109 年 國立高雄大學化學工程及材料工程學系碩士班甲組《材料科學導論》

核心觀念

本題旨在考驗對材料力學行為中應力-應變曲線（Stress–Strain Curve）分類的理解，特別是脆性材料（Brittle Materials）（如陶瓷 Ceramic 及熱固性塑膠 Thermosetting Plastics）與**塑性變形（Plastic Deformation）**之間的關係。

1. 完全彈性（Perfectly Elastic）：材料在受力過程中僅發生彈性變形（遵循 Hooke's Law），應力與應變呈線性關係，到達極限應力（抗拉強度/破斷強度）時即發生脆性斷裂，完全無顯著的塑性變形。
2. 脆性材料的力學特徵：
   • 具有高的楊氏模數（Young's Modulus, $E$）。
   • 無明顯的屈服點（Yield Point）與塑性變形區。
   • 斷裂前能量吸收極少（韌性 Toughness 低）。

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解題方法

判斷材料之應力-應變行為類型時，需從材料的微觀結構與破壞機制切入：

1. 陶瓷（Ceramics）：內部為強烈的離子鍵或共價鍵結合，滑移系統（Slip Systems）極少，位錯（Dislocation）難以移動，因此在室溫下無法發生塑性變形，受力至臨界值即直接斷裂。
2. 熱固性塑膠（Thermosetting Plastics）：具有高密度的共價交聯網絡構造（Cross-linked polymer network），分子鏈無法相對滑移，故受力時表現出高剛性與脆性，無塑性變形區。

綜合上述，陶瓷與熱固性塑膠在室溫受力時，其應力-應變關係僅呈現彈性階段，屬於**完全彈性（Perfectly Elastic）**行為。

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選項分析

• (A) elastic and perfectly plastic（彈性-完全塑性）
  • 錯誤。

核心觀念

本題考查鋼鐵熱處理（Heat Treatment of Steels）中**回火（Tempering）**的定義與目的。

在淬火（Quenching）過程中，過飽和固溶體會形成馬氏體（Martensite）。馬氏體雖然具有極高的硬度與強度，但其晶格為正方體結構（BCT），內部存在極大的殘留應力（Residual Stress），導致其韌性極差、脆性（Brittleness）極高，無法直接應用於工程結構中。

為了改善此一缺點，必須進行回火處理（Tempering）：將淬火後的馬氏體加熱至變態點 $A_1$ 以下的適當溫度（通常在 $250^\circ\text{C} \sim 650^\circ\text{C}$ 之間），保持一段時間後冷卻。此過程可促使過飽和的碳原子擴散析出碳化物，並消除殘留應力，從而在稍微降低硬度與強度的同時，顯著提升韌性並降低脆性，形成回火馬氏體（Tempered Martensite）。

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解題方法

解題時應著重於辨識「降低馬氏體脆性」對應的熱處理名稱：

1. 問題核心：尋找能降低馬氏體（Martensite）脆性（Brittleness）、提高韌性（Toughness）的熱處理製程。
2. 切入點：回顧碳鋼的主要熱處理四大製程（退火、正火/正常化、淬火、回火）。其中，專為改善淬火後馬氏體高脆性缺陷所設計的續行熱處理即為回火（Tempering）。

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選項分析

• (A) aging（時效處理）
  • 錯誤。時效處理主要用於沉澱硬化型合金（如鋁合金、銅鈹合金等）或馬氏體時效鋼（Maraging Steel）。

核心觀念

本題考查鋼材熱處理中的**淬硬性（Hardenability）**及其標準測試方法——約米尼端淬試驗（Jominy end-quench test）。

1. 淬硬性（Hardenability）的定義：指鋼材在特定淬火條件下形成馬氏體（Martensite）硬化結構的能力，亦即**硬化深度（Depth of Hardness）**的衡量指標。淬硬性越高，代表鋼材在較慢的冷卻速率下仍能轉變成馬氏體，內部深處越容易被淬硬。注意：淬硬性（Hardenability）與最高硬度（Hardness）不同，最高硬度主要由碳含量決定，而淬硬性則主要由合金元素（如 $\text{Cr}, \text{Ni}, \text{Mo}, \text{Mn}$ 等）及晶粒大小決定。
2. 約米尼端淬試驗（Jominy End-Quench Test, ASTM A255）：
   • 將標準圓柱試棒（直徑 $1\text{ in}$、長度 $4\text{ in}$）加熱至奧斯田體化溫度（Austenitizing temperature）並持溫。
   • 迅速移至試驗架上，僅對其底端面（End）進行標準水噴流淬火。
   • 由於水僅噴射底端，熱傳導方向沿圓柱軸向由下往上，因此沿著試棒軸向距離底端的距離（Distance from quenched end）會產生連續變化的冷卻速率：底端冷卻速率最快，越往頂端冷卻速率越慢。
   • 冷卻至室溫後，沿試棒側面磨出平行平面，測量不同位置的硬度（HRC），繪製出硬度對距淬火端距離的淬硬性曲線（Hardenability curve）。

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解題方法

觀測 Jominy 端淬試驗的物理本質：
本試驗透過固定的試樣尺寸與標準化的冷卻條件，控制軸向各點的「冷卻速率」。因此，試樣上距離淬火端相同距離的點，永遠對應相同的冷卻歷史與冷卻速率。

核心觀念

本題考驗**非晶質固體（Amorphous Solids / Non-crystalline Solids）**的微觀結構特徵及其熱力學與物理性質。

1. 晶體與非晶體的差異：

   • 晶體（Crystalline Solids）：具有長程有序（Long-range order）的晶格排列，原子或離子呈現週期性重複。具有明確且固定的熔點（Melting point, $T_m$），且在物理性質（如導熱性、光學性、機械強度）上通常表現出各向異性（Anisotropy）。
   • 非晶體（Amorphous Solids）：僅具短程有序（Short-range order），缺乏長程週期性排列（類似液體的無序結構）。無固定熔點，隨溫度升高會經歷過渡狀態，呈現各向同性（Isotropy）。

2. 玻璃轉移（Glass Transition）：

   • 非晶質物質（如玻璃、高分子聚合物）加熱時，不會在單一溫度下急驟熔化，而是在某一溫度區間由硬而脆的玻璃態（Glassy state）轉變為具黏彈性或可塑性的高橡膠態／液態。此轉變對應的關鍵特徵溫度即為玻璃轉移溫度（Glass-transition temperature, $T_g$）。

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解題方法

1. 結構決定性質：
   • 由於非晶體內部結構為隨機無序排列，從宏觀視角在各方向上的統計平均結構均相同，因此其物理與機械性質不隨方向而改變，此現象稱為各向同性（Isotropy）。
2. 鍵結能量分佈：
   • 非晶體中原子間的鍵角（Bond angle）與鍵長（Bond length）具有分佈差異，導致化學鍵的強度並不相等（Unequal bond strength），因此受熱時較弱的鍵先斷裂，表現出漸進式軟化而非瞬間熔化。
3. 熱性質辨識：
   • 具有玻璃轉移現象（Glass-transition）是非晶質固體最典型的熱力學特徵。

綜合上述特徵，逐一比對選項即可選出正確答案。

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選項分析

核心觀念

本題考查**體心立方晶格（Body-Centered Cubic, BCC）**在 X 射線繞射（X-ray Diffraction, XRD） 中的消光條件（Extinction Rules / Selection Rules）。

在 X 射線繞射中，晶體內各原子散射的 X 射線會產生干涉。結構因子（Structure Factor, $F_{hkl}$）代表一個晶胞內所有原子對 $(hkl)$ 晶面之繞射光的干涉結果：
$F_{hkl} = \sum_{j=1}^{N} f_j \exp\left[ -2\pi i (h x_j + k y_j + l z_j) \right]$

繞射強度 $I_{hkl}$ 與結構因子的絕對值平方成正比（$I_{hkl} \propto |F_{hkl}|^2$）。若 $F_{hkl} = 0$，則該晶面不會產生繞射峰，稱為消光（Systematic Absence）；反之，若 $F_{hkl} \neq 0$，則該晶體平面滿足可繞射的反射條件。

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解題方法

1. 體心立方晶格（BCC）的原子座標：
   在 BCC 的單一晶胞中，包含 $2$ 個同種原子，其分數座標（Fractional Coordinates）分別為：

   • 角落原子：$(0, 0, 0)$
   • 體心原子：$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

2. 計算 BCC 的結構因子 $F_{hkl}$：
   將上述原子座標代入結構因子公式：
   $F_{hkl} = f \cdot e^{-2\pi i (h\cdot 0 + k\cdot 0 + l\cdot 0)} + f \cdot e^{-2\pi i \left(h\cdot\frac{1}{2} + k\cdot\frac{1}{2} + l\cdot\frac{1}{2}\right)}$
   $F_{hkl} = f \left[ 1 + e^{-\pi i (h + k + l)} \right]$

3. 利用歐拉公式與指數性質分析：
   根據歐拉公式，$e^{-n\pi i} = (-1)^n$，因此：
   $F_{hkl} = f \left[ 1 + (-1)^{h+k+l} \right]$

   • 當 $h + k + l$ 為偶數（Even）時：
     $(-1)^{h+k+l} = 1 \implies F_{hkl} = f(1 + 1) = 2f \neq 0$
     此時強度 $I_{hkl} \propto 4f^2$，允許發生繞射反射。

核心觀念

本題考查材料科學中**晶體缺陷（Crystalline Defects）**的分類及其幾何描述工具：伯格斯向量（Burgers Vector, $\mathbf{b}$）。

1. 晶體缺陷分類：
   • 零維缺陷（0D, Point Defects）：點缺陷。
   • 一維缺陷（1D, Line Defects）：線缺陷（即位錯 Dislocation）。
   • 二維缺陷（2D, Interfacial Defects）：面缺陷（介面缺陷）。
   • 三維缺陷（3D, Bulk / Volume Defects）：體缺陷。
2. 伯格斯向量（Burgers Vector, $\mathbf{b}$）：
   • 定義：描述晶體中位錯（Dislocation）所引起晶格畸變方向與大小的向量。
   • 幾何意義：在含有位錯的實際晶體中，圍繞位錯線作一閉合迴路（Burgers Circuit），將相同步數的迴路轉移至完美晶體時，迴路終點與起點之間的位移向量即為伯格斯向量。
   • 伯格斯向量專門用於定量描述線缺陷（位錯）。

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解題方法

直接依據晶體缺陷的維度分類與「伯格斯向量」的物理定義切入：

• 位錯（包括刃位錯 Edge Dislocation、螺位錯 Screw Dislocation 及混合位錯 Mixed Dislocation）屬於線缺陷（Line Defects）。
• 描述位錯特性的兩個基本特徵量為位錯線方向（Vector $\mathbf{t}$）與伯格斯向量（Burgers Vector $\mathbf{b}$）。
• 因此，伯格斯向量必然對應至線缺陷（line defects）。

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選項分析

• (A) point defects（點缺陷）—— 錯誤
  點缺陷為零維缺陷，主要包括空位（Vacancy）、自間隙原子（Self-interstitial）、雜質原子（Substitutio

核心觀念

本題考查固溶體中溶質在溶劑中的**互溶度（Solubility）與休姆–羅瑟里法則（Hume-Rothery Rules）**的關係。

在金屬合金與固溶體中，根據休姆–羅瑟里法則（Hume-Rothery Rules），若要形成高互溶度（甚或無限互溶度）的置換型固溶體（Substitutional Solid Solution），兩元素之間必須滿足以下四項條件：

1. 原子尺寸因素（Atomic Size Factor）：溶質原子與溶劑原子的原子半徑差異需小於 15%（即 $\frac{|\Delta r|}{r_{\text{solvent}}} < 15\%$）。差異越小，互溶度越高。
2. 晶體結構（Crystal Structure）：溶質與溶劑在常溫常壓下必須具有相同的晶體結構（例如同為 FCC 或 BCC）。
3. 電負度（Electronegativity）：溶質與溶劑的電負度需接近。若電負度相差過大，兩者傾向形成金屬間化合物（Intermetallic Compound）而非固溶體。
4. 相對價數（Relative Valence）：高價金屬溶於低價金屬的溶解度，通常高於低價金屬溶於高價金屬（即價數較高的溶質更易溶於較低價數的溶劑中；或稱原子價較高的元素比較容易提供價電子）。

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解題方法

本題題幹詢問：在何種情況下，溶質在溶劑中的溶解度會更高（The solubility is more if:）？

依據休姆–羅瑟里法則逐一檢視選項的敘述：

• 若半徑差異過大（如 Option A 的 "much smaller"），通常會造成劇烈的格子畸變（Lattice Distortion），除非極小原子形成間隙型固溶體，但對於置換型固溶體而言，「尺寸相近」才是高互溶度的條件。
• 當溶質與溶劑具備相同的晶體結構（Option B）時，原子排列方式一致，混合時能量障礙低，因此互溶度極高。

核心觀念

本題考查材料科學中固態擴散機制（Diffusion Mechanisms）的比較，特別是**間隙擴散（Interstitial Diffusion）與空位擴散（Vacancy Diffusion/Substitutional Diffusion）**在活化能、活化位點數量及原子尺寸上的差異。

根據 Arrhenius 方程式，擴散係數（Diffusion Coefficient, $D$）與擴散活化能（Activation Energy, $Q$）及溫度（$T$）之關係為：
$D = D_0 \exp\left(-\frac{Q}{R T}\right)$

其中：

• 空位擴散機制：擴散原子需克服「形成空位」與「原子跳躍」兩部分的能量，其總活化能 $Q_{\text{vac}} = Q_f + Q_m$（$Q_f$ 為空位形成能，$Q_m$ 為遷移能）。
• 間隙擴散機制：間隙原子尺寸較小且間隙位點平時即存在（無需額外產生空位），故其活化能 $Q_{\text{inter}}$ 僅需克服「遷移能」$Q_m$，活化能顯著低於空位擴散。

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解題方法

比較固態擴散速率（擴散係數 $D$ 大小）時，可從以下三個微觀物理機制切入：

1. 活化位點數量：晶體中預先存在的間隙位點（Interstitial sites）數量遠多於熱力學平衡下產生的空位數量（Vacancies）。
2. 擴散活化能：間隙擴散不需要克服空位形成能（$Q_f$），因此所需的活化能 $Q$ 較低，擴散速率較快。
3. 擴散原子尺寸：能進行間隙擴散的溶質原子（如 H、C、N、O）半徑遠小於基質原子（置換型原子），在晶格間隙移動時所受到的晶格扭曲與阻力較小。

綜合上述三點，(A)、(B)、(C) 皆為間隙擴散快於空位擴散的合理原因，故應選 (D)。

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選項分析

• (A) number of interstitial sites is greater than vacancies (正確)

核心觀念

本題考查**材料的磁性分類（Magnetic Classification of Materials）**及其在外加磁場下受到的磁力表現。

材料在外部磁場 $\vec{H}$ 作用下，內部會產生磁化強度 $\vec{M}$，兩者關係常表示為磁化率（Magnetic Susceptibility）$\chi_m$：
$\chi_m = \frac{\vec{M}}{\vec{H}}$

根據磁化率 $\chi_m$ 的正負符號與數值大小，材料在磁場中的受力行為（受到吸引或排斥）有所不同：

• 抗磁性（Diamagnetism）：$\chi_m < 0$（負值且絕對值極小，約 $-10^{-5}$）。材料內部的感應磁場方向與外部磁場相反，因此會在不均勻磁場中受到排斥力（Repelled）。
• 順磁性（Paramagnetism）：$\chi_m > 0$（正值且數值較小，約 $10^{-5} \sim 10^{-2}$）。材料會在磁場中受到微弱吸引力。
• 鐵磁性（Ferromagnetism）：$\chi_m \gg 0$（正值且非常大）。材料會在磁場中受到極強烈的吸引力。
• 反鐵磁性（Antiferromagnetism）：$\chi_m > 0$（正值且數值小）。材料會在磁場中受到微弱吸引力。

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解題方法

本題關鍵字為 "repelled in an external magnetic field"（在外部磁場中受到排斥）。

1. 判斷材料受力的機制：
   材料在外部磁場受到的磁力與磁化率 $\chi_m$ 成正比。若 $\chi_m < 0$，感應磁矩的方向與外加磁場相反，兩者相互對抗，產生排斥力。
2. 比對各種磁性類型的磁化率特徵：
   只有**抗磁性材料（Diamagnetic materials）**具有負數值的磁化率（$\chi_m < 0$），故唯一會在外部磁場中被排斥的材料即為抗磁性材料。

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核心觀念

本題考查高分子材料（Polymers）的分類、微觀結構特性及其化學反應：

1. 高分子結構分類：熱塑性高分子（Thermoplastics）具有靈活的線性或支鏈鏈狀結構，加熱可軟化熔融；熱固性高分子（Thermosets）具高度交聯（Cross-linked）的三維網絡結構，不可逆且無法加熱熔融重塑。
2. 硫化作用（Vulcanization）：橡膠（Elastomers）經由硫化反應進行交聯，其關鍵化學反應是利用**硫原子（Sulfur, S）**形成硫橋（Sulfur bridges），而非氮原子（Nitrogen）。

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解題方法

解題切入點為比對材料科學中關於高分子結構定義與橡膠硫化化學過程的敘述，找出與事實不符（Incorrect）的選項。

1. 檢視熱固性與熱塑性高分子的交聯特性與結構形態（選項 A、B、D）。
2. 檢視硫化作用（Vulcanization）所使用的化學鏈結元素（選項 C）。

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選項分析

• (A) 正確：熱固性高分子（Thermosets）經由強力的共價鍵形成高度交聯的三維網絡結構（Three-dimensional network structure）。
• (B) 正確：熱固性高分子的交聯反應屬於不可逆（Not reversible）的化學轉化。一旦受熱加熱固化後，再次加熱只會引發熱分解（Degradation）而不會熔融，因此無法重複熔融重塑或以簡易方式回收（cannot be refused or conveniently recycled）。

核心觀念

本題考驗六方最密堆積（Hexagonal Close-Packed, HCP）晶體結構幾何特性的基本推導。

1. HCP 晶體結構定義：
   • 堆積順序為 $ABAB...$ 層狀疊加。
   • 頂面與底面為正六邊形，邊長定義為 $a$（即晶格常數 $a$）。
   • 上下底面距離為晶格常數 $c$。
   • 中間層包含 3 個原子，基底位置剛好部位於上下底面正三角形的中心投影位置，且垂直高度位於 $c/2$ 處。
2. 理想 $c/a$ 比值定義：
   • 「理想（Ideal）」指的是硬球模型（Hard-sphere model）下，所有相鄰原子互相緊密接觸（Close-packed）的情形。
   • 同一層中緊密相鄰的原子邊長 $a = 2R$（$R$ 為原子半徑）。
   • 上下相鄰層相互接觸的原子距離亦為 $2R$（即 $a$）。

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解題方法

1. HCP 晶體結構繪圖說明

在繪製 HCP 晶胞時，應明確標示：

• 底面正六邊形：六角形的 6 個頂點與中心各有一個原子，邊長為 $a$。
• 中間層（Middle layer）：包含 3 個原子，位於上下底面構成的正四面體（Tetrahedron）頂點投影位置，高度為 $c/2$。
• 晶格常數：底面邊長 $a$ 與晶胞高度 $c$。

       .-------.
      / \     / \
     /   \   /   \
    .-----.'.-----.  <- 頂面 (Height = c)
    |  \  |  /  |
    |   '---'   |
    |     .     |  <- 中間層 3 個原子 (Height = c/2)
    |   .---.   |
    |  /  |  \  |
    .-----.'.-----.  <- 底面 (Height = 0)
       a     a

(繪圖重點：標示底面六邊形邊長 $a$、中間層原子位置、以及總高度 $c$)

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2. 理想 $c/a = 1.633$ 之幾何推導

步驟一：建立正四面體幾何關係
考慮底面六邊形的其中一個由相鄰頂點與中心原子組成的正三角形，邊長為 $a$。
中間層的原子坐落在該正三角形幾何中心的正上方，高度為 $\frac{c}{2}$。

核心觀念

本題考查二元共晶相圖的判讀，以及兩相區中的槓桿定則。合金總成分為 $C_0=50\text{ wt.\% Ag}$，溫度為共晶溫度 $780^\circ\text{C}$ 的正上方，因此位於 $\alpha+L$ 兩相區。

其中：

• $\alpha$ 相為富銅固相，成分為 $C_\alpha=7.9\text{ wt.\% Ag}$
• $L$ 相為液相，成分接近共晶成分，為 $C_L=71.9\text{ wt.\% Ag}$

解題方法

在相圖上作一條接近 $780^\circ\text{C}$、略高於共晶溫度的水平等溫線，其左右端點分別對應 $\alpha$ 相與液相的成分。

利用槓桿定則：

$$W_\alpha=\frac{C_L-C_0}{C_L-C_\alpha}$$ $$W_L=\frac{C_0-C_\alpha}{C_L-C_\alpha}$$

代入數值：

核心觀念

本題考核二元共晶相圖（Binary Eutectic Phase Diagram）之相平衡分析與槓桿原理（Lever Rule）的應用，核心包含：

1. 共晶反應（Eutectic Reaction）與相平衡：
   在銀-銅（$\text{Cu-Ag}$）相圖中，存在一個共晶等溫反應線（共晶溫度約 $T_E = 779^\circ\text{C}$）： $$L \,(71.9\text{ wt.\% Ag}) \xrightarrow{779^\circ\text{C}} \alpha \,(8.0\text{ wt.\% Ag}) + \beta \,(91.2\text{ wt.\% Ag})$$ 在共晶溫度以下，材料處於 $(\alpha + \beta)$ 兩相共存區。
2. 相組成（Compositions of the Phases）判定：
   在特定溫度下，連接兩相邊界的水平等溫線即為繫線（Tie line），繫線與兩端固溶度曲線的交點對應之成分即為各相的化學成分。
3. 相含量（Phase Amounts / Weight Fractions）計算：
   利用槓桿原理（Lever Rule），以合金整體成分 $C_0$ 為支點，各相的重量分率與支點到相反相端點的線段長度成正比。

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解題方法

已知條件：

• 合金整體成分 $C_0 = 50\text{ wt.\% Ag}$（餘為 $50\text{ wt.\% Cu}$）。
• 凝固剛完成時之狀態：溫度剛好低於共晶溫度（at a temperature just below the eutectic temperature, $T = 779^\circ\text{C} - \Delta T$）。

步驟 1：判定存在的相（Phases Present）

在溫度略低於 $779^\circ\text{C}$ 時，合金成分 $C_0 = 50\text{ wt.\% Ag}$ 位於 $(\alpha + \beta)$ 雙相固態區內，因此存在的相為：

• $\alpha$ 相（富銅固溶體，Cu-rich solid solution）
• $\beta$ 相（富銀固溶體，Ag-rich solid solution）

步驟 2：決定各相的成分（Compositions of the Phases）

作一條略低於 $779^\circ\text{C}$ 的水平繫線橫跨 $(\alpha + \beta)$ 兩相區，繫線兩端分別交於 $\alpha$ 與 $\beta$ 固溶體之溶解度極限邊界：

• $\alpha$ 相之成分 $C_\alpha$（即 $\alpha$ 在共晶溫度下的最大固溶度）： $$C_\alpha = 8.0\text{ wt.\% Ag} \quad (92.0\text{ wt.\% Cu})$$
• $\beta$ 相之成分 $C_\beta$（即 $\beta$ 在共晶溫度下的最大固溶度）： $$C_\beta = 91.2\text{ wt.\% Ag} \quad (8.8\text{ wt.\% Cu})$$

步驟 3：計算各相的相對重量分率（Weight Fractions of the Phases）

依據槓桿原理（Lever Rule）：

• $\alpha$ 相的重量分率 $W_\alpha$： $$W_\alpha = \frac{C_\beta - C_0}{C_\beta - C_\alpha} = \frac{91.2 - 50}{91.2 - 8.0} = \frac{41.2}{83.2} \approx 0.495 \quad (49.5\text{\%})$$

核心觀念

本題考查二元共晶相圖中，合金在共晶溫度以下的：

• 穩定相組成
• 初晶與共晶微觀組織的判定
• 相與微觀組織的區別

合金成分為 $C_0=50\ \text{wt.\% Ag}$，共晶成分為 $C_E=71.9\ \text{wt.\% Ag}$。由於

$$C_0<C_E$$

因此此合金屬於亞共晶合金。

解題方法

在共晶溫度 $780^\circ\text{C}$ 附近判讀相圖：

• 共晶溫度以上：$\alpha+L$
• 共晶溫度以下：$\alpha+\beta$

冷卻過程如下：

1. 液相先穿過液相線，析出初晶 $\alpha$ 相。
2. 溫度降至 $780^\circ\text{C}$ 時，剩餘液相成分為共晶成分 $71.9\ \text{wt.\% Ag}$。
3. 剩餘液相發生共晶反應：

$$L\rightarrow \alpha+\beta$$

4. 因此在共晶溫度剛以下，組織由「初晶 $\alpha$」與「共晶 $\alpha+\beta$」組成。

此時兩個平衡相的成分由共晶等溫線兩端讀得：

$$C_{\alpha}=7.9\ \text{wt.\% Ag}$$ $$C_{\beta}=91.2\ \text{wt.\% Ag}$$

微觀組織示意

可用下圖表示：

核心觀念

本題的核心觀念為**二元共晶相圖（Binary Eutectic Phase Diagram）的平衡凝固與顯微組織組成物（Microconstituents）**的計算。

1. 顯微組織組成物（Microconstituents）與相（Phases）的區別：

   • 相（Phase）：指系統內部物理與化學性質均勻的區域，此處指 $\alpha$ 相（固溶 Ag 的 Cu 基地）與 $\beta$ 相（固溶 Cu 的 Ag 基地）。
   • 顯微組織組成物（Microconstituent）：指在顯微鏡下具有可辨識特定微觀結構的單元。本題為含 $50\text{ wt.\% Ag}$ 的亞共晶（Hypoeutectic）合金，在冷卻通過共晶溫度（$779^\circ\text{C}$）後，顯微組織由兩部分組成：
     • 初晶相（Proeutectic / Primary $\alpha$ 相）：在液相線至共晶溫度區間由液相直接析出的初晶 $\alpha$ 顆粒。
     • 共晶組織（Eutectic Microconstituent）：在共晶溫度下，殘餘液相經共晶反應（$L \rightarrow \alpha + \beta$）所轉變形成的層狀（Lamellar）組織。

2. 共晶相圖關鍵點讀值（以標準 $\text{Cu-Ag}$ 相圖為基準）：

   • 固溶體 $\alpha$ 在共晶溫度下的最大固溶度：$C_\alpha = 8.0\text{ wt.\% Ag}$
   • 共晶點組成：$C_E = 71.9\text{ wt.\% Ag}$
   • 固溶體 $\beta$ 在共晶溫度下的最大固溶度：$C_\beta = 91.2\text{ wt.\% Ag}$
   • 共晶溫度：$T_E = 779^\circ\text{C}$
   • 合金整體成分：$C_0 = 50\text{ wt.\% Ag}$

3. 槓桿原理（Lever Rule）：
   計算顯微組織組成物時，必須取「初晶 $\alpha$ 的組成點（$C_\alpha$）」與「共晶液相組成點（$C_E$）」之間的槓桿線。

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解題方法

因為合金成分 $C_0 = 50\text{ wt.\% Ag}$ 落在 $C_\alpha$（$8.0\text{ wt.\% Ag}$）與 $C_E$（$71.9\text{ wt.\% Ag}$）之間，屬於亞共晶合金（Hypoeutectic Alloy）。

1. 初晶 $\alpha$ 相（Primary $\alpha$）的重量分率

當溫度冷卻至恰高於共晶溫度（$T_E + \Delta T$）時，合金由初晶 $\alpha$ 與成分為 $C_E$ 的液相 $L$ 共存。冷卻至恰低於共晶溫度（$T_E - \Delta T$）時，初晶 $\alpha$ 的量保持不變：

核心觀念

本題考查析出硬化（precipitation hardening）與析出物尺寸對材料硬度的影響。鋁合金經固溶處理、淬火及時效後，基材中會形成第二相析出物。析出物可阻礙差排運動，使材料的降伏強度與硬度提高。

析出物越細小、分布越均勻且間距越小，差排越難通過，強化效果越顯著。析出物粗化、數量減少且間距增大時，材料會發生過時效，硬度下降。

解題方法

由圖可見：

• A 中含有數量較多、尺寸較細小且分散的析出物。
• B 中析出物尺寸較大、數量較少，彼此間距較大。

差排在滑移時，必須繞過或切過析出物。A 的細小析出物分布較密集，使差排可滑移的平均距離縮短，差排運動受到較強阻礙，因此需要較大的外加應力才能產生塑性變形。

核心觀念

本題旨在考察鐵碳合金（Fe-C system）在固態相變與熱處理過程中所形成的微觀結構（Microstructure），主要包含以下核心觀念：

1. 珠光體（Pearlite）：屬於共析反應（Eutectoid reaction）的共生產物，由鐵素體（$\alpha$-ferrite）與參雜體/雪明碳鐵（Cementite, $\text{Fe}_3\text{C}$）交替疊加形成的層狀結構（Lamellar structure）。
2. 球化體（Spheroidite）：將含有珠光體或變鐵體（Bainite）的鋼材在高溫下（通常略低於共析溫度，約 $700^\circ\text{C}$）進行長時間熱處理（退火），使原本層狀或針狀的 $\text{Fe}_3\text{C}$ 發生擴散重組，轉變為基質（$\alpha$-ferrite matrix）中分散的球狀（Spherical/Featherlike/Globular）雪明碳鐵顆粒。
3. 熱力學穩定性與界面能（Thermodynamic Stability and Interfacial Energy）：微觀結構的熱力學穩定性取決於系統的總自由能（Total free energy）。界面能（Interfacial energy）在固態相變與相穩定度中扮演關鍵角色，球形顆粒具有比層狀構造更小的「表面積比（Surface-area-to-volume ratio）」，因此能大幅降低相界面能（$\alpha/\text{Fe}_3\text{C}$ phase boundary energy）。

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解題方法與分析

本題分為三個主要問句，解題切入點如下：

1. 描述 Pearlite 與 Spheroidite 的微觀結構與特徵：
   • Pearlite（珠光體）：
     • 微觀結構：由薄層狀的 $\alpha$-ferrite 與薄層狀的 $\text{Fe}_3\text{C}$ 相間排列組合而成（Alternate lamellae of ferrite and cementite）。
     • 物理與機械特性：兼具 $\alpha$-ferrite 的延展性（Ductility）與 $\text{Fe}_3\text{C}$ 的高硬度（Hardness）。硬度與強度高於單純的 Ferrite，但延展性低於 Spheroidite。
   • Spheroidite（球化體）：
     • 微觀結構：連續的 $\alpha$-ferrite 基質中，彌散分佈著球狀（Spherical/Globular）的 $\text{Fe}_3\text{C}$ 顆粒。

核心觀念

本題考查**霍爾效應（Hall Effect）**的基本原理與霍爾電壓（Hall Voltage）的計算。

1. 電導率與載子性質之關係：
   金屬的電導率 $\sigma$ 由傳導電子的載子濃度（密度） $n$ 與電子遷移率 $\mu_e$ 決定：
   $\sigma = n |e| \mu_e$
   其中：

   • $\sigma$ 為電導率 $(\Omega\cdot\text{m})^{-1}$
   • $n$ 為自由電子濃度（單位體積內的電子數，$\text{m}^{-3}$）
   • $|e|$ 為基本電荷量（$1.602 \times 10^{-19}\text{ C}$）
   • $\mu_e$ 為電子遷移率（$\text{m}^2/\text{V}\cdot\text{s}$）

2. 霍爾電壓公式：
   當電流 $I_x$ 通過厚度為 $d$ 的導體，且垂直施加磁場 $B_z$ 時，受到勞侖茲力影響形成的霍爾電壓 $V_H$ 表示為：
   $V_H = \frac{R_H I_x B_z}{d}$
   其中 $R_H$ 為霍爾係數（Hall Coefficient）。對於金屬（傳導載子主要為電子），霍爾係數定義為：
   $R_H = -\frac{1}{n |e|}$
   將 $n |e| = \frac{\sigma}{\mu_e}$ 代入 $R_H$，可得到以電導率與遷移率表示的霍爾電壓大小（量值）：
   $|V_H| = \frac{I_x B_z}{n |e| d} = \frac{I_x B_z \mu_e}{\sigma d}$

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解題方法

已知條件

• 電導率 $\sigma = 3.8 \times 10^7\text{ }(\Omega\cdot\text{m})^{-1}$
• 電子遷移率 $\mu_e = 0.0012\text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s} = 1.2 \times 10^{-3}\text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s}$
• 試片厚度（磁場平行方向的厚度） $d = 15\text{ mm} = 1.5 \times 10^{-2}\text{ m}$
• 通過電流 $I_x = 25\text{ A}$

核心觀念

「輕金屬」是指密度顯著低於鐵、銅、鎳等常用結構金屬的金屬材料；在材料科學與工程應用中，通常特別指以鋁、鎂、鈦為基礎的結構金屬及其合金。

本題要求說明三類輕金屬材料的：

1. 晶體結構；
2. 主要性質；
3. 典型工程應用。

判斷結構材料價值時，除密度外，還要考慮比強度與比剛性：

$$\text{比強度}=\frac{\text{抗拉強度}}{\text{密度}}$$ $$\text{比剛性}=\frac{\text{彈性模數}}{\text{密度}}$$

輕金屬的主要優勢，是在降低重量的同時維持一定的強度、剛性、耐蝕性與製造性。

解題方法

依照「鋁合金、鎂合金、鈦合金」三大類逐一回答。每一類均從晶體結構切入，再連結結構對延性、強度、耐蝕性、加工性與應用的影響。

一、鋁及鋁合金

1. 結構

純鋁在常溫下具有面心立方晶體結構，簡稱 FCC。其晶格中具有多組密排滑移面與滑移方向，因此塑性變形容易，延性與加工性良好。

鋁合金的強化方式包括：

• 固溶強化；
• 析出硬化；
• 加工硬化；
• 晶粒細化；
• 分散相或第二相強化。

常見合金系統包括鋁－銅、鋁－鎂、鋁－矽及鋁－鋅－鎂系合金。

2. 主要性質

鋁的密度約為 $2.70\ \text{g/cm}^3$，約為鋼的三分之一，具有良好的減重效果。

主要特性如下：

• 密度低、比強度高：適合航空、車輛與運輸結構。
• 延性與加工性佳：容易軋製、擠製、鍛造與沖壓。
• 耐蝕性良好：表面容易生成緻密的氧化鋁薄膜，阻隔進一步腐蝕。
• 導電性與導熱性佳：適合電氣與熱交換用途。
• 非磁性：適用於需要避免磁性干擾的設備。
• 熔點低於鋼：熔融與鑄造相對容易。
• 彈性模數較低：鋁約為 $70\ \text{GPa}$，因此相同幾何尺寸下的剛性低於鋼。
• 高溫強度有限：溫度升高時，析出相粗化或溶解，強度容易下降。

鋁本身強度不高，但經合金化與析出硬化後，鋁合金可具有良好的強度與疲勞性能。

3. 典型應用

• 航空器機身、機翼與骨架；
• 汽車車身、引擎零件、輪圈與底盤構件；
• 高速鐵路與船舶結構；
• 建築門窗、帷幕牆與屋架；
• 電力輸電線與導體；
• 飲料罐、食品容器與包裝材料；
• 熱交換器、散熱片與電子設備外殼。

其中，鋁－銅與鋁－鋅－鎂系合金常用於高強度結構；鋁－矽系合金常用於鑄造零件；鋁－鎂系合金則常兼具耐蝕性與焊接性。

二、鎂及鎂合金

1. 結構

純鎂在常溫下具有六方最密堆積結構，簡稱 HCP。鎂的滑移系數量與排列方式受到限制，因此室溫延性通常低於鋁，塑性加工性也較差。

鎂合金常加入鋁、鋅、錳、鋯及稀土元素，以改善強度、耐蝕性、鑄造性與高溫性能。

2. 主要性質

鎂的密度約為 $1.74\ \text{g/cm}^3$，是常用結構金屬中密度最低者之一。

主要特性如下：

• 密度極低：約為鋁的三分之二，具有優異的輕量化效果。
• 比強度與比剛性高：在重量受限的結構中具有優勢。
• 減振能力佳：能有效吸收振動與噪音，適合精密設備及交通工具。
• 切削加工性佳：切削阻力小，適合製造薄壁與複雜零件。
• 導熱性良好：可用於散熱構件。
• 室溫塑性較差：HCP 結構使可用滑移系統有限，容易產生加工裂紋。
• 耐蝕性較差：化學活性高，容易發生電化學腐蝕，通常需要表面處理或合金設計。
• 高溫性能有限：部分鎂合金在高溫下會快速軟化。
• 粉塵與薄屑具有燃燒風險：加工時須控制切削條件與防火措施。

鎂合金雖然密度最低，但耐蝕性、延性與高溫強度通常不如鋁合金及鈦合金，因此使用時必須配合適當的表面防護。

3. 典型應用

• 筆記型電腦、相機與手機外殼；
• 汽車方向盤骨架、座椅骨架與變速箱外殼；
• 航空器內部構件；
• 無人機與便攜式設備；
• 工具機與精密儀器外殼；
• 運動器材；
• 需要減振的機械零件。