109 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程經濟》

核心觀念

本題涵蓋四個工程經濟常考主題：

1. 會計與經濟分析中的成本名詞。
2. 內部投資報酬率（IRR）與利潤現值（PW）的方案比較。
3. 折舊資產的認定條件。
4. 不動產開發案中，貸款回收金額與銷售價格的比例分析。

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1.1 名詞解釋

（1）Sunk Cost：沉沒成本

沉沒成本是指已經發生，且無論未來採取何種方案都無法回收的成本。

其特性為：

• 發生在過去；
• 無法因未來決策而改變；
• 不應列入目前方案選擇的增量經濟分析。

例如，某設備已支付的設計費為 $50,000$ 元，即使日後放棄該設備，設計費也無法收回，這 $50,000$ 元就是沉沒成本。

**解題技巧：**判斷一項成本是否為沉沒成本，可問：「如果現在選擇另一方案，這筆錢還能不能避免或收回？」若不能，即屬沉沒成本。

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（2）Retained Earnings：保留盈餘

保留盈餘是公司歷年累積的稅後盈餘中，未分配給股東、而保留在公司內部供營運或投資使用的部分。

其關係式為：

$$\text{期末保留盈餘} = \text{期初保留盈餘} + \text{本期稅後淨利} - \text{股利}$$

保留盈餘雖然不是向外部借入的資金，但具有資金成本，因為公司保留盈餘而未分配股利，股東仍會要求相對應的報酬率。

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（3）Book Cost：帳面成本

帳面成本是資產在會計帳簿上所記錄的成本，通常以資產取得時的歷史成本為基礎，包括購買價格及使資產達到可使用狀態所發生的必要支出。

若題目所指為折舊後的帳面價值，則可表示為：

$$\text{帳面價值} = \text{原始帳面成本} - \text{累計折舊}$$

例如，設備原始成本為 $1,000,000$ 元，累計折舊為 $300,000$ 元，則其帳面價值為：

$$1,000,000-300,000=700,000\text{ 元}$$

**常見陷阱：**Book Cost 是會計記錄概念，不等於市場價值，也不等於資產目前可出售的價格。

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1.2 IRR 與利潤現值分析

核心觀念

• IRR：使方案淨現值等於零的利率，代表方案本身的報酬率。
• 利潤現值（PW）：將各期現金流量依指定的最低可接受報酬率折算至現在，再比較其淨現值。

IRR 的定義為：

$$0=-P+\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t}{(1+\text{IRR})^t}$$

利潤現值為：

$$PW=-P+\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t}{(1+i)^t}$$

其中 $i$ 為最低可接受報酬率或計算利率。

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方案比較

題目給定：

方案	IRR	利潤現值
A	$18\%$	$9,000$ 元
B	$15\%$	$10,000$ 元

依 IRR 判斷：

$$18\%>15\%$$

因此 IRR 排名為：

$$A>B$$

依利潤現值判斷：

$$10,000>9,000$$

因此利潤現值排名為：

$$B>A$$

所以，兩種分析方法確實產生不一致的方案排名。

核心觀念

本題考查：

1. 名目年利率按月複利轉換為有效年利率。
2. 幾何梯度現金流（Geometric Gradient）的現值。
3. 由現值換算為等值年金（Annual Worth, AW）。

依原卷圖判讀，第一筆 $1000$ 位於第 $1$ 年末，後續現金流位於第 $2$、$3$、$4$ 年末：

$A_1=1000,\quad A_2=800,\quad A_3=640,\quad A_4=512$

其中每年遞減 $20\%$，故成長率為

$g=-20\%=-0.2$

解題方法

1. 將月複利利率換成有效年利率

名目年利率為 $12\%$，每月複利一次，因此月利率為

$i_m=\frac{0.12}{12}=0.01$

由於現金流發生在每年年末，應使用有效年利率：

$i=(1+i_m)^{12}-1$

$i=(1.01)^{12}-1=0.126825$

因此有效年利率為

$i=12.6825\%$

2. 計算現值 PW

直接逐筆折現：

$$PW= \frac{1000}{(1.126825)^1} +\frac{800}{(1.126825)^2} +\frac{640}{(1.126825)^3} +\frac{512}{(1.126825)^4}$$

各期現值為

$$\begin{aligned} PW &=887.449+630.053+447.312+317.573\\ &=2282.387 \end{aligned}$$

亦可使用幾何梯度現值公式：

這題考驗學生對於不同方案的經濟性進行比較，並考慮未來不確定性下的決策。核心是計算不同延遲時間下，擴建橋梁的總成本，並與初始建設四線道橋梁的成本進行比較，找出最佳的經濟決策。

核心觀念：

1. 方案比較 (Alternative Comparison)： 比較不同方案的總成本或淨現值 (NPV)，選擇經濟效益最佳者。
2. 未來成本計算： 考慮延遲時間對成本的影響，通常需要將未來成本折算到現在。
3. 不確定性分析 (Uncertainty Analysis)： 針對未來可能發生的不同情況（如需要擴建的時間點）進行分析。
4. 最低吸引報酬率 (Minimum Attractive Rate of Return, MARR)： 作為折現率，用於計算現值。

解題步驟：

1. 釐清所有方案及成本：

   • 方案 1：初始建設四線道橋梁 (Build a 4-lane bridge initially)
     • 初始成本 = $500,000
   • 方案 2：初始建設兩線道橋梁，並在未來擴建為四線道。
     • 此方案又可細分為：延遲擴建的時間點不同。
     • 初始建設兩線道成本 = $250,000
     • 擴建成本：一個固定成本 $350,000 加上每年$40,000 的延遲費用。
     • MARR = 15% per year。
     • 可能的擴建時間點：3 年後、5 年後、7 年後。

2. 計算方案 1 的總成本 (以現值表示)：

   • 這是最直接的方案，沒有時間延遲問題。
   • PW (方案 1) = $500,000

3. 計算方案 2 在不同擴建時間點的總成本 (以現值表示)：

   • 初始兩線道成本為 $250,000，發生在現在 (Year 0)。

   • 擴建成本的計算需要考慮延遲。

   • 擴建成本 = $350,000 + (延遲年數 \times 40,000)$。

   • 這個擴建成本是發生在未來某個時間點 (Year k)。

   • 我們需要將這個未來成本折算到現在 (Year 0)。

   • 情況 2a：擴建在 3 年後 (Year 3)

     • 延遲年數 = 3 年。
     • 擴建固定成本 = $350,000。
     • 擴建延遲費用 = $350,000 + (3 \times 40,000) = 350,000 + 120,000 = 470,000$。
     • 這個 $470,000 的成本發生在第 3 年年底。
     • 將此成本折算到現在 (Year 0)：
       PW (擴建 in Year 3) = $470,000 \times (P/F, 15\%, 3)$
       (P/F, 15%, 3) $= \frac{1}{(1+0.15)^3} = \frac{1}{(1.15)^3} \approx \frac{1}{1.520875} \approx 0.65752$
       PW (擴建 in Year 3) $\approx 470,000 \times 0.65752 \approx 308,034.4$
     • 方案 2a 的總現值成本 = 初始成本 + 折現的擴建成本
       Total PW (方案 2a) = $250,000 + 308,034.4 = 558,034.4$

   • 情況 2b：擴建在 5 年後 (Year 5)

     • 延遲年數 = 5 年。
     • 擴建固定成本 = $350,000。
     • 擴建延遲費用 = $350,000 + (5 \times 40,000) = 350,000 + 200,000 = 550,000$。
     • 這個 $550,000 的成本發生在第 5 年年底。
     • 將此成本折算到現在 (Year 0)：
       PW (擴建 in Year 5) = $550,000 \times (P/F, 15\%, 5)$
       (P/F, 15%, 5) $= \frac{1}{(1.15)^5} \approx \frac{1}{2.011357} \approx 0.49718$
       PW (擴建 in Year 5) $\approx 550,000 \times 0.49718 \approx 273,449$
     • 方案 2b 的總現值成本 = 初始成本 + 折現的擴建成本
       Total PW (方案 2b) = $250,000 + 273,449 = 523,449$

   • 情況 2c：擴建在 7 年後 (Year 7)

     • 延遲年數 = 7 年。
     • 擴建固定成本 = $350,000。
     • 擴建延遲費用 = $350,000 + (7 \times 40,000) = 350,000 + 280,000 = 630,000$。
     • 這個 $630,000 的成本發生在第 7 年年底。
     • 將此成本折算到現在 (Year 0)：

核心觀念

本題考查：

1. 直線折舊法（Straight-Line Depreciation）。
2. 資產出售時帳面價值與出售利益的課稅。
3. 稅後現金流量。
4. 以稅後最低吸引報酬率（after-tax MARR）進行現值分析。
5. 通貨膨脹下，營業利益以名目金額成長的處理方式。

假設題目所稱「每年利潤」是折舊前、所得稅前的營業利潤，且在考慮通貨膨脹時，該利潤的購買力維持不變，因此名目利潤每年以 $2\%$ 成長。

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共同資料整理

1. 每年折舊額

成本基礎為 $50,000$，5 年後殘值為 $15,000$，因此直線折舊額為

$$D=\frac{50,000-15,000}{5}=7,000\text{／年}$$

折舊不是真正的現金支出，但可產生所得稅節省。

每年的折舊稅盾為

$$D(T)=7,000(0.40)=2,800$$

其中 $T=40\%$。

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2. 第 3 年出售時的帳面價值

使用 3 年後，累計折舊為

$$3(7,000)=21,000$$

因此第 3 年年底帳面價值為

$$BV_3=50,000-21,000=29,000$$

市場出售價格為 $35,000$，出售利益為

$$35,000-29,000=6,000$$

此出售利益須繳納所得稅：

$$6,000(0.40)=2,400$$

所以出售資產的稅後處分收入為

$$S_{\text{after-tax}} =35,000-2,400 =32,600$$

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4.1 無通貨膨脹時的最低年利潤

解題方法

設每年折舊前、所得稅前的營業利潤為 $P$。

營業利潤扣除所得稅後，加回折舊稅盾，得到每年的稅後現金流量：

$$CF_{\text{annual}} =P(1-T)+D(T)$$

代入本題資料：

$$CF_{\text{annual}} =0.6P+2,800$$

由於設備使用 3 年後出售，因此現金流量如下：

• $t=0$：投資 $50,000$
• $t=1,2,3$：每年稅後營業現金流量 $0.6P+2,800$
• $t=3$：另收到稅後出售收入 $32,600$

以稅後 MARR $i=10\%$ 計算現值：

$$50,000 =(0.6P+2,800)(P/A,10\%,3) +32,600(P/F,10\%,3)$$

查得

$$(P/A,10\%,3)=2.486852$$ $$(P/F,10\%,3)=\frac{1}{(1.10)^3}=0.751315$$

因此

$$50,000 =(0.6P+2,800)(2.486852) +32,600(0.751315)$$

先計算出售收入的現值：

$$32,600(0.751315)=24,492.86$$

故

$$0.6P+2,800 = \frac{50,000-24,492.86}{2.486852}$$ $$0.6P+2,800=10,257.80$$ $$0.6P=7,457.80$$ $$P=12,429\text{／年}$$

核心觀念

本題考查：

1. 名目年利率換算為每期利率。
2. 寬限期只繳利息、不償還本金。
3. 本息平均攤還年金公式。
4. 已付款後剩餘本金的計算。
5. 貸款轉貸時，以投資機會成本作為折現率比較方案。

原貸款條件為：

• 貸款本金：$P=6{,}000{,}000$
• 期限：20 年
• 名目年利率：2.4%
• 每 6 個月付款一次
• 每年 2 期，因此每期利率為

$$i=\frac{2.4\%}{2}=1.2\%=0.012$$

• 總期數：

$$20\times 2=40\text{ 期}$$

前 3 年為寬限期，共 $3\times2=6$ 期；寬限期後剩餘 $40-6=34$ 期。

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5.1 寬限期利息與寬限期後付款額

寬限期每 6 個月應付利息

寬限期只支付利息，因此每期利息為：

$$I=P i$$

代入：

$$I=6{,}000{,}000(0.012)=72{,}000$$

因此，前 3 年每 6 個月應繳：

$$\boxed{\text{NT\$72,000}}$$

寬限期共 6 期，這 6 期均不償還本金。

寬限期後的半年度付款額

寬限期結束時，本金仍為 NT$6,000,000。此時須在剩餘 34 期內，以本息平均攤還方式清償。

年金付款公式為：

$$A=P\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$$

其中：

$$P=6{,}000{,}000,\qquad i=0.012,\qquad n=34$$

因此：

$$A =6{,}000{,}000 \frac{0.012}{1-(1.012)^{-34}}$$ $$A\approx \text{NT\$215,953}$$

所以，寬限期後每 6 個月應繳：

$$\boxed{\text{NT\$215,953}}$$

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5.2 五年內支付的總利息與剩餘本金

5 年包含：

• 前 3 年寬限期：6 期
• 後 2 年正常攤還：4 期

五年內支付的總利息

寬限期利息

$$6(72{,}000)=432{,}000$$

正常攤還 4 期的利息

4 期總付款為：

$$4A=4(215{,}953)=863{,}812$$

先計算 4 期後的剩餘本金。

五年後剩餘本金

付款 4 期後的貸款餘額公式為：

$$B_4=P(1+i)^4-A\left[\frac{(1+i)^4-1}{i}\right]$$

代入：

$$B_4 =6{,}000{,}000(1.012)^4 -215{,}953 \left[\frac{(1.012)^4-1}{0.012}\right]$$

因為：

$$(1.012)^4\approx1.048871$$

所以：

$$B_4\approx \text{NT\$5,413,739}$$

五年內償還的本金為：

$$6{,}000{,}000-5{,}413{,}739 =586{,}261$$

正常攤還 4 期所支付的利息為：

$$863{,}812-586{,}261=277{,}551$$

因此，五年內支付的總利息為：

$$432{,}000+277{,}551 =709{,}551$$

故：

$$\boxed{\text{五年總利息約為 NT\$709,551}}$$ $$\boxed{\text{五年後剩餘本金約為 NT\$5,413,739}}$$

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5.3 是否轉貸至銀行 168？

轉貸條件

五年後原貸款剩餘 15 年，即：

$$15\times 12=180\text{ 個月}$$

銀行 168 提供：

• 名目年利率：2.16%
• 每月付款
• 轉貸費：NT$60,000

每月貸款利率為：

$$j=\frac{2.16\%}{12}=0.18\%=0.0018$$

轉貸本金為五年後剩餘本金：

$$B=\text{NT\$5,413,739}$$

轉貸後每月付款