113 年 國立高雄大學化學工程及材料工程學系碩士班《材料科學導論》

核心觀念

本題旨在考驗晶體結構中的「最密堆積」（Closest Packing / Close-Packed Structures）概念與晶體學基本術語的定義。

在金屬與離子晶體中，原子或離子常被視為硬球模型（Hard-Sphere Model）。當這些硬球以空間利用率最高（即填充率最大）的方式排列時，稱為最密堆積。最密堆積的配位數（Coordination Number）為 $12$，原子球體填充率（Atomic Packing Factor, APF）可達最大值：
$\text{APF} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$

在常見的晶體堆積中，最密堆積結構包含：

1. 面心立方堆積（Face-Centered Cubic, FCC）：堆積順序為 $ABCABC...$。
2. 六方最密堆積（Hexagonal Close-Packed, HCP）：堆積順序為 $ABAB...$。

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解題方法

1. 分析題意：題目詢問「何者描述晶體中原子或離子的最密堆積（closest packing）」。
2. 比對選項：檢視各選項的晶體學定義，尋找何者代表最密堆積結構。
   • (A) point group（點群）：屬於晶體對稱性描述。
   • (B) line density（線密度）：描述特定晶向上的原子數密度。
   • (C) face-centered packing（面心堆積）：即面心立方最密堆積（Face-Centered Cubic packing / FCC），空間填充率為 $74\%$，屬於最密堆積結構。
   • (D) body defect（體缺陷）：屬於晶體缺陷類型（如氣孔、夾雜物等三維缺陷）。
3. 結論：面心堆積（(C) face-centered packing）為符合題意之最密堆積結構。

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選項分析

核心觀念

本題考查晶體缺陷（Crystal Defects）依據幾何維度（Dimensionality）的分類基準。

在材料科學導論中，晶體內部的點陣缺陷依據其延伸的幾何維度可分為以下四類：

1. 點缺陷（Point Defects / 零維缺陷, 0D）：缺陷尺寸在三個維度上均為原子級大小。例如：空位（Vacancy）、間隙原子（Interstitial Atom）、替代原子（Substitutional Atom）。
2. 線缺陷（Line Defects / 一維缺陷, 1D）：缺陷沿著一條線延伸，其長度遠大於原子尺度，但截面僅為原子尺寸。位錯（Dislocation） 即屬於此類，主要分為刃位錯（Edge Dislocation）與螺位錯（Screw Dislocation）。
3. 面缺陷（Surface/Planar Defects / 二維缺陷, 2D）：缺陷在二維平面上延伸。例如：晶界（Grain Boundary）、相界（Phase Boundary）、堆垛層錯（Stacking Fault）、表面（External Surface）。
4. 體缺陷 / 三維缺陷（Volume/Bulk Defects / 三維缺陷, 3D）：缺陷在三個維度上皆具有巨觀或微觀的體積尺寸。例如：氣孔（Pore/Void）、夾雜物（Inclusion）、沉澱物（Precipitate）、裂紋（Crack）。

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解題方法

題目詢問「晶體中的位錯（Dislocation）屬於哪一種缺陷？」。

核心觀念

本題旨在考驗材料科學導論中**擴散現象（Diffusion）與費克定律（Fick's Laws）**的物理意義，以及相關傳輸現象（Transport Phenomena）之對應變數。

費克定律是用來描繪物質在介質中因濃度梯度而發生擴散運動的基本定律，分為：

1. 費克第一定律（Fick's First Law）：描述穩定狀態（Steady-state）下的擴散通量（Mass Flux, $J$）與濃度梯度（Concentration Gradient, $\frac{dC}{dx}$）呈正比關係：
   $J = -D \frac{dC}{dx}$
   其中 $D$ 為擴散係數（Diffusion Coefficient），負號代表擴散方向是由高濃度區向低濃度區流動。
2. 費克第二定律（Fick's Second Law）：描述非穩定狀態（Non-steady-state）下，濃度隨時間與空間的變化關係：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$

由於擴散係指原子、離子或分子等質點在空間中的移動過程，因此費克定律所描述的現象屬於質量傳送（Mass transfer）。

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解題方法

本題為傳輸現象（Transport Phenomena）對應定律的觀念觀測題。解題切入點為將各種通量定律（Flux Laws）與其所對應的傳輸屬性進行對比：

傳輸機制	對應經驗定律	動力學驅動力	對應通量變數
熱傳導	傅立葉定律（Fourier's Law）	溫度梯度 ($\frac{dT}{dx}$)	熱通量（Heat Flux）
質量傳送	費克定律（Fick's Law）	濃度梯度 ($\frac{dC}{dx}$)	質量通量（Mass Flux）
電導現象	歐姆定律（Ohm's Law）	電位梯度 / 電場 ($\frac{dV}{dx}$)	電流密度（Current Density）

核心觀念

本題考查材料工程中金屬材料的**韌性—脆性轉變溫度（Ductile-to-Brittle Transition Temperature, DBTT）**及其在低溫環境下的工程應用與破壞機制。

1. DBTT 的定義：當溫度降低至某一臨界範圍時，部分金屬材料（特別是體心立方 BCC 結構的金屬，如 α-Fe、Mo、W 等）會從具有良好塑性變形能力的韌性狀態（Ductile），急劇轉變為容易發生突發性脆性斷裂的脆性狀態（Brittle）。此轉變對應的溫度即為 DBTT。
2. 工程重要性：當金屬結構物（如船舶、橋樑、低溫貯槽、管線）在低於其 DBTT 的低溫環境下運作時，若受到衝擊載荷或微小裂紋應力集中，極易引發無需顯著塑性變形的脆性斷裂（Brittle Fracture），造成災難性的結構失效（例如第二次世界大戰時期的自由輪斷裂事件）。

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解題方法

本題為觀念判斷型選擇題，切入點為分析低溫環境對金屬材料力學行為的影響與考量 DBTT 的核心目的：

• 題幹詢問：在金屬結構需於低溫環境下運作的應用中，為什麼 DBTT 是一個重要的考量因素？
• 解題關鍵：低溫會導致某些金屬的衝擊韌性（Impact Toughness）急劇下降，產生脆化效應（Embrittlement）。因此工程設計上必須確保材料的工作溫度高於其 DBTT，以避免結構發生脆性斷裂。

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選項分析

• (A) low temperatures increase conductivity（錯誤）
  降低溫度雖然會減少金屬晶格振動（聲子散射減少），進而使金屬導電率增加，但導電性與金屬結構的力學安全性（如 DBTT 或破壞抗力）無關，並非結構工程考量 DBTT 的主要原因

核心觀念

本題旨在考驗考生對金屬材料**韌性破壞（Ductile Fracture）與脆性破壞（Brittle Fracture）之巨觀與微觀破壞斷口特徵（Fracture Surface Characteristics）**的辨識與比較能力。

1. 韌性破壞（Ductile Fracture）：

   • 巨觀特徵：破壞前發生顯著的塑性變形（Necking），杯錐狀斷口（Cup-and-Cone Fracture）、表面呈現纖維狀且不規則（Fibrous and Irregular Appearance）。
   • 微觀特徵：材料內部微孔洞形成、成長與相連（Microvoid Coalescence），在掃描式電子顯微鏡（SEM）下可觀察到典型的**球狀凹窩/微窩（Spherical Dimples）**或剪切凹窩（Shear Dimples）。

2. 脆性破壞（Brittle Fracture）：

   • 巨觀特徵：破壞前幾乎無塑性變形，斷面平整且光亮（Flat and Granular Appearance）。
   • 微觀特徵：裂縫沿著晶粒內部特定的解理面（Cleavage Planes）快速擴展，稱為穿晶破壞（Transgranular Fracture / Transcrystalline Fracture）；若裂縫沿著晶界擴展，則稱為沿晶破壞（Intergranular Fracture）。

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解題方法

1. 審題關鍵：題目詢問「何者不屬於金屬韌性破壞的斷口特徵（does not belong to the fracture surface characteristics of ductile failure of metals）」。
2. 對比篩選：將選項分類為「韌性破壞特徵」與「脆性破壞特徵」，找出屬於脆性破壞（或不符韌性破壞）的選項即為正確答案。

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選項分析

核心觀念

本題考查材料科學導論中金屬形成完全固溶體（Complete Solid Solution）的條件，即著名的休姆-拉瑟里法則（Hume-Rothery Rules）。

當兩種金屬在液態與固態下均能以任意比例互溶，形成單一相的替代型固溶體（Substitutional Solid Solution）時，稱為完全固溶（例如銅-鎳合金系統 $\text{Cu-Ni}$）。休姆-拉瑟里提出了決定金屬元素間能否形成無限固溶度的四大經驗法則：

1. 原子半徑差（Atomic Radius Factor）：兩元素的原子半徑差異應在 $\pm 15\%$ 以內。若半徑差過大，會造成晶格嚴重扭曲（Lattice Strain），導致能量過高而無法完全固溶。
2. 晶體結構（Crystal Structure）：兩元素在純態下必須具有相同的晶體結構（例如皆為 FCC 或皆為 BCC）。
3. 電負度（Electronegativity）：兩元素的電負度必須接近。若電負度相差太大，兩者趨向於形成穩定的金屬間化合物（Intermetallic Compound），而非替代型固溶體。
4. 價電數（Valency Rule）：兩元素的原子價（Valence）最好相同。若價電數不同，金屬較傾向於溶解高價數的金屬，但不易達到完全互溶。

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解題方法

將休姆-拉瑟里四大法則（原子半徑、晶體結構、電負度、價電數）與題目選項逐一比對，找出不屬於休姆-拉瑟里法則所規定之完全固溶條件的選項。

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選項分析

核心觀念

本題考查鋼鐵材料的相變化與顯微組織對力學性質（硬度、韌性、延展性）的影響。

1. 鐵碳合金顯微組織的硬度與強度排序：
   $\text{馬氏體 (Martensite)} > \text{變韌體 (Bainite)} > \text{細珠光體 (Fine Pearlite)} > \text{粗珠光體 (Coarse Pearlite)} > \text{肥粒體 (Ferrite)}$

   • 珠光體（Pearlite）：為肥粒體（$\alpha$-Fe）與滲碳體（$\text{Fe}_3\text{C}$）交替排列的層狀（Lamellar）組織。擴散溫度較低時，擴散距離短、層板間距（Interlamellar spacing, $S$）較小，形成細珠光體（Fine pearlite）；層板界面阻礙位錯運動，因此細珠光體的硬度與強度高於粗珠光體（Coarse pearlite）。
   • 變韌體（Bainite）：在高於馬氏體變態開始溫度（$M_s$）但低於珠光體形成溫度的區間恆溫變態形成，其顯微組織為極細小的滲碳體顆粒分散於肥粒體基質中，界面密度高，強度與硬度均高於珠光體，但低於馬氏體。
   • 馬氏體（Martensite）：快速過冷（淬火）導致碳原子來不及擴散，形成過飽和固溶體的體心正方構造（BCT）。結晶構造應變大且含有高密度位錯與細微雙晶，硬度與強度為所有鐵碳變態組織中最高者。

2. 延展性（Ductility）與韌性（Toughness）的比較：

   • 延展性：組織越軟、晶粒/層板越粗大，延展性通常越好。延展性排序為：$\text{粗珠光體} > \text{細珠光體} > \text{變韌體} > \text{馬氏體}$。
   • 碳含量對鋼材力學性質的影響：增加碳含量會增加硬質相（滲碳體 $\text{Fe}_3\text{C}$）的比例，從而提高鋼材的硬度與拉伸強度（Tensile strength），但會導致延展性（Ductility）與衝擊韌性（Toughness）明顯降低（材料變脆）。

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解題方法

本題為觀念判斷選擇題。切入點為依據金屬材料學中「顯微組織－微觀結構－力學性質」的對應關係，逐一核對各選項敘述的正確性。

1. 比較細珠光體與粗珠光體硬度：細珠光體的層間距較小，與層板界面相關的障礙效應較大，因此細珠光體比粗珠光體更硬、更強。

核心觀念

本題考查金屬與材料在固化／相變化過程中，過冷度（Supercooling, $\Delta T$） 對**成核速率（Nucleation Rate）與晶粒尺寸（Grain Size/Crystal Size）**的影響。

1. 成核自由能障（Thermodynamic Barrier for Nucleation, $\Delta G^*$）與臨界核半徑（Critical Nucleus Radius, $r^*$）：
   根據勻相成核理論（Homogeneous Nucleation Theory）：
   $r^* = -\frac{2\gamma}{\Delta G_v} = \frac{2\gamma T_m}{\Delta H_f \Delta T}$
   $\Delta G^* = \frac{16\pi \gamma^3}{3 (\Delta G_v)^2} = \frac{16\pi \gamma^3 T_m^2}{3 \Delta H_f^2 (\Delta T)^2}$
   其中 $\gamma$ 為界面能，$\Delta H_f$ 為熔化熱，$T_m$ 為平衡熔點，$\Delta T = T_m - T$ 為過冷度。

   • 當過冷度 $\Delta T$ 大（Large Supercooling）時：臨界核半徑 $r^*$ 變小，且自由能障 $\Delta G^*$ 顯著降低，使得熱力學驅動力（Thermodynamic Driving Force）大幅增加。

2. 成核速率（Nucleation Rate, $N^*$）：
   成核速率取決於熱力學因子（形成穩定晶核的機率）與動力學因子（原子擴散穿過介面的機率）：
   $N^* \propto \exp\left(-\frac{\Delta G^*}{kT}\right) \cdot \exp\left(-\frac{Q_d}{kT}\right)$

   • 當過冷度大（溫度較低，但未低至原子完全無法擴散的極端低溫範圍）時，熱力學驅動力的影響佔主導地位，$\Delta G^*$ 極小，使得成核速率極快（Rapid Nucleation），單位體積內產生許多晶核（Many Nuclei）。

3. 晶體／晶粒尺寸（Crystal / Grain Size）：

   • 晶體最終尺寸取決於成核速率（Nucleation Rate, $N$）與成長速率（Growth Rate, $G$）的比值 $N/G$：
     • 若成核速率遠大於成長速率（$N \gg G$），大量的晶核會在短時間內互相碰撞阻擋成長，最終形成細小晶粒／小晶體（Small Crystals / Fine Grains）。
     • 反之，大過冷度時由於溫度降低，原子擴散速率下降，晶核成長速率相對較慢，更進一步促成微細晶粒組織的形成。

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解題方法

1. 分析大過冷度（Large Supercooling, 大 $\Delta T$）的熱力學與動力學條件：
   • 大過冷度 $\rightarrow$ 驅動力大 $\rightarrow$ 自由能障 $\Delta G^*$ 極低 $\rightarrow$ 成核極為容易 $\rightarrow$ **快速成核（

核心觀念

本題考查晶體結構中的**滑移系（Slip system）與滑移面（Slip plane）**之特徵。

在晶塑性變形中，位錯（Dislocation）沿著特定晶面發生滑移。決定滑移面與滑移方向的主要原則如下：

1. 滑移面（Slip planes）：通常為晶體中原子面密度最高（Most densely packed planes）、且面間距（Interplanar spacing）最大的面。原子充填越緊密，滑移時克服的剪切阻力（Peierls-Nabarro stress）越小。
2. 滑移方向（Slip directions）：通常為晶體中原子線密度最高（Most closely packed directions）的方向，亦即平移向量（Burgers vector）最短的方向。
3. 面間距公式：面間距 $d_{hkl}$ 越大，滑移阻力越小。

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解題方法

題目詢問「最不可能（least likely）發生滑移面（Slip plane）的地方為何者？」
因此，我們需要找出不符合高原子密度、短平移向量或特定晶體結構之主要滑移面特徵的選項。

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選項分析

• (A) atom density is high（原子密度高）

  • 錯誤（非本題答案）：滑移傾向於發生在原子面密度最高的晶面上（如 FCC 的 $\{111\}$ 面、BCC 的 $\{110\}$ 面），因為高密度的晶面擁有較大的面間距與較小的滑移阻力。此為滑移面發生的典型特徵。

• (B) atoms are closely placed（原子緊密排列）

  • 錯誤（非本題答案）：晶面上原子排列越緊密（原子間距越短），沿著該晶面滑移所需的能量越低，因此非常容易發生滑移。

核心觀念
本題考驗工程金屬材料（Metals and Alloys）的基本分類、合金組成與相態特性，主要包含以下四個觀念：

1. 鐵碳合金分類（Iron-Carbon Alloys）：區分鋼（Steel）與鑄鐵（Cast Iron）的碳含量臨界點（$2.14 \text{ wt}\% \text{ C}$）。
2. 不銹鋼的相態與磁性（Stainless Steels & Magnetism）：奧斯田鐵型（Austenitic）不銹鋼（如 304）具有面心立方（FCC）晶體結構，在室溫下呈順磁性（無顯著磁性）。
3. 輕金屬（Light Metals）：工程上密度較低的金屬（通常密度小於 $5 \text{ g/cm}^3$）統稱為輕金屬，如鋁、鎂、鈦。
4. 超合金（Superalloys）：鎳基超合金在高溫下具有極佳的抗蠕變（Creep Resistance）、抗氧化與強度保持能力。

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解題方法
針對「選擇題中尋找錯誤敘述（incorrect statement）」的題型，切入點為依序檢視每一個選項對應的金屬材料物理與化學性質：

• 比對鋼與鑄鐵的定義與含碳量範圍。
• 檢視 304 不銹鋼的微觀結構（FCC 奧斯田鐵）對磁性的影響。
• 核對常見輕金屬的定義與範例。
• 檢視鎳基超合金的設計目的與實際工程應用環境。

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選項分析

• (A) 正確
  在鐵碳相圖中，碳含量介於 $0.008 \text{ wt}\% \sim 2.14 \text{ wt}\%$ 的鐵碳合金稱為鋼（Steel）；碳含量大於 $2.14 \text{ wt}\%$（通常在 $2.14 \text{ wt}\% \sim 4.5 \text{ wt}\%$ 之間）的則稱為鑄鐵（Cast Iron）。因此鑄鐵的含碳量普遍高於鋼，敘述無誤。

核心觀念

圖中橫軸 $x$ 代表原子間距，縱軸代表鍵能。原子最穩定的間距 $r_0$ 位於能量最低點；曲線的井深反映鍵結強弱，最低點附近的曲率反映鍵結剛性。

解題方法與各小題

(a) 熔點：B 較高。
B 曲線的能量井較深，表示要將原子分離所需克服的鍵結能較大。一般而言，鍵結越強，材料熔化所需的熱能越高，因此 B 的熔點較高。

(b) 剛性：B 較高。
材料的鍵結剛性與平衡間距附近能量曲線的曲率有關，可用下式表示：

$$k \propto \left.\frac{d^2E}{dx^2}\right|_{x=r_0}$$

B 曲線在最低點附近較窄、較陡，表示曲率較大；原子受到位移時，鍵結恢復力較大，所以 B 的剛性較高。

核心觀念

本題考查：

1. 布拉格定律
   $n\lambda=2d\sin\theta$

2. 晶面間距與晶格常數的關係。對立方晶系：

   $d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$

3. 由 XRD 的繞射峰排列判斷晶體結構。

4. 由晶格常數與原子半徑判斷金屬種類，並計算理論密度。

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解題方法

(a) 判斷晶體結構

由圖中峰值及晶面指數可得：

$2\theta$	晶面	$h^2+k^2+l^2$
$40^\circ$	$(110)$	$2$
$58^\circ$	$(200)$	$4$
$73^\circ$	$(211)$	$6$
$86.8^\circ$	$(220)$	$8$

因此各峰所對應的

$h^2+k^2+l^2=2,4,6,8$

其比例為

$1:2:3:4$

這是體心立方晶體（BCC）的繞射條件。BCC 的系統性消光規則為：

$h+k+l=\text{偶數}$

檢查各晶面：

• $(110)$：$1+1+0=2$
• $(200)$：$2+0+0=2$
• $(211)$：$2+1+1=4$
• $(220)$：$2+2+0=4$

皆符合 BCC 的允許繞射條件。

因此未知金屬為體心立方結構。

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(b) 計算晶格常數

第一個峰為 $(110)$，且

$2\theta=40^\circ,\qquad \theta=20^\circ$

已知：

$\lambda=0.1542\text{ nm},\qquad \sin20^\circ=0.3420$

由布拉格定律：

$d_{110}=\frac{\lambda}{2\sin\theta}$

代入：

$$d_{110} =\frac{0.1542}{2(0.3420)} =0.2254\text{ nm}$$

對立方晶系：

$$d_{110}=\frac{a}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}} =\frac{a}{\sqrt2}$$

所以：

$a=d_{110}\sqrt2$

$a=(0.2254)(1.414)=0.3188\text{ nm}$

利用其他峰計算所得結果約為：

• $(200)$：$a\approx0.318\text{ nm}$
• $(211)$：$a\approx0.318\text{ nm}$
• $(220)$：$a\approx0.318\text{ nm}$

因此取：

$\boxed{a\approx0.318\text{ nm}}$

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(c) 判斷未知金屬

BCC 晶體中，體對角線方向有：

$\sqrt3a=4r$

因此原子半徑為：

核心觀念

本題考核材料科學導論中**雙相系平衡相圖（Binary Isomorphous Phase Diagram）**的核心分析技巧與材料強化機制，主要涵蓋三大觀念：

1. 全率固溶相圖判讀（Isomorphous System）：$\text{Cu-Ni}$ 系統在液相與固相皆完全互溶（符合 Hume-Rothery 固溶規則），相圖由液相線（Liquidus）與固相線（Solidus）劃分出三個區域：單相液相（$\text{L}$）、單相固相（$\alpha$）以及兩相共存區（$\text{L} + \alpha$）。
2. 平線法（Tie-line Rule）與槓桿原理（Lever Rule）：
   • 在兩相共存區中，各相成分由該溫度下的水平繫線與兩側相界的交點決定。
   • 各相的質量分率（Mass fraction）依據質量守恆推導出的槓桿原理計算。
3. 固溶強化機制（Solid-Solution Strengthening）：
   • 溶質原子進入溶劑晶格造成晶格應變（Lattice strain），阻礙差排（Dislocation）滑移，使得合金強度與硬度高於任一純金屬成分，在中間成分處達到極大值。

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解題方法與詳細推導

(a) $30\text{ wt\%}$ Ni 合金在 $1225^\circ\text{C}$ 下的相平衡分析

給定整體合金成分 $C_0 = 30\text{ wt\% Ni}$（即 $70\text{ wt\% Cu}$），溫度 $T = 1225^\circ\text{C}$。

i. 存在的相（Phases present）

在 $\text{Cu-Ni}$ 平衡相圖中找到座標點 $(30\text{ wt\% Ni}, 1225^\circ\text{C})$：
純銅熔點為 $1085^\circ\text{C}$，純鎳熔點為 $1453^\circ\text{C}$。在 $1225^\circ\text{C}$ 時，液相線成分約在 $27\text{ wt\% Ni}$，固相線成分約在 $39\text{ wt\% Ni}$。
因為 $C_L < C_0 < C_\alpha$（$27\text{ wt\%} < 30\text{ wt\%} < 39\text{ wt\%}$），狀態點落於兩相共存區。

• 存在的相：液相（$\text{L}$）與固溶體 $\alpha$ 相（$\text{FCC}$ 結構）。

ii. 各相的化學成分（Compositions of the phases）

在 $T = 1225^\circ\text{C}$ 畫一水平繫線（Tie-line），其與液相線及固相線的交點投影至橫軸成分：

• 液相成分 $C_L$：水平繫線與液相線之交點，讀得約 $27\text{ wt\% Ni}$（$73\text{ wt\% Cu}$）。
• $\alpha$ 固相成分 $C_\alpha$：水平繫線與固相線之交點，讀得約 $39\text{ wt\% Ni}$（$61\text{ wt\% Cu}$）。

iii. 各相的質量百分比或分率（Percents or fractions of the phases）

應用**槓桿原理（Lever Rule）**計算各相的質量分率：

• 液相分率 $W_L$：由固相側槓桿臂長度除以總繫線長度
  $W_L = \frac{C_\alpha - C_0}{C_\alpha - C_L} = \frac{39 - 30}{39 - 27} = \frac{9}{12} = 0.75 \quad (75\%)$

• $\alpha$ 固相分率 $W_\alpha$：由液相側槓桿臂長度除以總繫線長度
  $W_\alpha = \frac{C_0 - C_L}{C_\alpha - C_L} = \frac{30 - 27}{39 - 27} = \frac{3}{12} = 0.25 \quad (25\%)$

驗算兩相總和：$W_L + W_\alpha = 75\% + 25\% = 100\%$，符合質量守恆。

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(b) $\text{Ni}$ 在 $\text{Cu}$ 中於 $1050^\circ\text{C}$ 的溶解度上限（Solubility limit）

1. 相圖狀態判斷：
   純銅的熔點為 $1085^\circ\text{C}$，純鎳的熔點為 $1453^\circ\text{C}$。
   在 $1050^\circ\text{C}$ 時，溫度低於系統中所有成分的固相線（Solidus line）。
2. 全率固溶特性：
   銅（$\text{Cu}$）與鎳（$\text{Ni}$）具有相同的晶體結構（均為 $\text{FCC}$）、相近的原子半徑（尺寸差約 $2.3\%$，小於 $15\%$）、相近的電負度及相同常見價鍵，符合 Hume-Rothery 規則，兩者在固態下可全率互溶（Unlimited / Complete solid solubility）。
3. 結論：

核心觀念

金屬的高溫氧化反應動力學（Oxidation Kinetics）主要描述金屬在高溫環境下，表面生成氧化物薄膜（Oxide Film）時，其增重（Weight Gain, $W$）與反應時間（Time, $t$）之間的變化關係。

常見的三種氧化速率定律（Oxidation Rate Expressions）如下：

1. 直線速率定律 (Linear Rate Law)：
   $W = K_L \cdot t + C_L$
   或是寫成 $W = K_L \cdot t$（當 $t = 0$ 時 $W = 0$）。

   • 特徵：增重 $W$ 與時間 $t$ 成正比。
   • 物理意義：生成之氧化物薄膜具多孔性（Porous）或無保護性（Non-protective），氧氣或金屬離子可無阻礙地反應，擴散非速率決定步驟。

2. 拋物線速率定律 (Parabolic Rate Law)：
   $W^2 = K_P \cdot t + C_P$
   或是寫成 $W^2 = K_P \cdot t$（當 $t = 0$ 時 $W = 0$）。

   • 特徵：增重平方 $W^2$ 與時間 $t$ 成正比（即 $W \propto t^{1/2}$）。
   • 物理意義：氧化膜緻密且具保護性（Protective），反應速率受限於離子通過氧化膜的固態擴散（Diffusion-controlled process）。

3. 對數速率定律 (Logarithmic Rate Law)：
   $W = K_e \cdot \ln(a \cdot t + b)$

   • 特徵：增重 $W$ 與時間的對數成正比。
   • 物理意義：通常發生於低溫氧化或極薄氧化膜（$< 100 \text{ \AA}$）的情況。

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解題方法與詳細推導

(a) 判斷氧化動力學類型

我們透過將題目給定的數據代入「直線速率模型」與「拋物線速率模型」，檢驗其常數是否為定值（Constant）。

題目數據：

• $t_1 = 20 \text{ min}$, $W_1 = 4.8 \text{ mg/cm}^2$
• $t_2 = 40 \text{ min}$, $W_2 = 9.6 \text{ mg/cm}^2$
• $t_3 = 80 \text{ min}$, $W_3 = 19.2 \text{ mg/cm}^2$

1. 檢驗直線速率定律 ($W = K_L \cdot t$)

計算各點的比值 $K_L = \frac{W}{t}$：

• 第一組：$\frac{W_1}{t_1} = \frac{4.8}{20} = 0.24 \text{ mg/(cm}^2\cdot\text{min)}$
• 第二組：$\frac{W_2}{t_2} = \frac{9.6}{40} = 0.24 \text{ mg/(cm}^2\cdot\text{min)}$
• 第三組：$\frac{W_3}{t_3} = \frac{19.2}{80} = 0.24 \text{ mg/(cm}^2\cdot\text{min)}$

因為比值 $\frac{W}{t}$ 在所有時間點均為恆定值 $0.24$，符合直線關係。

2. 檢驗拋物線速率定律 ($W^2 = K_P \cdot t$)

計算各點的比值 $K_P = \frac{W^2}{t}$：