112 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

核心觀念

彎矩圖須畫在受壓側：水平桿的正彎矩使上緣受壓，畫在上側；負彎矩使下緣受壓，畫在下側。

本題須區分：

• 內鉸：該截面彎矩為零。
• 鉸支承處的剛接節點：支承不提供反力矩，但相連桿件仍可互相傳遞彎矩。
• 無分布荷載的桿段，其彎矩圖為直線；彎矩極值可由 $V=dM/dx=0$ 求得。

圖中未另列桿件剛度，以下採各桿 $EI$ 相同且為定值、忽略軸向變形的常用假設。

解題方法

（a）先利用內鉸求傳遞力，再由變形相容求 $AB$ 彎矩

圖中 $A$ 為固定端、$B$ 為鉸支承、$C$ 為內鉸、$D$ 為滾支承；$AB$ 與 $BC$ 在 $B$ 為剛接，因此 $B$ 處桿端彎矩不為零。

① 分析 $DC$ 與 $BC$

將 $DC$ 分離，對 $C$ 取矩可得 $D$ 的垂直反力為零，故 $C$ 的垂直力也為零。水平平衡則得 $DC$ 承受 $10\,\mathrm{kN}$ 拉力，因此作用於 $BC$ 的 $C$ 端水平力為向左 $10\,\mathrm{kN}$。

此力對 $B$ 產生順時針力矩：

$$10\times4=40\,\mathrm{kN\cdot m}.$$

因此 $BC$ 的彎矩圖為三角形，從 $C$ 的零線性增加至 $B$ 的 $40\,\mathrm{kN\cdot m}$，全段畫在左側。$DC$ 則全段彎矩為零。

② 求 $AB$ 的端彎矩

$BC$ 透過剛接節點 $B$，對 $AB$ 施加順時針 $40\,\mathrm{kN\cdot m}$ 端力矩。以水平桿正彎矩為正：

$$M_B=-40\,\mathrm{kN\cdot m}.$$

令 $x$ 自 $A$ 向 $B$ 量起。$AB$ 無分布荷載，彎矩線性變化：

$$M(x)=M_A\left(1-\frac{x}{L}\right)+M_B\frac{x}{L}, \qquad L=4\,\mathrm m.$$

由於 $A$ 的位移、轉角均為零，而 $B$ 的垂直位移為零，積分梁的曲率可得：

$$0=v_B =\frac{1}{EI}\int_0^L(L-x)M(x)\,dx =\frac{L^2}{6EI}(2M_A+M_B).$$

所以：

$$2M_A-40=0 \quad\Rightarrow\quad M_A=20\,\mathrm{kN\cdot m}.$$

故 $x$ 以公尺代入時：

$$M_{AB}(x)=20-15x \qquad(\mathrm{kN\cdot m}).$$

反曲點為：

$$20-15x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac43\,\mathrm m.$$

彎矩圖畫法：

桿段	彎矩圖形狀與數值	受壓側
$AB$	$A$ 端 $+20$，直線降至距 $A$ $\frac43\,\mathrm m$ 處的零，再降至 $B$ 端 $-40$	反曲點左側畫在上側，右側畫在下側
$BC$	$B$ 端 $40$，直線降至 $C$ 端零	左側
$DC$	全段零	—

表中彎矩單位均為 $\mathrm{kN\cdot m}$。全架最大絕對彎矩為 $40\,\mathrm{kN\cdot m}$，位於 $B$ 的 $AB$、$BC$ 桿端；$AB$ 的正彎矩峰值為 $A$ 端的 $20\,\mathrm{kN\cdot m}$。

（b）由內鉸將結構分成懸臂段與簡支段

① 求 $BC$ 的支承力

三角形分布荷載的合力為：

$$W=\frac12(3)(3)=4.5\,\mathrm{kN},$$

作用位置距較大荷載端 $B$ 為 $1\,\mathrm m$。對 $B$ 取矩：

$$R_C(3)=4.5(1) \quad\Rightarrow\quad R_C=1.5\,\mathrm{kN}.$$

因此：

$$R_B=4.5-1.5=3\,\mathrm{kN}.$$

② 繪製 $AB$ 彎矩圖

$BC$ 對 $AB$ 的 $B$ 端施加向下 $3\,\mathrm{kN}$，所以 $AB$ 為端點受力的懸臂梁：

$$M_A=-3(5)=-15\,\mathrm{kN\cdot m}, \qquad M_B=0.$$

彎矩圖為三角形，從 $A$ 端的 $15$ 線性降至 $B$ 端零，全段畫在下側。

③ 求 $BC$ 的最大彎矩

令 $x$ 自 $B$ 向 $C$ 量起，$x$ 以公尺代入。荷載強度、剪力及彎矩分別為：

$$w(x)=3-x \qquad(\mathrm{kN/m}),$$

核心觀念

本題使用桁架的虛功法（單位荷載法）求節點 $D$ 的垂直位移：

$$\Delta_D = \sum_i \frac{N_i n_i L_i}{EA} + \sum_i n_i\Delta_i$$

其中：

• $N_i$：實際荷載作用下第 $i$ 桿件的軸力。
• $n_i$：在 $D$ 點施加單位向下力後，第 $i$ 桿件的軸力。
• $L_i$：桿件長度。
• $\Delta_i$：桿件製作誤差造成的初始長度變化。
• 理想桁架只承受軸力，因此 $I$ 不會出現在結果中。

斜桿長度為

$$L_d=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ m}$$

且斜桿方向餘弦為

$$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}.$$

取向下為位移正方向，桿件受拉為正。

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解題方法

1. 實際荷載下的支承反力

由整體平衡：

$$A_x=-10\text{ kN}$$ $$A_y+G_y=50+30+50+20+50=200\text{ kN}$$

對 $A$ 點取力矩：

$$18G_y -50(3)-30(6)-50(9)-20(12)-50(15)-10(4)=0$$

因此

$$G_y=\frac{1810}{18}=100.5556\text{ kN}$$ $$A_y=99.4444\text{ kN}$$

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2. 實際荷載作用下的桿件軸力

依節點法由右向左分析，所得軸力如下。負號代表壓力。

桿件	$N_i$（kN）	桿件	$N_i$（kN）
$AB$	$10$	$HI$	$-74.583$
$BC$	$84.583$	$IJ$	$-111.667$
$CD$	$121.667$	$JK$	$-126.250$
$DE$	$136.250$	$KL$	$-103.333$
$EF$	$113.333$	$LM$	$-65.417$
$FG$	$75.417$	$MN$	$10$
$AH$	$-99.444$	$IB$	$-49.444$
$JC$	$-19.444$	$KD$	$30.556$
$LE$	$50.556$	$MF$	$100.556$
$NG$	$0$
$BH$	$124.306$	$IC$	$61.806$
$JD$	$24.306$	$KE$	$-38.194$
$LF$	$-63.194$	$MG$	$-125.694$

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3. 在 $D$ 點施加單位向下力

施加 $1$ 單位向下力於 $D$ 點，節點法所得需要的虛擬軸力為：

核心觀念

B 點為內鉸，故：

• B 點彎矩為零。
• 左、右兩構件在 B 點的垂直位移必須相同。
• 內鉸允許左右兩側轉角不同，本題要求兩側轉角的量值相同。
• AB、BC 的 $EI$ 相同，可用懸臂梁端點位移與轉角公式。

設 $R$ 為 B 點作用在 AB 構件上的垂直力，向上為正；則 BC 構件在 B 點受到大小相同、方向相反的力。

B 點垂直位移相容

令 $x$ 為 2 kN 集中力距離 A 點的距離，$AB=4$ m、$BC=3$ m。

AB 構件視為 A 固定、B 自由的懸臂梁：

$$v_{B,L} = \frac{2x^2(3\cdot4-x)}{6EI} + \frac{R(4)^3}{3EI}$$

整理得

$$v_{B,L} = \frac{1}{EI} \left[ \frac{x^2(12-x)}{3} + \frac{64R}{3} \right]$$

BC 構件視為 C 固定、B 自由的懸臂梁。BC 上的均佈載重為 $4$ kN/m，方向向下，因此

$$v_{B,R} = -\frac{R(3)^3}{3EI} -\frac{4(3)^4}{8EI} = \frac{1}{EI} \left( -9R-\frac{81}{2} \right)$$

由 B 點位移相容條件 $v_{B,L}=v_{B,R}$：

$$\frac{x^2(12-x)}{3}+\frac{64R}{3} = -9R-\frac{81}{2}$$

因此

$$R = -\frac{x^2(12-x)+\frac{243}{2}}{91}$$

左右兩側轉角

以水平向右為正方向定義轉角。

AB 左側在 B 點的轉角為

$$\theta_{B,L} = \frac{2x^2}{2EI} + \frac{R(4)^2}{2EI} = \frac{x^2+8R}{EI}$$

核心觀念

本題考查分段彎曲剛度梁的端點撓度，可用單位荷重法計算：

$$\delta_C=\int_0^L \frac{M(s)m(s)}{EI(s)}\,ds$$

其中 $M(s)$ 是實際荷重造成的彎矩，$m(s)$ 是在 C 點施加單位垂直力所造成的彎矩。

解題方法

由圖可讀出：A 端固定、C 端自由，梁長 $AC=5\,\text{m}$；全跨承受向下均佈載重 $10\,\text{kN/m}$。AB 長度為 $x$，其彎曲剛度為 $5EI$；BC 長度為 $5-x$，彎曲剛度為 $EI$。

令 $s$ 自 A 點起算，並以向下為撓度正方向。實際荷重與 C 點單位力造成的彎矩大小分別為

$$M(s)=\frac{w(L-s)^2}{2},\qquad m(s)=L-s$$

因此 C 點撓度為

$$\begin{aligned} \delta_C &=\frac{w}{2EI} \left[ \frac{1}{5}\int_0^x (L-s)^3\,ds +\int_x^L (L-s)^3\,ds \right]\\ &=\frac{wL^4}{8EI} \left[ \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\left(1-\frac{x}{L}\right)^4 \right] \end{aligned}$$

先計算全梁剛度皆為 $EI$ 時的端點撓度。採用毫米與牛頓單位：