^{-2} \Theta^{-1}]$, $\dot{m}$ 單位為 $[M T^{-1}]$)
  • $L$：特徵長度 (length) $[L]$
  • $k$：流體導熱係數 (heat flux / (area·temperature gradient)) $[Q L^{-1} \Theta^{-1}]$，或寫成 $[M L T^{-3} \Theta^{-2}]$ (因 $k = \frac{Q}{A \Delta T / L} = \frac{J s}{m^2 K/m} = \frac{J}{s m K}$，而 $J = kg \cdot m^2/s^2$, 所以 $k = \frac{kg \cdot m^2/s^2}{s \cdot m \cdot K} = \frac{kg \cdot m}{s^3 K} = [M L T^{-3} \Theta^{-1}]$)

  更精確的寫法，利用能量單位
  $h$ 的單位是 $W/(m^2 \cdot K)$。$W = J/s = (kg \cdot m^2/s^2)/s = kg \cdot m^2/s^3 = [M L^2 T^{-3}]$。
  所以 $h$ 的因次是 $[M L^2 T^{-3} \Theta^{-1} L^{-2}] = [M T^{-3} \Theta^{-1}]$。
  $k$ 的單位是 $W/(m \cdot K)$。
  所以 $k$ 的因次是 $[M L^2 T^{-3} \Theta^{-1} L^{-1}] = [M L T^{-3} \Theta^{-1}]$。

• 物理意義：
  Nu 是對流傳熱係數與導熱係數之比。它代表了物體表面通過對流傳熱的效率與通過導熱的效率之比。

  • 對流傳熱 ($q_{conv} = h A \Delta T$)
  • 導熱 ($q_{cond} = k A \Delta T / L$)
    Nu 衡量了流體運動在傳熱過程中扮演的角色。Nu > 1 表示對流傳熱比純導熱更有效率。

• 無因次性證明：
  $[Nu] = \frac{[M T^{-3} \Theta^{-1}] [L]}{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]} = \frac{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]}{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]} = 1$
  Nu 為無因次參數。

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(iii) Prandtl number (Pr)

• 定義式：
  $Pr = \frac{\mu c_p}{k}$
  其中：

  • $\mu$：流體動力黏度 $[M L^{-1} T^{-1}]$
  • $c_p$：定壓比熱 (energy/(mass·temperature)) $[L^2 T^{-2} \Theta^{-1}]$
  • $k$：流體導熱係數 $[M L T^{-3} \Theta^{-1}]$

• 物理意義：
  Pr 是動量擴散率（黏性）與熱量擴散率（導熱性）之比。

  • 動量擴散率 (Kinematic viscosity, $\nu = \mu/\rho$)：代表動量在流體中擴散的速度。
  • 熱量擴散率 ($\alpha = k/(\rho c_p)$)：代表熱量在流體中擴散的速度。
    $Pr = \frac{\nu}{\alpha}$
    Pr 描述了流體中動量和熱量傳輸的相對速度。
  • Pr < 1：熱量擴散比動量擴散快 (例如氣體)。
  • Pr ≈ 1：動量和熱量擴散速度相似 (例如某些氣體)。
  • Pr > 1：動量擴散比熱量擴散快 (例如油類、水)。

• 無因次性證明：
  $[Pr] = \frac{[M L^{-1} T^{-1}] [L^2 T^{-2} \Theta^{-1}]}{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]} = \frac{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]}{[M L T^{-3} \Theta^{-1}]} = 1$
  Pr 為無因次參數。

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(iv) Peclet number (Pe)

本題要求推導兩平行寬板間層流牛頓流體的速度分佈。這是輸送現象中的經典問題，屬於動量輸送的範疇，通常稱為 Poiseuille 流。

核心觀念：

1. 動量守恆方程式 (Navier-Stokes equations)： 描述牛頓流體動量的傳遞。
2. 層流 (Laminar Flow)： 流動穩定，無渦旋，適合使用簡化的動量平衡。
3. 穩態 (Steady State)： 流場不隨時間變化。
4. 一維流動： 假設速度只沿單一方向變化。

假設條件：

1. 牛頓流體，黏度 $\mu$ 為常數。
2. 密度 $\rho$ 為常數。
3. 層流。
4. 穩態流動。
5. 流動方向為 $x$ 方向，垂直於平行板。
6. 平行板間的寬度為 $L$ (相當於 $2h$ 或 $2b$)。
7. 流動是完全發展的 (fully developed)，即速度梯度只在垂直於流動方向的平面上存在，且不隨流動方向變化。
8. 忽略邊界效應 (寬板)。

解題步驟：

考慮一個垂直於平行板方向的 $y$ 座標。假設平行板分別位於 $y = -L/2$ 和 $y = L/2$。流體從左向右流動 ($x$ 方向)，速度為 $v_x(y)$。由於流動是完全發展的，速度只與 $y$ 有關，且不隨 $x$ 或 $z$ 變化。

我們將利用動量守恆原理，考慮一個在流體中的微小控制體積。然而，對於這種標準問題，我們可以更直接地從動量方程式開始。

A. 建立動量平衡

考慮一個沿 $x$ 方向的微小控制體積，尺寸為 $\Delta x \times \Delta y \times W$ (其中 $W$ 為板的寬度，在此視為常數，且因板很寬，其影響可忽略，故可以視為二維問題，或考慮單位寬度)。

動量守恆方程式 (x-方向)：
$\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v_x v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_y v_x)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_z v_x)}{\partial z} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + \rho g_x$

根據上述假設：

1. 穩態：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$
2. 完全發展流：$v_y = v_z = 0$ (流體只沿 x 方向流動)，$\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0$。
3. 牛頓流體：$\tau_{yx} = -\mu \frac{dv_x}{dy}$。其他剪應力項也為零或可忽略。
4. 重力：假設重力方向垂直於流動方向 ($g_x = 0$)。
5. 板的寬度遠大於間距 $L$，故忽略 $z$ 方向的變化，視為二維問題，或考慮單位寬度。

簡化後的動量方程式為：
$0 + \rho v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + 0 + 0 = - \frac{\partial p}{\partial x} + 0 + \frac{\partial}{\partial y} \left( -\mu \frac{dv_x}{dy} \right) + 0 + 0$
$0 = - \frac{\partial p}{\partial x} - \mu \frac{d^2 v_x}{dy^2}$
$\frac{d^2 v_x}{dy^2} = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx}$
注意，由於 $v_x$ 只與 $y$ 有關，且流動是完全發展的，因此 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 必須是常數。我們將其記為 $\frac{dp}{dx}$。

B. 積分求解微分方程式

我們需要積分兩次來找到 $v_x(y)$。

第一次積分：
$\frac{dv_x}{dy} = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} y + C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

第二次積分：
$v_x(y) = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{y^2}{2} + C_1 y + C_2$
其中 $C_2$ 是另一個積分常數。

C. 應用邊界條件確定積分常數

邊界條件是：

1. 在板的表面，速度為零 (無滑動條件, no-slip condition)。
   • 在 $y = L/2$ 時，$v_x = 0$。
   • 在 $y = -L/2$ 時，$v_x = 0$。

將邊界條件代入速度分佈方程式：

使用 $y = L/2, v_x = 0$:
$0 = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{(L/2)^2}{2} + C_1 \left(\frac{L}{2}\right) + C_2$
$0 = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8} + \frac{C_1 L}{2} + C_2 \quad (1)$

使用 $y = -L/2, v_x = 0$:
$0 = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{(-L/2)^2}{2} + C_1 \left(-\frac{L}{2}\right) + C_2$
$0 = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8} - \frac{C_1 L}{2} + C_2 \quad (2)$

比較 (1) 和 (2) 式：
$\frac{C_1 L}{2} = - \frac{C_1 L}{2} \implies C_1 L = 0$
由於 $L \neq 0$，故 $C_1 = 0$。

將 $C_1 = 0$ 代回 (1) 式：
$0 = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8} + 0 + C_2$
$C_2 = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8}$

D. 寫出最終的速度分佈

將 $C_1 = 0$ 和 $C_2 = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8}$ 代回速度方程式：
$v_x(y) = - \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{y^2}{2} + 0 \cdot y + \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx} \frac{L^2}{8}$

本題考查的是穩態質量傳遞與反應耦合的問題。氣體 A 在液體 B 中擴散、溶解並發生一級反應，要求在液體中的穩態濃度分佈。這是一個典型的反應擴散問題。

核心觀念：

1. 質量傳遞 (Mass Transfer)： 物質從一相轉移到另一相，或在同一相內傳遞的過程，主要通過對流和擴散實現。
2. 擴散 (Diffusion)： 由於濃度梯度引起的物質運動，遵循菲克定律 (Fick's Law)。
3. 化學反應 (Chemical Reaction)： 物質發生化學轉化。
4. 穩態 (Steady State)： 系統在時間上不變。
5. 反應擴散方程式 (Reaction-Diffusion Equation)： 描述了在有反應發生的情況下，物質的擴散行為。

假設條件：

1. 穩態流動，液體內部無宏觀流動 (或流動可忽略)。
2. 質量傳遞是因擴散引起 (只考慮擴散，忽略對流)。
3. 氣體 A 在液體 B 中的濃度為 $C_A$。
4. 液體 B 的物理性質（如擴散係數 $D_{AB}$）為常數。
5. 反應是液相內的一級反應：$R_A = -k_1 C_A$，其中 $R_A$ 是單位體積的反應速率，$k_1$ 是反應速率常數。
6. 氣液界面（自由表面）的濃度為 $C_{A0}$ (已知)。
7. 假設液體足夠深，或者在某個深度處濃度趨於零（取決於具體問題設置）。在此，我們假設該液體足夠深，或者反應足夠快，使得在足夠深的液體中，A 的濃度趨於零。

解題步驟：

我們需要建立一個描述氣體 A 在液體中的質量守恆方程式。在穩態下，對於液體中的一個微小控制體積，進入的質量通量減去出去的質量通量，加上反應消耗的質量，等於零。

考慮一維擴散（垂直於液體表面向下，設為 $z$ 方向）。
質量守恆方程式的一般形式為：
$\frac{\partial C_A}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}_A = R_A$
其中 $C_A$ 是 A 的濃度，$\mathbf{J}_A$ 是 A 的摩爾通量， $R_A$ 是 A 的反應速率。

在穩態和一維擴散情況下：
$\frac{d J_{Az}}{dz} = R_A$
根據菲克第一定律，A 的摩爾通量 $\mathbf{J}_A$ 由擴散和對流組成。如果假設液體是靜止的（無宏觀流動），則只有擴散。
$\mathbf{J}_A = -D_{AB} \nabla C_A$
在一維情況下：
$J_{Az} = -D_{AB} \frac{d C_A}{dz}$

將其代入質量守恆方程式：
$\frac{d}{dz} \left( -D_{AB} \frac{d C_A}{dz} \right) = R_A$
由於 $D_{AB}$ 是常數，且 $R_A = -k_1 C_A$：
$-D_{AB} \frac{d^2 C_A}{dz^2} = -k_1 C_A$
$\frac{d^2 C_A}{dz^2} = \frac{k_1}{D_{AB}} C_A$

令 $\lambda^2 = \frac{k_1}{D_{AB}}$，則微分方程式變為：
$\frac{d^2 C_A}{dz^2} - \lambda^2 C_A = 0$
這是一個二階常微分方程式。

求解微分方程式：
該齊次微分方程式的通解形式為：
$C_A(z) = A e^{\lambda z} + B e^{-\lambda z}$
其中 $A$ 和 $B$ 是待定常數。

應用邊界條件確定常數：

我們需要兩個邊界條件來確定 $A$ 和 $B$。

1. 界面邊界條件 (Surface Boundary Condition)： 在自由表面 ($z=0$)，氣體 A 的濃度為 $C_{A0}$。
   $C_A(0) = C_{A0}$
   代入通解：
   $C_A(0) = A e^0 + B e^0 = A + B$
   所以，$A + B = C_{A0}$。

2. 深層邊界條件 (Deep Liquid Boundary Condition)： 在足夠深的液體中，氣體 A 的濃度趨於零。假設在 $z \to \infty$ 時，$C_A \to 0$。
   $\lim_{z \to \infty} C_A(z) = 0$
   考慮通解 $C_A(z) = A e^{\lambda z} + B e^{-\lambda z}$：

核心觀念

本題探討浸置於無限大靜止流體（stationary fluid）中的加熱球體，在極低雷諾數（$Re \to 0$，即對流效應可忽略，傳熱純粹由純熱傳導主導）條件下的熱傳行為。

核心涉及：

1. 球座標下的穩態熱傳導方程式：無熱源、球對稱條件下，溫度場僅隨徑向位置 $r$ 變化。
2. 傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law）：計算通過球體表面的熱傳導通量 $q_r = -k \left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R}$。
3. 牛頓冷卻定律（Newton's Law of Cooling） 與 熱傳對流係數 $h$ 的定義：$q = h(T_s - T_\infty)$。
4. 努塞特數（Nusselt number, $Nu$）的定義：以球體直徑 $D$ 為特徵長度，$Nu \equiv \frac{hD}{k}$。

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解題方法與推導步驟

設球體半徑為 $R$（直徑 $D = 2R$），表面維持恆溫 $T_s$，周圍流體為靜止、物性（熱導率 $k$）為定值，遠處流體溫度為 $T_\infty$。

1. 統御方程式（Governing Equation）

當流體靜止且無內部熱生成時，穩態一維球對稱熱傳導方程式為：

$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dT}{dr} \right) = 0$$

2. 邊界條件（Boundary Conditions）

• 在球體表面：當 $r = R$ 時，$T = T_s$
• 在無窮遠處：當 $r \to \infty$ 時，$T = T_\infty$

3. 求解溫度分佈 $T(r)$

將統御方程式對 $r$ 進行第一次積分：

$$r^2 \frac{dT}{dr} = C_1 \implies \frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$$

再次對 $r$ 積分可得：

$$T(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2$$

帶入邊界條件求解積分常數：

• 當 $r \to \infty$ 時，$T(\infty) = C_2 = T_\infty$
• 當 $r = R$ 時，$T(R) = -\frac{C_1}{R} + T_\infty = T_s \implies C_1 = -R(T_s - T_\infty)$

因此，溫度分佈函數為：

$$T(r) = T_\infty + \frac{R}{r} (T_s - T_\infty)$$

亦可寫成無因次溫度分佈：

本題考查精餾 (fractional distillation) 中的進料線 (feed line) 方程式及其在 x-y 圖上的表示。這是化工單元操作中的重要概念。

核心觀念：

1. 精餾操作線： 汽液兩相在塔內逐級接觸，通過物質和能量的傳遞達到分離。
2. 進料線： 代表進料物質在塔內的能量平衡，描述了進料的汽液比例與其組成之間的關係。
3. x-y 圖： 在相對揮發度恆定的理想體系中，用於分析精餾塔設計的圖。橫軸為液相摩爾分數 ($x$)，縱軸為氣相摩爾分數 ($y$)。
4. q 值： 進料相態參數，表示每 mole 進料中液相的 mole 數。

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(a) 進料線方程式

進料線描述了進料板上汽液兩相的組成關係，它實際上是基於進料板的能量平衡。

考慮進料板，假設有 $F$ moles 的進料進入。進料的組成是 $z_F$ (摩爾分數)。
設進料為 $q$ moles 的液體和 $(1-q)$ moles 的蒸汽（或者 $q$ moles 的總進料中，有 $q$ moles 是液體，$(1-q)$ moles 是蒸汽）。
我們通常定義 $q$ 為：進料中液相所占的 mole 數與總進料 mole 數之比。

進料的能量平衡可以寫成：
進料的焓含量 = 液相部分的焓含量 + 氣相部分的焓含量

假設我們以進料板處的液體作為參考狀態（焓值為零）。
那麼，進料的焓可以表示為：
$H_F = q H_L + (1-q) H_V$
其中：

• $H_F$：進料的焓（每 mole 進料）
• $H_L$：在進料溫度下的液體焓（每 mole 液體）
• $H_V$：在進料溫度下的蒸汽焓（每 mole 蒸汽）
• $q$：進料中液相的摩爾分數（或摩爾比例），即每 mole 進料中液體的 mole 數。

在精餾塔的 x-y 圖上，進料線是連接進料組成 $z_F$ 和進料板上的汽液平衡點 $(x_F, y_F)$ 的直線。然而，進料線的方程式通常是基於塔的操作線推導出來的。

進料線的方程式可以通過對進料板進行物料平衡和能量平衡推導得到。
考慮進料板上方（精餾段）和下方（提餾段）的操作線。
精餾段操作線（物料平衡）：$y = \frac{L_D}{V_D} x + x_D (1 - \frac{L_D}{V_D})$
提餾段操作線（物料平衡）：$y = \frac{L_W}{V_W} x - x_W (1 - \frac{L_W}{V_W})$

進料線的方程式實際上是連接進料組成點 $(z_F, z_F)$ 和進料板上的汽液平衡點 $(x_F, y_F)$ 的直線。
然而，更常用的形式是：
$y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1}$
這個方程式是基於進料板的物料平衡和能量平衡導出的。

讓我們來推導一下：
進料板的總物料平衡：$F = L_F + V_F$
進料板的組分 A 平衡：$F z_F = L_F x_F + V_F y_F$
其中 $L_F$ 和 $V_F$ 是進料板上的液相和氣相流量。

如果我們考慮進料板的能量平衡，並將其與物料平衡結合，可以得到進料線的方程式。
假設進料板的液相流量為 $L_F$，氣相流量為 $V_F$。
進料 $F$ moles，其中 $qF$ moles 是液體，$(1-q)F$ moles 是蒸汽。
進料板上的總物料平衡：$F + L_{B} = L_F + V_{F}$ （其中 $L_B$ 是來自提餾段的液體流量，$V_F$ 是進入進料板的氣體流量）
精餾段的物料平衡：$V_D = L_D + D$
提餾段的物料平衡：$L_W = V_W + W$

進料線在 x-y 圖上的斜率與 q 值有關。
進料線的標準方程式形式為：
$y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1}$
或者，有時也會寫成：
$y = \frac{q}{1-q} x + \frac{z_F}{1-q}$
這兩種形式取決於 $q$ 的定義和操作線的斜率定義（例如，是否包含 $z_F$）。

標準定義：

• $q$：每 mole 進料中，液相的 mole 數。
• $F$：總進料量。
• $z_F$：進料的組成（摩爾分數）。
• $L_F$: 進料板上的總液相流量。
• $V_F$: 進料板上的總氣相流量。

從進料板的物料平衡：
$F z_F + V_{F-1} y_{F-1} = L_F x_F + V_F y_F$ (這是進料板的局部物料平衡)

更常見的是考慮進料板的能量平衡：
進料的焓 = 進入進料板的氣相焓 + 進入進料板的液相焓
$F H_F = V_{F-1} H_{V, F-1} + L_F H_{L, F}$

若我們以進料板上的液體為參考，則進料的焓為 $q H_L + (1-q) H_V$。
在 x-y 圖上，進料線是連接點 $(z_F, z_F)$ 和進料板上汽液平衡點 $(x_F, y_F)$ 的直線。
其斜率為 $\frac{y_F - z_F}{x_F - z_F}$。

進料線的標準方程式：
$y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1}$
這裡的 $x$ 和 $y$ 是進料板上的液相和氣相組成。

• $y$：進料板上的氣相組成（摩爾分數）。
• $x$：進料板上的液相組成（摩爾分數）。
• $q$：進料中液相的摩爾比例。
• $z_F$：進料的摩爾分數。

推導（簡化）：
進料板的物料平衡：$V_F y_F = L_F x_F + F z_F$ （假設 $V_F$ 是從下方上來的氣體，$L_F$ 是從上方下來的液體）
進料板的能量平衡：$F H_F = V_F H_V + L_F H_L$
其中 $H_F = q H_L + (1-q) H_V$。
$F (q H_L + (1-q) H_V) = V_F H_V + L_F H_L$
$F q H_L + F (1-q) H_V = V_F H_V + L_F H_L$
$F q H_L - L_F H_L = V_F H_V - F (1-q) H_V$
$(Fq - L_F) H_L = (V_F - F(1-q)) H_V$

由物料平衡 $F z_F = L_F x_F + V_F y_F$。
另外，我們知道 $L_F = L_{F-1} + F_L$ (其中 $F_L$ 是進料中的液體部分)，$V_F = V_{F-1} + F_V$ (其中 $F_V$ 是進料中的氣體部分)。
若 $q$ 是液體佔總進料的比例，則 $F_L = qF$，$F_V = (1-q)F$。
$L_F = L_{F-1} + qF$