112 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程經濟》

此題主要在探討升息對營建工程的風險，需從開發商與營建商兩個角度分析。

核心觀念： 升息會增加資金成本，影響專案的財務可行性與現金流。

解題思路：

1. 升息的直接影響： 利率上升，借款成本增加，還款壓力變大。
2. 對開發商的影響：
   • 融資成本增加： 營建專案通常需要大量資金，升息直接導致貸款利息支出增加，提高專案的整體成本。
   • 現金流壓力： 若專案銷售不如預期，或有延遲，高額的利息支出會對開發商的現金流造成嚴重壓力，甚至可能導致資金鏈斷裂。
   • 市場需求影響： 升息可能抑制購房需求，導致房價下跌或銷售緩慢，進一步影響開發商的資金回籠。
   • 專案可行性降低： 原本財務上可行的專案，在升息後，淨現值(NPV)可能變為負值，或內部報酬率(IRR)低於最低要求報酬率(MARR)，導致專案無法啟動。
3. 對營建商的影響：
   • 業主(開發商)財務風險： 若開發商因升息面臨財務困難，可能導致工程款支付延遲甚至違約，營建商的收款風險顯著提高。

核心觀念

本題考的是「方案評估所採用的最低報酬率」以及 $MARR$ 與 $WACC$ 的差異。

• MARR（Minimum Attractive Rate of Return，最低可接受報酬率）：企業或投資人評估方案時，願意接受的最低報酬率，通常已反映資金機會成本、通貨膨脹、投資風險及管理者要求的報酬。
• WACC（Weighted Average Cost of Capital，加權平均資金成本）：企業利用負債與股東權益籌資時，所有資金提供者要求報酬率的加權平均值。

其基本公式為：

$$WACC= \frac{D}{D+E}k_d(1-T) + \frac{E}{D+E}k_e$$

其中：

• $D$：負債市值
• $E$：股東權益市值
• $k_d$：負債資金成本
• $T$：所得稅率
• $k_e$：股東權益要求報酬率

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解題方法

若以開發商身分進行方案分析，應以 MARR 作為方案是否值得投資的判斷基準；而 $WACC$ 可作為設定或估計 $MARR$ 的重要參考。

方案的淨現值可寫為：

$$NPV=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+MARR)^t}$$

判斷原則為：

• $NPV>0$：方案報酬率高於最低要求，應接受。
• $NPV=0$：方案剛好達到最低要求，是否接受取決於其他因素。
• $NPV<0$：方案報酬率低於最低要求，應拒絕。

若使用 $WACC$ 作為折現率，則其隱含假設是：該開發案的風險與公司既有業務相近，且資金來源比例及融資條件與計算 $WACC$ 時相同。實務上的開發案通常具有土地、工期、銷售、法規及市場價格等額外風險，因此單純使用公司 $WACC$ 可能低估所需報酬率。

因此較合理的關係是：

$$MARR \geq WACC$$

並可表示為：

$$MARR=WACC+\text{專案風險加成}$$

核心觀念

1. 債券評價原理（Bond Valuation）：
   債券的合理購買價格（現值 $P$）等於投資人未來所能收到的「各期票面利息年金現值」加上「到期償還面額之現值」：
   $P = C(P/A, i, N) + F(P/F, i, N)$
   其中：

   • $F$：投資人持有的債券到期面額（Face Value）。
   • $C$：每期收到的票面利息（Coupon Payment），$C = F \times r$。
   • $r$：每期票面利率（Coupon Rate per period）。
   • $i$：投資人要求的每期必要報酬率／殖利率（Yield to Maturity per period）。
   • $N$：債券剩餘的計息總期數。

2. 名目利率與計息期利率轉換：
   當利率以年名目利率（Nominal Annual Rate）表示且每年計息 $m$ 次時，每期的實質利率為：
   $i_{\text{期}} = \frac{r_{\text{名目}}}{m}$

3. 折價債券特性（Discount Bond）：
   當投資人要求的報酬率大於票面利率（$i > r$）時，投資人願意支付的購買價格必定低於面額（$P < F$），稱為折價發行／買進。

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解題方法

步驟一：整理題目已知條件並換算為「每季」參數

• 投資人持有的債券面額：F = \text{\}10,000$
• 債券年限與計息頻率：10 年，每季付息一次（每年 4 期），總期數為：
  $N = 10 \times 4 = 40 \text{ 期}$
• 每季票面利率：
  $r = \frac{8\%}{4} = 2\% = 0.02$
• 每季收到的票面利息：
  $C = F \times r = 10,000 \times 2\% = \text{\$}200$
• 投資人要求的每季名目報酬率（折現率）：
  $i = \frac{12\%}{4} = 3\% = 0.03$

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步驟二：列出定價公式並代入折現因子

債券購買價格 $P$ 為每季利息年金與到期面額之現值總和：
$P = C(P/A, 3\%, 40) + F(P/F, 3\%, 40)$

核心觀念

本題考查「債券利息成本」與「償債基金（sinking fund）」的年成本計算。

公司每年須負擔兩項支出：

1. 債券本身的年度利息。
2. 為了 10 年後一次償還本金，每年存入償債基金的金額。

償債基金的存款會以年利率 $8\%$、每半年複利一次的方式累積，因此必須先換算為有效年利率。

題目未提供前文所稱「these bonds」的債券總面額與票面利率，因此以下以：

• $F$：債券總面額
• $r$：債券年度票面利率

表示計算結果。

解題方法

1. 計算償債基金的有效年利率

名目年利率為 $8\%$，每半年複利一次，因此半年利率為：

$$i_{半年}=\frac{8\%}{2}=4\%$$

一年複利兩次，有效年利率為：

$$i=(1+0.04)^2-1$$ $$i=1.0816-1=0.0816=8.16\%$$

因此，償債基金實際使用的年利率為 $8.16\%$。

2. 計算每年應存入償債基金的金額

假設每年年底存入固定金額 $A$，連續存入 10 年，則第 10 年年底的累積金額必須等於債券本金 $F$。

普通年金終值公式為：

$$F=A\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]$$

其中：

$$i=0.0816,\qquad n=10$$

所以：

$$A=F\left[\frac{i}{(1+i)^{n}-1}\right]$$

代入數值：

$$A = F\left[ \frac{0.0816}{(1.0816)^{10}-1} \right]$$

計算得：

$$(1.0816)^{10}\approx 2.2010$$

因此：

$$A \approx F\left(\frac{0.0816}{2.2010-1}\right)$$ $$A\approx 0.06794F$$

也就是每年約須提撥債券本金的 $6.794\%$ 作為償債基金存款。

核心觀念

本題考查設備的「經濟壽命」判定。假設設備使用 $n$ 年，於第 $n$ 年年末以市場價值 $S_n$ 出售或汰換，則應計算各種使用年限下的年等值成本（Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC），取 EUAC 最小者為經濟壽命。

原表的年度費用以負號表示，以下以成本金額 $C_k$（正值）計算：

$C_k=-\text{Annual Expenses}$

已知：

$P=8000,\qquad i=8\%=0.08$

年等值成本公式為

$$EUAC_n = P(A/P,8\%,n) - S_n(A/F,8\%,n) + \left[ \sum_{k=1}^{n} C_k(P/F,8\%,k) \right](A/P,8\%,n)$$

也可將所有現金流量先換算至第 $n$ 年：

$$EUAC_n= \left[ P(1+i)^n+ \sum_{k=1}^{n}C_k(1+i)^{n-k} -S_n \right](A/F,i,n)$$

其中

$(A/F,i,n)=\frac{i}{(1+i)^n-1}$

解題方法

令 $F_{C,n}$ 表示前 $n$ 年年度費用累積至第 $n$ 年年末的未來值，則可用遞迴方式計算：

$F_{C,0}=0$

$F_{C,n}=1.08F_{C,n-1}+C_n$

第 $n$ 年年末的總等值成本為

$B_n=8000(1.08)^n+F_{C,n}-S_n$

因此

$EUAC_n=B_n(A/F,8\%,n)$

以使用 5 年為例：

$$\begin{aligned} F_{C,5} ={}&3000(1.08)^4+3000(1.08)^3+3500(1.08)^2\\ &+4000(1.08)+4500\\ ={}&20763.00288 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} B_5 &=8000(1.08)^5+20763.00288-950\\ &=31567.6274944 \end{aligned}$$

題意與背景補充

本題出自成大土木所工程經濟試卷之題組大題。完整情境為：購置總價 $26,000,000 的新建公寓，自備頭期款 $8,000,000，向銀行辦理 30 年期、名目年利率 1.8%（按月計息）、金額為 $18,000,000 的房貸。前 3 年為寬限期（僅繳納利息），其後開始按月本利均等攤還。

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核心觀念

1. 名目利率與期利率轉換（Nominal vs. Effective Period Interest Rate）：
   名目年利率 $r = 1.8\%$，每月計息一次（每年複利期數 $m = 12$），每期月利率為： $$i = \frac{r}{m} = \frac{1.8\%}{12} = 0.15\% = 0.0015$$
2. 房貸寬限期（Grace Period）：
   在寬限期內，借款人每月僅需支付當期產生的利息，不償還本金。因此在寬限期間，每期利息固定且本金餘額維持不變（依舊為 $18,000,000）。
3. 等額年金與資本回收因數（Capital Recovery Factor, $(A/P, i, n)$）：
   寬限期結束後，剩餘本金必須在剩餘的貸款期數內，以每期固定等額 $A$（本利均等攤還）償清。 $$A = P \times (A/P, i, n) = P \times \left[ \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \right]$$

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解題方法

第一部分：前三年寬限期每月應繳利息

• 貸款本金 $P =$$18,000,000
• 每月利率 $i = 0.15\% = 0.0015$

寬限期內每月應繳利息 $I$ 為：

$$I = P \times i = 18,000,000 \times 0.0015 = 27,000$$

因此，前三年每月應繳利息為 $27,000。

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第二部分：寬限期結束後每月應繳本息金額

1. 計算剩餘還款期數 $n$：
   • 貸款總年限：30 年（共 $30 \times 12 = 360$ 個月）
   • 寬限期：3 年（共 $3 \times 12 = 36$ 個月）
   • 剩餘攤還期數：

核心觀念

本題屬於工程經濟中的槓桿型不動產投資評估（Leveraged Real Estate Investment Analysis）與現值／終值法（Present Worth / Future Worth Analysis），主要考核以下觀念與公式：

1. 名目利率與週期利率轉換：
   若年名目利率為 $r$，每年計息 $m$ 期，則每期週期利率為：
   $i = \frac{r}{m}$
2. 房貸寬限期（Grace Period）之現金流量：
   在寬限期內，借款人僅需按期支付利息，不償還本金。貸款本金餘額保持不變。
   每月應付利息為：
   $I = \text{貸款本金} \times i_{\text{loan}}$
3. 業主權益現金流量分析（Equity Cash Flow Approach）：
   • 第 $0$ 期期初現金流出：自備款（Down payment）。
   • 保有期間（$t = 1 \sim 24$ 個月）每月現金流出：房貸利息支出。
   • 第 $24$ 個月（2 年末）處分資產時之現金流入：售屋總價扣除應清償之剩餘貸款本金餘額。
4. 投資決策準則（現值法 $PW$ 與終值法 $FW$）：
   • 淨現值（$PW$）$\ge 0$ 或 淨終值（$FW$）$\ge 0$：方案可行（好投資）。
   • 淨現值（$PW$）$< 0$ 或 淨終值（$FW$）$< 0$：方案不可行（非好投資）。
   • 損益平衡售價（達到預期報酬率之售價）：令 $PW = 0$（或 $FW = 0$）反推售價。

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解題方法

1. 基本參數整理

• 房屋總價：$26,000,000
• 自備款（$t = 0$ 權益投資）：$8,000,000
• 銀行貸款本金（$P_{\text{loan}}$）：$18,000,000
• 房貸利率：名目年利率 $1.8\%$，每月計息。
  $i_{\text{loan}} = \frac{1.8\%}{12} = 0.15\% = 0.0015\text{ /月}$
• 寬限期：前 3 年（36 個月）僅繳息。第 2 年末（24 個月）出售時仍處於寬限期內，故尚欠貸款本金仍為 $18,000,000。
  每月應繳利息支出為：
  $I = 18{,}000{,}000 \times 0.0015 = 27{,}000\text{ 元}$
• 投資人預期報酬率（折現率 / MARR）：名目年利率 $9\%$，每月複利。
  $i = \frac{9\%}{12} = 0.75\% = 0.0075\text{ /月}$
• 投資分析期間：$n = 2\text{ 年} = 24\text{ 個月}$。

2. 計算複利折現因子（$i = 0.75\%, n = 24$）

• 單利終值因子 $(F/P,\, 0.75\%,\, 24)$：
  $(F/P,\, 0.75\%,\, 24) = (1 + 0.0075)^{24} \approx 1.19641353$
• 單利現值因子 $(P/F,\, 0.75\%,\, 24)$：
  $(P/F,\, 0.75\%,\, 24) = (1 + 0.0075)^{-24} \approx 0.83583141$
• 等額年金終值因子 $(F/A,\, 0.75\%,\, 24)$：
  $(F/A,\, 0.75\%,\, 24) = \frac{(1 + 0.0075)^{24} - 1}{0.0075} \approx 26.188471$
• 等額年金現值因子 $(P/A,\, 0.75\%,\, 24)$：
  $(P/A,\, 0.75\%,\, 24) = \frac{(1 + 0.0075)^{24} - 1}{0.0075(1 + 0.0075)^{24}} \approx 21.889145$

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3. 問題一：若 2 年後以 $27,000,000 出售，是否為一項好投資？

若售價為 $27,000,000，2 年末扣除償還銀行貸款 $18,000,000 後，實際收回之權益現金淨額為：

核心觀念

本題旨在評估**通貨膨脹環境下利率逐年遞增（Geometric Rate Escalation）對貸款寬限期（Grace Period）**總利息成本之影響。涉及之核心工程經濟觀念如下：

1. 寬限期（Grace Period）之還款機制：
   在寬限期內，借款人「只繳利息、不還本金」（Interest-Only Payments）。因此，各期計算利息之本金餘額皆維持為全額借款本金 $P$。
2. 利率幾何遞增（Geometric Gradient Rate）：
   年利率以每年 $g = 15\%$ 之幾何級數速率成長。若借款簽約時之基準年利率為 $i_1$，則後續各年度適用之利率依序為： $$i_t = i_1(1 + g)^{t-1}$$
3. 額外成本（Extra Cost）之定義：
   • 相較於固定利率之額外利息增加量（Extra Cost due to Rate Hike）：在 3 年寬限期內，因利率上漲所增加支付之利息差額 $\Delta I$。
   • 寬限期總利息成本（Total Interest Cost in Grace Period）：延後還本 3 年期間所累積支付之全部利息總額。

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解題方法

1. 符號設定與參數定義

• 借款本金：$P$
• 簽約第 1 年適用年利率：$i_1$
• 利率年成長率：$g = 15\% = 0.15$
• 寬限期年數：$N = 3$ 年

2. 各年度適用利率推導

依題意，自簽約後 3 年內利率每年增長 15%：

• 第 1 年利率：$i_1$
• 第 2 年利率：$i_2 = i_1(1 + 0.15) = 1.15\,i_1$
• 第 3 年利率：$i_3 = i_1(1 + 0.15)^2 = 1.3225\,i_1$

3. 寬限期各年利息支出計算

因寬限期內未償還本金，本金餘額各年皆為 $P$，各年期末應繳納之利息為：

• 第 1 年利息支出：$I_1 = P \cdot i_1$
• 第 2 年利息支出：$I_2 = P \cdot i_2 = 1.15\,P\,i_1$
• 第 3 年利息支出：$I_3 = P \cdot i_3 = 1.3225\,P\,i_1$

3 年寬限期之總利息支出 $I_{\text{total}}$ 為：

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 + I_3 = P\,i_1 \left( 1 + 1.15 + 1.3225 \right) = 3.4725\,P\,i_1$$

4. 額外成本（Extra Cost）推導

• 定義 A：因利率上漲導致之「額外利息負擔」（Extra Interest Cost due to Inflation/Rate Hike）

核心觀念

本題屬於工程經濟學中**等額本息均攤貸款（Amortized Loan with Grace Period）與貸款餘額（Remaining Balance）及累積利息（Cumulative Interest）**的經典計算題型。

1. 題目背景設定：
   • 貸款總額（Principal）：$P =$$18,000,000
   • 貸款總年限：$N_{total} = 30\text{ 年} = 360\text{ 個月}$
   • 名目年利率：$r = 1.8\%$，採每月複利，故月利率 $i = \frac{1.8\%}{12} = 0.15\% = 0.0015$
   • 寬限期（Grace Period）：$t_g = 3\text{ 年} = 36\text{ 個月}$。寬限期間只還利息、不還本金（Interest-only）。
   • 本息均攤期（Amortization Period）：$n = 30 - 3 = 27\text{ 年} = 324\text{ 個月}$。
2. 等額本息月付額公式（Capital Recovery Factor）：
   $A = P \cdot (A/P, i, n) = P \left[ \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \right]$
3. 剩餘本金（Remaining Principal, $B_k$）的計算：
   • 前瞻法（Prospective Method）：在第 $k$ 期還款後，剩餘本金等於未來所有尚未償還之期金折現至該期的現值。
     $B_k = A \cdot (P/A, i, n - k) = A \left[ \frac{(1+i)^{n-k} - 1}{i(1+i)^{n-k}} \right]$
   • 回溯法（Retrospective Method）：剩餘本金等於原始本金複利累積至第 $k$ 期的終值，扣除已繳期金累積至第 $k$ 期的終值。
     $B_k = P(1+i)^k - A \cdot (F/A, i, k)$
4. 累積利息（Total Interest Paid）基本恆等式：
   $\text{累積總利息} = \text{累積總繳款金額} - \text{累積已償還本金}$

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解題方法

步驟一：計算寬限期（第 1～3 年）的每月利息與總額

在寬限期 3 年（36 個月）內，每月僅需支付貸款利息，本金餘額維持在 $18,000,000 不變：
$\text{寬限期每月利息 } A_{grace} = P \times i = 18,000,000 \times 0.0015 = \$27,000$

前 3 年（36 個月）累積支付之利息總額為：
$I_{grace} = 36 \times 27,000 = \$972,000$

步驟二：計算寬限期後（第 4～30 年）的每月本息均攤金額 $A$

寬限期結束後，貸款本金仍為 $18,000,000，剩餘還款期數為 $n = 27 \times 12 = 324\text{ 個月}$：
$A = 18,000,000 \times \left[ \frac{0.0015(1+0.0015)^{324}}{(1+0.0015)^{324} - 1} \right]$

其中 $(1.0015)^{324} \approx 1.625208$：
$A = 18,000,000 \times \left[ \frac{0.0015 \times 1.625208}{1.625208 - 1} \right] \approx 18,000,000 \times 0.00389920 \approx \$70,185.64 \text{ 元/月}$