112 年 國立成功大學土木工程系碩士班丙組《工程統計》

這題主要在考驗對離散型隨機變數的累積分布函數 (CDF) 與機率質量函數 (PMF) 的理解，以及如何從 CDF 推導 PMF 並計算相關機率與期望值。

核心觀念：
離散型隨機變數的 CDF $F(x) = P(X \le x)$。
PMF $p(x) = P(X=x)$。
對於離散型隨機變數，$p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$，其中 $x_i$ 是所有可能的取值，且 $x_{i-1}$ 是緊接在 $x_i$ 前面的值。

(1) What is the probability mass function (pmf) of X?

CDF $F(x)$ 在跳躍點的差值即為該點的 PMF 值。
$X$ 的可能取值點是 $1, 3, 4, 6, 12$。

• $P(X=1) = F(1) - F(x<1) = 0.30 - 0 = 0.30$
• $P(X=3) = F(3) - F(x<3) = 0.40 - 0.30 = 0.10$
• $P(X=4) = F(4) - F(x<4) = 0.45 - 0.40 = 0.05$
• $P(X=6) = F(6) - F(x<6) = 0.60 - 0.45 = 0.15$
• $P(X=12) = F(12) - F(x<12) = 1.00 - 0.60 = 0.40$

因此，PMF 為：
$p(1) = 0.30$
$p(3) = 0.10$
$p(4) = 0.05$
$p(6) = 0.15$
$p(12) = 0.40$
其他所有 $x$ 的 $p(x)=0$。

【答案】
PMF 為 $p(1) = 0.30, p(3) = 0.10, p(4) = 0.05, p(6) = 0.15, p(12) = 0.40$。

(2) What is $P(3 \le X \le 6)$?

這個機率表示 $X$ 的值在 3 到 6 之間（包含 3，不包含 6）。
$P(3 \le X \le 6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=6)$
$P(3 \le X \le 6) = 0.10 + 0.05 + 0.15 = 0.30$

核心觀念

本題考查連續型隨機變數的：

• 累積分配函數（cdf）：
  $F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$
• 期望值：
  $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx$
• 變異數：
  $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$
• 第 $100p$ 百分位數 $x_p$ 的定義：
  $F_X(x_p)=p$

已知 $X$ 的可能範圍為 $1\le X\le 2$。

(1) 累積分配函數

當 $1\le x\le 2$ 時，

$$F_X(x)=\int_{1}^{x}2\left(1-\frac{1}{t^2}\right)\,dt$$

計算得

$$\begin{aligned} F_X(x) &=2\int_1^x(1-t^{-2})\,dt\\ &=2\left[t+\frac{1}{t}\right]_1^x\\ &=2x+\frac{2}{x}-4. \end{aligned}$$

因此 cdf 為

$$F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 2x+\dfrac{2}{x}-4, & 1\le x\le 2,\\[8pt] 1, & x>2. \end{cases}$$

其中

$$F_X(1)=0,\qquad F_X(2)=1,$$

符合 cdf 的邊界條件。

(2) 期望值

由期望值定義，

$$E(X)=\int_1^2x\cdot 2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\,dx.$$

整理被積分式：

$$\begin{aligned} E(X) &=2\int_1^2\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx\\ &=2\left[\frac{x^2}{2}-\ln x\right]_1^2\\ &=\left[x^2-2\ln x\right]_1^2\\ &=3-2\ln 2. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{E(X)=3-2\ln 2}$$

數值約為 $1.614$，確實落在 $[1,2]$ 之間。

(3) 變異數

先計算二階動差：

$$\begin{aligned} E(X^2) &=\int_1^2x^2\cdot 2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\,dx\\ &=2\int_1^2(x^2-1)\,dx\\ &=2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2\\ &=2\left[\left(\frac{8}{3}-2\right) -\left(\frac{1}{3}-1\right)\right]\\ &=\frac{8}{3}. \end{aligned}$$

利用

$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2,$$

得到

$$\boxed{ \operatorname{Var}(X) =\frac{8}{3}-(3-2\ln 2)^2 }$$

亦可展開為

這題考驗關於信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的概念，包含如何計算、解釋信賴區間的精確度、如何縮小邊際誤差，以及樣本大小的計算。

核心觀念：
母體平均數 $\mu$ 的信賴區間。
當母體標準差 $\sigma$ 未知時，使用樣本標準差 $s$ 並套用 t-distribution。
CI 的形式：$\bar{x} \pm \text{Margin of Error}$。
Margin of Error (MOE) = critical value $\times$ standard error。
對於平均數的 CI：$MOE = t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$。
對於樣本大小的計算：$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}\right)^2$ (當 $\sigma$ 已知或可估計時)。

給定資料：
樣本數 $n = 169$
樣本平均數 $\bar{x} = 89.1$ MPa
樣本標準差 $s = 3.73$ MPa
信賴水準 = 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。

(1) What is the confidence interval (CI) for true average fracture strength with a confidence level of 95%?

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用 t-distribution。
自由度 $df = n-1 = 169 - 1 = 168$。
我們需要尋找 $t_{\alpha/2, n-1} = t_{0.025, 168}$。
由於 $n=169$ 很大，t-distribution 近似於標準常態分佈 (z-distribution)。
查表可知 $z_{0.025} = 1.96$。
因此，我們可以使用 $t_{0.025, 168} \approx z_{0.025} = 1.96$。
(注意：題目提供的表格中有 $z=1.96$ 對應 $\Phi(z)=0.975$，表示 $P(Z \le 1.96) = 0.975$。因此 $P(Z > 1.96) = 0.025$，即 $z_{0.025} = 1.96$。)

標準誤 (Standard Error, SE) $= \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3.73}{\sqrt{169}} = \frac{3.73}{13}$。
SE $\approx 0.2869$。

邊際誤差 (Margin of Error, MOE) $= t_{\alpha/2, n-1} \times SE \approx 1.96 \times 0.2869$。
MOE $\approx 0.5623$。

信賴區間為 $\bar{x} \pm MOE$。
CI = $89.1 \pm 0.5623$。
CI = $(89.1 - 0.5623, 89.1 + 0.5623)$。
CI = $(88.5377, 89.6623)$。

【答案】
95% 的信賴區間為 $(88.54, 89.66)$ MPa (四捨五入至小數點後兩位)。

(2) Does it appear that true average fracture strength is precisely estimated using the above interval? Why?

信賴區間的寬度代表估計的精確度。區間越窄，估計越精確。
區間寬度 = Upper bound - Lower bound = $89.6623 - 88.5377 = 1.1246$ MPa。
邊際誤差是區間寬度的一半，即 $0.5623$ MPa。

核心觀念

母體標準差未知，且樣本數 $n=5$，因此使用單一母體平均數的 $t$ 檢定，自由度為 $n-1=4$。題目要求真實平均黏度為 $3000$ cP，故以雙尾檢定判斷平均數是否與目標值不同。

解題方法

設 $\mu$ 為此類材料的真實平均黏度。假設檢定為：

$$H_0:\mu=3000 \qquad\text{對}\qquad H_1:\mu\ne 3000$$

在虛無假設下，檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

代入 $\bar{x}=2887.6$、$\mu_0=3000$、$s=84$、$n=5$：

$$t=\frac{2887.6-3000}{84/\sqrt{5}} =\frac{-112.4}{37.55} \approx -2.99$$

這題主要考驗對二次迴歸模型 (Quadratic Regression Model) 的理解，包含如何解釋迴歸係數、R平方值、變異數分析表 (ANOVA table)，以及如何進行假設檢定。

核心觀念：
R平方值 ($R^2$) 代表模型解釋的變異比例。
ANOVA 表用於檢定整個迴歸模型的顯著性。
迴歸係數的顯著性檢定用於判斷個別預測變數是否重要。

給定資料：
迴歸模型：$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \epsilon$
Minitab 輸出：
迴歸方程式：bulkdens = 403 + 16.2 moiscont - 0.706 contsqd
$S = 10.15$ (殘差標準差)
$R^2 = 93.8\%$
$R^2_{adj} = 89.6\%$

ANOVA 表：

Source	DF	SS	MS	F	P
Regression	2	4637.7	2318.9	22.51	0.016
Residual Error	3	309.1	103.0
Total	5	4946.8

(1) What proportion of observed variation in density can be explained by the quadratic model?

這個問題直接問的是模型對應變數 (bulk density) 的變異中，有多少比例可以被模型解釋。這就是 $R^2$ 的定義。

$R^2 = 93.8\%$。

【答案】93.8%

(2) State the relevant hypotheses for the quadratic model.

這裡的「二次迴歸模型」指的是包含 $x$ 和 $x^2$ (即 moiscont 和 contsqd) 的模型。
完整的二次迴歸模型是：
$y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \epsilon$
其中 $y$ 是 bulkdens， $x$ 是 moiscont，$x^2$ 是 contsqd。
$H_0: \beta_1 = 0$ and $\beta_2 = 0$ (整個迴歸模型不顯著，即 moiscont 和 contsqd 都不能解釋 bulkdens 的變異)。
$H_1$: At least one of $\beta_1$ or $\beta_2$ is not zero (迴歸模型顯著，至少有一個預測變數對 bulkdens 有影響)。

或者，如果問題是指「整個模型是否顯著」，則檢定的是整個模型的顯著性。
從 ANOVA 表來看，檢定的是：
$H_0: \beta_1 = 0, \beta_2 = 0$
$H_1:$ Not all $\beta_i$ are zero (for $i=1, 2$)