113 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

本題為簡答題，主要測試考生對土壤基本分類及工程性質的掌握程度。

一、

1. 三大主要黏土礦物及其在 USCS 分類中的可能符號：

   • 伊利石 (Illite)：在 USCS 分類中，純黏土礦物通常歸類為 ML (Silty soils, fine-grained soils with slight plasticity) 或 MH (Silty soils, fine-grained soils with high plasticity)。若為黏土，則可能為 CL (Clay, low plasticity) 或 CH (Clay, high plasticity)，但 USCS 主要根據顆粒分析和塑性指數來分類，而非直接依礦物成分。然而，伊利石常與其他黏土礦物混合存在，或與粉土混合，故其對應的 USCS 分類會較為廣泛。
   • 蒙脫石 (Montmorillonite)：因其極高的膨脹潛能和高塑性，通常歸類為 CH (Clay, high plasticity)。
   • 高嶺石 (Kaolinite)：塑性較低，通常歸類為 CL (Clay, low plasticity)。

   總結：

   • 伊利石 (Illite): CL, CH, ML, MH (視混合物而定)
   • 蒙脫石 (Montmorillonite): CH
   • 高嶺石 (Kaolinite): CL

2. 土壤的工程性質比較：

   工程性質	顆粒土 (Granular Soils)	黏性土 (Cohesive Soils)
   主要組成	砂、礫石等，顆粒直徑較大，無黏聚力。

核心觀念

本題考查三個基本觀念：

1. Bernoulli 方程式與總水頭

   飽和土中忽略速度水頭時，總水頭為

   $h=z+\frac{u}{\gamma_w}$

   其中 $z$ 為高程、$u/\gamma_w$ 為壓力水頭。

2. 有效應力原理

   $\sigma_v'=\sigma_v-u$

3. 向上滲流對有效應力的影響

   向上滲流會增加孔隙水壓，使有效應力降低；當有效應力降為零時，即達到臨界水力梯度，產生 quicksand 狀態。

---

一、向上滲流下有效垂直應力增量

取土柱中相距 $\Delta z$ 的兩個位置：

• 上方位置：高程為 $z$，應力為 $\sigma_v$，總水頭為 $h$，孔隙水壓為 $u$
• 下方位置：高程為 $z-\Delta z$，應力為 $\sigma_v+\Delta\sigma_v$，總水頭為 $h+\Delta h$，孔隙水壓為 $u+\Delta u$

由 Bernoulli 方程式：

$h=z+\frac{u}{\gamma_w}$

下方位置的總水頭為

$h+\Delta h=(z-\Delta z)+\frac{u+\Delta u}{\gamma_w}$

將上方位置的式子相減：

$\Delta h=-\Delta z+\frac{\Delta u}{\gamma_w}$

因此，

$\Delta u=\gamma_w(\Delta h+\Delta z)$

向上滲流時，水流由下往上，總水頭沿向上方向降低。因此以本題「下方減上方」的定義表示，向上水力梯度為

$i=\frac{\Delta h}{\Delta z}$

故

$\Delta h=i\Delta z$

代入孔隙水壓增量式：

$\Delta u=\gamma_w(1+i)\Delta z$

對厚度為 $\Delta z$ 的飽和土層進行垂直方向力平衡，土層自重造成的總垂直應力增量為

$\Delta\sigma_v=\gamma_{\text{sat}}\Delta z$

依有效應力原理，

$$\Delta\sigma_v' =(\sigma_v+\Delta\sigma_v-u-\Delta u)-(\sigma_v-u)$$

所以

$\Delta\sigma_v'=\Delta\sigma_v-\Delta u$

代入前述兩式：

$$\Delta\sigma_v' =\gamma_{\text{sat}}\Delta z-\gamma_w(1+i)\Delta z$$

由

本題組主要探討土壤的壓縮性，包含彈性沉陷、固結沉陷以及改善固結的工法。

三、

1. 計算承受垂直載荷之基礎的彈性沉陷時應考慮的主要因素：

   彈性沉陷（Elastic Settlement）是指土壤在載荷作用下，由於顆粒的微小變形和重排，以及土體整體的彈性變形而引起的瞬時沉陷。計算彈性沉陷時，主要考慮以下因素：

   • 基礎的幾何特性：基礎的形狀（如圓形、方形、條形）、尺寸（寬度、長度、厚度）以及基礎與地面的接觸壓力分佈。
   • 土體的彈性參數：
     • 楊氏模數 (Young's Modulus, $E$)：表示土體在應力作用下的變形能力。對於非均質土體，可能需要採用不同深度的平均模數或隨深度變化的模數。
     • 蒲松比 (Poisson's Ratio, $\nu$)：表示土體在單軸應力作用下，側向應變與軸向應變之比。
   • 載荷的性質與分佈：基礎承受的垂直載荷大小、均勻性、以及載荷在基礎底面上的壓力分佈情況。
   • 土層的均質性與均向性：假設土層是均質且均向的（各向同性），則計算較為簡便。若土層為非均質或非均向性，則計算複雜度增加，可能需要採用數值分析方法。
   • 土層的深度與邊界條件：若土層深度有限，則邊界條件（如底部是否為剛性基岩）會影響沉陷計算。對於無限深土層，則無此限制。
   • 載荷的持續時間：彈性沉陷通常是瞬時發生的，與載荷施加的時間關係不大，但對於黏性土，長時間載荷下可能伴隨固結沉陷。

   【答案】計算基礎彈性沉陷時應考慮的主要因素包括：基礎的幾何特性、土體的彈性參數（楊氏模數 $E$ 及蒲松比 $\nu$）、載荷的性質與分佈、土層的均質性與均向性，以及土層的深度與邊界條件。

2. 預測固結沉陷量：

   核心觀念：土體固結沉陷是由於土體中的孔隙水在超額孔隙水壓力作用下，緩慢地排出，導致土體體積縮小而產生的沉陷。其沉陷量與初始有效應力、最終有效應力、土體的壓縮性參數（壓縮指數 $C_c$ 或壓縮係數 $a_v$）以及土層厚度有關。

   已知條件：

   • 初始垂直有效應力：$\sigma_{vo}'$
   • 壓縮指數：$C_c$
   • 膨脹指數：$C_s$
   • 超載比 (Overconsolidation Ratio, OCR)：$OCR = 2$
   • 初始孔隙比：$e_o$
   • 土層厚度：$H$
   • 最終垂直有效應力：$\sigma_{vf}' = 3 \sigma_{vo}'$

   解題步驟：

   首先，確定土體屬於正常壓密（NC）還是超壓密（OC）狀態。
   由 $OCR = 2$ 可知，該黏土層處於超壓密狀態。
   在超壓密土中，若施加的最終應力 $\sigma_{vf}'$ 小於或等於壓力達到正常壓密所需的應力 $\sigma_{pc}'$（即 $OCR \cdot \sigma_{vo}'$），則沉陷主要由膨脹指數 $C_s$ 控制（此時土體行為類似於卸載）。
   若施加的最終應力 $\sigma_{vf}'$ 大於 $\sigma_{pc}'$，則沉陷計算需要分兩階段進行：
   (a) 在 $\sigma_{vo}'$ 到 $\sigma_{pc}'$ 之間，土體行為類似於膨脹/卸載，由 $C_s$ 控制。
   (b) 在 $\sigma_{pc}'$ 到 $\sigma_{vf}'$ 之間，土體達到正常壓密狀態，由 $C_c$ 控制。

   由題意，$\sigma_{vf}' = 3 \sigma_{vo}'$。
   而 $\sigma_{pc}' = OCR \cdot \sigma_{vo}' = 2 \sigma_{vo}'$。
   由於 $\sigma_{vf}' = 3 \sigma_{vo}' > \sigma_{pc}' = 2 \sigma_{vo}'$，因此土體將經歷超壓密階段（先略微膨脹，但由於最終應力大於初始應力，實際上是應力增加，但最初階段的應力增加量可能小於 OCR 點）和正常壓密階段。
   注意：嚴格來說，當應力增加時，即使 OCR > 1，土體最初階段的壓縮行為還是會受 OCR 影響。但通常採用分段線性公式時，會將 $\sigma_{pc}'$ 作為一個關鍵點。

   固結沉陷量公式：
   標準的固結沉陷量公式（對於正常壓密土）為：
   $S_c = \frac{C_c H}{1+e_o} \log_{10} \frac{\sigma_{vf}'}{\sigma_{vo}'}$
   對於超壓密土，若最終應力 $\sigma_{vf}' \le \sigma_{pc}'$：

本題組主要探討原位應力、孔隙水壓參數以及剪力強度，涵蓋了 Skempton 孔隙水壓參數、Ladd 等人的經驗公式估算不排水剪力強度，以及 Lambe 的應力路徑參數與 Mohr-Coulomb 破壞準則的轉換。

四、

1. 定義 Skempton (1954) 的孔隙水壓參數及其在破壞時的數值範圍：

   核心觀念：Skempton (1954) 提出了兩個參數 $A$ 和 $B$，用以描述在應力變化時，飽和土體中孔隙水壓力的變化行為。參數 $B$ 代表孔隙水壓力對總應力變化的響應，而參數 $A$ 則代表有效應力對總應力變化的響應。

   參數定義：
   對於總應力的小幅度變化 $\Delta\sigma_1$ 和 $\Delta\sigma_3$（分別為最大和最小總主應力），孔隙水壓力 $\Delta u$ 的變化可以表示為：
   $\Delta u = B \left[ \Delta\sigma_3 + A (\Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3) \right]$

   • 參數 $B$ (Pore Pressure Parameter B)：
     定義為孔隙水壓力變化與外加總應力變化的比值，假設土體骨架變形較小（例如，在三軸試驗的初始階段或對於非常飽和的土）。
     $B = \frac{\Delta u}{\Delta\sigma_3}$ （當 $\Delta\sigma_1 = \Delta\sigma_3$ 時，即全圍壓力變化，土體骨架變形很小）。

     • 數值範圍：對於完全飽和的土體，其骨架變形引起的孔隙體積變化很小，水的體積模數較大，因此 $\Delta u$ 會接近於外加總應力變化 $\Delta\sigma_3$。理論上，對於完全飽和土， $B=1$。
     • 在實際情況中，若土體飽和度不高，則 $B < 1$。例如，部分飽和的土，其骨架會發生較大變形，導致孔隙水壓力變化不大。

   • 參數 $A$ (Pore Pressure Parameter A)：
     定義為有效應力變化與總應力變化之間的關係。它反映了土體骨架的壓縮性對孔隙水壓力的影響。
     $\Delta u = B \Delta\sigma_3 + B A (\Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3)$
     $\Delta u = B \Delta\sigma_3 + BA \Delta\sigma_d$ (其中 $\Delta\sigma_d = \Delta\sigma_1 - \Delta\sigma_3$ 是圍壓差或偏差應力變化)。
     $A$ 的數值取決於土體的類型和應力狀態。

   $A$ 在破壞時的數值範圍：
   Skempton 指出，參數 $A$ 在破壞時的值（記為 $A_f$）與土體的類型和固結狀態有關：

   • 正常壓密黏土 (Normally Consolidated Clay)：
     在剪切過程中，總應力增加，孔隙水壓力也顯著增加，有效應力可能先略微上升後下降。破壞時，孔隙水壓力通常很高。
     $A_f$ 的值通常較高，範圍約為 0.5 到 1.2。
     對於高塑性黏土，破壞時的孔隙水壓力甚至可能超過總應力，導致有效應力變為負值，此時 $A_f > 1$。
   • 超壓密黏土 (Overconsolidated Clay)：
     在剪切過程中，由於土體骨架較為疏鬆，初始應力增加時，孔隙水壓力可能先略微上升，但隨著應力升高，土體骨架收縮，孔隙水壓力會顯著下降（有效應力上升），甚至可能出現負孔隙水壓力。
     $A_f$ 的值通常較低，範圍約為 0.2 到 0.7。
     對於非常強的超壓密黏土，破壞時的孔隙水壓力變化可能很小，甚至為負，此時 $A_f$ 可能接近於零或為負值（但 Skempton 的範圍通常為正值）。

   總結：

   • $B$ 參數：理論上，完全飽和土 $B=1$。
   • $A$ 參數（破壞時 $A_f$）：
     • 正常壓密黏土：$0.5 \le A_f \le 1.2$
     • 超壓密黏土：$0.2 \le A_f \le 0.7$

   【答案】
   Skempton (1954) 的孔隙水壓參數 $B$ 和 $A$。參數 $B$ 代表孔隙水壓力變化對總應力變化的響應，對於完全飽和土，$B=1$。參數 $A$ 反映了有效應力變化與總應力變化的關係。在破壞時，參數 $A_f$ 的數值範圍為：正常壓密黏土為 $0.5 \le A_f \le 1.2$；超壓密黏土為 $0.2 \le A_f \le 0.7$。

2. 利用 Ladd 等人 (1977) 的經驗相關性估算不排水剪力強度 ($S_u$)：

   核心觀念：Ladd 等人 (1977) 提出了一個經驗公式，用於估算飽和、非塑性粉土質黏土（non-plastic silty clay）的不排水剪力強度 $S_u$，該公式與超載比 (OCR) 和有效圍壓 (effective overburden stress) 有關。題目中也給出了正常壓密黏土 (NC clay) 的 Skempton (1957) 公式作為參考。

   已知條件：

   • 土體類型：飽和、非塑性粉土質黏土 (saturated, non-plastic silty clay)。
   • 超載比 (OCR)：$OCR = 3$。
   • 有效圍壓 (Effective overburden stress, $\sigma_v'$ 或 $\sigma_p'$ 或 $\sigma_{oct}'$)：100 kPa。
   • 參考公式 (Skempton, 1957, for NC clay)：$S_u/\sigma_v' = 0.11+0.0037(PI)$。
     • 注意：此參考公式適用於正常壓密黏土，且 $PI$ 是塑性指數 (Plasticity Index)。題目中的土是「非塑性粉土質黏土」，這表示其塑性指數 $PI=0$。

   Ladd et al. (1977) 的經驗公式：
   Ladd 等人的研究指出，對於飽和的、非塑性的粉土質黏土（non-plastic silty clay），其不排水剪力強度 $S_u$ 與 OCR 和有效圍壓 $\sigma_v'$ 的關係可以近似為：
   $S_u = c \cdot \sigma_v' \cdot (OCR)^n$
   其中，$c$ 和 $n$ 是與土體性質相關的常數。
   對於非塑性粉土質黏土，Ladd 等人建議使用 $c \approx 0.25$ 和 $n \approx 0.8$。