113 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程統計》

本題為離散型隨機變數的期望值、變異數計算，以及期望值與變異數的線性與非線性轉換應用。

核心觀念： 離散型隨機變數的期望值、變異數計算公式，以及隨機變數函數的期望值與變異數性質。
對於離散型隨機變數 $X$，其機率質量函數 (PMF) 為 $P(x)$，
期望值 $E(X) = \sum x P(x)$
$E(X^2) = \sum x^2 P(x)$
變異數 $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

解題過程：

首先，計算 $E(X)$ 與 $E(X^2)$：
$E(X) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0$
$E(X^2) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.4) + (4 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 1.2 = 1.6$

接著，計算 $V(X)$：
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.6 - (1.0)^2 = 1.6 - 1.0 = 0.6$

(1) Compute E(X), E(X²), and V(X).
$E(X) = 1.0$
$E(X^2) = 1.6$
$V(X) = 0.6$
【答案】$E(X) = 1.0$, $E(X^2) = 1.6$, $V(X) = 0.6$

核心觀念

本題考查連續型隨機變數的機率密度函數、累積分布函數、分位數與中位數。

必須使用：

1. 機率密度函數的總面積為 $1$：

   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1$

2. 累積分布函數：

   $F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$

3. 中位數 $m$ 滿足：

   $F(m)=\frac{1}{2}$

題目目前只提供一個正規化條件，因此 $c$ 與 $k$ 無法同時得到唯一的數值答案。以下以任意 $k>0$ 表示完整解答。

(1) 求 $c$ 與 $k$

因為 $f(x)$ 是機率密度函數，其總面積必須等於 $1$：

$$\int_{0}^{k}ce^{-x}\,dx=1$$

計算積分：

$$c\left[-e^{-x}\right]_{0}^{k}=1$$ $$c(1-e^{-k})=1$$

因此：

$$c=\frac{1}{1-e^{-k}}$$

所以 $c$ 與 $k$ 的關係為：

$$\boxed{c=\frac{1}{1-e^{-k}},\quad k>0}$$

僅由題目提供的資訊，無法分別決定唯一的 $c$ 與 $k$。必須再提供一個條件，例如某個機率、期望值或分位數，才能求出 $k$ 的數值。

(2) 求累積分布函數 $F(x)$

依據定義：

$$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$$

分三種情況討論。

情況一：$x\leq 0$

因為 $X$ 不可能落在 $0$ 以下：

$$F(x)=0$$

情況二：$0<x<k$

$$F(x)=\int_{0}^{x}ct e^{-t}\,dt$$

此處變數應寫成 $t$，因此：

$$F(x)=c\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt$$ $$F(x)=c\left(1-e^{-x}\right)$$

代入 $c=\dfrac{1}{1-e^{-k}}$：

$$F(x)=\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-k}}$$

情況三：$x\geq k$

所有可能值都已包含在 $(-\infty,x]$ 中，因此：

$$F(x)=1$$

故累積分布函數為：

$$\boxed{ F(x)= \begin{cases} 0, & x\leq 0,\\[6pt] \dfrac{1-e^{-x}}{1-e^{-k}}, & 0<x<k,\\[10pt] 1, & x\geq k. \end{cases} }$$

(3) 求 $P(X\leq 0.1)$

答案取決於 $0.1$ 與 $k$ 的大小。

當 $k>0.1$

此時 $0.1$ 位於密度函數的支撐區間內，因此：

$$P(X\leq 0.1)=F(0.1)$$ $$P(X\leq 0.1) =\frac{1-e^{-0.1}}{1-e^{-k}}$$

因此：

本題考驗關於平均值的信賴區間計算、樣本數的決定，以及對總體標準差已知的常態分佈假設下的統計推論。

核心觀念：

1. 當總體標準差 $\sigma$ 已知時，平均值 $\mu$ 的信賴區間公式為 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
2. 信賴區間的寬度為 $2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
3. 估計總體平均值至一定誤差範圍內的樣本數決定：$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}\right)^2$，其中 $E$ 為允許的最大誤差。

解題過程：
已知總體標準差 $\sigma = 0.75$。

(1) Compute a 95% confidence interval (CI) for the true average porosity of a certain seam if the average porosity for 20 specimens from the seam was 4.85.
已知：樣本平均值 $\bar{x} = 4.85$，樣本數 $n = 20$，信賴水準為 95%。
對於 95% 信賴水準，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
查表可得 $z_{0.025} = 1.96$。
信賴區間為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.85 \pm 1.96 \times \frac{0.75}{\sqrt{20}}$
$\frac{0.75}{\sqrt{20}} = \frac{0.75}{4.472} \approx 0.1677$
$1.96 \times 0.1677 \approx 0.3287$
信賴區間為 $4.85 \pm 0.3287$
下限：$4.85 - 0.3287 = 4.5213$
上限：$4.85 + 0.3287 = 5.1787$
【答案】(4.5213, 5.1787)

(2) Compute a 98% CI for true average porosity of another seam based on 16 specimens with a sample average porosity of 4.56.
已知：樣本平均值 $\bar{x} = 4.56$，樣本數 $n = 16$，信賴水準為 98%。
對於 98% 信賴水準，$\alpha = 0.02$，$\alpha/2 = 0.01$。

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定三種添加劑的平均抗壓強度是否相同。

設三種添加劑的母體平均抗壓強度為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$。ANOVA 的基本關係為：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_B$：組間平方和（Between）
• $SS_W$：組內平方和（Within）
• $SS_T$：總平方和（Total）

自由度為：

$$df_T=N-1$$ $$df_B=k-1$$ $$df_W=N-k$$

其中 $k$ 為組數，$N$ 為總樣本數。均方為：

$$MS=\frac{SS}{df}$$

F 統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

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解題方法

1. 計算總樣本數

共有三種添加劑，每種測試 $8$ 個試件，因此：

$$N=3\times 8=24$$

組數為：

$$k=3$$

2. 計算各部分自由度

組間自由度：

$$b=df_B=k-1=3-1=2$$

總自由度：

$$d=df_T=N-1=24-1=23$$

組內自由度：

$$c=df_W=df_T-df_B=23-2=21$$

也可直接計算：

$$df_W=N-k=24-3=21$$

3. 計算組內平方和

由平方和分解公式：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

代入題目資料：

$$119=56+SS_W$$

因此：

$$a=SS_W=119-56=63$$

4. 計算組間均方與組內均方

組間均方：

$$e=MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{56}{2}=28$$

組內均方：

$$f=MS_W=\frac{SS_W}{df_W} =\frac{63}{21}=3$$

5. 計算 F 統計量

$$g=F=\frac{MS_B}{MS_W} =\frac{28}{3} =9.333$$

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完整 ANOVA 表

來源	SS	DF	MS	F
Between	$56$	$2$	$28$	$9.333$
Within	$63$	$21$	$3$
Total	$119$	$23$

因此：

本題考驗簡單線性迴歸的 ANOVA 表填寫、迴歸模型的假設檢定（F 檢定），以及判定係數 ($R^2$) 的計算。

核心觀念：

1. 迴歸 ANOVA 表的關係：
   • $SS_{Total} = SS_{Regression} + SS_{Error}$
   • $DF_{Total} = DF_{Regression} + DF_{Error}$
   • $MS_{Regression} = SS_{Regression} / DF_{Regression}$
   • $MS_{Error} = SS_{Error} / DF_{Error}$ (此為殘差均方，也稱為迴歸均方誤差 MSE)
   • $F = MS_{Regression} / MS_{Error}$
2. 迴歸模型的假設檢定：
   • 虛無假設 $H_0$: $\beta_1 = 0$ (解釋變數 $x$ 對應變數 $y$ 沒有線性影響)。
   • 對立假設 $H_1$: $\beta_1 \neq 0$ (解釋變數 $x$ 對應變數 $y$ 有線性影響)。
3. 判定係數 ($R^2$)：表示總體變異中，有多少比例可以被迴歸模型解釋。
   $R^2 = \frac{SS_{Regression}}{SS_{Total}} = 1 - \frac{SS_{Error}}{SS_{Total}}$。

解題過程：

已知資訊：

• 總樣本數 $n = 11$ 對。
• $SS_{Error} = 0.27$
• $SS_{Total} = 1.41$

(1) Complete the ANOVA table for this regression model.
首先，計算各欄位。

• DF (自由度)：

  • $DF_{Regression}$：迴歸自由度 = 解釋變數的個數 = 1 (因為是簡單線性迴歸，只有一個解釋變數 $x$)。
    $DF_{Regression} = 1$。 所以 $b=1$。
  • $DF_{Total}$：總自由度 = 總樣本數 - 1 = $n - 1$。
    $DF_{Total} = 11 - 1 = 10$。 所以 $d=10$。
  • $DF_{Error}$：殘差自由度 = $DF_{Total} - DF_{Regression}$。
    $DF_{Error} = 10 - 1 = 9$。 所以 $c=9$。

• SS (平方和)：

  • $SS_{Regression}$：迴歸平方和 = $SS_{Total} - SS_{Error}$。
    $SS_{Regression} = 1.41 - 0.27 = 1.14$。 所以 $a=1.14$。

• MS (均方)：

  • $MS_{Regression}$：迴歸均方 = $SS_{Regression} / DF_{Regression}$。
    $MS_{Regression} = 1.14 / 1 = 1.14$。 所以 $e=1.14$。
  • $MS_{Error}$：殘差均方 (MSE) = $SS_{Error} / DF_{Error}$。
    $MS_{Error} = 0.27 / 9 = 0.03$。 所以 $f=0.03$。