113 年 國立成功大學土木工程系碩士班丁組《材料力學》

核心觀念

本題評量圓截面軸在「彈完全塑性材料（Elastic, Perfectly Plastic Material）」模型下的扭轉降伏與彈塑性變形行為，主要涵蓋以下觀念與公式：

1. 應力－應變關係（剪切虎克定律與完全塑性）：

   • 剪力模數（Shear Modulus）：
     $G = \frac{\tau_y}{\gamma_y}$
   • 當 $\gamma \le \gamma_y$ 時，$\tau = G\gamma$（彈性階段）。
   • 當 $\gamma > \gamma_y$ 時，$\tau = \tau_y$（塑性流動階段）。

2. 圓軸扭轉之運動學條件（幾何變形）：
   圓截面軸受純扭矩作用時，截面保持平面且圓半徑仍保持直線，剪應變隨距截面中心之徑向距離 $\rho$ 成線性正比：
   $\gamma = \rho \frac{\phi}{L} = \rho \theta$
   其中 $\phi$ 為總扭轉角，$L$ 為長度，$\theta = \frac{\phi}{L}$ 為單位長度扭轉角。

3. 受力階段之界定：

   • 起始降伏扭矩（Elastic Limit Torque, $T_Y$）：外緣恰達到降伏應力 $\tau_y$ 時之扭矩：
     $T_Y = \frac{\tau_y J}{c} = \frac{\pi}{2} \tau_y c^3$
   • 全塑性極限扭矩（Plastic Torque, $T_p$）：截面完全降伏時之極限扭矩：
     $T_p = \frac{4}{3} T_Y = \frac{2\pi}{3} \tau_y c^3$

4. 彈塑性扭矩平衡公式：
   當外加扭矩 $T_Y < T < T_p$ 時，截面內層為彈性核（半徑為 $\rho_Y$），外層為塑性環（$\rho_Y \le \rho \le c$）。總扭矩為彈性核心與塑性環抵抗扭矩之和：
   $T = T_e + T_p' = \frac{\pi}{2}\tau_y \rho_Y^3 + \int_{\rho_Y}^c \tau_y (2\pi\rho\,d\rho)\rho = \frac{4}{3}T_Y \left[ 1 - \frac{1}{4}\left(\frac{\rho_Y}{c}\right)^3 \right]$

5. 扭轉角與彈性核心半徑之關係：
   在彈性核心邊界處（$\rho = \rho_Y$），材料剪應變恰好達到降伏剪應變 $\gamma_y$：
   $\gamma_y = \rho_Y \frac{\phi}{L} \implies \phi = \frac{\gamma_y L}{\rho_Y}$

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解題方法

步驟 1：整理題意已知參數並求起始降伏扭矩與極限扭矩

• 軸半徑：$c = \frac{d}{2} = \frac{50\text{ mm}}{2} = 25\text{ mm} = 0.025\text{ m}$
• 軸長度：$L = 4\text{ m}$
• 降伏剪應力：$\tau_y = 124\text{ MPa} = 124 \times 10^6\text{ Pa}$
• 降伏剪應變：$\gamma_y = 0.0016\text{ rad}$
• 外加扭矩：$T = 4.0\text{ kN}\cdot\text{m} = 4000\text{ N}\cdot\text{m}$

計算起始降伏扭矩 $T_Y$：
$T_Y = \frac{\pi}{2}\tau_y c^3 = \frac{\pi}{2} \times (124 \times 10^6) \times (0.025)^3 = 968.75\pi\text{ N}\cdot\text{m} \approx 3043.42\text{ N}\cdot\text{m} = 3.043\text{ kN}\cdot\text{m}$

計算全塑性極限扭矩 $T_p$：
$T_p = \frac{4}{3}T_Y = \frac{4}{3} \times (968.75\pi) = \frac{3875\pi}{3}\text{ N}\cdot\text{m} \approx 4057.89\text{ N}\cdot\text{m} = 4.058\text{ kN}\cdot\text{m}$

步驟 2：判斷截面受力狀態

由於：
$T_Y = 3.043\text{ kN}\cdot\text{m} < T = 4.0\text{ kN}\cdot\text{m} < T_p = 4.058\text{ kN}\cdot\text{m}$

核心觀念

本題評估膠合木梁（Glulam Beam）在受彎曲與剪力作用下的結構承載能力，主要涉及兩個材料力學的核心理論：

1. 梁的純彎曲常態應力公式（Flexure Formula）：

   $$\sigma = \frac{M y}{I}$$

   最大彎曲應力發生在離中性軸最遠的上下邊緣（$y = \pm c$）：

   $$\sigma_{\max} = \frac{M}{S}$$

   其中 $S = \frac{I}{c} = \frac{b h^2}{6}$ 為斷面模數（Section Modulus）。由於膠合接縫無滑動（No slip at glue joints），梁在彎曲時符合尤拉－伯努利梁假設（平面保持平面），整體梁表現為完整單一斷面。

2. 橫向剪應力公式（Shear Formula）：

   $$\tau = \frac{V Q}{I b}$$

   其中：

   • $V$ 為斷面承受之剪力。
   • $I$ 為整個斷面對於中性軸（Neutral Axis, NA）的慣性矩。
   • $b$ 為計算剪應力處的斷面寬度。
   • $Q$ 為欲求剪應力之水平截面以外面積對中性軸的一次矩（First Moment of Area），定義為：
   $$Q = A' \bar{y}'$$

   膠合木梁通常由多層木板以膠水拼接，剪力破壞常取決於膠合接縫（Glue joints）的耐剪強度。膠合接縫處所受的剪應力愈大，該梁容許承受的剪力就愈低。

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解題方法

1. 幾何尺寸與斷面性質

由題圖可知兩根梁的外形總尺寸完全相同：

• 寬度 $b = 100\text{ mm}$。
• 總高度 $h = 25 + 100 + 25 = 150\text{ mm}$（梁 $a$）$= 50 + 50 + 50 = 150\text{ mm}$（梁 $b$）。
• 兩者中性軸皆位於斷面正中央（離底面及頂面皆為 $75\text{ mm}$ 處，取中性軸為 $y = 0$）。

整體斷面對中性軸的慣性矩：

$$I = \frac{1}{12} b h^3 = \frac{1}{12} (100)(150)^3 = 28.125 \times 10^6\text{ mm}^4$$

斷面模數：

$$S = \frac{1}{6} b h^2 = \frac{1}{6} (100)(150)^2 = 3.75 \times 10^5\text{ mm}^3$$

2. 彎矩強度（Bending Strength）比較

由彎曲應力公式：

$$M_{\text{allow}} = \sigma_{\text{allow}} \cdot S$$

因兩根梁的斷面形狀、總尺寸皆相同，且材料的容許彎曲應力 $\sigma$ 相同，故兩者的容許彎矩能力完全相同：

$$M_{\text{allow}, a} = M_{\text{allow}, b}$$

在彎矩強度上，梁 $a$ 與梁 $b$ 平手。

3. 剪力強度（Shear Strength at Glue Joints）比較

兩根梁的膠合接縫位置不同：

• 梁 $a$：膠合接縫位於離中性軸 $y = \pm 50\text{ mm}$ 處（頂層木板厚 $25\text{ mm}$，區間為 $y = 50\text{ mm} \sim 75\text{ mm}$）。
  接縫外側面積的一次矩 $Q_a$ 為： $$A'_a = 100\text{ mm} \times 25\text{ mm} = 2,500\text{ mm}^2$$ 外側面積形心至中性軸距離： $$\bar{y}'_a = 50 + \frac{25}{2} = 62.5\text{ mm}$$

核心觀念

本題旨在評量三維應力轉換（3D Stress Transformation）、**主應力（Principal Stresses）以及三向莫耳圓（3D Mohr's Circle）**之應用：

1. 主平面與主應力定義：凡剪應力為零之平面稱為主平面，其法向應力即為主應力。若微小元素某一平面上無剪應力，則該軸向直接為主軸。
2. 面內主應力（In-plane Principal Stresses）：
   $\sigma_{A, B} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
3. 三維主應力排序與絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）：
   將三個主應力由大至小排列為 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$，則三維空間中的絕對最大剪應力為最大與最小主應力差的一半：
   $\tau_{\text{abs, max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
4. 剪應力之極小值定義：
   • 物理量大小（Magnitude）：在任意截面上，剪應力大小的絕對最小值為 $0$（發生於三個主應力平面上）。
   • 三向極值剪應力（Principal Shear Stresses）：三組互相垂直之 $45^\circ$ 最大剪應力平面中，數值最小者為 $\tau_{23} = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{2}$。
   • 代數數值（Signed Value）：若計入符號，代數最小值為 $-\tau_{\text{abs, max}}$。

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解題方法

步驟一：判讀應力元素（Stress Element）之應力分量

由題目圖形之微小應力元素可明確讀出：

• $x$ 軸方向：受到向外拉伸之法向應力，$\sigma_x = 16\text{ ksi}$（拉應力為正）。
• $y$ 軸方向：受到向外拉伸之法向應力，$\sigma_y = 8\text{ ksi}$（拉應力為正）。
• $z$ 軸方向：箭頭指向元素內部，$\sigma_z = -2\text{ ksi}$（壓應力為負）。
• 剪應力分量：
  • 正 $x$ 面上的剪應力箭頭朝下（$-y$ 方向），正 $y$ 面上的剪應力箭頭朝左（$-x$ 方向），故剪應力大小為 $4\text{ ksi}$（依材料力學符號慣例，$\tau_{xy} = -4\text{ ksi}$）。
  • $z$ 軸方向的各面上均無任何剪應力，即 $\tau_{yz} = 0$、$\tau_{zx} = 0$。

步驟二：求取三向主應力（$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$）

由於 $z$ 平面上之剪應力皆為零，故 $z$ 軸即為其中一個主應力軸，直接對應一個主應力：
$\sigma_C = \sigma_z = -2\text{ ksi}$

其餘兩個主應力由 $xy$ 平面之面內應力轉換求得：
平均正應力：
$\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{16 + 8}{2} = 12\text{ ksi}$

面內莫耳圓半徑（最大面內剪應力）：
$R_{xy} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{16 - 8}{2}\right)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4^2 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ ksi} \approx 5.66\text{ ksi}$

因此，$xy$ 平面內的主應力為：
$\sigma_A = 12 + 4\sqrt{2} \approx 17.66\text{ ksi}$
$\sigma_B = 12 - 4\sqrt{2} \approx 6.34\text{ ksi}$

核心觀念

本題旨在考驗彈性穩定性分析（Elastic Stability Analysis）中的歐拉柱挫屈（Euler Buckling）特徵方程式推導。
核心觀念與理論依據包含：

1. 歐拉－伯努利梁柱理論（Euler-Bernoulli Column Theory）：在大軸向壓力 $P$ 作用下，柱發生側向挫屈微小位移 $v(x)$ 時的四階或二階微分控制方程式。
2. 非側移柱邊界條件（Boundary Conditions of Non-sway Column）：兩端側向位移皆受約束，即 $v(0) = 0$ 且 $v(L) = 0$。
3. 旋轉彈簧之束制平衡（Rotational Spring Restraint）：在支承端 $B$ 裝設旋轉彈簧（勁度為 $\beta_R$），該端轉角 $\theta_B = v'(L)$ 會引發彈簧之抵抗力矩 $M_B = \beta_R \theta_B$，形成力矩與轉角的邊界平衡方程式。
4. 挫屈特徵方程式（Eigenvalue / Buckling Equation）：利用齊次線性方程組存在非平凡解（Non-trivial solution，即 $v(x) \neq 0$）的條件，令其係數行列式為零，即可解出臨界挫屈載重 $P_{cr}$ 所滿足的超越方程式（Transcendental equation）。

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解題方法

1. 幾何與力學模型定義

• 柱長度為 $L$，撓曲剛度為 $EI$（常數），受軸向壓力 $P$。
• 建立坐標系：以支承 $A$ 為原點 $x = 0$，支承 $B$ 為 $x = L$；$v(x)$ 為側向撓度。
• 題意為非側移柱（non-sideway column），$A$ 端依工程力學常態為鉸支承（pinned support），$B$ 端為帶有旋轉彈簧的滾界／鉸支承。

2. 微分控制方程式與通解

根據彈性挫屈理論，梁柱之四階控制微分方程式為：

$$EI \frac{d^4 v}{dx^4} + P \frac{d^2 v}{dx^2} = 0$$

定義特徵參數 $k$：

$$k = \sqrt{\frac{P}{EI}} \quad \left( P = EI k^2 \right)$$

方程式化為：

$$v''''(x) + k^2 v''(x) = 0$$

其通解形式為：

$$v(x) = C_1 \sin(kx) + C_2 \cos(kx) + C_3 x + C_4$$

其各階導數分別為：

$$v'(x) = k C_1 \cos(kx) - k C_2 \sin(kx) + C_3$$ $$v''(x) = -k^2 C_1 \sin(kx) - k^2 C_2 \cos(kx)$$

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3. 代入邊界條件（Boundary Conditions）

條件一：支承 $A$（$x = 0$）為無側移鉸支承

1. 側向無位移：

$$v(0) = 0 \implies C_2 + C_4 = 0$$

2. 鉸接無彎矩約束（$M(0) = 0$）：

$$v''(0) = 0 \implies -k^2 C_2 = 0 \implies C_2 = 0$$

因 $C_2 = 0$，代入 $v(0) = 0$ 可得：

$$C_4 = 0$$

此時撓度方程式簡化為：

$$v(x) = C_1 \sin(kx) + C_3 x$$ $$v'(x) = k C_1 \cos(kx) + C_3$$ $$v''(x) = -k^2 C_1 \sin(kx)$$

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條件二：支承 $B$（$x = L$）為無側移且附旋轉彈簧
3. 側向無位移：

$$v(L) = 0 \implies C_1 \sin(kL) + C_3 L = 0 \implies C_3 = - \frac{C_1 \sin(kL)}{L}$$

將 $C_3$ 代回，得端點 $B$ 的轉角與曲率：

$$v'(L) = C_1 \left[ k \cos(kL) - \frac{\sin(kL)}{L} \right]$$ $$v''(L) = -k^2 C_1 \sin(kL)$$

4. 旋轉彈簧之力矩平衡條件：
   在 $x = L$ 處，梁端產生的內彎矩與旋轉彈簧的反力矩達到平衡：

$$EI v''(L) + \beta_R v'(L) = 0$$

將 $v''(L)$ 與 $v'(L)$ 代入上式：