112 年 國立高雄大學化學工程及材料工程學系碩士班《材料科學導論》

此題考查體心立方（BCC）與面心立方（FCC）結構的配位數。配位數是指一個原子周圍最近的原子數量。

• BCC 結構: 在 BCC 結構中，體心原子周圍有 8 個角原子最近，而每個角原子周圍也有 8 個體心原子最近。因此，BCC 的配位數是 8。

核心觀念

本題考查六方最密堆積（HCP）中，基底面 $(0001)$ 的面密度（planar density）：

$$\text{面密度} = \frac{\text{該晶面上所含原子數}}{\text{晶面所占面積}}$$

$(0001)$ 面垂直於 $c$ 軸，因此它就是 HCP 結構的基底面。基底面內的原子排列形成二維六角排列，其相鄰原子間距為晶格常數 $a$。

解題方法

在 $(0001)$ 面上取一個二維平行四邊形單位格，其兩邊長皆為 $a$，夾角為 $60^\circ$。

其面積為

$$A=a^2\sin 60^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$

此二維單位格的四個頂點原子各只貢獻 $\frac{1}{4}$，因此總原子數為

$$N=4\left(\frac14\right)=1$$

所以 $(0001)$ 面的面密度為

$$PD_{(0001)} = \frac{N}{A} = \frac{1}{(\sqrt{3}/2)a^2} = \frac{2}{\sqrt{3}a^2}$$

代入

$$a=0.266\ \text{nm}$$

得到

$$PD_{(0001)} = \frac{2}{\sqrt{3}(0.266)^2}$$ $$(0.266)^2=0.070756\ \text{nm}^2$$

因此

$$PD_{(0001)} = \frac{2}{1.732(0.070756)} \approx 16.3\ \text{nm}^{-2}$$

題目給出的 $c=0.495\ \text{nm}$ 是垂直於 $(0001)$ 面的晶格常數，計算基底面面密度時不會用到。

選項分析

核心觀念

本題考查六方最密堆積結構（HCP）中，特定晶向的線性密度（linear density）：

$$\mathrm{LD}_{[uvw]}=\frac{\text{該晶向單位長度內的原子數}}{\text{長度}}$$

題目中的「Zine」應為 Zinc（鋅，Zn）。鋅為六方晶體，其晶格常數約為：

$$a=0.2665\ \mathrm{nm},\qquad c=0.4947\ \mathrm{nm}$$

其中 $a$ 是底面邊長，$c$ 是六方晶胞高度。

---

解題方法

一、$[11\bar{2}0]$ 方向

$[11\bar{2}0]$ 是六方晶格底面內的 $a$ 軸方向，沿此方向排列的原子為最密排列，最近鄰原子間距就是 $a$。

因此在長度 $a$ 的線段上，兩端原子各貢獻一半：

$$N=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

所以線性密度為：

$$\mathrm{LD}_{[11\bar{2}0]} =\frac{1}{a} =\frac{1}{0.2665} \approx 3.75\ \mathrm{nm}^{-1} \approx 3.76\ \mathrm{nm}^{-1}$$

---

二、$[0001]$ 方向

$[0001]$ 為六方晶體的 $c$ 軸方向。沿著同一條垂直原子列，相鄰且位於同一直線上的等效原子間距為 $c$。

在長度 $c$ 的線段上，兩端原子各貢獻一半：

$$N=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

因此：

$$\mathrm{LD}_{[0001]} =\frac{1}{c} =\frac{1}{0.4947} \approx 2.02\ \mathrm{nm}^{-1}$$

故兩個方向的線性密度為：

$$\boxed{ \mathrm{LD}_{[11\bar{2}0]}=3.76\ \mathrm{nm}^{-1},\qquad \mathrm{LD}_{[0001]}=2.02\ \mathrm{nm}^{-1} }$$

---

選項分析

核心觀念

再結晶是冷加工金屬加熱後，晶粒內形成無應變的新晶核，並逐漸長大取代原本變形組織的相變過程。因此包含兩個主要步驟：

1. 晶核生成（nucleation）：形成新的無應變晶粒。
2. 晶粒成長（growth）：晶核向周圍變形基材成長。

再結晶分率通常隨時間呈現 S 形曲線：

• 初期：晶核數量少，轉變速率低。
• 中期：晶核生成與晶粒成長快速進行，轉變速率高。
• 後期：可再結晶區域逐漸減少，轉變速率下降並趨近完全再結晶。

解題方法

圖中不同溫度皆呈現再結晶分率隨時間增加的 S 形曲線。溫度升高時，再結晶所需時間縮短，表示溫度同時加速：

• 原子擴散與晶界移動，使晶粒成長加快；
• 新晶核的形成，使晶核生成速率提高。

再結晶是否能快速完成，取決於晶核能否形成，以及形成後能否成長。因此整體再結晶速率是晶核生成與晶粒成長共同控制的結果。

選項分析

核心觀念

本題考查六方晶系的 Miller–Bravais 四指數方向表示法 $[uvtw]$，以及兩個晶向之間夾角的計算。

六方晶系的前三個指數對應基面內的三條晶軸 $a_1、a_2、a_3$，彼此夾角為 $120^\circ$；第四個指數 $w$ 對應 $c$ 軸方向。

題目中的方向依六方晶系慣用記號解讀為：

• $[1\bar{1}00]$
• $[11\bar{2}0]$

其中三個基面指數須符合：

$$u+v+t=0$$

因此 $[1\bar{1}00]$ 與 $[11\bar{2}0]$ 均為合法的六方晶系方向。

解題方法

取基面內三條晶軸的單位向量為：

$$\mathbf{a}_1=(1,0)$$ $$\mathbf{a}_2=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$\mathbf{a}_3=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

且 $w=0$，表示兩個方向都位於基面內。

方向 $[1\bar{1}00]$

其向量為：

$$\mathbf{r}_1=\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2$$ $$\mathbf{r}_1 =(1,0)-\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

方向 $[11\bar{2}0]$

其向量為：

$$\mathbf{r}_2=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2-2\mathbf{a}_3$$ $$\mathbf{r}_2 =(1,0)+\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) -2\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$\mathbf{r}_2 =\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$

利用內積公式：

核心觀念

晶面指數以晶格軸截距的倒數表示：

• 截距為 $a$，倒數為 $1$。
• 截距為 $a/2$，倒數為 $2$。
• 與某軸平行，截距為 $\infty$，該指數為 $0$。
• 六方晶系使用 Miller–Bravais 四指數 $(hkil)$，必須符合
  $h+k+i=0.$

選項中的兩組指數依序對應右側六方晶胞與左側立方晶胞。

解題方法

左側為立方晶胞。由圖可讀出晶面：

• $x$ 軸截距為 $a$
• $y$ 軸截距為 $a/2$
• 與 $z$ 軸平行，截距為 $\infty$

因此截距以 $a$ 為單位為

$$\left(1,\frac12,\infty\right)$$

取倒數：

$$\left(1,2,0\right)$$

所以左側立方晶胞的晶面指數為

$$(120)$$

右側為六方晶胞。圖示晶面在基面方向的截距可表示為

$$a_1=a,\qquad a_2=\infty,\qquad a_3=-a,\qquad c=c$$

取倒數後得到

$$(hkil)=(1,0,-1,1)=(10\bar{1}1)$$

且

$$1+0+(-1)=0$$

符合六方晶系的四指數條件。因此右側晶面為

$$(10\bar{1}1)$$

選項分析

• (a) $(11\bar{2}0)$ and $(102)$：錯誤。
  $(11\bar{2}0)$ 的 $l=0$，表示晶面與 $c$ 軸平行，屬於垂直的柱面；圖示晶面明確截切 $c$ 軸，並非此晶面。$(102)$ 在立方晶胞中的截距為 $$(a,\infty,a/2)$$ 它與 $y$ 軸平行，亦與左圖不符。

核心觀念

單軸拉伸下，滑移系統的解析剪應力由 Schmid 定律計算：

$$\tau_R=\sigma\cos\phi\cos\lambda$$

其中，$\phi$ 是拉伸軸與滑移面法向的夾角，$\lambda$ 是拉伸軸與滑移方向的夾角。

解題方法

依原卷文字與圖示，拉伸應力為 $360\,\mathrm{MPa}$，方向為 $[100]$，滑移面標示為 $(110)$，滑移方向標示為 $[111]$。

$(110)$ 面的法向為 $[110]$，因此

$$\cos\phi = \frac{[100]\cdot[110]}{|[100]||[110]|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

拉伸軸與 $[111]$ 的夾角滿足

$$\cos\lambda = \frac{[100]\cdot[111]}{|[100]||[111]|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

代入 Schmid 定律：

核心觀念

本題考查鐵碳相圖、共析轉變，以及槓桿定則。共析溫度以下，含碳量低於共析成分的鋼由珠光體與先共析鐵素體組成；珠光體內則是鐵素體與滲碳體的層狀組織。槓桿定則以總成分在兩端相成分間的位置，求各相或各組織的質量分率。

解題方法

原卷相圖標示共析溫度為 $727^\circ\mathrm{C}$、鐵素體含碳量 $C_\alpha=0.022\,\mathrm{wt\%\,C}$，以及滲碳體含碳量 $C_{\mathrm{Fe_3C}}=6.70\,\mathrm{wt\%\,C}$。本題鋼材含碳量為 $0.30\,\mathrm{wt\%\,C}$，低於共析成分，屬於亞共析鋼；依鐵碳相圖，共析成分取 $C_e=0.76\,\mathrm{wt\%\,C}$。

(a) 滲碳體與鐵素體的成分

在共析溫度以下，兩相區中兩相的成分由相圖端點讀取：

$$C_{\mathrm{Fe_3C}}=6.70\,\mathrm{wt\%\,C}, \qquad C_\alpha=0.022\,\mathrm{wt\%\,C}.$$

(b) 每 $100\,\mathrm{g}$ 鋼中的滲碳體量

在 $\alpha+\mathrm{Fe_3C}$ 兩相區使用槓桿定則：

$$W_{\mathrm{Fe_3C}} = \frac{C_0-C_\alpha}{C_{\mathrm{Fe_3C}}-C_\alpha} = \frac{0.30-0.022}{6.70-0.022} = 0.0416.$$

因此，每 $100\,\mathrm{g}$ 鋼中的滲碳體質量為

$$m_{\mathrm{Fe_3C}}=0.0416\times100=4.16\,\mathrm{g}.$$

亞共析鋼在此溫度下沒有先共析滲碳體；這些滲碳體都包含在珠光體內。

(c) 每 $100\,\mathrm{g}$ 鋼中的珠光體與先共析鐵素體量

共析溫度剛下方，珠光體的含碳量等於共析成分。用共析等溫線兩端的成分求珠光體分率：

$$W_{\mathrm{P}} = \frac{C_0-C_\alpha}{C_e-C_\alpha} = \frac{0.30-0.022}{0.76-0.022} = 0.3767.$$

先共析鐵素體分率為

核心觀念

電阻率 $\rho$ 反映材料中載子傳輸受阻的程度。以簡化的 Drude 模型表示：

$$\rho=\frac{m^*}{nq^2\tau}$$

其中 $m^*$ 是載子有效質量、$n$ 是載子濃度、$q$ 是載子電荷量、$\tau$ 是平均散射時間。電阻率會隨載子數量及散射情形改變。

解題方法

圖中橫軸是溫度，縱軸是電阻率；主圖顯示金屬的電阻率隨溫度上升，半導體的電阻率隨溫度上升而下降，插圖則顯示合金的電阻率高於純金屬。解題時分別比較溫度對載子散射、半導體載子濃度，以及合金內部散射中心的影響。

(a) 金屬電阻率隨溫度升高而增加

金屬的自由電子濃度 $n$ 在一般溫度範圍內近似不變。升溫會使晶格原子振動加劇，形成較強的晶格振動（聲子）；傳導電子與聲子的散射因此增加，使平均散射時間 $\tau$ 和平均自由程下降。由

$$\rho=\frac{m^*}{nq^2\tau}$$

可知，在 $n$ 近似固定時，$\tau$ 減小會使 $\rho$ 增加。這種由晶格熱振動造成的電阻率，通常稱為聲子散射或熱電阻。

(b) 半導體電阻率隨溫度升高而降低

升溫使半導體中更多電子獲得足夠能量，從價帶躍遷至導帶，同時留下電洞，因此電子與電洞濃度都增加。半導體的導電率可寫為

$$\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)$$