113 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《海洋物理學》

此題主要在探討台灣海峽的潮流特性與潮差大小，並要求分析潮差異常大的原因。

台灣海峽潮流方向與潮差大小：

台灣海峽位於中國大陸與台灣島之間，是一個南北向的狹長海峽。其潮流受以下因素影響：

1. 季風影響： 夏季盛行西南風，冬季盛行東北風，造成海峽南北向的潮流流動。夏季西南季風盛行時，海水由南向北流；冬季東北季風盛行時，海水由北向南流。
2. 潮汐影響： 台灣海峽受到太平洋和南海的潮波影響，產生複雜的潮汐現象。主要以半日潮為主，但部分區域亦有日潮或混合潮的成分。
3. 地形影響： 海峽地形狹窄且水深不一，尤其在中南部沿海，地形變化較大，容易造成潮流的加速或減速，進而影響潮差。

潮流方向：

• 夏季： 主要為西南季風驅動的潮流，大致呈南北向流動，由南往北為主。
• 冬季： 主要為東北季風驅動的潮流，大致呈南北向流動，由北往南為主。
• 潮汐流： 在季風影響之外，潮汐也會產生週期性的漲落潮流。在海峽中北部，主要呈現南北向的潮流；在海峽南部，受南海潮波影響，潮流方向較為複雜。

潮差大小：
台灣海峽的潮差普遍不大，平均潮差約在 0.5 公尺至 1.5 公尺之間。然而，在某些特定區域，潮差會顯著增大。

潮差特別大的原因分析（以澎湖為例）：

此題考驗對裂流（Rip Current）形成機制，特別是波浪與洋流交互作用的理解。

裂流（Rip Current）的定義與成因：
裂流是一種強勁的、狹窄的、快速的、與海岸線大致垂直的海流，將水從海岸向海方向帶走。它通常發生在海浪拍岸的區域，是海灘上最危險的離岸流之一。

裂流的驅動力與波流交互作用：

裂流的形成是一個複雜的過程，主要由以下幾個關鍵的波浪與洋流（或稱水流）交互作用的階段構成：

1. 波浪的動量傳輸與波浪壓力（Wave Setup）：

   • 當海浪從深水區傳播到淺水區時，波浪的能量會被傳遞。在海岸附近，由於波浪破碎（Breaking），波浪的動量會被急劇地傾卸到水體中。
   • 這種動量傾卸會導致水體向前推進，並在海岸線上堆積，形成一個比平均海平面更高的水位，稱為「波浪堆積」（Wave Setup）。這相當於在海岸線附近產生了一個向岸的壓力梯度。
   • 同時，波浪本身也具有一定的壓力，稱為「波浪壓力」（Radiation Stress）。當波浪破碎時，這種動量會被傳遞到水體中，並在淺水區產生一個向岸的淨應力。

2. 向岸流與離岸流的形成：

   • 由於波浪堆積和破碎動量傳輸，水體在海岸線附近被推向岸邊，水位升高。為了平衡這種壓力，一部分水會沿著海岸線流動（稱為「沿岸流」，Longshore Current），尋找洩壓的出口。
   • 另一部分水則會尋找離岸的方向，試圖回到平均海平面。

此題要求區分淺水波與深水波的定義及主要特性。

淺水波 (Shallow Water Wave) 與深水波 (Deep Water Wave) 的區別：

區分淺水波與深水波的主要依據是波浪的水深 (h) 與其波長 ($\lambda$) 的比例。通常以一個無因次參數 $\frac{h}{\lambda}$ 來判斷。

1. 深水波 (Deep Water Wave)：

   • 定義： 當水深遠大於波長時，即 $\frac{h}{\lambda} > \frac{1}{2}$ (或有時定義為 $\frac{h}{\lambda} \ge \frac{1}{2}$ 或 $\frac{h}{\lambda} \ge \frac{1}{10}$，此處採用較嚴格的 $\frac{h}{\lambda} > \frac{1}{2}$ 作為區分，較寬鬆的定義也常見)。在此情況下，波浪的運動幾乎不受海底影響。
   • 特性：
     • 色散關係 (Dispersion Relation)： 在深水中，波浪的頻散關係（角頻率 $\omega$ 與波數 $k$ 的關係）為 $\omega^2 = gk$，或等效地，波速 $c = \sqrt{\frac{g}{k}} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}$。這表示長波的傳播速度比短波快。
     • 粒子運動軌跡： 在深水波中，水分子在波浪傳播時的運動軌跡近似為圓形。水分子在波峰處向上、向前運動，在波谷處向下、向後運動。越往深處，圓形軌跡的半徑越小，運動幅度越快速衰減。
     • 波浪破碎： 深水波在傳播過程中，當波高達到一定極限（約為波長的 $\frac{1}{7}$）時，會發生破碎。

2. 淺水波 (Shallow Water Wave)：

   • 定義： 當水深遠小於波長時，即 $\frac{h}{\lambda} < \frac{1}{20}$ (或有時定義為 $\frac{h}{\lambda} \le \frac{1}{10}$，此處採用較寬鬆的 $\frac{h}{\lambda} < \frac{1}{20}$ 作

此題考查對潮汐學中兩個基本名詞的理解：Neap Tide（小潮）和 Flood Tide（漲潮）。

1. Neap Tide (小潮)：

• 定義： 小潮是指在一個朔望月（約 29.5 天）期間，潮差最小的時期。這通常發生在上弦月和下弦月（即月相為四分之一或四分之三時）的附近。
• 成因： 潮汐的產生主要是由於太陽和月球對地球的引力作用。太陽和月球的引力會同時產生潮汐力。
  • 在朔（新月）和望（滿月）時，太陽、月球和地球大致成一線（Syzygy）。此時，太陽和月球的潮汐力疊加（相長），產生最大的潮差，稱為Spring Tide（大潮）。
  • 而在上弦月和下弦月時，太陽、月球和地球大致成直角（Quadrature）。此時，太陽和月球的潮汐力相互抵消（相消），月球的潮汐力佔主導，但太陽的潮汐力使其減弱，因此產生的潮差最小，這就是Neap Tide（小潮）。
• 特性： 小潮時，漲潮時的水位較低，退潮時的水位較高，因此漲退潮的潮差（最高潮位與最低潮位之差）最小。

2. Flood Tide (漲潮)：

此題考查對湧升流（Upwelling）形成機制及其驅動力的理解。

湧升流 (Upwelling) 的定義與重要性：
湧升流是指海洋中，將深層、通常較冷、營養鹽含量較高的海水，向上推升至表層的過程。湧升流對海洋生態系統至關重要，因為它將深層的營養鹽帶到光合作用發生的表層，支持浮游植物的生長，進而構成海洋食物鏈的基礎。

湧升流形成的原因：

湧升流主要由以下幾種機制驅動：

1. 風力驅動的沿岸湧升 (Wind-Driven Coastal Upwelling)：
   • 這是最常見且最重要的湧升機制之一。
   • 機制： 當風吹拂海面，並與海岸線大致平行時，會產生艾克曼傳輸 (Ekman Transport)。根據艾克曼螺旋效應，在北半球，若風從岸邊吹向海上（例如，風向為偏南風沿著東向海岸吹），表層海水會向右偏（向西），而艾克曼傳輸的淨效應是將表層海水以約 90 度向右（在北半球）或向左（在南半球）偏離風向。
   • 如果風是離岸風（吹離海岸），艾克曼傳輸會將表層海水帶離海岸。為了填補表層海水被帶走所留下的空間，較冷的、富含營養鹽的深層海水就會被「湧升」到表層來補充。
   • 反之，如果是向岸風（吹向海岸），艾克曼傳輸會將表層海水推向海岸，導致海岸邊海水堆積，形成向下湧沉 (Downwelling)。

此題考查對地轉流（Geostrophic Current）形成機制及其平衡條件的理解。

地轉流 (Geostrophic Current) 的定義：
地轉流是一種近似穩定的、水平的海洋或大氣環流，它是由兩種主要力量的平衡所產生：壓力梯度力 (Pressure Gradient Force) 和科氏力 (Coriolis Force)。這種流動通常發生在較大的尺度上，且不受摩擦力的顯著影響。

地轉流形成的原因與平衡機制：

地轉流的形成是一個逐步發展的過程，其核心是壓力梯度力和科氏力之間的平衡：

1. 初始驅動力：密度差異與壓力梯度：

   • 海洋或大氣中的水體（或空氣）並非均勻密度。例如，溫度、鹽度（在海洋中）或氣壓（在大氣中）的差異會導致密度分布不均。
   • 密度差異會引起壓力差異。在海洋中，密度較大的水體（例如，冷、鹹的水）會下沉，導致較深處的壓力較高；密度較小的水體（例如，暖、淡的水）會上浮，導致較深處的壓力較低。這種壓力差異在水平方向上就會產生一個壓力梯度力，它指向壓力較低的方向。
   • 例如，在海水中，如果海水密度在東邊較高，西邊較低，則在相同深度下，東邊水的壓力會高於西邊，從而產生一個指向西邊的壓力梯度力。

2. 科氏力的作用：

   • 當水體開始在壓力梯度力作用下運動時，由於地球的自轉，會受到科氏力的作用。科氏力的大小與流速和地球自轉角速度有關，其方向垂直於流速和地球自轉軸。
   • 在北半球，科氏力指向物體運動方向的右側；在南半球，則指向左側。

3. 達到地轉平衡：

   • 起初，水體在壓力梯度力作用下開始運動。隨著速度的增加，科氏力也隨之增大。
   • 當水體的運動速度達到一定程度時，科氏力的大小會與壓力梯度力的大小相等，但方向相反。此時，這兩種力就達到平衡。
   • 平衡條件： $|\vec{F}_{pressure}| = |\vec{F}_{Coriolis}|$

此題考查對艾克曼傳輸（Ekman Transport）形成機制及其物理原理的理解。

艾克曼傳輸 (Ekman Transport) 的定義：
艾克曼傳輸是指在受風影響的海洋或大氣表層，由於科氏力和摩擦力的共同作用，導致表層水體（或空氣）的淨傳輸方向與風向之間存在一個傾斜角度（在北半球約為 90 度向右，南半球約為 90 度向左）。

艾克曼傳輸形成的原因與機制：

艾克曼傳輸的形成是風力、摩擦力和科氏力三者相互作用的結果：

1. 風應力 (Wind Stress)：

   • 當風吹拂在水面（或大氣）上時，會產生一個切應力，稱為風應力。這個應力將動量從風傳遞到水體（或大氣），成為驅動表層水體（或空氣）運動的初始動力。

2. 摩擦力與艾克曼螺旋 (Ekman Spiral)：

   • 風應力首先作用於最表層的水體，使其開始運動。
   • 然而，水體並非剛體，運動的水層會通過摩擦力（黏滯力）將動量傳遞給其下方的水層。這個動量傳遞會逐層向下衰減。
   • 同時，隨著水層的運動，它們也會受到科氏力的作用。科氏力的大小與流速成正比，方向垂直於運動方向和地球自轉軸。
   • 因此，每一層水體的運動方向和速度都受到其上方水層傳遞的動量（來自風應力或上方水層的摩擦力）、下方水層的摩擦力以及科氏力的影響。
   • 在北半球，科氏力使運動方向向右偏；在南半球，則向左偏。
   • 這種逐層的動量傳遞和科氏力的作用，導致從表層到底層，水體的運動方向逐漸偏離風向，且速度逐漸減小，形成一個螺旋狀的結構，稱為艾克曼螺旋 (Ekman Spiral)。最上層的水體運動方向與風向有一定夾角，越往下，夾角越大，速度越小，直到某個深度（稱為艾克曼深度）後，水體運動幾乎不受風的影響。

此題考查對西方邊界流（Western Boundary Current）形成原因的理解，這通常與行星渦旋參數（Planetary Vorticity）和科氏力（Coriolis Force）的緯度變化有關。

西方邊界流 (Western Boundary Current) 的定義與特徵：
西方邊界流是位於大洋環流（Ocean Gyre）西側的強勁、狹窄、流速快、水溫較高的洋流。最著名的例子是北大西洋的灣流 (Gulf Stream) 和北太平洋的黑潮 (Kuroshio Current)。

西方邊界流形成的原因：

西方邊界流的形成主要與行星渦旋參數 (Planetary Vorticity, f) 的緯度變化以及大洋環流的動量平衡有關。這個理論通常被稱為Stommel 模型或Munk 模型的擴展。

1. 行星渦旋參數 (f) 的緯度變化：

   • 科氏力的強度與緯度有關，其參數 $f = 2\Omega \sin\phi$，其中 $\Omega$ 是地球自轉角速度，$\phi$ 是緯度。
   • 在低緯度地區，$\sin\phi$ 較小，f 值較小；在高緯度地區，$\sin\phi$ 較大，f 值較大。
   • 這意味著科氏力在低緯度地區較弱，在高緯度地區較強。

2. 大洋環流的動量平衡：

   • 大洋環流（如副熱帶環流）是由盛行風（如信風和西風）通過風應力驅動的。風應力將動量傳遞給海水，形成一個大致的環流。
   • 在環流的東側（東岸），由於科氏力較強（高緯度），風應力驅動的動量可以通過慣性平衡 (Inertial Balance) 或地轉平衡 (Geostrophic Balance)，在相對較寬闊的區域內得到平衡，形成流速較慢、水溫較低的東側邊界流（例如北大西洋的加那利洋流）。

此題考查對波浪理論中色散關係的應用，特別是深水波的近似。

核心觀念：
此題要求計算深海波浪的波長與波速，並給出了通用的色散關係式 $\omega^2 = gk \tanh(kh)$。對於深海波浪，可以利用該公式的近似形式。

解題步驟：

1. 辨識為深水波：
   題目明確指出是「深海波浪」。在深水波的定義中，水深 $h$ 相對於波長 $\lambda$ 遠大（通常 $h/\lambda > 1/2$）。在這種情況下，$\tanh(kh)$ 的值非常接近 1。

   • 其中 $k$ 是波數，$k = \frac{2\pi}{\lambda}$。
   • 當 $h$ 很大時，$kh$ 很大，$\tanh(kh) \approx 1$。

2. 簡化色散關係式：
   將 $\tanh(kh) \approx 1$ 代入通用的色散關係式：
   $\omega^2 = gk \tanh(kh) \approx gk$
   這是深水波的色散關係式。

3. 利用週期 (T) 計算角頻率 ($\omega$)：
   題目給定週期 $T = 13$ 秒。角頻率 $\omega$ 與週期 $T$ 的關係為 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。
   $\omega = \frac{2\pi}{13} \text{ rad/s}$

4. 計算波數 (k)：
   從簡化後的色散關係式 $\omega^2 = gk$，我們可以解出波數 $k$：
   $k = \frac{\omega^2}{g}$
   代入 $\omega$ 和重力加速度 $g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$：
   $k = \frac{(\frac{2\pi}{13})^2}{9.8} = \frac{4\pi^2}{169 \times 9.8} \approx \frac{4 \times 9.87}{1646.2} \approx \frac{39.48}{1646.2} \approx 0.0240 \text{ m}^{-1}$
   （注意：這裡保留幾位小數以提高後續計算精度）

5. 計算波長 ($\lambda$)：
   波數 $k$ 與波長 $\lambda$ 的關係為 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，所以 $\lambda = \frac{2\pi}{k}$。
   $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.0240} \approx \frac{6.283}{0.0240} \approx 261.8 \text{ m}$

此題考查對波浪理論中色散關係的應用，特別是深水波的判斷與計算。

核心觀念：
此題要求計算波浪的波速，給定了水深、波高和週期，並提供了通用的色散關係式 $\omega^2 = gk \tanh(kh)$。關鍵在於判斷該波浪是否為深水波，並利用相應的公式進行計算。

解題步驟：

1. 判斷波浪類型：
   題目給定水深 $h = 2000$ m，週期 $T = 10$ s。
   首先，我們需要估計該波浪的波長 $\lambda$，以便判斷其是深水波、淺水波還是過渡區波浪。
   對於深水波，其波速 $c \approx \sqrt{\frac{gT}{2\pi}}$。
   假設為深水波，則波速 $c \approx \sqrt{\frac{9.8 \times 10}{2\pi}} = \sqrt{\frac{98}{2\pi}} \approx \sqrt{15.6} \approx 3.95$ m/s。
   （這裡的估算是為了後續判斷 $h/\lambda$，但更精確的方法是先用深水波公式計算 $\lambda$ 再驗證，或直接利用色散關係）

   另一種方法是利用深水波的近似公式 $\omega^2 = gk$ 來計算波數 $k$：
   週期 $T = 10$ s，角頻率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ rad/s。
   假設為深水波，則 $k = \frac{\omega^2}{g} = \frac{(\pi/5)^2}{9.8} = \frac{\pi^2/25}{9.8} \approx \frac{9.87/25}{9.8} \approx \frac{0.395}{9.8} \approx 0.0403$ m$^{-1}$。
   波長 $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.0403} \approx \frac{6.283}{0.0403} \approx 155.9$ m。

   現在我們來判斷水深與波長的比例：
   $\frac{h}{\lambda} = \frac{2000 \text{ m}}{155.9 \text{ m}} \approx 12.8$。
   由於 $\frac{h}{\lambda} \approx 12.8 \gg \frac{1}{2}$，因此該波浪可以被視為深水波。題目中也明確說明是「深水波」。

2. 利用深水波近似計算波速：
   對於深水波，通用的色散關係式 $\omega^2 = gk \tanh(kh)$ 可以近似為 $\omega^2 = gk$，因為當 $kh \gg 1$ 時，