111 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

此題考驗對美國統一土壤分類系統 (USCS) 中，含細粒之砂土分類的理解。

USCS 系統中，以細粒含量百分比及細粒部分之塑性指數 (PI) 和液性限度 (LL) 來區分。對於含細粒的砂土 (SM, SC)，其主要成分為砂粒，細粒含量需介於 5% 至 12% (或 12% 至 35% 視乎定義)。

SM (Silty Sand) 和 SC (Clayey Sand) 的區別在於細粒部分的性質：

• SM (Silty Sand): 細粒成分以粉土 (silt) 為主。其特性為塑性指數 (PI) 小於 4，或液性限度 (LL) 小於 50，且屬於低塑性或無塑性。這表示細粒成分的黏結性較弱。

Arthur Casagrande (1902-1981) 是土壤力學領域的先驅之一，對土木工程，特別是土壤力學和基礎工程，做出了多項重要貢獻。以下列出三項他的主要貢獻：

1. 發展土壤分類系統 (Soil Classification Systems)：

   • 他對美國統一土壤分類系統 (USCS, Unified Soil Classification System) 的發展有極大的貢獻。USCS 至今仍廣泛應用於全球，是判斷土壤工程性質的基礎。
   • 他也是早期對 A-6 和 A-7 土壤 (美國農業部系統中的黏土質土壤) 的分類和研究做出貢獻者。

2. 沉陷與固結理論 (Settlement and Consolidation Theory)：

   • Casagrande 發展了固結理論，解釋了飽和黏土層在承受荷載後，孔隙水壓力消散而引起土體體積減少、產生沉陷的過程。

此題考驗對土壤力學中兩個重要概念：壓實 (Compaction) 和固結 (Consolidation) 的理解，並需能闡述其異同。

共同點 (Similarities)：

1. 體積減少 (Volume Reduction)：兩者都會導致土壤的體積減少。
2. 密度增加 (Density Increase)：體積減少的結果是土壤的密度 (單位體積的質量或固體含量) 增加。
3. 強度增加 (Strength Increase)：密度增加通常伴隨著土壤強度的提高。
4. 含水量變化 (Water Content Change)：壓實過程中，含水量會被控制；固結過程中，含水量會因排水而降低。

不同點 (Differences)：

特性	壓實 (Compaction)	固結 (Consolidation)
作用機制	主要透過機械力 (如滾壓、夯實) 將空氣從土體中擠出，使土粒排列更緊密。	主要透過孔隙水壓力的消散，使水從土體中緩慢排出，進而引起土粒間距縮小，土體體積減少。
發生條件	通常發生在非飽和土壤中，或在加水的情況下進行。	發生在飽和土壤中，且必須有排水通道，讓水能排出。

此題考驗對土壤力學中，使用落錐儀 (Fall Cone Test) 來測定細粒土壤的液性限度 (Liquid Limit, LL) 和塑性限度 (Plastic Limit, PL) 的方法。此方法是英國標準 BS 1377:1990 規範的一部分。

I. 測定液性限度 (Liquid Limit, LL)

液性限度定義為土壤由塑性狀態轉變為流動性狀態的臨界含水量。落錐儀法是透過測定不同含水量下，標準圓錐體在土壤中下沉特定深度所需的含水量來推算液性限度。

步驟：

1. 準備試樣：取約 150 克的過 425 微米篩 (No. 44 sieve) 的細粒土壤，與適量蒸餾水混合，製成均勻的泥漿狀。
2. 調整含水量：讓試樣靜置一段時間（例如 24 小時），使其含水量均勻。
3. 進行試驗：
   • 將標準落錐儀（通常為 30°、質量為 80 克的圓錐體，或 20°、質量為 40 克的圓錐體，視乎標準要求）固定在釋放裝置上。
   • 將土壤樣品放在測試皿中，並使其表面平整。
   • 釋放圓錐體，讓其自由落入土壤中。
   • 記錄圓錐體下沉的深度。
   • 重複試驗，調整試樣的含水量，使其下沉深度在 20 mm (或 1/5 inch) 左右。
4. 測定含水量：對於每一個下沉深度不同的試驗，精確量測其含水量。
5. 繪製曲線：
   • 在半對數座標紙上，以含水量為橫軸（線性尺度），以圓錐體下沉深度為縱軸（對數尺度，或反之，依標準不同），繪製數據點。
   • 數據點應落在一個近似直線的範圍內。
   • 若使用下沉深度為縱軸，則找到下沉深度為 20 mm 時對應的含水量，即為液性限度 (LL)。
   • 若使用含水量為縱軸，則找到對應於 20 mm 下沉深度的含水量。

II. 測定塑性限度 (Plastic Limit, PL)

塑性限度定義為土壤由塑性狀態轉變為半固體狀態的臨界含水量。

土壤壓實曲線 (Soil Compaction Curve) 通常是表示土壤在特定壓實能量下，其乾密度 (dry density, $\rho_d$) 與含水量 (moisture content, $w$) 之間的關係圖。壓實曲線的形狀和位置會受到多種因素影響，主要包括：

1. 土壤的種類 (Type of Soil)：

   • 顆粒組成 (Particle Size Distribution)：砂土、粉土、黏土的顆粒大小和分佈不同，影響土粒間的空隙和接觸方式，進而影響壓實效果。例如，級配良好的土壤通常比單粒徑土壤更容易壓實。
   • 礦物成分 (Mineralogy)：黏土礦物的種類（如高嶺石、蒙脫石）會影響其吸附水的能力、表面電荷和膨脹性，進而影響壓實曲線。
   • 塑性 (Plasticity)：土壤的塑性指數 (PI) 和液性限度 (LL) 是重要的指標。高塑性土壤（黏土）通常需要更高的含水量才能達到最大乾密度，且最大乾密度相對較低。

2. 含水量 (Moisture Content, $w$)：

   • 含水量是壓實曲線上的自變數。在較低的含水量下，土壤顆粒間有較多空氣，壓實時空氣被擠出，乾密度增加。
   • 當含水量接近最佳含水量 (Optimum Moisture Content, OMC) 時，水膜的潤滑作用幫助土粒滑動排列，達到最大乾密度 (Maximum Dry Density, $\rho_{d,max}$)。
   • 當含水量超過 OMC 時，水分的體積開始佔據一部分土體體積，且水的表面張力效應減弱，使得土粒更難緊密排列，乾密度反而開始下降。

此題考驗對滲流理論中，落水儀法 (Falling Head Permeability Test) 的理解，以及如何由試驗過程推導滲透係數的計算公式。

落水儀法 (Falling Head Permeability Test) 的描述：

落水儀法是一種測定低滲透性土壤（如黏土、粉土）滲透係數的方法。其基本原理是測量在一定時間內，通過土壤試樣的滲流量與其水頭差的關係。與定水頭法 (Constant Head Permeability Test) 不同的是，落水儀法使用一個細長的壓力管（水頭管）與試樣連接，水頭會隨著滲流而逐漸下降，因此稱為落水儀法。

試驗裝置與步驟：

1. 裝置：試驗裝置包含一個圓柱形試樣筒，其中放入待測的土壤試樣（通常為重塑土或原狀土樣），並確保試樣周圍無漏水。試樣筒的上、下端分別與進水和出水端連接。壓力管（水頭管）連接到試樣的上部，其內徑較小，以確保水頭能明顯下降。
2. 飽和：試樣在試驗前需完全飽和，以確保土壤中的孔隙充滿水，並排除空氣。
3. 進行試驗：
   • 將水頭管內的水位調整到某一初始高度 $h_1$。
   • 同時開始計時，並記錄水頭從 $h_1$ 下降到某一最終高度 $h_2$ 所需的時間 $t$。
   • 在整個過程中，土壤試樣上下部的壓力差（水頭差）是逐漸變小的。

滲透係數計算公式的推導：

假設：

• 土壤試樣的長度（或厚度）為 $L$。
• 土壤試樣的橫截面積為 $A$。
• 水頭管的橫截面積為 $a$。
• 在時間 $t$ 內，水頭從 $h_1$ 下降到 $h_2$。
• 土壤的滲透係數為 $k$。

根據達西定律 (Darcy's Law)，在極短時間 $dt$ 內，通過試樣的滲流量 $dQ$ 為：
$dQ = k \cdot A \cdot \frac{h}{L} dt$
其中 $h$ 是在時間 $t$ 時的瞬時水頭差。

同時，在時間 $dt$ 內，水頭管內水位下降 $dh$ 所對應的體積變化為：
$dQ = a \cdot (-dh)$
注意：水的流動方向是從高水頭流向低水頭，因此當 $h$ 減少時，$dh$ 為負值，但 $dQ$ 代表流出的體積，故取正值；或者我們直接考慮水頭的變化率。這裡我們將 $dh$ 理解為水頭的變化量，如果 $h$ 在下降，則 $dh$ 是負值。

將上述兩個 $dQ$ 的表達式聯立：
$k \cdot A \cdot \frac{h}{L} dt = a \cdot (-dh)$

核心觀念

本題利用流網（flow net）分析壩體下方的二維滲流，所需公式如下：

• 流量公式：

$$q=kH\frac{N_f}{N_d}$$

其中：

• $q$：每公尺壩寬的滲流量

• $k$：土壤滲透係數

• $H$：上下游總水頭差

• $N_f$：流道數

• $N_d$：等勢降數

• 每一等勢降的水頭損失：

$$\Delta h=\frac{H}{N_d}$$

壩底孔隙水壓可用壓力水頭表示：

$$u=\gamma_w h_p$$

其中 $h_p$ 為相對下游水面的壓力水頭。

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一、流網參數判讀

由 Fig. 1 可數得：

$$N_f=5,\qquad N_d=10$$

上下游水位差為：

$$H=10\ \text{m}$$

滲透係數：

$$k=3\times10^{-3}\ \text{cm/s} =3\times10^{-5}\ \text{m/s}$$

每一等勢降的水頭損失為：

$$\Delta h=\frac{10}{10}=1\ \text{m}$$

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（1）每公尺壩厚的滲流量

套用流網公式：

$$q=kH\frac{N_f}{N_d}$$ $$q=(3\times10^{-5})(10)\frac{5}{10}$$

因此：

$$\boxed{q=1.50\times10^{-4}\ \text{m}^3/(\text{s}\cdot\text{m})}$$

亦可寫成：

$$\boxed{q=0.15\ \text{L}/(\text{s}\cdot\text{m})}$$

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（2）壩底壓力水頭分布

以下游水面為壓力水頭零點，每通過一個等勢降，壓力水頭降低 $1\ \text{m}$。

由流網判讀壩底各主要位置：

壩底位置	壓力水頭 $h_p$
$D$	$10\ \text{m}$
$F$	$8\ \text{m}$
$G$	$2\ \text{m}$
下游端 $E$	$0\ \text{m}$

因此壩底壓力水頭分布可用下列折線表示：

$$D(0,\ 10),\quad F(3.34,\ 8),\quad G(21.66,\ 2),\quad E(25.00,\ 0)$$

壩底各點的孔隙水壓為：

$$u=\gamma_w h_p$$

此題為三、小題題目，但其題目敘述中並未包含小題的標示 (a), (b), (c) 或 (1), (2), (3)，僅有總題號「三、」及後續的問句。然而，從其後續題目（即標示為 1, 2, 3 的小題）來看，此為關於圖 2 土壤分層的計算題組。此處的「三、」應為大題標示，後續的 1, 2, 3 為小題。

此題組主要考驗對多層土壤沉陷計算、固結時間計算以及地下水位變動對沉陷影響的理解。

【題組共用題幹】
土壤分層如圖 2 所示。

• 上層為砂土 (Sand)，厚度 $H_{sand}$。
• 下層為黏土 (Clay)，厚度 $H_{clay}$。
• 最底層為岩石 (Rock)。
• 地下水位 (GWT) 位於砂土層中。

圖 2 說明：

• 砂土層：
  • 厚度 $H_{sand}$。
  • 孔隙比 $e_{sand} = 0.58$。
  • 土粒比重 $G_{s,sand} = 2.67$。
  • 壓縮係數 $C_c = 0.35$。
  • 滲透係數 $C_v$ (應為固結係數) $C_{v,sand}$ (題目未給，但此題組主要考黏土的固結，砂土固結速度快，通常忽略)。
• 黏土層：
  • 厚度 $H_{clay}$。
  • 孔隙比 $e_{clay} = 0.108$。
  • 土粒比重 $G_{s,clay} = 2.71$。
  • 壓縮係數 $C_c = 0.07$。
  • 固結係數 $C_{v,clay}$ (題目未給，但後續題目會用到)。
• 岩石層：不滲透。
• 地下水位 (GWT)：位於砂土層中。

核心觀念

本題考查正常固結黏土受均勻附加應力後的主固結沉陷。黏土為正常固結，因此附加應力使應力狀態沿原始壓縮曲線進入正常壓縮段，使用壓縮指數 $C_c$：

$$S_c=\frac{C_cH_c}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{v0}+\Delta\sigma}{\sigma'_{v0}}\right)$$

其中 $\sigma'_{v0}$ 為黏土層中央的初始有效垂直應力。因附加載重為大範圍均勻載重，可取黏土層內 $\Delta\sigma=105\ \text{kPa}$。

初始有效應力

依圖中資料，$H_1$ 為地表至地下水位深度，$H_2$ 為地下水位至黏土頂面厚度，$H_3$ 為黏土厚度。

取 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$。

砂土乾單位重：

$$\gamma_{d,s} =\frac{G_s\gamma_w}{1+e} =\frac{2.67(9.81)}{1+0.58} =16.58\ \text{kN/m}^3$$

砂土飽和單位重及浮單位重：

$$\gamma_{sat,s} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67+0.58}{1.58}(9.81) =20.18\ \text{kN/m}^3$$ $$\gamma'_s=\gamma_{sat,s}-\gamma_w =20.18-9.81 =10.37\ \text{kN/m}^3$$

黏土飽和單位重及浮單位重：

$$\gamma_{sat,c} =\frac{G_s+e_0}{1+e_0}\gamma_w =\frac{2.71+1.08}{2.08}(9.81) =17.87\ \text{kN/m}^3$$

此題考驗對土壤固結時間計算的理解，特別是利用小尺寸試驗結果來推算現場大尺寸土層的固結時間。

【題組共用題幹】 (來自圖 2 說明)

• 砂土層：厚度 $H_{sand}$，孔隙比 $e_{sand} = 0.58$，土粒比重 $G_{s,sand} = 2.67$。
• 黏土層：厚度 $H_{clay}$，孔隙比 $e_{clay} = 0.108$，土粒比重 $G_{s,clay} = 2.71$。
• 岩石層：不滲透。
• 地下水位 (GWT)：位於砂土層中。

題目數據：

• 實驗室試樣：厚度 $h_{lab} = 2.5 \text{ cm}$，達到 90% 平均固結度 ($U=90\%$) 所需時間 $t_{lab} = 26.5 \text{ minutes}$。
• 現場土層 (圖 2)：黏土層厚度 $H_{clay} = H_2 = 4.4 \text{ m}$。
• 目標：計算現場黏土層達到相同平均固結度 ($U=90\%$) 所需時間 $t_{field}$。

解題步驟：

1. 理解固結時間與土層厚度的關係：

   • 固結時間 ($t$) 與土層厚度 ($H$) 和固結係數 ($C_v$) 有關。
   • 平均固結度 ($U$) 與無因次時間因子 ($T_v$) 相關：$T_v = \frac{C_v t}{H^2}$。
   • 對於相同的固結度 $U$，$T_v$ 值是相同的。因此，$t \propto \frac{H^2}{C_v}$。

2. 確定現場土層的排水條件：

   • 圖 2 顯示黏土層夾在砂土層和岩石層之間。
   • 砂土層的滲透性遠大於黏土層，岩石層通常被視為不滲透。
   • 因此，黏土層的排水只能從單一方向進行，即向上排向砂土層。這稱為單面排水 (Single Drainage)。
   • 現場黏土層的有效排水厚度 $H_{field} = H_{clay} = 4.4 \text{ m}$。

3. 確定實驗室試樣的排水條件：

   • 實驗室試樣的厚度為 2.5 cm。通常，實驗室的固結試驗會將試樣放置在兩個壓力板之間，使其可以從上下兩個方向排水。這稱為雙面排水 (Double Drainage)。
   • 實驗室試樣的有效排水厚度 $H_{lab} = \frac{\text{試樣總厚度}}{2} = \frac{2.5 \text{ cm}}{2} = 1.25 \text{ cm}$。

4. 查找 $T_v$ 值：

   • 對於 $U = 90\%$，在 $T_v$ 表格或圖表中，可以查到對應的 $T_v$ 值。
   • 當 $U \ge 50\%$ 時，可以使用近似公式 $T_v \approx -0.933 \log_{10}(1-U) + 0.857$ 或查表。
   • 對於 $U = 90\% = 0.9$，查表可得 $T_{v,90\%} \approx 0.848$。

5. 計算現場土層和實驗室試樣的固結係數 $C_v$：

   • 從實驗室試驗數據，我們可以計算出黏土的固結係數 $C_{v,clay}$。
   • $T_{v,lab} = \frac{C_{v,clay} t_{lab}}{H_{lab}^2}$
   • $0.848 = \frac{C_{v,clay} \times 26.5 \text{ min}}{(1.25 \text{ cm})^2}$
   • $C_{v,clay} = \frac{0.848 \times (1.25 \text{ cm})^2}{26.5 \text{ min}} = \frac{0.848 \times 1.5625 \text{ cm}^2}{26.5 \text{ min}} \approx \frac{1.325}{26.5} \approx 0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}$。

6. 計算現場土層達到相同固結度的時間 $t_{field}$：

   • 現場土層的排水條件為單面排水，其有效排水厚度 $H_{field} = 4.4 \text{ m} = 440 \text{ cm}$。
   • 現場土層的固結係數 $C_{v,field}$ 與實驗室試樣的 $C_{v,clay}$ 相同，即 $C_{v,field} = C_{v,clay} \approx 0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}$。
   • $T_{v,field} = \frac{C_{v,field} t_{field}}{H_{field}^2}$
   • 由於 $U=90\%$，所以 $T_{v,field} = T_{v,90\%} = 0.848$。
   • $0.848 = \frac{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min} \times t_{field}}{(440 \text{ cm})^2}$
   • $t_{field} = \frac{0.848 \times (440 \text{ cm})^2}{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}}$
   • $t_{field} = \frac{0.848 \times 193600 \text{ cm}^2}{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}}$

此題考驗對地下水位下降 (GWT variation) 對土壤沉陷影響的計算。當地下水位下降時，原本飽和的土體部分區域會變成非飽和狀態，有效應力會增加，從而引起額外的沉陷。

【題組共用題幹】 (來自圖 2 說明)

• 砂土層：厚度 $H_{sand}$，孔隙比 $e_{sand} = 0.58$，土粒比重 $G_{s,sand} = 2.67$。
• 黏土層：厚度 $H_{clay}$，孔隙比 $e_{clay} = 0.108$，土粒比重 $G_{s,clay} = 2.71$。
• 岩石層：不滲透。
• 地下水位 (GWT)：位於砂土層中。

題目數據：

• 地下水位下降 $\Delta H_{GWT} = 2 \text{ m}$。
• 此水位下降發生在主要固結完成之後。
• 主要計算對象為圖 2 中的土層。

解題步驟：

1. 確定水位下降影響的土層：

   • 水位下降會導致原本飽和的土層變成非飽和，進而增加有效應力。
   • 圖 2 顯示 GWT 在砂土層中。題目也提到「GWT lowers 2 m」。
   • 我們需要知道 GWT 的初始位置以及下降 2 m 後的位置，以確定哪些土層受到影響。
   • 從小題 1 的計算，我們假設初始 GWT 位於砂土層底部（即黏土層頂部）。
   • 因此，初始 GWT 高度為 $H_{sand} = 2.2 \text{ m}$ (相對於黏土層頂部)。
   • 水位下降 2 m 後，新的 GWT 高度為 $2.2 \text{ m} - 2 \text{ m} = 0.2 \text{ m}$ (相對於黏土層頂部)。
   • 這表示新的 GWT 仍然在砂土層中，但比原來高了 0.2 m。
   • 重要考量：題目說「GWT lowers 2 m」。這意味著水位是下降的。如果初始 GWT 在砂土層底部（2.2m 高），下降 2m 後，新的 GWT 高度為 0.2m。這表示砂土層頂部 0.2m 的部分仍然飽和，而其上方 2.0 m 的部分變為非飽和。
   • 因此，水位下降主要影響的是砂土層。

2. 計算水位下降對砂土層有效應力的影響：

   • 在水位下降前，砂土層是飽和的（假設 GWT 在其底部）。

   • 在水位下降後，砂土層頂部 2.0 m 的部分變為非飽和。

   • 非飽和土的有效應力計算較複雜，通常使用 Bishop 的有效應力參數 $\chi$。然而，在許多入門級的土壤力學問題中，會簡化處理：

     • 簡化假設 1：忽略非飽和土的吸力效應，將水位下降區域的孔隙水壓力視為零。
     • 簡化假設 2：考慮水位下降區域的孔隙水壓力從 $\gamma_w \cdot h$ 變為 $0$。
     • 更精確的處理：對於非飽和土，有效應力 $\sigma' = \sigma - u_a + \chi (u_a - u_w)$，其中 $u_a$ 是氣壓，$u_w$ 是水壓，$\chi$ 是 Bishop 參數。通常假設 $u_a = 0$ (大氣壓)，則 $\sigma' = \sigma + \chi u_w$ (當 $u_w < 0$ 時)。
     • 最常見的簡化方法：將水位下降區域的孔隙水壓力視為零，即認為其有效應力增加是由於水壓的消除。

   • 採用簡化假設 2 (孔隙水壓力歸零)：

     • 水位下降前，砂土層頂部 2.0 m 的部分（假設 GWT 在 2.2 m 處，水位下降 2 m 後 GWT 在 0.2 m 處）的孔隙水壓力為 $u_{old} = \gamma_w \cdot h_{old}$，其中 $h_{old}$ 是該點到初始 GWT 的高度。
     • 水位下降後，這些區域的孔隙水壓力變為 $u_{new} = 0$。
     • 有效應力的增加 $\Delta \sigma'_{sand} = u_{old} - u_{new} = u_{old} = \gamma_w \cdot h_{old}$。

   • 計算水位下降引起的額外沉陷：

     • 額外沉陷主要發生在因水位下降而變為非飽和的土層區域。
     • 沉陷公式：$\Delta S = \frac{\Delta \sigma' \cdot H_{layer}}{\gamma'_{layer}}$ （其中 $\gamma'_{layer}$ 是該土層的浸潤線下重度）。
     • 或者，更直接地，沉陷是體積變化。體積變化 $\Delta V = V_0 \cdot \frac{\Delta e}{1+e_0}$。
     • 沉陷 $\Delta S = \Delta H_{layer} \cdot \frac{\Delta e}{1+e_0}$。
     • 對於砂土，體積變化與有效應力的變化相關。
     • 根據公式 $\Delta e = C_c \log_{10} (\sigma'_{vf} / \sigma'_{v0})$，但這是針對黏土。
     • 對於砂土，可以使用壓縮係數 $C_c$ 或體積壓縮係數 $m_v$。
     • 如果假設砂土層在有效應力增加時也產生沉陷，則需要知道砂土層的壓縮參數。題目給了砂土層的 $C_c=0.35$。這通常用於黏土，但有時也用於砂土的壓縮計算。

   • 再思考：題目要求「compute the ground subsidence due to the GWT variation」。這意味著水位下降引起的沉陷。

   • 當水位下降時，土體中的孔隙水壓力減小，有效應力增加，導致土體體積壓縮，產生沉陷。

   • 沉陷量 $\Delta S$ 可以透過有效應力的變化來計算。

   • $\Delta S = \frac{H_{layer}}{1+e_0} \Delta e$。

   • $\Delta e = C_c \log_{10} \left( \frac{\sigma'_{v0} + \Delta \sigma'}{\sigma'_{v0}} \right)$。

   • 確定受影響區域：

     • 初始 GWT 在黏土層頂部 (2.2 m)。
     • 水位下降 2 m 後，新的 GWT 在 0.2 m (相對於黏土層頂部)。
     • 這意味著砂土層的頂部 2.0 m 區域，其孔隙水壓力由飽和時的 $\gamma_w \cdot h$ 變為 0。
     • 這 2.0 m 的砂土層會產生額外的沉陷。

   • 計算砂土層的額外有效應力：

     • 我們需要計算這 2.0 m 砂土層內部的有效應力變化。
     • 假設我們關注的是這 2.0 m 砂土層的中心點，或者計算平均有效應力變化。
     • 若考慮這 2.0 m 區域的平均孔隙水壓力變化：
       • 水位下降前，該區域的孔隙水壓力隨深度變化。
       • 水位下降後，該區域的孔隙水壓力變為 0。
       • 最簡化的處理：假設該 2.0 m 砂土層的孔隙水壓力從 $\gamma_w \times (平均水頭)$ 變為 0。
       • 或者，更直接地，利用水位下降引起的有效應力增加。
       • 水位下降 2 m，相當於這 2 m 的土層，其上覆的孔隙水壓力消失，使得有效應力增加。
       • 增加的有效應力 $\Delta \sigma' = \gamma_w \times (\text{水位下降高度}) = 9.81 \text{ kN/m}^3 \times 2 \text{ m} = 19.62 \text{ kPa}$。
       • 這個增加的有效應力作用在砂土層。

   • 計算砂土層的額外沉陷：

     • 砂土層的厚度 $H_{sand} = 2.2 \text{ m}$。
     • 砂土層的初始孔隙比 $e_{sand} = 0.58$。
     • 砂土層的壓縮係數 $C_{c,sand} = 0.35$ (題目給定)。
     • 初始有效應力（假設 GWT 在底部） $\sigma'_{v0,sand} = 22.97 \text{ kPa}$。
     • 如果水位下降 2 m，則砂土層頂部 2 m 的部分，其有效應力會增加。
     • 計算砂土層的總沉陷：
       • 這 2.0 m 的砂土層，其孔隙水壓力從 $\gamma_w \cdot h$ 降至 0。
       • 這相當於有效應力增加了 $\gamma_w \times 2 \text{ m} = 19.62 \text{ kPa}$。
       • 這個增加的應力作用在砂土層的頂部 2.0 m。
       • 重要考量：題目問的是「ground subsidence due to the GWT variation」。這通常指由於水位下降而產生的額外沉陷。
       • 假設：砂土層在承受此額外應力時，也遵循類似黏土的壓縮公式，即 $\Delta S = \frac{C_c H_{layer}}{1+e_0} \log_{10} \left( \frac{\sigma'_{v0} + \Delta \sigma'}{\sigma'_{v0}} \right)$。
       • 這裡的 $\sigma'_{v0}$ 是該區域的初始有效應力，$\Delta \sigma'$ 是增加的應力。
       • 我們需要計算的是「水位下降 2 m」引起的沉陷。這意味著，在原本飽和的 2.0 m 範圍內，由於孔隙水壓力歸零，有效應力增加。
       • 最直接的計算方法：
         • 水位下降 2 m，相當於這 2 m 的土層，其上覆的水壓力消失。
         • 這個壓力差相當於 $\Delta \sigma' = \gamma_w \times 2 \text{ m} = 19.62 \text{ kPa}$。
         • 這個應力變化作用在砂土層的頂部 2.0 m。
         • 我們需要計算這 2.0 m 砂土層的沉陷。
         • 假設：砂土層的壓縮係數 $C_c = 0.35$。
         • 假設：該 2.0 m 砂土層的初始有效應力（假設 GWT 在其底部 2.2m 處，則該 2.0m 區域的平均初始有效應力）。
         • 這 2.0 m 區域的初始孔隙水壓力隨深度變化。
         • 另一種簡化：將水位下降 2 m 的影響視為一個額外的應力 $\Delta \sigma' = 19.62 \text{ kPa}$ 施加在砂土層的頂部 2.0 m 範圍。
         • 假設：該 2.0 m 砂土層的初始有效應力為 $\sigma'_{v0,sand\_top} = \gamma'_{sand} \times h_{layer\_above\_GWT}$。
         • 如果 GWT 在 2.2 m 處，那麼這 2.0 m 區域的初始孔隙水壓力為 $\gamma_w \cdot (2.0 - h)$，其中 $h$ 是從該點到砂土層頂部的距離。
         • 最簡單的計算：直接將 $\Delta \sigma' = 19.62 \text{ kPa}$ 視為施加在 2.0 m 厚度的砂土層上，並使用砂土的壓縮參數。
         • 假設：這 2.0 m 的砂土層，其初始有效應力為 $\sigma'_{v0,2m} = \gamma'_{sand} \times (\text{該 2m 區域的平均初始水位差})$。
         • 如果 GWT 在 2.2 m 處，那麼從頂部 0 m 到 2.0 m 的區域，其初始有效應力為 $\gamma'_{sand} \times (2.0 - h)$，其中 $h$ 是從頂部到該點的深度。
         • 最簡化的處理：將水位下降 2 m 的影響，視為在砂土層頂部 2.0 m 範圍內，有效應力增加了 $\Delta \sigma' = 19.62 \text{ kPa}$。
         • 我們需要知道這 2.0 m 砂土層的初始有效應力，才能計算沉陷。

核心觀念

本題考查飽和正常固結黏土進行不排水三軸試驗時，如何結合：

• Skempton 孔隙水壓參數 $A$；
• 有效應力莫耳—庫倫破壞準則；
• 偏差應力 $q=\sigma_1-\sigma_3$；
• 正常固結黏土之有效黏聚力通常取 $c'=0$。

剪切過程中，圍壓 $\sigma_3$ 維持不變，且破壞時孔隙水壓增量為

$$\Delta u=A_f(\sigma_1-\sigma_3)=A_f q$$

其中 $A_f=0.5$。

解題方法

試驗完成固結後，初始有效圍壓為

$$\sigma'_{3c}=100\ \text{kPa}$$

正常固結黏土取 $c'=0$。不排水剪切時，總圍壓維持不變，因此破壞時：

$$\sigma'_3=\sigma'_{3c}-\Delta u$$

由 $\Delta u=A_f q$ 得

$$\sigma'_3=100-0.5q$$

有效應力破壞條件為

$$\frac{\sigma'_1}{\sigma'_3} = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

代入 $\phi'=30^\circ$：

$$\frac{\sigma'_1}{\sigma'_3} = \frac{1+\sin30^\circ}{1-\sin30^\circ} = \frac{1+0.5}{1-0.5}=3$$

又因為

$$\sigma'_1-\sigma'_3=q$$

所以

核心觀念

本題要求在 $p-q$ 應力空間中，同時表示：

1. 總應力路徑（total stress path）
2. 有效應力路徑（effective stress path）
3. 破壞時應力比所形成的 $K_r$ 線

題目未附前一小題的試驗型式與數據，以下採土壤力學中最常見的**飽和土等向固結不排水三軸試驗（CU test）**說明。

三軸壓縮試驗中定義：

$$p=\frac{\sigma_1+2\sigma_3}{3}$$ $$q=\sigma_1-\sigma_3$$

有效應力則為：

$$p'=\frac{\sigma_1'+2\sigma_3'}{3}=p-u$$ $$q'=\sigma_1'-\sigma_3'=q$$

其中 $u$ 為孔隙水壓。由於孔隙水壓對三個主應力皆產生相同扣除量，故三軸試驗中：

$$q'=q$$

---

解題方法

一、總應力路徑

若試驗為傳統三軸壓縮試驗，圍壓 $\sigma_3$ 維持固定，軸向應力逐漸增加，則：

$$\sigma_1=\sigma_3+q$$

代入平均總應力：

$$p=\frac{(\sigma_3+q)+2\sigma_3}{3} =\sigma_3+\frac{q}{3}$$

因此：

$$q=3(p-\sigma_3)$$

在 $p-q$ 圖上，總應力路徑為一直線，斜率為：

$$\frac{dq}{dp}=3$$

其起點為初始應力狀態：

$$(p,q)=(\sigma_3,0)$$

隨著軸差應力增加，路徑向右上方前進。

---

二、有效應力路徑

有效平均應力由總平均應力扣除孔隙水壓：

$$p'=p-u$$

而：

$$q'=q$$

因此在每一個試驗讀值下，將總應力路徑上的點：

$$(p,q)$$

水平移動至：

$$(p',q)=(p-u,q)$$

即可得到有效應力路徑。

若初始孔隙水壓為 $u_0$，則初始有效平均應力為：

$$p_0'=p_0-u_0$$

對不排水試驗而言，應力增量關係為：

$$\Delta p'=\Delta p-\Delta u$$

因此有效應力路徑的斜率為：

$$\frac{dp'}{dq} = \frac{1}{3}-\frac{d u}{dq}$$

有效應力路徑的方向取決於孔隙水壓變化：

• 若剪切時產生正孔隙水壓，$u$ 增加，則 $p'$ 增加量變小，路徑較偏向左上方。
• 若產生負孔隙水壓，則 $p'$ 增加量變大，路徑較偏向右上方。
• 臨界狀態附近，有效應力路徑通常趨近破壞線或臨界狀態線。

---

三、$K_r$ 線的推導

令破壞時主應力比為：

$$K_r=\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'}$$

由：

$$p'=\frac{\sigma_1'+2\sigma_3'}{3}$$ $$q=\sigma_1'-\sigma_3'$$

可令：

$$\sigma_1'=K_r\sigma_3'$$

則：

$$p'=\frac{K_r\sigma_3'+2\sigma_3'}{3} =\frac{K_r+2}{3}\sigma_3'$$

以及：

$$q=(K_r-1)\sigma_3'$$

消去 $\sigma_3'$：

$$q= \frac{3(K_r-1)}{K_r+2}p'$$

因此，$K_r$ 線為通過原點的直線：

$$\boxed{ q=\frac{3(K_r-1)}{K_r+2}p' }$$

其斜率為：

$$\eta_r=\frac{q}{p'} =\frac{3(K_r-1)}{K_r+2}$$

若以摩擦角 $\phi'$ 表示，無黏聚力時：

$$K_r=\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$$

代入後可得：

$$\eta_r=\frac{6\sin\phi'}{3-\sin\phi'}$$

核心觀念

本題考查以固結—不排水試驗（SCU，或 CU test）所得之不排水剪力強度比，估算具有指定有效覆土壓力與超固結比之黏土不排水剪力強度。

常用的 SHANSEP 關係式為

$$\frac{s_u}{\sigma'_v} = \left(\frac{s_u}{\sigma'_v}\right)_{\mathrm{NC}} \mathrm{OCR}^{m}$$

其中：

• $s_u$：不排水剪力強度；
• $\sigma'_v$：有效覆土壓力；
• $\left(s_u/\sigma'_v\right)_{\mathrm{NC}}$：正常固結黏土的不排水剪力強度比；
• $\mathrm{OCR}$：超固結比；
• $m$：由 SCU 試驗資料建立的經驗指數，黏土常取約 $0.8$。

題目給定

$$\sigma'_v=75\ \mathrm{kPa},\qquad \mathrm{OCR}=2$$

但題幹未附上 SCU 資料所得到的強度比或完整回歸式，因此數值答案須以該資料中的 $\left(s_u/\sigma'_v\right)_{\mathrm{NC}}$ 為準。

解題方法

令 SCU 資料所得的正常固結不排水剪力強度比為

$$R_{\mathrm{NC}} = \left(\frac{s_u}{\sigma'_v}\right)_{\mathrm{NC}}$$

採用常用的 $m=0.8$，則目標黏土層的不排水剪力強度比為

$$\frac{s_u}{\sigma'_v} = R_{\mathrm{NC}}(2)^{0.8}$$

因此

此題考驗對美國統一土壤分類系統 (USCS) 中，含細粒之砂土分類的理解。

USCS 系統中，以細粒含量百分比及細粒部分之塑性指數 (PI) 和液性限度 (LL) 來區分。對於含細粒的砂土 (SM, SC)，其主要成分為砂粒，細粒含量需介於 5% 至 12% (或 12% 至 35% 視乎定義)。

SM (Silty Sand) 和 SC (Clayey Sand) 的區別在於細粒部分的性質：

• SM (Silty Sand): 細粒成分以粉土 (silt) 為主。其特性為塑性指數 (PI) 小於 4，或液性限度 (LL) 小於 50，且屬於低塑性或無塑性。這表示細粒成分的黏結性較弱。

Arthur Casagrande (1902-1981) 是土壤力學領域的先驅之一，對土木工程，特別是土壤力學和基礎工程，做出了多項重要貢獻。以下列出三項他的主要貢獻：

1. 發展土壤分類系統 (Soil Classification Systems)：

   • 他對美國統一土壤分類系統 (USCS, Unified Soil Classification System) 的發展有極大的貢獻。USCS 至今仍廣泛應用於全球，是判斷土壤工程性質的基礎。
   • 他也是早期對 A-6 和 A-7 土壤 (美國農業部系統中的黏土質土壤) 的分類和研究做出貢獻者。

2. 沉陷與固結理論 (Settlement and Consolidation Theory)：

   • Casagrande 發展了固結理論，解釋了飽和黏土層在承受荷載後，孔隙水壓力消散而引起土體體積減少、產生沉陷的過程。

此題考驗對土壤力學中兩個重要概念：壓實 (Compaction) 和固結 (Consolidation) 的理解，並需能闡述其異同。

共同點 (Similarities)：

1. 體積減少 (Volume Reduction)：兩者都會導致土壤的體積減少。
2. 密度增加 (Density Increase)：體積減少的結果是土壤的密度 (單位體積的質量或固體含量) 增加。
3. 強度增加 (Strength Increase)：密度增加通常伴隨著土壤強度的提高。
4. 含水量變化 (Water Content Change)：壓實過程中，含水量會被控制；固結過程中，含水量會因排水而降低。

不同點 (Differences)：

特性	壓實 (Compaction)	固結 (Consolidation)
作用機制	主要透過機械力 (如滾壓、夯實) 將空氣從土體中擠出，使土粒排列更緊密。	主要透過孔隙水壓力的消散，使水從土體中緩慢排出，進而引起土粒間距縮小，土體體積減少。
發生條件	通常發生在非飽和土壤中，或在加水的情況下進行。	發生在飽和土壤中，且必須有排水通道，讓水能排出。

此題考驗對土壤力學中，使用落錐儀 (Fall Cone Test) 來測定細粒土壤的液性限度 (Liquid Limit, LL) 和塑性限度 (Plastic Limit, PL) 的方法。此方法是英國標準 BS 1377:1990 規範的一部分。

I. 測定液性限度 (Liquid Limit, LL)

液性限度定義為土壤由塑性狀態轉變為流動性狀態的臨界含水量。落錐儀法是透過測定不同含水量下，標準圓錐體在土壤中下沉特定深度所需的含水量來推算液性限度。

步驟：

1. 準備試樣：取約 150 克的過 425 微米篩 (No. 44 sieve) 的細粒土壤，與適量蒸餾水混合，製成均勻的泥漿狀。
2. 調整含水量：讓試樣靜置一段時間（例如 24 小時），使其含水量均勻。
3. 進行試驗：
   • 將標準落錐儀（通常為 30°、質量為 80 克的圓錐體，或 20°、質量為 40 克的圓錐體，視乎標準要求）固定在釋放裝置上。
   • 將土壤樣品放在測試皿中，並使其表面平整。
   • 釋放圓錐體，讓其自由落入土壤中。
   • 記錄圓錐體下沉的深度。
   • 重複試驗，調整試樣的含水量，使其下沉深度在 20 mm (或 1/5 inch) 左右。
4. 測定含水量：對於每一個下沉深度不同的試驗，精確量測其含水量。
5. 繪製曲線：
   • 在半對數座標紙上，以含水量為橫軸（線性尺度），以圓錐體下沉深度為縱軸（對數尺度，或反之，依標準不同），繪製數據點。
   • 數據點應落在一個近似直線的範圍內。
   • 若使用下沉深度為縱軸，則找到下沉深度為 20 mm 時對應的含水量，即為液性限度 (LL)。
   • 若使用含水量為縱軸，則找到對應於 20 mm 下沉深度的含水量。

II. 測定塑性限度 (Plastic Limit, PL)

塑性限度定義為土壤由塑性狀態轉變為半固體狀態的臨界含水量。

土壤壓實曲線 (Soil Compaction Curve) 通常是表示土壤在特定壓實能量下，其乾密度 (dry density, $\rho_d$) 與含水量 (moisture content, $w$) 之間的關係圖。壓實曲線的形狀和位置會受到多種因素影響，主要包括：

1. 土壤的種類 (Type of Soil)：

   • 顆粒組成 (Particle Size Distribution)：砂土、粉土、黏土的顆粒大小和分佈不同，影響土粒間的空隙和接觸方式，進而影響壓實效果。例如，級配良好的土壤通常比單粒徑土壤更容易壓實。
   • 礦物成分 (Mineralogy)：黏土礦物的種類（如高嶺石、蒙脫石）會影響其吸附水的能力、表面電荷和膨脹性，進而影響壓實曲線。
   • 塑性 (Plasticity)：土壤的塑性指數 (PI) 和液性限度 (LL) 是重要的指標。高塑性土壤（黏土）通常需要更高的含水量才能達到最大乾密度，且最大乾密度相對較低。

2. 含水量 (Moisture Content, $w$)：

   • 含水量是壓實曲線上的自變數。在較低的含水量下，土壤顆粒間有較多空氣，壓實時空氣被擠出，乾密度增加。
   • 當含水量接近最佳含水量 (Optimum Moisture Content, OMC) 時，水膜的潤滑作用幫助土粒滑動排列，達到最大乾密度 (Maximum Dry Density, $\rho_{d,max}$)。
   • 當含水量超過 OMC 時，水分的體積開始佔據一部分土體體積，且水的表面張力效應減弱，使得土粒更難緊密排列，乾密度反而開始下降。

此題考驗對滲流理論中，落水儀法 (Falling Head Permeability Test) 的理解，以及如何由試驗過程推導滲透係數的計算公式。

落水儀法 (Falling Head Permeability Test) 的描述：

落水儀法是一種測定低滲透性土壤（如黏土、粉土）滲透係數的方法。其基本原理是測量在一定時間內，通過土壤試樣的滲流量與其水頭差的關係。與定水頭法 (Constant Head Permeability Test) 不同的是，落水儀法使用一個細長的壓力管（水頭管）與試樣連接，水頭會隨著滲流而逐漸下降，因此稱為落水儀法。

試驗裝置與步驟：

1. 裝置：試驗裝置包含一個圓柱形試樣筒，其中放入待測的土壤試樣（通常為重塑土或原狀土樣），並確保試樣周圍無漏水。試樣筒的上、下端分別與進水和出水端連接。壓力管（水頭管）連接到試樣的上部，其內徑較小，以確保水頭能明顯下降。
2. 飽和：試樣在試驗前需完全飽和，以確保土壤中的孔隙充滿水，並排除空氣。
3. 進行試驗：
   • 將水頭管內的水位調整到某一初始高度 $h_1$。
   • 同時開始計時，並記錄水頭從 $h_1$ 下降到某一最終高度 $h_2$ 所需的時間 $t$。
   • 在整個過程中，土壤試樣上下部的壓力差（水頭差）是逐漸變小的。

滲透係數計算公式的推導：

假設：

• 土壤試樣的長度（或厚度）為 $L$。
• 土壤試樣的橫截面積為 $A$。
• 水頭管的橫截面積為 $a$。
• 在時間 $t$ 內，水頭從 $h_1$ 下降到 $h_2$。
• 土壤的滲透係數為 $k$。

根據達西定律 (Darcy's Law)，在極短時間 $dt$ 內，通過試樣的滲流量 $dQ$ 為：
$dQ = k \cdot A \cdot \frac{h}{L} dt$
其中 $h$ 是在時間 $t$ 時的瞬時水頭差。

同時，在時間 $dt$ 內，水頭管內水位下降 $dh$ 所對應的體積變化為：
$dQ = a \cdot (-dh)$
注意：水的流動方向是從高水頭流向低水頭，因此當 $h$ 減少時，$dh$ 為負值，但 $dQ$ 代表流出的體積，故取正值；或者我們直接考慮水頭的變化率。這裡我們將 $dh$ 理解為水頭的變化量，如果 $h$ 在下降，則 $dh$ 是負值。

將上述兩個 $dQ$ 的表達式聯立：
$k \cdot A \cdot \frac{h}{L} dt = a \cdot (-dh)$

核心觀念

本題利用流網（flow net）分析壩體下方的二維滲流，所需公式如下：

• 流量公式：

$$q=kH\frac{N_f}{N_d}$$

其中：

• $q$：每公尺壩寬的滲流量

• $k$：土壤滲透係數

• $H$：上下游總水頭差

• $N_f$：流道數

• $N_d$：等勢降數

• 每一等勢降的水頭損失：

$$\Delta h=\frac{H}{N_d}$$

壩底孔隙水壓可用壓力水頭表示：

$$u=\gamma_w h_p$$

其中 $h_p$ 為相對下游水面的壓力水頭。

---

一、流網參數判讀

由 Fig. 1 可數得：

$$N_f=5,\qquad N_d=10$$

上下游水位差為：

$$H=10\ \text{m}$$

滲透係數：

$$k=3\times10^{-3}\ \text{cm/s} =3\times10^{-5}\ \text{m/s}$$

每一等勢降的水頭損失為：

$$\Delta h=\frac{10}{10}=1\ \text{m}$$

---

（1）每公尺壩厚的滲流量

套用流網公式：

$$q=kH\frac{N_f}{N_d}$$ $$q=(3\times10^{-5})(10)\frac{5}{10}$$

因此：

$$\boxed{q=1.50\times10^{-4}\ \text{m}^3/(\text{s}\cdot\text{m})}$$

亦可寫成：

$$\boxed{q=0.15\ \text{L}/(\text{s}\cdot\text{m})}$$

---

（2）壩底壓力水頭分布

以下游水面為壓力水頭零點，每通過一個等勢降，壓力水頭降低 $1\ \text{m}$。

由流網判讀壩底各主要位置：

壩底位置	壓力水頭 $h_p$
$D$	$10\ \text{m}$
$F$	$8\ \text{m}$
$G$	$2\ \text{m}$
下游端 $E$	$0\ \text{m}$

因此壩底壓力水頭分布可用下列折線表示：

$$D(0,\ 10),\quad F(3.34,\ 8),\quad G(21.66,\ 2),\quad E(25.00,\ 0)$$

壩底各點的孔隙水壓為：

$$u=\gamma_w h_p$$

核心觀念

本題考查正常固結黏土受均勻附加應力後的主固結沉陷。黏土為正常固結，因此附加應力使應力狀態沿原始壓縮曲線進入正常壓縮段，使用壓縮指數 $C_c$：

$$S_c=\frac{C_cH_c}{1+e_0} \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{v0}+\Delta\sigma}{\sigma'_{v0}}\right)$$

其中 $\sigma'_{v0}$ 為黏土層中央的初始有效垂直應力。因附加載重為大範圍均勻載重，可取黏土層內 $\Delta\sigma=105\ \text{kPa}$。

初始有效應力

依圖中資料，$H_1$ 為地表至地下水位深度，$H_2$ 為地下水位至黏土頂面厚度，$H_3$ 為黏土厚度。

取 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$。

砂土乾單位重：

$$\gamma_{d,s} =\frac{G_s\gamma_w}{1+e} =\frac{2.67(9.81)}{1+0.58} =16.58\ \text{kN/m}^3$$

砂土飽和單位重及浮單位重：

$$\gamma_{sat,s} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.67+0.58}{1.58}(9.81) =20.18\ \text{kN/m}^3$$ $$\gamma'_s=\gamma_{sat,s}-\gamma_w =20.18-9.81 =10.37\ \text{kN/m}^3$$

黏土飽和單位重及浮單位重：

$$\gamma_{sat,c} =\frac{G_s+e_0}{1+e_0}\gamma_w =\frac{2.71+1.08}{2.08}(9.81) =17.87\ \text{kN/m}^3$$

此題考驗對土壤固結時間計算的理解，特別是利用小尺寸試驗結果來推算現場大尺寸土層的固結時間。

【題組共用題幹】 (來自圖 2 說明)

• 砂土層：厚度 $H_{sand}$，孔隙比 $e_{sand} = 0.58$，土粒比重 $G_{s,sand} = 2.67$。
• 黏土層：厚度 $H_{clay}$，孔隙比 $e_{clay} = 0.108$，土粒比重 $G_{s,clay} = 2.71$。
• 岩石層：不滲透。
• 地下水位 (GWT)：位於砂土層中。

題目數據：

• 實驗室試樣：厚度 $h_{lab} = 2.5 \text{ cm}$，達到 90% 平均固結度 ($U=90\%$) 所需時間 $t_{lab} = 26.5 \text{ minutes}$。
• 現場土層 (圖 2)：黏土層厚度 $H_{clay} = H_2 = 4.4 \text{ m}$。
• 目標：計算現場黏土層達到相同平均固結度 ($U=90\%$) 所需時間 $t_{field}$。

解題步驟：

1. 理解固結時間與土層厚度的關係：

   • 固結時間 ($t$) 與土層厚度 ($H$) 和固結係數 ($C_v$) 有關。
   • 平均固結度 ($U$) 與無因次時間因子 ($T_v$) 相關：$T_v = \frac{C_v t}{H^2}$。
   • 對於相同的固結度 $U$，$T_v$ 值是相同的。因此，$t \propto \frac{H^2}{C_v}$。

2. 確定現場土層的排水條件：

   • 圖 2 顯示黏土層夾在砂土層和岩石層之間。
   • 砂土層的滲透性遠大於黏土層，岩石層通常被視為不滲透。
   • 因此，黏土層的排水只能從單一方向進行，即向上排向砂土層。這稱為單面排水 (Single Drainage)。
   • 現場黏土層的有效排水厚度 $H_{field} = H_{clay} = 4.4 \text{ m}$。

3. 確定實驗室試樣的排水條件：

   • 實驗室試樣的厚度為 2.5 cm。通常，實驗室的固結試驗會將試樣放置在兩個壓力板之間，使其可以從上下兩個方向排水。這稱為雙面排水 (Double Drainage)。
   • 實驗室試樣的有效排水厚度 $H_{lab} = \frac{\text{試樣總厚度}}{2} = \frac{2.5 \text{ cm}}{2} = 1.25 \text{ cm}$。

4. 查找 $T_v$ 值：

   • 對於 $U = 90\%$，在 $T_v$ 表格或圖表中，可以查到對應的 $T_v$ 值。
   • 當 $U \ge 50\%$ 時，可以使用近似公式 $T_v \approx -0.933 \log_{10}(1-U) + 0.857$ 或查表。
   • 對於 $U = 90\% = 0.9$，查表可得 $T_{v,90\%} \approx 0.848$。

5. 計算現場土層和實驗室試樣的固結係數 $C_v$：

   • 從實驗室試驗數據，我們可以計算出黏土的固結係數 $C_{v,clay}$。
   • $T_{v,lab} = \frac{C_{v,clay} t_{lab}}{H_{lab}^2}$
   • $0.848 = \frac{C_{v,clay} \times 26.5 \text{ min}}{(1.25 \text{ cm})^2}$
   • $C_{v,clay} = \frac{0.848 \times (1.25 \text{ cm})^2}{26.5 \text{ min}} = \frac{0.848 \times 1.5625 \text{ cm}^2}{26.5 \text{ min}} \approx \frac{1.325}{26.5} \approx 0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}$。

6. 計算現場土層達到相同固結度的時間 $t_{field}$：

   • 現場土層的排水條件為單面排水，其有效排水厚度 $H_{field} = 4.4 \text{ m} = 440 \text{ cm}$。
   • 現場土層的固結係數 $C_{v,field}$ 與實驗室試樣的 $C_{v,clay}$ 相同，即 $C_{v,field} = C_{v,clay} \approx 0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}$。
   • $T_{v,field} = \frac{C_{v,field} t_{field}}{H_{field}^2}$
   • 由於 $U=90\%$，所以 $T_{v,field} = T_{v,90\%} = 0.848$。
   • $0.848 = \frac{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min} \times t_{field}}{(440 \text{ cm})^2}$
   • $t_{field} = \frac{0.848 \times (440 \text{ cm})^2}{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}}$
   • $t_{field} = \frac{0.848 \times 193600 \text{ cm}^2}{0.0499 \text{ cm}^2/\text{min}}$