112 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《材料力學》

核心觀念

矩形截面上的正應力分布為

$$\sigma_x=a+by+cz$$

其中：

• 常數項 $a$ 代表軸向力造成的均勻正應力；
• $by$ 代表繞 $z$ 軸彎曲造成的應力變化；
• $cz$ 代表繞 $y$ 軸彎曲造成的應力變化。

截面形心位於 $y=z=0$，且題目給出的三個座標點皆位於 $x=1$ 的同一截面上。

依右手定則，截面正應力對 $y$ 軸的彎矩為

$$M_y=\int_A z\sigma_x\,dA$$

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解題方法

1. 由三個角點應力求出 $a$、$b$、$c$

A 點 $(y,z)=(-4,2)$：

$$a-4b+2c=12$$

B 點 $(y,z)=(4,2)$：

$$a+4b+2c=8$$

C 點 $(y,z)=(4,-2)$：

$$a+4b-2c=12$$

用 B 點方程式減去 A 點方程式：

$$8b=8-12=-4$$

因此

$$b=-\frac{1}{2}\ \text{MPa}$$

用 C 點方程式減去 B 點方程式：

$$-4c=12-8=4$$

因此

$$c=-1\ \text{MPa}$$

代回 B 點方程式：

$$a+4\left(-\frac12\right)+2(-1)=8$$ $$a-2-2=8$$ $$a=12\ \text{MPa}$$

所以截面上的應力分布為

$$\sigma_x=12-\frac12y-z$$

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2. 計算繞 $y$ 軸的彎矩

由定義，

$$M_y=\int_A z\sigma_x\,dA$$

代入應力分布：

$$M_y=\int_A z\left(12-\frac12y-z\right)dA$$

展開得

$$M_y = 12\int_A z\,dA -\frac12\int_A yz\,dA -\int_A z^2\,dA$$

核心觀念

本題考查軸向載重桿件的彈塑性變形（Elastoplastic Deformation）、間隙接觸超靜定問題（Statically Indeterminate Problems with Gap）以及極限塑性分析（Plastic Limit Analysis）。所涉及的關鍵物理定義與公式如下：

1. 彈性完全塑性材料（Elastic-Perfectly-Plastic, EPP）本構關係：
   • 線性彈性階段（$\sigma < \sigma_y$）：遵循虎克定律 $\sigma = E \epsilon$。
   • 塑性流動階段（$\sigma = \sigma_y$）：應力維持在降伏強度 $\sigma_y$，應變持續增加且無應變硬化現象。
   • 桿件全截面降伏軸力（Yield Load）： $$P_Y = \sigma_y A$$
2. 軸向桿件勁度（Axial Stiffness）：
   • 桿件軸向勁度定義為 $k = \frac{EA}{L}$，軸向變形與軸力關係為 $\Delta L = \frac{N}{k}$。
3. 位移協合條件（Compatibility Condition）與各階段判別：
   • 間隙閉合前：桿件為靜定懸臂狀態，BC 段僅隨 B 點剛體平移，無內力。
   • 間隙閉合後：桿件變為雙端固定超靜定結構，B 點位移使 AB 段受拉、BC 段受壓。
   • 全塑性極限狀態（Plastic Collapse Mechanism）：當兩段桿件皆達到降伏應力時，結構喪失承受額外載重的能力，載重達到極限值 $P_{ult}$。

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解題方法

1. 基本物性與幾何參數計算

• 截面積：$A = 500\text{ mm}^2$
• 彈性模數：$E = 200\text{ GPa} = 200 \times 10^3\text{ N/mm}^2$
• 降伏強度：$\sigma_y = 250\text{ MPa} = 250\text{ N/mm}^2$
• 全斷面降伏力（拉伸／壓縮極限）： $$P_Y = \sigma_y A = (250\text{ N/mm}^2)(500\text{ mm}^2) = 125,000\text{ N} = 125\text{ kN}$$
• 各段長度與軸向勁度：
  • $L_{AB} = 2\text{ m} = 2000\text{ mm}$： $$k_{AB} = \frac{EA}{L_{AB}} = \frac{(200 \times 10^3)(500)}{2000} = 50,000\text{ N/mm} = 50\text{ kN/mm}$$
  • $L_{BC} = 1\text{ m} = 1000\text{ mm}$： $$k_{BC} = \frac{EA}{L_{BC}} = \frac{(200 \times 10^3)(500)}{1000} = 100,000\text{ N/mm} = 100\text{ kN/mm}$$
• C 端初始間隙：$\Delta = 1\text{ mm}$

設 B 點向右之軸向位移為 $\delta$。

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2. 分階段分析與關鍵點計算

【階段一】間隙閉合前（$0 \le \delta \le 1\text{ mm}$）

• C 端未接觸右側剛性壁，BC 段為剛體位移，內力 $N_{BC} = 0$。
• AB 段承受全部外力：$N_{AB} = P$。
• 位移與外力關係： $$\delta = \frac{P}{k_{AB}} \implies P = k_{AB} \delta = 50\delta$$
• 當 $\delta = 1\text{ mm}$ 時，C 端恰與剛性壁接觸（Gap-closing）： $$P_1 = 50 \times 1 = 50\text{ kN}$$
• 此時 AB 段應力：$\sigma_{AB} = \frac{50\text{ kN}}{500\text{ mm}^2} = 100\text{ MPa} < \sigma_y$（維持彈性）。
• 第一組關鍵值（Gap-closing）： $$(\delta_1, P_1) = (1\text{ mm}, 50\text{ kN})$$

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【階段二】間隙閉合後至初始降伏（$1\text{ mm} \le \delta \le \delta_y$）

• 間隙閉合後，B 點每向右移動 $\delta$，AB 段伸長量為 $\delta$，BC 段壓縮量為 $(\delta - 1)$。
• 兩段桿件之內力分別為：
  • AB 段（拉力）：$N_{AB} = k_{AB} \delta = 50\delta$
  • BC 段（壓力）：$N_{BC} = k_{BC} (\delta - 1) = 100(\delta - 1)$
• 節點 B 水平靜力平衡方程式： $$P = N_{AB} + N_{BC} = 50\delta + 100(\delta - 1) = 150\delta - 100$$
• 降伏先後順序判別：
  • 若 AB 段先拉伸降伏（$N_{AB} = 125\text{ kN}$）： $$50\delta = 125 \implies \delta = 2.5\text{ mm}$$
  • 若 BC 段先壓縮降伏（$N_{BC} = 125\text{ kN}$）： $$100(\delta - 1) = 125 \implies \delta - 1 = 1.25 \implies \delta = 2.25\text{ mm}$$
  • 因為 $2.25\text{ mm} < 2.5\text{ mm}$，故 BC 段先發生壓縮降伏。
• 初始降伏點（Yielding case）之載重： $$\delta_2 = 2.25\text{ mm}$$ $$P_2 = 150(2.25) - 100 = 237.5\text{ kN}$$
• 此時 AB 段受力 $N_{AB} = 50(2.25) = 112.5\text{ kN} < 125\text{ kN}$（仍為彈性）。
• 第二組關鍵值（Yielding）：

核心觀念

EPP（Elastic–Perfectly Plastic，彈性—完全塑性）模型下，梁截面達到全塑性時的塑性彎矩為

$$M_p=f_y Z_p$$

初始降伏彎矩為

$$M_y=f_y Z_e$$

因此，截面的形狀因數為

$$f=\frac{M_p}{M_y}=\frac{Z_p}{Z_e}$$

其中：

• $Z_e=I/c$：彈性截面模數
• $Z_p$：塑性截面模數
• $c$：中性軸至最外緣距離

題目要求比較同一高度 $h$ 下，圓形截面與正方形截面的形狀因數。

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一、圓形截面的形狀因數 $f_c$

設圓形截面直徑為 $h$，半徑為

$$R=\frac{h}{2}$$

圓形截面對水平中性軸的慣性矩為

$$I_c=\frac{\pi h^4}{64}$$

最外緣距離為 $c=R=h/2$，因此彈性截面模數為

$$Z_{e,c}=\frac{I_c}{c} =\frac{\pi h^4/64}{h/2} =\frac{\pi h^3}{32}$$

塑性中性軸位於圓心。取上半部面積對塑性中性軸的第一矩，再乘以 2：

$$Z_{p,c} =2\int_0^R y\,dA$$

在高度 $y$ 處，圓形薄片寬度為

$$2\sqrt{R^2-y^2}$$

故

$$dA=2\sqrt{R^2-y^2}\,dy$$

代入得

$$Z_{p,c} =2\int_0^R y\left(2\sqrt{R^2-y^2}\right)dy$$ $$Z_{p,c} =4\int_0^R y\sqrt{R^2-y^2}\,dy =\frac{4R^3}{3}$$

由於 $R=h/2$，

$$Z_{p,c} =\frac{4}{3}\left(\frac{h}{2}\right)^3 =\frac{h^3}{6}$$

因此圓形截面的形狀因數為

核心觀念

本題結合兩個觀念：

1. 懸臂梁在距固定端 $A$ 為 $a=\beta L$ 的點 $B$ 受集中力時，求 $B$ 點與自由端 $C$ 的撓度。
2. 質量 $m$ 自高度 $h$ 落下撞擊梁後，利用「重力位能轉換為梁的彈性應變能」求最大動態撓度。

假設梁為線彈性、小變形，且落下質量與梁接觸後不反彈；$\beta$ 為 $0<\beta\leq 1$。

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解題方法

令

$$a=AB=\beta L$$

並以 $P$ 表示質量撞擊梁後，作用於 $B$ 點的等效集中力。

1. 求 $B$ 點靜態撓度

懸臂梁長度為 $a$，在自由端 $B$ 受集中力 $P$ 時，其自由端撓度為

$$\delta_B=\frac{Pa^3}{3EI}$$

因此梁在 $B$ 點的等效勁度為

$$k_B=\frac{P}{\delta_B} =\frac{3EI}{a^3} =\frac{3EI}{\beta^3L^3}$$

故

$$\delta_B=\frac{P\beta^3L^3}{3EI}$$

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2. 求自由端 $C$ 的撓度

集中力 $P$ 作用於 $B$ 點時，$B$ 右側的梁段 $BC$ 沒有彎矩，因此 $BC$ 會隨著 $B$ 點轉動而形成剛體轉動。

對長度為 $a$ 的懸臂梁，$B$ 點轉角為

$$\theta_B=\frac{Pa^2}{2EI}$$

從 $B$ 到 $C$ 的長度為 $L-a$，故由剛體轉動造成的額外撓度為

$$(L-a)\theta_B = \frac{P a^2(L-a)}{2EI}$$

因此自由端總撓度為

$$\delta_C = \delta_B+(L-a)\theta_B$$

代入各式：

$$\delta_C = \frac{Pa^3}{3EI} + \frac{P a^2(L-a)}{2EI}$$

整理得

$$\delta_C = \frac{P a^2(3L-a)}{6EI}$$

代入 $a=\beta L$：

$$\delta_C = \frac{P\beta^2L^3(3-\beta)}{6EI}$$

因此，$C$ 點撓度與 $B$ 點撓度的比例為

$$\frac{\delta_C}{\delta_B} = \frac{3-\beta}{2\beta}$$

所以最大動態撓度亦滿足

$$\delta_{c,\max} = \frac{3-\beta}{2\beta}\delta_{B,\max}$$

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3. 利用能量法求 $B$ 點最大撓度

質量從高度 $h$ 落下，接觸梁後又使 $B$ 點向下移動 $\delta_{B,\max}$。

質量下降的總距離為

$$h+\delta_{B,\max}$$

因此重力位能損失為

$$mg\left(h+\delta_{B,\max}\right)$$

梁儲存的彈性應變能為

$$U=\frac{1}{2}k_B\delta_{B,\max}^2$$

由能量守恆：