109 年國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》考古題與詳解

Question 1

1. Determine the force in each truss member of the structure. (25%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示結構為一個桁架，底部分為三個間距皆為 2 m 的區段，總長 6 m。左側支承為 A 點，為一鉸支承。B、C、D 點位於同一水平線上，且間隔為 2 m。E 點位於 D 點右側 2 m 處，為滾支承。頂部有一 12 kN 的垂直向下負載作用於 G 點。G 點位於 C 點正上方，且與 B、C、D 點距離皆為 3 m。F 點位於 G 點與 A 點連線的中點。H 點位於 G 點與 E 點連線的中點。結構的各桿件連接形成三角形及菱形。

Accepted Answer

核心觀念 桁架以「各節點皆為鉸接、桿件只承受軸力」為基本假設，應使用節點法或剖面法求桿件內力。整體平衡方程為 $$ \sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0,\qquad \sum M=0 $$ 然而，本題題幹文字與原卷圖形存在關鍵矛盾： - 題幹寫「$12\ 	ext{kN}$ 垂直向下」； - 原卷圖中 $G$ 點的箭頭明確為「水平向右」的 $12\ 	ext{kN}$； - 原卷下方 $A$–$E$ 為粗線連續梁，並非一般鉸接桿件； - 若將 $A$–$E$ 誤視為桁架下弦桿，則 $A$ 節點僅連接水平桿 $AB$，無法平衡垂直支承反力。 因此，僅依目前圖形與文字，無法唯一決定所有桁架桿件力；必須先明確指定下部 $A$–$E$ 是「連續梁」還是「鉸接桁架下弦」，以及桁架與梁在 $B、C、D$ 處的連接與支承條件。 依原卷圖形進行的平衡檢查 取座標 $$ A=(0,0),\quad B=(4,0),\quad C=(6,0),\quad D=(8,0),\quad E=(10,0), $$ $$ G=(6,5). $$ 圖中 $G$ 點荷載為水平向右 $12\ 	ext{kN}$。若 $A$ 為鉸支承、$E$ 為滾支承，整體平衡可得 $$ \sum Fx=0:\qquad Ax+12=0 $$

Question 2

2. Use the unit-load method (also referred to as the method of virtual work) to determine the horizontal deflection at A and the rotation at C. The flexural rigidity $EI = 40(10^3) 	ext{ kN} \cdot 	ext{m}^2$. (25%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示結構為一懸臂樑，A 點為固定端，B 點為鉸支承。樑從 A 點延伸至 C 點，並向下彎曲至 D 點。樑上作用有均佈載重 $10 	ext{ kN/m}$，由 A 點至 B 點。A 點座標 (0,0)，B 點座標 (3,0)，C 點座標 (6,0)，D 點座標 (3,-4)。樑由三段桿件組成：AB, BC, CD。桿件 BC 與 CD 形成一個角。桿件 AB 長度 3 m，桿件 BC 長度 3 m，桿件 CD 長度 3 m。

Accepted Answer

核心觀念 本題使用單位荷重法（虛功法）： $$ \delta=\int\frac{Mm}{EI}\,ds $$ $$ 	heta=\int\frac{Mm	heta}{EI}\,ds $$ 其中： - $M$：原荷重作用下的彎矩。 - $m$：在要求位移方向於該點施加單位力所產生的彎矩。 - $m	heta$：在要求轉角位置施加單位彎矩所產生的彎矩。 - $EI=40(10^3)=40000\ 	ext{kN}\cdot	ext{m}^2$。 依原圖判讀，$A$ 為滾支承、$D$ 為鉸支承；$B$ 不是支承點，而是均佈載重終點。另由圖中尺寸可知： $$ AB=3\ 	ext{m},\qquad BC=3\ 	ext{m} $$ $$ CD=\sqrt{3^2+4^2}=5\ 	ext{m} $$ 以下取逆時針轉角及向右位移為正。 --- 一、原荷重作用下的彎矩圖 $M$ 均佈載重為 $$ w=10\ 	ext{kN/m} $$ 作用於 $AB$，其合力為 $30\ 	ext{kN}$，作用於距離 $A$ 點 $1.5\ 	ext{m}$ 處。 由整體平衡： $$ \sum MD=0 $$ $$ -3Ay+30(1.5)=0 $$ 因此 $$ Ay=15\ 	ext{kN} $$ 且 $$ Dy=15\ 	ext{kN},\qquad Dx=0 $$ 令 $x$ 自 $A$ 點向右量，則： $AB$ 段：$0\le x\le3$ $$ M{AB}=15x-5x^2 $$ $BC$ 段：$3\le x\le6$ $$ M{BC}=45-15x $$ 令 $s$ 自 $C$ 點沿 $CD$ 指向 $D$ 點量，$0\le s\le5$，則： $CD$ 段：$0\le s\le5$ $$ M{CD}=-45+9s=9(s-5) $$ --- 二、求 $A$ 點的水平位移 在 $A$ 點施加向右的單位水平力 $1$，建立虛擬結構。 由虛擬結構平衡，可得： $$ Ay'=-\frac{4}{3} $$ 虛擬彎矩為： $AB$ 與 $BC$ 段 $$ m=-\frac{4x}{3} $$ $CD$ 段 由 $C$ 點為 $m=-8$、$D$ 點為 $m=0$，沿桿件線性變化： $$ m{CD}=-8+\frac{8}{5}s $$ 因此 $$ \delta{A,x} = \frac{1}{EI} \left[ \int0^3(15x-5x^2)\left(-\frac{4x}{3}ight)dx + \int3^6(45-15x)\left(-\frac{4x}{3}ight)dx + \int0^5 9(s-5)\left(-8+\frac{8}{5}sight)ds ight] $$ 各段積分結果為： $$ \int{AB}\…

Question 3

3. Use the slope-deflection method to determine the moment at A and the slope at the end C of member BC. The flexural rigidity EI is constant. The spring at C is originally unstretched and has a stiffness $k = 3EI/L^3$. (25%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示結構包含一個 L 形桿件 ABC，其中 A 為固定端，B 為鉸支承。桿件 BC 的右端 C 點連接一個彈簧，彈簧的另一端連接 D 點。彈簧的勁度為 $k = 3EI/L^3$。桿件 AB 長度為 L，桿件 BC 長度為 L。桿件 AB 垂直於桿件 BC。在 B 點有一個向下的垂直載重 P 作用。

Accepted Answer

核心觀念 本題應依原卷圖形判讀：$P$ 為作用於桿件 $AB$ 中點、方向向右的水平力；$C$ 為桿件 $BC$ 與 $CD$ 的鉸接點，$D$ 為固定端。桿件 $AB$、$BC$ 長度皆為 $L$，而 $CD=L/2$。 使用： 1. 斜率—撓度法。 2. 固定端彎矩與端部位移關係。 3. 鉸接端彎矩為零。 4. 彈簧力與位移關係 $F=k\Delta$。 忽略桿件軸向變形，因此 $B$、$C$ 的水平位移相同，記為 $u$。 --- 一、求彈簧與桿件 $CD$ 所提供的水平反力 桿件 $CD$ 為長度 $L/2$ 的懸臂，頂端 $C$ 水平位移為 $u$，其等效側向勁度為 $$ k{CD}=\frac{3EI}{(L/2)^3} =\frac{24EI}{L^3}. $$ 彈簧勁度為 $$ ks=\frac{3EI}{L^3}. $$ 因此 $C$ 點所受的總水平反力為 $$ R=(k{CD}+ks)u =\frac{27EI}{L^3}u. $$ --- 二、由桿件 $AB$ 求水平位移 $u$ 將 $AB$ 視為固定端在 $A$ 的懸臂。 水平力 $P$ 作用於距離 $A$ 為 $L/2$ 處，其造成的 $B$ 點水平位移為 $$ uP=\frac{P(L/2)^2[3L-(L/2)]}{6EI} =\frac{5PL^3}{48EI}. $$ $B$ 點受到向左反力 $R$，其造成的位移為 $$ uR=-\frac{RL^3}{3EI}. $$ 故 $$ u=\frac{5PL^3}{48EI}-\frac{RL^3}{3EI}. $$ 代入 $$ R=\frac{27EI}{L^3}u, $$ 得到 $$ u=\frac{5PL^3}{48EI}-9u, $$ 因此 $$ 10u=\frac{5PL^3}{48EI}, \qquad u=\frac{PL^3}{96EI}. $$ 所以 $$ R=\frac{27EI}{L^3}\cdot\frac{PL^3}{96EI} =\frac{9P}{32}. $$ --- 三、求固定端 $A$ 的彎矩 對整個結構取 $A$ 點力矩： $$ MA+RL-P\left(\frac L2ight)=0. $$ 代入 $R=9P/32$： $$ MA =P\frac L2-\frac{9P}{32}L =\frac{7PL}{32}. $$ 因此 $A$ 點反力矩大小為 $$ \boxed{MA=\frac{7PL}{32}}. $$ 方向為逆時針；若採構件內力彎矩符號，正負號須依所採用的彎矩正號約定表示。 --- 四、求 $B$ 點轉角 令 $B$ 點轉角為 $	hetaB$，正方向定義為桿件 $AB$ 頂端切線向右傾斜。

Question 4

4. Use the matrix stiffness method to determine the force in member 2. The axial rigidity EA is constant for all members of the truss. (25%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示為一個三角形桁架。頂點標示為 ②，下方兩個節點標示為 ① 和 ③。頂點 ② 承受一個 20 kN 的垂直向下載重。節點 ① 和 ③ 位於同一水平線上，間距為 3 m + 3 m = 6 m。節點 ② 位於節點 ① 和 ③ 的上方。節點 ① 和 ③ 之間的距離為 6 m。節點 ② 與節點 ① 的垂直距離為 1 m。節點 ② 與節點 ③ 的垂直距離為 3 m。桁架的桿件編號為：1 (連接 ① 和 ②)，2 (連接 ② 和 ③)，3 (連接 ① 和 ③)。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二維桁架的矩陣勁度法。桁架桿件只承受軸力，其局部剛度矩陣為 $$ \mathbf{k}^{(e)} = \frac{EA}{Le} \begin{bmatrix} c^2&cs&-c^2&-cs\ cs&s^2&-cs&-s^2\ -c^2&-cs&c^2&cs\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{bmatrix}, $$ 其中 $c=\cos	heta$、$s=\sin	heta$。桿件軸力以拉力為正，計算結果為負值時表示壓力。 幾何與邊界條件 依原圖尺寸，取節點 3 為原點，則 $$ \mathbf{x}1=(-3,4),\qquad \mathbf{x}2=(3,3),\qquad \mathbf{x}3=(0,0)\ 	ext{m}. $$ 各桿件幾何資料如下： - 桿件 1：$1	o2$ $$ L1=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37},\qquad (c1,s1)=\left(\frac{6}{\sqrt{37}},-\frac{1}{\sqrt{37}}ight) $$ - 桿件 2：$2	o3$ $$ L2=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2},\qquad (c2,s2)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}ight) $$ - 桿件 3：$1	o3$ $$ L3=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad (c3,s3)=\left(\frac35,-\frac45ight) $$ 由支承條件： $$ u1=v1=u2=v3=0. $$ 因此僅有兩個自由度，取 $$ \mathbf{d}f= \begin{bmatrix} v2\ u3 \end{bmatrix}. $$ 節點 2 承受向下 $20\ 	ext{kN}$，故自由度荷載向量為 $$ \mathbf{P}f= \begin{bmatrix} -20\ 0 \end{bmatrix}	ext{kN}. $$ 縮減勁度矩陣 桿件 1 對自由度 $v2$ 的貢獻為 $$ \mathbf{K}1 = EA \begin{bmatrix} \dfrac{1}{37\sqrt{37}}&0\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 桿件 2 的伸長量為 $$ \delta2 = c2(u3-u2)+s2(v3-v2) = \frac{v2-u3}{\sqrt{2}}, $$ 故其貢獻為

109 年國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

第 1 題25 分

第 2 題25 分

核心觀念

一、原荷重作用下的彎矩圖 $M$

$AB$ 段： $0\le x\le3$

$BC$ 段： $3\le x\le6$

$CD$ 段： $0\le s\le5$

二、求 $A$ 點的水平位移

$AB$ 與 $BC$ 段

$CD$ 段

第 3 題25 分

第 4 題25 分

其他考古題

109 年成功大學的其他科目

成功大學《結構學》其他年度

其他學校的土木與營建考古題

109 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》