115 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

本題考驗學生對傾角變位法 (Slope-Deflection Method) 的應用能力，需要正確建立桿件的撓度變位方程式，並聯立求解。

核心觀念： 傾角變位法是基於桿端彎矩與桿端轉角、相對位移之間的線性關係。對於沒有相對位移的連續梁或剛架，主要考量桿端轉角；若有相對位移，則需加入相對位移項。

解題步驟：

1. 建立桿件變位與力矩關係：
   對於桿件 AB，其兩端分別為 A (固定端) 和 B。由於 A 是固定端，其轉角 $\theta_A = 0$ 且沉陷為 0。
   桿件 BC 連接 B 和 C，兩端均可能發生轉角和相對位移。
   桿件 CD，其兩端分別為 C 和 D (固定端)。由於 D 是固定端，其轉角 $\theta_D = 0$ 且沉陷為 0。

   根據傾角變位法的基本公式，對於一桿件 $ij$，其端點 $i$ 的彎矩 $M_{ij}$ 與端點 $j$ 的彎矩 $M_{ji}$ 可表示為：

   $$M_{ij} = \frac{2EI}{L_{ij}}(2\theta_i + \theta_j - 3\phi_i) + M_{ij}^{FP}$$ $$M_{ji} = \frac{2EI}{L_{ij}}(2\theta_j + \theta_i - 3\phi_j) + M_{ji}^{FP}$$

   其中 $\theta_i, \theta_j$ 為桿件端點的實際轉角，$\phi_i, \phi_j$ 為桿件端點的相對沉陷。$M^{FP}$ 為固定端力矩。

   在本題中，由於 AB 和 CD 是垂直桿件，且 A、D 為固定支承，B、C 為連接點，且題目未提及有水平或垂直的沉陷，我們假設 B 和 C 之間沒有相對水平位移，且 AB 和 CD 桿件沒有水平或垂直的沉陷。

   • 桿件 AB：
     固定端 A：$\theta_A = 0$, $\phi_{AB} = 0$ (假設無沉陷)
     自由端 B：轉角為 $\theta_B$。
     由 A 到 B：$M_{AB} = \frac{2EI}{L}(2\theta_A + \theta_B - 3\phi_{AB}) + M_{AB}^{FP}$

     $$M_{AB} = \frac{2EI}{L}(0 + \theta_B - 0) + 0 = \frac{2EI}{L}\theta_B$$

     由 B 到 A：$M_{BA} = \frac{2EI}{L}(2\theta_B + \theta_A - 3\phi_{BA}) + M_{BA}^{FP}$

     $$M_{BA} = \frac{2EI}{L}(2\theta_B + 0 - 0) + 0 = \frac{4EI}{L}\theta_B$$

     (注意：這裡的 $M^{FP}$ 是指在端點施加外力矩時，另一端固定所產生的力矩。在本題中，M0 是施加在 B 和 C 節點上的集中力矩，不是桿件本身的固定端力矩。)

   • 桿件 CD：
     自由端 C：轉角為 $\theta_C$。
     固定端 D：$\theta_D = 0$, $\phi_{CD} = 0$ (假設無沉陷)
     由 C 到 D：$M_{CD} = \frac{2EI}{L}(2\theta_C + \theta_D - 3\phi_{CD}) + M_{CD}^{FP}$

     $$M_{CD} = \frac{2EI}{L}(2\theta_C + 0 - 0) + 0 = \frac{4EI}{L}\theta_C$$

     由 D 到 C：$M_{DC} = \frac{2EI}{L}(2\theta_D + \theta_C - 3\phi_{DC}) + M_{DC}^{FP}$

     $$M_{DC} = \frac{2EI}{L}(0 + \theta_C - 0) + 0 = \frac{2EI}{L}\theta_C$$

   • 桿件 BC：
     端點 B：轉角 $\theta_B$。
     端點 C：轉角 $\theta_C$。
     假設 BC 桿件長度為 L'。題目圖示 BC 桿件長度也標示為 L，故 $L_{BC} = L$。
     由 B 到 C：$M_{BC} = \frac{2EI}{L}(2\theta_B + \theta_C - 3\phi_{BC}) + M_{BC}^{FP}$

     $$M_{BC} = \frac{2EI}{L}(2\theta_B + \theta_C - 0) + 0 = \frac{2EI}{L}(2\theta_B + \theta_C)$$

     由 C 到 B：$M_{CB} = \frac{2EI}{L}(2\theta_C + \theta_B - 3\phi_{CB}) + M_{CB}^{FP}$

     $$M_{CB} = \frac{2EI}{L}(2\theta_C + \theta_B - 0) + 0 = \frac{2EI}{L}(2\theta_C + \theta_B)$$

2. 建立節點平衡方程式：
   在節點 B：
   所有作用在 B 點的力矩必須平衡。外部施加的集中力矩為 $M_0$ (順時針，所以是負值，若以逆時針為正)。

   $$M_{BA} + M_{BC} = -M_0$$

   將前面得到的表達式代入：

   $$\frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}(2\theta_B + \theta_C) = -M_0$$ $$\frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}\theta_C = -M_0$$ $$\frac{8EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}\theta_C = -M_0 \quad \cdots (1)$$

   在節點 C：
   所有作用在 C 點的力矩必須平衡。外部施加的集中力矩為 $M_0$ (順時針，所以是負值)。

   $$M_{CB} + M_{CD} = -M_0$$

   將前面得到的表達式代入：

   $$\frac{2EI}{L}(2\theta_C + \theta_B) + \frac{4EI}{L}\theta_C = -M_0$$

核心觀念

本題要求以卡式第二定理，將彈簧力 $F$ 視為贅力。結構彎曲變形能為

$$U_b=\int\frac{M^2}{2EI}\,ds$$

彈簧變形能為

$$U_s=\frac{F^2}{2k_s}$$

由總勢能對贅力 $F$ 微分並令其為零：

$$\frac{\partial}{\partial F}(U_b+U_s)=0$$

以下僅考慮桿件彎曲變形，$EI$ 為常數。

解題方法

取座標：

$$A(0,0),\quad B(0,L),\quad C(L,L),\quad D(L,0)$$

令彈簧力 $F$ 對框架造成的作用方向如圖，並與外力 $P$ 分別建立彎矩方程。

1. 各桿件彎矩

對左柱 $AB$，以距離 $A$ 為 $y$：

$$M_{AB}=(P-F)y,\qquad 0\le y\le L$$

對上梁 $BC$，以距離 $B$ 為 $x$：

$$M_{BC}=L(F-P)+Px,\qquad 0\le x\le L$$

對右柱 $CD$，以距離 $D$ 為 $y$：

$$M_{CD}=Fy,\qquad 0\le y\le L$$

因此彎曲應變能為

$$U_b= \frac{1}{2EI} \left[ \int_0^L (P-F)^2y^2\,dy + \int_0^L\{L(F-P)+Px\}^2\,dx + \int_0^L F^2y^2\,dy \right]$$

2. 對 $F$ 微分

由卡式第二定理：

核心觀念

共軛梁法將原梁的 $M/EI$ 圖作為共軛梁的分布載重，並利用對應關係：

• 共軛梁的剪力對應原梁轉角。
• 共軛梁的彎矩對應原梁撓度。

原梁的自由端 $A$ 在共軛梁中改為固定端；原梁的固定端 $B$ 改為自由端。

解題方法

令 $x$ 自原梁自由端 $A$ 起算，向固定端 $B$ 增加，範圍為 $0\le x\le L$；撓度以向下為正。距自由端 $x$ 處的原梁彎矩大小為

$$M(x)=\frac{q_0x^2}{2}$$

因此，共軛梁承受的分布載重為

$$\frac{M(x)}{EI}=\frac{q_0x^2}{2EI}$$

在共軛梁距 $A$ 為 $x$ 的截面取矩。截面右側、位置為 $s$ 的載重對該截面的力臂為 $s-x$，故共軛梁彎矩為

核心觀念

以單位力法求梁上位置 $x$ 的撓度：

$$w(x)=\int_0^L \frac{M(s)m_x(s)}{EI}\,ds$$

其中 $M(s)$ 是實際均佈載重造成的彎矩，$m_x(s)$ 是在欲求撓度的位置 $x$ 施加單位力後的虛彎矩。取向下撓度為正，梁的座標 $s$ 與 $x$ 均由自由端 $A$ 朝固定端 $B$ 量起。

解題方法

在距自由端 $s$ 處截面，左側均佈載重的合力為 $q_0s$，作用於距 $A$ 為 $s/2$ 處。因此實際彎矩為

$$M(s)=-q_0s\left(\frac{s}{2}\right) =-\frac{q_0s^2}{2}$$

在位置 $x$ 施加向下單位力。當截面位於單位力左側，即 $0\le s<x$，虛彎矩為零；當截面位於單位力右側，即 $x\le s\le L$，虛彎矩為

$$m_x(s)=-(s-x)$$