109 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

本題主要考驗對土壤細粒土壤的物理性質指標（阿特伯格限度）以及不同應力狀態下的應力-應變行為的理解。

阿特伯格限度 (Atterberg Limits)
阿特伯格限度是一組用於描述細粒土壤（黏土和粉土）行為的物理指標，它們代表了土壤在不同含水量下的狀態轉換點。這些限度對於土壤的工程特性，如抗剪強度、壓縮性和滲流性，有重要的影響。

1. 液性限度 (Liquid Limit, LL)：土壤從塑性狀態轉變為液態（流動）狀態的最低含水量。通常使用 Casagrande 儀或振動儀測量。
2. 塑性限度 (Plastic Limit, PL)：土壤從塑性狀態轉變為半固體狀態的最高含水量。通常通過將土壤捲成細線來確定，當細線斷裂時的含水量即為塑性限度。
3. 縮限 (Shrinkage Limit, SL)：土壤在乾燥過程中體積不再收縮的最低含水量。

塑性指數 (Plasticity Index, PI)：PI = LL - PL。PI 越大，表示土壤的塑性範圍越寬。
液性指數 (Liquidity Index, LI)：LI = (w - PL) / PI，其中 w 為土壤的實際含水量。LI 用來描述土壤在實際含水量下的塑性程度。

不同狀態下的應力-應變圖 (Stress-Strain Diagrams at Various States)
細粒土壤的應力-應變行為取決於其初始狀態（如濕度、密度、應力歷史）以及加載條件。一般而言，應力-應變曲線會顯示出彈性變形、塑性變形以及可能的破壞行為。

本題考驗對落水頭試驗（Falling Head Test）的原理、操作流程及其水力傳導係數（raulic conductivity, $k$）推導公式的理解。

落水頭試驗 (Falling Head Test)

落水頭試驗是一種測量土壤水力傳導係數（滲透係數）的方法，特別適用於滲透係數較低的土壤，如黏土和粉土。其基本原理是測量在一定時間內，通過充滿水樣的試樣柱的水頭下降量，並據此計算出土壤的滲透係數。

試驗步驟簡述：

1. 試樣製備：將待測土壤樣品（通常為重塑土樣或原狀土樣）放入滲透儀的試樣筒中，確保試樣與筒壁之間無空隙，並達到預定的密度和含水量。
2. 儀器裝置：將試樣筒置於滲透儀上，並連接一個帶有細長玻璃管（稱為落水管）的水箱。玻璃管的截面積通常遠小於試樣筒的截面積。
3. 注水與穩定：向試樣筒和落水管中注滿水，使水頭高於試樣頂部。等待一段時間，讓水流穩定。
4. 測量：記錄初始水頭 $h_1$（在落水管上）和對應時間 $t_1$。然後，讓水流通過試樣，觀察水頭下降。記錄另一時刻 $t_2$ 時對應的水頭 $h_2$。

水力傳導係數 ($k$) 的推導

根據達西定律（Darcy's Law），在穩態流動下，通過土壤的滲流量 $Q$ 與水力梯度 $i$ 成正比，即：
$Q = k \cdot i \cdot A$
其中：

• $Q$ 是流量（體積/時間），單位為 $m^3/s$。
• $k$ 是水力傳導係數，單位為 $m/s$。
• $i$ 是水力梯度，即水頭差與滲流長度的比值， $i = \frac{\Delta h}{L}$。
• $A$ 是滲流的橫截面積，單位為 $m^2$。

在落水頭試驗中，水流不是穩態的，因為水頭在不斷下降。然而，在極短的時間間隔 $\Delta t$ 內，可以近似認為水流是穩態的。設在時間 $t$ 到 $t + \Delta t$ 的時間段內，水頭從 $h$ 下降到 $h - \Delta h$。

通過試樣的水流量 $Q_{soil}$ 可以表示為：
$Q_{soil} = k \cdot \frac{h}{L} \cdot A_{soil}$
其中 $A_{soil}$ 是試樣的橫截面積，$L$ 是試樣的長度（高度）。

在同一時間段 $\Delta t$ 內，通過落水管的水流量 $Q_{tube}$ 可以表示為：
$Q_{tube} = -A_{tube} \cdot \frac{\Delta h}{\Delta t}$
負號表示水頭在下降。

由於通過試樣的水量等於通過落水管的水量（假設無滲漏），因此：
$Q_{soil} = Q_{tube}$
$k \cdot \frac{h}{L} \cdot A_{soil} = -A_{tube} \cdot \frac{\Delta h}{\Delta t}$

重新整理此微分方程：

好的，這是一份針對國立成功大學土木工程學系碩士班乙組 109 學年度研究所入學考試「土壤力學」考古題第一大題第三題的詳解。

這題主要在考察學生對於 Oedometer 試驗（固結試驗） 中，如何利用 Casagrande 對數法 來求得土壤的 固結係數。這個方法是基於固結過程中，沉陷量與固結時間的對數關係，並透過圖形分析來找出關鍵參數。

解題過程

Casagrande 對數法是利用 Oedometer 試驗中，量測不同時間下的試樣沉陷量，並將這些數據繪製在以時間的對數（log t）為橫軸、沉陷量（s）為縱軸的圖上。理論上，此圖形會呈現出一個近似的 S 形曲線，其中包含三個主要區域：

1. 初始階段 (Initial Compression)：在施加載重初期，沉陷量隨時間的增加而快速變化。
2. 正常固結階段 (Primary Consolidation)：此階段的沉陷量與時間的對數呈近似線性關係，是主要的固結過程。
3. 二次固結階段 (Secondary Compression)：在主要固結完成後，沉陷量隨時間的增加而趨於緩慢，此階段的沉陷主要由土壤的蠕變（creep）引起。

Casagrande 對數法的核心步驟如下：

1. 繪製沉陷量對時間對數圖 (Plotting s vs. log t)：

   • 在 Oedometer 試驗中，記錄不同時間點下的試樣沉陷量 $s$。
   • 將時間 $t$ 取對數（通常使用 $\log_{10} t$），並以 $\log_{10} t$ 為橫軸，沉陷量 $s$ 為縱軸，繪製散點圖。

2. 找出直線段的起始點 (Identifying the start of the linear segment)：

   • 觀察繪製出的 $s$ vs. $\log t$ 圖。
   • 找出圖形中近似直線的部分，這代表了主要固結階段。
   • 在直線段的左側，通常會有一段彎曲的區域，這是初始階段。
   • 在直線段的右側，通常會有一段斜率逐漸減小的區域，這是二次固結階段。

3. 確定初始直線段的斜率 (Determining the slope of the initial linear segment)：

   • 在主要固結階段的直線段上，任意選擇兩個點，計算其斜率。這個斜率代表了主要固結的進行速率。

4. 找出直線段的交點 (Finding the intersection point)：

   • Casagrande 的方法是尋找一個特定的時間點，這個時間點的沉陷量可以代表主要固結的結束。
   • 具體操作是：
     • 選擇直線段上的一個點 A，並將其水平向左移動到與直線段左側的彎曲段相交的點 B。
     • 從點 B 點開始，畫一條與直線段平行的線段，稱為線段 BC。
     • 點 C 就是我們尋找的交點。這個點 C 的縱坐標 $s_0$ 代表了在主要固結階段結束時的理論沉陷量。
     • 為什麼要這樣做？ 這種方法是為了在圖形上找到一個最能代表主要固結階段結束的點。初始階段的彎曲是由於試驗初期讀數誤差、邊界效應等因素造成，而二次固結階段的彎曲則是由於蠕變。透過尋找直線段的起始點並延伸，可以有效地「排除」初始階段的影響，並在主要固結階段結束後，與二次固結階段的開始點進行「對齊」，從而找到一個最能代表主要固結結束的理論沉陷量 $s_0$。

核心觀念

本題考查土力學中最基礎且高頻出現的兩大體積縮小（減積）機制：壓密（Consolidation） 與 滾壓／夯實（Compaction）。

• 夯實（Compaction）：人為透過動態或靜態機械能量（如夯錘、滾壓機、震動碾），迅速逼出不飽和土壤孔隙中的空氣，使土粒重新排列緊密、增加乾密度之過程。
• 壓密（Consolidation）：在長期持續的靜態外力（如結構物荷重、土方堆載）作用下，飽和細粒土中的超額孔隙水壓緩慢消散，導致孔隙水被排出，有效應力隨之轉移至土壤骨架，引起長期的體積收縮與沉陷。

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解題方法

解答「比較異同」題型時，切入點應先點出相同點（本質目的與物理效應），再以系統化對比表呈現相異點（包含：驅動機制、排出介質、飽和度、時間特性、受力型態、主要適用土質等），條理清晰方能取得滿分。

1. 相同點（Similarities）

1. 物理體積縮小：兩者皆為土壤體積縮小、孔隙比（$e$）降低、乾單位重（$\gamma_d$）提高的過程。
2. 力學性質改善：處理後皆能顯著提高土壤的抗剪強度（Shear Strength），降低日後的壓縮性（Compressibility）與透水性（Permeability）。
3. 固體土粒體積不變：土體減積皆來自孔隙體積（$V_v$）的縮小，固體土粒本身之體積（$V_s$）視為不可壓縮。

2. 相異點（Differences）

比較項目	夯實（Compaction）	壓密（Consolidation）
定義與機制	藉機械能強迫土粒重新排列，壓出孔隙氣體	外載重下超額孔隙水壓消散，排出孔隙水
排出介質	空氣（Air）	水（Water）

核心觀念

本題要依土層分布與地下水位，分段計算垂直總應力 $\sigma_v$、孔隙水壓 $u$ 與垂直有效應力 $\sigma'_v$。三者關係為：

$$\sigma'_v=\sigma_v-u$$

圖中 $H_1=2.2\text{ m}$ 為地下水位以上砂土，$H_2=4.4\text{ m}$ 為地下水位以下砂土，$H_3=7.4\text{ m}$ 為黏土；各層底深分別為 $2.2$、$6.6$、$14.0\text{ m}$。無附加載重，因此地表應力為零。

圖中未提供地下水位以上砂土的含水量，以下按乾砂計算；黏土孔隙比依圖示取 $e=0.108$，並假設黏土位於地下水位以下且飽和。取 $\gamma_w=9.81\text{ kN/m}^3$。

解題方法與計算

砂土孔隙比 $e=0.58$、土粒比重 $G_s=2.67$。地下水位以上按乾單位重計算，地下水位以下按飽和單位重計算：

$$\gamma_{d,\text{砂}} =\frac{G_s}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67}{1+0.58}(9.81) =16.57\text{ kN/m}^3$$ $$\gamma_{\text{sat,砂}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67+0.58}{1+0.58}(9.81) =20.18\text{ kN/m}^3$$

黏土 $e=0.108$、$G_s=2.71$，其飽和單位重為：

$$\gamma_{\text{sat,黏}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.71+0.108}{1+0.108}(9.81) =24.95\text{ kN/m}^3$$

令深度 $z$ 自地表向下為正，總應力分段累加各層自重：

核心觀念

主壓密沉陷由黏土層受載前後的有效應力與壓縮指數決定。先計算黏土層中心的初始有效應力，再將加載後的應力與先期固結壓力 $\sigma'_p$ 比較：

• 應力未超過 $\sigma'_p$ 時，使用再壓縮指數 $C_r$。
• 應力超過 $\sigma'_p$ 時，先以 $C_r$ 計算至 $\sigma'_p$，再以壓縮指數 $C_c$ 計算超過部分。

解題方法

圖示黏土層厚度 $H_3=7.4\text{ m}$，其中心位於地表下

$$z_c=H_1+H_2+\frac{H_3}{2} =2.2+4.4+\frac{7.4}{2} =10.3\text{ m}$$

圖中地下水位位於 $H_1$ 底部。以圖示砂土參數 $e=0.58,\ G_s=2.67$ 計算砂土單位重；黏土參數為 $e_0=1.08,\ G_s=2.71$。題目未提供地下水位以上砂土的含水狀態，以下按乾砂處理；取 $\gamma_w=9.81\text{ kN/m}^3$。

地下水位以上乾砂的單位重為

$$\gamma_d=\frac{G_s}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67}{1+0.58}(9.81) =16.57\text{ kN/m}^3$$

地下水位以下砂土與黏土的浮單位重分別為

$$\gamma'_{\text{砂}} =\frac{G_s-1}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67-1}{1+0.58}(9.81) =10.37\text{ kN/m}^3$$ $$\gamma'_{\text{黏}} =\frac{G_s-1}{1+e_0}\gamma_w =\frac{2.71-1}{1+1.08}(9.81) =8.07\text{ kN/m}^3$$

因此黏土層中心的初始有效應力為

核心觀念

本題考查**太沙基一維壓密理論（Terzaghi's One-Dimensional Consolidation Theory）**中「壓密速率與時間」的計算，核心涉及以下觀念與公式：

1. 時間因數（Time Factor, $T_v$）：

   $$T_v = \frac{C_v \cdot t}{H_{dr}^2}$$

   其中：

   • $T_v$ 為無因次時間因數（題目簡記為 $T$）。
   • $C_v$ 為土壤壓密係數（Coefficient of Consolidation）。
   • $t$ 為達到指定壓密程度所需之時間。
   • $H_{dr}$ 為最長排水路徑長度（Drainage Distance）。

2. 排水邊界條件（Drainage Boundary Conditions）：

   • 雙向排水（Two-way drainage）：黏土層頂部與底部皆鄰接透水層（砂土層），孔隙水可向上或向下排出，最長排水路徑取黏土層厚度之一半，即 $H_{dr} = \frac{H}{2}$。
   • 單向排水（One-way drainage）：黏土層僅單側接觸透水層，另一側為不透水層（如完整岩盤），最長排水路徑為全厚度，即 $H_{dr} = H$。

3. 平均壓密百分比（$U_{\text{avg}}$）與時間因數（$T_v$）的對應關係：
   當 $U > 60\%$ 時，兩者理論經驗公式為：

   $$T_v = 1.781 - 0.933 \log_{10}(100 - U\%)$$

   代入 $U = 80\%$ 可得：

   $$T_v = 1.781 - 0.933 \log_{10}(20) \approx 0.567$$

   由此可確認，題目題幹所附之 $T = 0.567$ 正是 $U_{\text{avg}} = 80\%$ 所對應的時間因數（題幹括號內誤植為 $U_{\text{avg}} = 0.85$，實為 $U_{\text{avg}} = 0.80$ 之印刷勘誤，解題直接採用題目給定之 $T = 0.567$）。

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解題方法

1. 判斷排水邊界條件與排水距離 $H_{dr}$

對照原卷圖 1（Fig. 1）：

• 黏土層厚度 $H_3 = 7.4\text{ m}$。
• 黏土層上方為砂土層（Sand，透水邊界）。
• 黏土層下方圖示亦為砂土層圖例（Sand，透水邊界）。
• 黏土層上下皆受砂土層包夾，屬於雙向排水（Double Drainage）。

因此，最長排水距離為：

核心觀念

1. 三軸壓密排水試驗（CD 試驗 / SCD 試驗）應力狀態：

   • 「SCD」即慢速壓密排水試驗（Slow Consolidated Drained triaxial test），在排水條件下，試體破壞時超額孔隙水壓已完全消散（$\Delta u = 0$），因此全應力等於有效應力（$\sigma = \sigma'$）。
   • 圍壓（側向應力）保持為有效壓密應力：
     $\sigma_3' = \sigma_{c}' = 100\text{ kPa}$
   • 正常壓密黏土（NC clay）在有效應力分析下的凝聚力 $c' = 0$。

2. 莫耳–庫侖破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）：

   • 對於 $c' = 0$ 的土壤，破壞時莫耳圓與破壞包絡線（通過原點、傾角為 $\phi'$）相切：
     $\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \sigma_3' N_\phi$
   • 破壞面與大主應力作用面（水平面）的夾角 $\theta_f$ 為：
     $\theta_f = 45^\circ + \frac{\phi'}{2}$

3. 極點法（Pole Method / Origin of Planes）：

   • 極點（Pole，記作 $P$）是莫耳圓上具備特殊幾何性質的一點：過極點 $P$ 引任意直線，該直線在莫耳圓上的交點即代表方向與該直線平行的實體平面上的應力狀態。
   • 反之，從莫耳圓上已知應力狀態點引一條「與其作用平面平行」的線，必交莫耳圓於極點 $P$。

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解題方法

步驟一：計算破壞時的主應力大小

• 側向有效應力（小主應力）：
  $\sigma_3' = 100\text{ kPa}$
• 破壞時流動值 $N_\phi$：
  $N_\phi = \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) = \tan^2(60^\circ) = (\sqrt{3})^2 = 3$
• 破壞時軸向有效應力（大主應力）：
  $\sigma_1' = \sigma_3' \cdot N_\phi = 100 \times 3 = 300\text{ kPa}$

步驟二：計算莫耳圓幾何參數

• 莫耳圓圓心座標 $(\sigma_c', \tau_c)$：
  $\sigma_c' = \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2} = \frac{300 + 100}{2} = 200\text{ kPa},\quad \tau_c = 0\text{ kPa}$
• 莫耳圓半徑 $R$：
  $R = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = \frac{300 - 100}{2} = 100\text{ kPa}$

步驟三：標定極點（Pole, $P$）

• 大主應力 $\sigma_1' = 300\text{ kPa}$ 作用於水平面上，其在莫耳圓上的應力點為 $(300\text{ kPa}, 0)$。過該點作水平線，交莫耳圓於 $(300\text{ kPa}, 0)$ 與 $(100\text{ kPa}, 0)$，但考慮唯一對應性：
• 小主應力 $\sigma_3' = 100\text{ kPa}$ 作用於垂直面上，其在莫耳圓上的應力點為 $(100\text{ kPa}, 0)$。過該點作垂直線，交莫耳圓於頂點 $(100\text{ kPa}, 0)$。
• 兩者交會所得之極點 $P$ 座標為：
  $P = (100\text{ kPa}, 0) = (\sigma_3', 0)$

步驟四：求破壞面（Failure Plane）方位

• 破壞點（Failure Point）為莫耳圓與破壞包絡線之切點 $A$（上半圓）：
  $\theta_f = 45^\circ + \frac{\phi'}{2} = 45^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 60^\circ$
• 切點 $A$ 的應力分量：

核心觀念

本題旨在考驗飽和砂土之**壓密不排水三軸試驗（Consolidated-Undrained Triaxial Test, CU 試驗）中，總應力與有效應力狀態的轉換、剪力強度參數的求解，以及應力路徑（Stress Path）**之描繪。

1. 有效應力原理（Terzaghi's Principle of Effective Stress）：

   $$\sigma' = \sigma - u$$

   剪切過程中維持總圍壓不變（$\sigma_3 = \text{const}$），破壞時主應力為：

   • 總主應力：$\sigma_{3f} = \sigma_3$、$\sigma_{1f} = \sigma_3 + \Delta\sigma_{d,f}$
   • 有效主應力：$\sigma_{3f}' = \sigma_{3f} - \Delta u_f$、$\sigma_{1f}' = \sigma_{1f} - \Delta u_f$

2. 莫耳—庫侖破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）：
   砂土為無凝聚力土壤（Cohesionless soil），其凝聚力截距 $c = 0$ 且 $c' = 0$。破壞時之莫耳圓與破壞包絡線相切，內摩擦角滿足：

   $$\sin\phi = \frac{\sigma_{1f} - \sigma_{3f}}{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}}$$ $$\sin\phi' = \frac{\sigma_{1f}' - \sigma_{3f}'}{\sigma_{1f}' + \sigma_{3f}'}$$

3. MIT 應力路徑定義（$p-q$ 系統）：

   • 總應力坐標：$p = \dfrac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$，$q = \dfrac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
   • 有效應力坐標：$p' = \dfrac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2} = p - u$，$q' = q$
   • 傳統三軸壓縮試驗中，總圍壓維持定值，故總應力路徑（TSP）為斜率等於 $1$ 的直線；有效應力路徑（ESP）受超額孔隙水壓發展影響，其水平位移即為 $\Delta u$。

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解題方法

步驟一：計算破壞時之總應力與有效應力

已知壓密完成後有效圍壓 $\sigma_3' = 100\text{ kPa}$，初始孔隙水壓 $u_0 = 0\text{ kPa}$，故破壞前總圍壓 $\sigma_3 = 100\text{ kPa}$。
不排水剪切至破壞時：

• 破壞時總主應力：

  $$\sigma_{3f} = 100\text{ kPa}$$ $$\sigma_{1f} = \sigma_{3f} + \Delta\sigma_{d,f} = 100 + 125 = 225\text{ kPa}$$

• 破壞時孔隙水壓：

  $$u_f = u_0 + \Delta u_f = 0 + 75 = 75\text{ kPa}$$

• 破壞時有效主應力：

  $$\sigma_{3f}' = \sigma_{3f} - u_f = 100 - 75 = 25\text{ kPa}$$ $$\sigma_{1f}' = \sigma_{1f} - u_f = 225 - 75 = 150\text{ kPa}$$

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步驟二：計算強度參數

砂土（Sand）通常視為無黏聚力材料，設 $c_{cu} = 0$、$c' = 0$。

1. 有效強度參數（Effective Strength Parameters）：

   $$\sin\phi' = \frac{\sigma_{1f}' - \sigma_{3f}'}{\sigma_{1f}' + \sigma_{3f}'} = \frac{150 - 25}{150 + 25} = \frac{125}{175} = \frac{5}{7} \approx 0.7143$$ $$\phi' = \arcsin\left(\frac{5}{7}\right) \approx 45.6^\circ \quad (\text{或 } 45^\circ35')$$

   故有效應力強度參數為：$c' = 0\text{ kPa}$，$\phi' \approx 45.6^\circ$。

2. 總應力強度參數（Total Strength Parameters）：

   $$\sin\phi_{cu} = \frac{\sigma_{1f} - \sigma_{3f}}{\sigma_{1f} + \sigma_{3f}} = \frac{225 - 100}{225 + 100} = \frac{125}{325} = \frac{5}{13} \approx 0.3846$$ $$\phi_{cu} = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.6^\circ \quad (\text{或 } 22^\circ37')$$

   故總應力強度參數為：$c_{cu} = 0\text{ kPa}$，$\phi_{cu} \approx 22.6^\circ$。

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步驟三：繪製總應力路徑（TSP）與有效應力路徑（ESP）

採用工程界最常使用的 MIT 應力路徑法（$p-q$ 平面）：

核心觀念

本題旨在考驗 MIT 應力路徑法（Stress Path Method） 與傳統 莫爾-庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion） 之間的幾何與參數轉換關係。

1. MIT 應力變數定義：
   在二維主應力空間中，MIT 應力路徑使用應力圓的「圓心」與「半徑」作為座標變數：

   • 平均有效主應力（圓心橫座標）：
     $p' = \frac{\sigma'_1 + \sigma'_3}{2}$
   • 最大剪應力 / 主應力差之半（應力圓半徑）：
     $q = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{2}$

2. $K_f$ 線（$K_f$-line）：
   土體在達到莫爾-庫倫破壞狀態時，各個破壞應力圓頂點 $(p'_f, q_f)$ 連成的軌跡線稱為 $K_f$ 線，其線性方程式表示為：
   $q = m + p'\tan\alpha$
   其中 $m$ 為縱軸截距，$\alpha$ 為 $K_f$ 線的傾角。

3. 莫爾-庫倫破壞包絡線：
   剪應力與法向有效應力空間 $(\sigma', \tau)$ 中的包絡線方程式為：
   $\tau_f = c' + \sigma'_f \tan\phi'$
   其中 $c'$ 為有效凝聚力，$\phi'$ 為有效內摩擦角。

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解題方法

土體破壞時，極限應力圓與莫爾-庫倫破壞包絡線相切，可利用應力圓頂點、圓心及幾何三角關係進行推導：

步驟 1：建立莫爾圓與破壞包絡線之幾何關係

在 $(\sigma', \tau)$ 應力平面上：

1. 莫爾-庫倫破壞包絡線延長線與橫軸（$\sigma'$ 軸）的交點（虛擬頂點）座標為 $(-c'\cot\phi', 0)$。
2. 破壞時的莫爾應力圓，圓心位於 $(p'_f, 0)$，半徑為 $q_f$。
3. 圓心至破壞包絡線與橫軸交點的總距離 $L$ 為：
   $L = p'_f + c'\cot\phi'$
4. 由於破壞時莫爾圓與破壞包絡線相切，切點處的半徑 $q_f$ 垂直於包絡線，形成一直角三角形。該三角形之對邊為 $q_f$、斜邊為 $L$、夾角為 $\phi'$。

步驟 2：由三角函數列出破壞條件式

利用正弦函數定義：
$\sin\phi' = \frac{q_f}{L} = \frac{q_f}{p'_f + c'\cot\phi'}$

移項整理可得破壞時的 $q_f$：
$q_f = (p'_f + c'\cot\phi') \sin\phi'$
$q_f = p'_f \sin\phi' + c'\left(\frac{\cos\phi'}{\sin\phi'}\right)\sin\phi'$

核心觀念

本題考查土體內部水流運動的基礎理論——二維穩態滲流（2D steady-state seepage）控制方程式的推導。其物理與數學核心為結合：

1. 質量守恆定律（連續方程式，Continuity Equation）：流進微元體的水量等於流出的水量（無儲水體積變化）。
2. 達西定律（Darcy's Law）：描述多孔介質中流速與水力坡降的線性關係（$v = -k \cdot i$）。

兩者結合後即可導出二維空間中的二階偏微分方程式（拉普拉斯方程式，Laplace's Equation）。

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推導過程之假設條件（Assumptions）

在推導二維穩態滲流控制方程式時，通常基於以下 6 項基本假設：

1. 流況為二維流動（2D Flow）：水流僅在特定斷面（$x$ 與 $z$ 方向）流動，垂直於斷面（$y$ 方向）的水頭梯度與流速為零（$\partial h/\partial y = 0$）。
2. 穩態流動（Steady-State Flow）：孔隙水壓力與水頭不隨時間改變，即 $\partial h/\partial t = 0$。
3. 土壤完全飽和（Fully Saturated）：土壤孔隙完全被水充滿，飽和度 $S = 100\%$。
4. 水與土粒均不可壓縮（Incompressible Water and Soil Skeleton）：水的密度 $\rho_w$ 為定值，土壤骨架無體積變形（孔隙體積不變，無壓密現象發生）。
5. 符合達西定律（Darcy's Law is Valid）：水流為層流（Laminar flow），流速與水力坡降呈線性比例關係。
6. 土壤為均質（Homogeneous Soil）：透水係數在空間各點處處相等（$k_x, k_z$ 與空間座標無關；若進一步為等向性，則 $k_x = k_z = k$）。

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解題方法：詳細推導步驟

步驟 1：選取微元控制體積（Control Volume）

在二維平面 $(x, z)$ 中，取一微小土壤方塊單元，定義其幾何尺寸如下：

• $x$ 方向長度：$\Delta x$
• $z$ 方向高度：$\Delta z$
• $y$ 方向（垂直斷面方向）取單位寬度：$\Delta y = 1$

微元體的體積為 $V = \Delta x \cdot \Delta z \cdot 1$。

步驟 2：建立質量守恆（連續方程式）

因水為不可壓縮流體且孔隙體積不隨時間變化，單位時間內流入單元體的體積流量必須等於流出單元體的體積流量（淨流出量為零）：

1. $x$ 方向的流量：
   • 流入量：

$$q_{x,\text{in}} = v_x \cdot (\Delta z \cdot 1)$$

• 流出量（以泰勒級數展開取一階項）：

$$q_{x,\text{out}} = \left( v_x + \frac{\partial v_x}{\partial x}\Delta x \right) (\Delta z \cdot 1)$$

• $x$ 方向淨流出量：

$$\Delta q_x = q_{x,\text{out}} - q_{x,\text{in}} = \frac{\partial v_x}{\partial x}\Delta x \Delta z$$

2. $z$ 方向的流量：
   • 流入量：

$$q_{z,\text{in}} = v_z \cdot (\Delta x \cdot 1)$$

• 流出量：

$$q_{z,\text{out}} = \left( v_z + \frac{\partial v_z}{\partial z}\Delta z \right) (\Delta x \cdot 1)$$

• $z$ 方向淨流出量：

$$\Delta q_z = q_{z,\text{out}} - q_{z,\text{in}} = \frac{\partial v_z}{\partial z}\Delta x \Delta z$$

3. 淨流量總和：

$$\Delta q_{\text{net}} = \Delta q_x + \Delta q_z = \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \Delta x \Delta z = 0$$

核心觀念

本題屬於受限含水層（Confined Aquifer）中的一維均勻滲流分析與流網（Flow Net）繪製，涉及以下核心原理與公式：

1. 達西定律（Darcy's Law）：
   在飽和土壤中的層流滲流，單位寬度流量為：
   $q = k \cdot i \cdot A$
   其中 $k$ 為土壤水力傳導度（透水係數），$i$ 為水力坡降，$A$ 為垂直於流向之流通斷面積。
2. 傾斜地層中的水力坡降與斷面積幾何投影：
   • 水流方向平行於上下平行之不透水層邊界（與水平線夾角 $\alpha = 14^\circ$ 向下）。
   • 兩支測壓管水平間距為 $L$，沿傾斜流向之實際滲流路徑長度為：
     $L' = \frac{L}{\cos\alpha}$
   • 測壓管水頭差為 $h$（即兩斷面間之總水頭損失 $\Delta h = h$），故水力坡降為：
     $i = \frac{\Delta h}{L'} = \frac{h}{\frac{L}{\cos\alpha}} = \frac{h\cos\alpha}{L}$
   • 圖中透水層標註 $H_1$ 為鉛直厚度（引出線為水平、標註線為鉛直），垂直於水流方向之法向厚度為 $t = H_1\cos\alpha$。因此單位寬度（$B = 1\text{ m}$）之流通面積為：
     $A = H_1\cos\alpha \times 1\text{ m} = H_1\cos\alpha$
3. 流網性質（Flow Net in Isotropic Medium）：
   • 上、下兩側不透水邊界為流線（Flow lines）。
   • 等向性土壤（$k_x = k_z = k$）中，流線與等勢線（Equipotential lines）處處正交（垂直）。
   • 由於邊界均勻且平行，流線為一組平行於邊界的直線；等勢線為一組垂直於邊界的直線，構成標準正方形網格（$\Delta b = \Delta l$）。

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解題方法

第一部分：滲流流量計算（Calculation of Flow Rate）

1. 整理已知幾何與土壤參數：

   • 傾斜角度：$\alpha = 14^\circ$
   • 測壓管水平距離：$L = 30\text{ m}$
   • 兩測壓管水頭差：$h = 3.0\text{ m}$
   • 透水層厚度：$H_1 = 2\text{ m}$（鉛直厚度）
   • 透水係數：$k = 0.075\text{ cm/s} = 7.5 \times 10^{-4}\text{ m/s}$
   • 三角函數值：$\cos 14^\circ \approx 0.9703$、$\cos^2 14^\circ \approx 0.9415$

2. 計算實際滲流長度 $L'$ 與水力坡降 $i$：
   $L' = \frac{L}{\cos 14^\circ} = \frac{30}{0.9703} \approx 30.918\text{ m}$
   $i = \frac{h}{L'} = \frac{3.0}{30.918} \approx 0.09703$

3. 計算垂直於流向之流通面積 $A$（單位寬度）：
   $A = H_1 \cos 14^\circ \times 1 = 2 \times 0.9703 = 1.9406\text{ m}^2/\text{m}$

4. 代入達西定律計算流量 $q$：
   $q = k \cdot i \cdot A = k \cdot \left(\frac{h\cos\alpha}{L}\right) \cdot (H_1\cos\alpha) = k \cdot \frac{h}{L} \cdot H_1 \cos^2\alpha$
   代入數據：
   $q = \left(7.5 \times 10^{-4}\text{ m/s}\right) \times \left(\frac{3.0}{30}\right) \times 2 \times (0.9703)^2$
   $q = 7.5 \times 10^{-4} \times 0.1 \times 2 \times 0.94147 \approx 1.412 \times 10^{-4}\text{ m}^3/\text{sec}/\text{m}$

(註：若考試認定 $H_1 = 2\text{ m}$ 為法向厚度而非鉛直厚度，則 $A = 2.0\text{ m}^2/\text{m}$，$q = k \cdot i \cdot A = 7.5 \times 10^{-4} \times 0.09703 \times 2.0 = 1.455 \times 10^{-4}\text{ m}^3/\text{sec}/\text{m}$。按工程製圖規範，標註線為鉛直線時代表鉛直厚度，以 $1.41 \times 10^{-4}\text{ m}^3/\text{sec}/\text{m}$ 為標準答案。)

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第二部分：流網繪製（Plot the Flow Net）

均勻平行受限滲流的流網特徵與繪圖規則如下：

1. 邊界條件：
   • 上邊界（透水層與上覆不透水層交界面）為流線 $\psi_0$。
   • 下邊界（透水層與下伏不透水層交界面）為流線 $\psi_n$。
   • 兩不透水邊界均與水平面呈 $\alpha = 14^\circ$ 向右下傾斜。
2. 流線（Flow Lines）：
   • 介質均勻等向，所有流線均為與上下邊界完全平行的直線，方向朝右下方。
   • 於透水層法向厚度內均分成 $N_f$ 個流道（例如取 $N_f = 2$ 或 $3$），內部流線等距平行分佈，間距為 $\Delta b$。

核心觀念

這題考斜向滲流中的異向性滲透係數。由於水平、垂直滲透係數不同，且透水層沿斜面流動，需先把異向性換算成沿透水層方向的等效滲透係數，再用達西定律計算單位寬度流量。

令 $s$ 為沿透水層方向、$n$ 為垂直透水層方向。透水層上下邊界不透水，因此法向流量為零。消去法向水頭梯度後，沿層等效滲透係數為

$$k_{\mathrm{eff}} = \frac{k_H k_v}{k_H\sin^2\alpha+k_v\cos^2\alpha}$$

解題方法

由圖得 $H_1=2\,\text{m}$、$\alpha=14^\circ$、$h=3\,\text{m}$、$L=30\,\text{m}$。滲透係數為

$$k_v=0.075\,\text{cm/s}, \qquad k_H=4k_v=0.300\,\text{cm/s}$$

代入異向性等效式：