115 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《基礎工程》

本題為概念性問題，主要測試考生對於基礎工程中常見的幾種工法及土壤試驗的了解程度。

(1) 適用於筏基 (Mat Foundation) 的情況：
筏基是一種將所有基礎版連結成一體的基礎形式，適用於以下情況：

• 土壤承載力低且均勻：當土壤的承載力較低，且地質條件大致均勻時，單獨設置獨立基礎或聯合基礎可能無法有效分散載重，筏基可以提供更大的基礎面積，降低基承壓力。
• 建築物載重集中且密集：當建築物有大量柱子且間距較小時，柱下基礎會彼此重疊或靠近，此時設置筏基較為經濟且能有效抵抗沉陷差異。
• 地下水位高或土壤液化潛勢高：筏基可以提供一定的抗浮能力，並在一定程度上抵抗土壤液化的影響。
• 需要抵抗較大的傾覆力矩：例如高聳建築物或有風力、地震力作用的結構物，筏基可以提供較大的穩定性。
• 希望減少不均勻沉陷：筏基將所有基礎連結，有助於將載重均勻分散，減少建築物各部分的沉陷差異。

(2) 機械穩定土擋土牆 (Mechanically Stabilized Earth Walls, MSE Walls) 的破壞模式：
MSE 牆是一種由回填土和牆面面板組成的複合結構，其破壞模式通常包含以下幾種：

• 整體滑動 (Global Sliding)：整個牆體（包括回填土、牆面面板及錨固系統）相對於其後方的土壤發生整體滑動。此模式通常與牆後土體的抗剪強度、錨固長度不足或地面坡度有關。
• 拉伸破壞 (Tensile Rupture)：錨固件（如鋼帶、土工格網）在牆面面板後方某一點因拉應力超過其抗拉強度而斷裂。這通常發生在錨固件材料強度不足或回填土與錨固件之間的摩擦力不足時。
• 拔出破壞 (Pullout Failure)：錨固件與回填土之間的握裹力不足，導致錨固件從回填土中被拔出。這與錨固件的長度、回填土的性質（密實度、摩擦角）以及錨固件與回填土之間的界面摩擦係數有關。
• 牆面面板局部破壞 (Local Facing Failure)：牆面面板本身（如預鑄混凝土塊）因局部應力集中或面板材料強度不足而發生破損。
• 內部穩定破壞 (Internal Stability Failure)：指 MSE 牆內部的錨固件與回填土之間發生相對滑動或拉伸破壞，但整個牆體仍保持穩定。這包含了拉伸破壞和拔出破壞。
• 整體穩定破壞 (External Stability Failure)：指整個 MSE 牆體（包括回填土、面板、錨固件）相對於牆後原有土體發生滑動、傾覆或基礎沉陷等破壞。這包含了整體滑動、傾覆、基礎承載力破壞等。

(3) 錨碇式擋土牆 (Anchored Sheet Pile Walls) 的設計要求：
錨碇式擋土牆是一種利用錨碇來提供額外支撐力的擋土結構，其設計要求包含：

• 牆體穩定性：確保擋土牆在作用力下不會發生滑動、傾覆或整體破壞。這包括對牆體的彎曲、剪切及基礎的承載力進行校核。
• 錨碇系統設計：錨碇（如土錨、岩錨）必須有足夠的拉拔強度來抵抗牆體傳來的水平推力。錨碇的位置、數量、間隔及錨固深度都需要仔細計算。
• 錨碇與牆體連接：錨碇與擋土牆之間的連接構件（如拉桿、連接板）必須能承受拉力，並確保連接牢固可靠。
• 回填土性質：回填土的種類、密實度、滲流條件等都會影響牆體和錨碇的受力，設計時需納入考量。
• 土壤壓力計算：需根據土壤性質和牆體位移情況，採用適當的土壓力理論（如庫侖、朗肯或更精確的數值分析）來計算作用在牆體上的土壓力。
• 水壓力計算：若有地下水，需計算水壓力及其對牆體穩定性的影響，並考慮排水措施。
• 變形控制：錨碇式擋土牆的位移通常較大，設計時需控制牆體和地面的變形，以避免對周圍結構或管線造成損害。

核心觀念

本題考查：

1. Rankine 與 Coulomb 土壓理論的基本假設與差異。
2. 懸臂式擋土牆之主動土壓力、被動土壓力。
3. 土壓合力作用位置。
4. 擋土牆抗傾覆與抗滑安全係數。

已知：

$$\gamma=18.8\ \text{kN/m}^3,\qquad K_{AR}=0.43,\qquad K_{PR}=2.46$$

由圖，牆高自基礎底部至牆頂為 $6.0\ \text{m}$，基礎厚度為 $0.3\ \text{m}$，因此主動土壓作用高度為

$$H_A=6.0-0.3=5.7\ \text{m}$$

前方被動土壓深度為

$$H_P=0.6\ \text{m}$$

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(1) Rankine 與 Coulomb 主動土壓比較

(a) 基本假設

項目	Rankine 理論	Coulomb 理論
牆背條件	通常假設牆背光滑，牆土間摩擦角 $\delta=0$	可考慮牆土摩擦角 $\delta$
牆體條件	通常為垂直牆	可處理傾斜牆背
回填土	可處理水平或傾斜回填	可處理水平或傾斜回填
分析方式	以土體內部極限應力狀態分析	以牆後滑動土楔極限平衡分析
土壓分布	通常為三角形分布	通常亦可視為三角形，但合力方向受 $\delta$ 影響

Rankine 理論較適合牆背光滑、牆體變形足以使土體達到主動狀態的情況；Coulomb 理論則能納入牆背摩擦、牆背傾角與回填坡度等因素。

(b) 破壞面

Rankine 理論的主動破壞面為平面，其與水平面之夾角為

$$45^\circ+\frac{\phi}{2}$$

其中 $\phi$ 為土壤內摩擦角。

Coulomb 理論假設牆後土體沿著牆背與回填土內某一平面滑動，滑動面角度由牆背傾角、回填坡度、土壤摩擦角及牆土摩擦角共同決定。因此 Coulomb 破壞面通常不必與 Rankine 破壞面相同。

當牆背垂直、回填面水平且 $\delta=0$ 時，兩者的破壞面可退化為相同結果。

(c) 主動土壓合力大小與方向

Rankine 理論中，牆背光滑，因此主動土壓合力為水平力：

$$P_A=\frac{1}{2}K_A\gamma H^2$$

其作用方向為水平，作用點位於牆底以上 $H/3$。

Coulomb 理論考慮牆土摩擦後，主動土壓合力大小會受到 $\delta$ 影響；合力方向不再完全水平，而是通常向下偏轉 $\delta$ 角。牆土摩擦存在時，主動土壓力通常小於光滑牆背時的 Rankine 主動土壓力。

本題若採用垂直牆背、水平回填且忽略牆土摩擦，則 Rankine 與 Coulomb 結果相同。

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(2) 懸臂式擋土牆計算

(a) Rankine 主動與被動土壓力

主動土壓力為牆背土壓三角形合力：

$$P_{AR} =\frac{1}{2}K_{AR}\gamma H_A^2$$

代入數值：

$$P_{AR} =\frac{1}{2}(0.43)(18.8)(5.7)^2$$ $$\boxed{P_{AR}=131.3\ \text{kN/m}}$$

被動土壓力為牆前 $0.6\ \text{m}$ 深土層所產生之三角形合力：

$$P_{PR} =\frac{1}{2}K_{PR}\gamma H_P^2$$ $$P_{PR} =\frac{1}{2}(2.46)(18.8)(0.6)^2$$ $$\boxed{P_{PR}=8.35\ \text{kN/m}}$$

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(b) 合力作用位置

三角形土壓分布的合力作用於底部以上 $H/3$。

主動土壓合力作用位置，自基礎底部量起為

$$H_{AR}=0.3+\frac{5.7}{3}$$

因此

$$\boxed{H_{AR}=2.20\ \text{m}}$$

被動土壓合力作用位置，自基礎底部量起為

$$H_{PR}=\frac{0.6}{3}$$

因此

核心觀念

本題考查淺基礎之極限承載力，重點包括：

• Meyerhof 一般承載力公式。
• 飽和黏土且 $\phi=0$ 時的承載力因子。
• 補償基礎須採用「淨承載力」進行安全係數分析。
• Terzaghi 方形基礎承載力公式。
• 毛極限承載力、毛容許承載力與安全係數的關係。

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（1）Meyerhof 公式之安全係數推導

Meyerhof 一般承載力公式為

$$q_u = cN_cF_{cs}F_{cd}F_{ci} + qN_qF_{qs}F_{qd}F_{qi} + \frac{1}{2}\gamma BN_\gamma F_{\gamma s}F_{\gamma d}F_{\gamma i}$$

題目為：

• 垂直荷載，因此傾斜因子皆為 $1$。
• 飽和黏土且 $\phi=0$。
• 基礎埋置深度為 $D_f$。
• 基礎上方覆土壓力為

$$q=\gamma D_f$$

當 $\phi=0$ 時，

$$N_q=1,\qquad N_\gamma=0,\qquad N_c=5.14$$

因此，第三項完全消失；且在 $\phi=0$ 時，通常取

$$F_{qs}=F_{qd}=1$$

故毛極限承載壓力為

$$q_u = c_uN_cF_{cs}F_{cd} + \gamma D_f$$

題目給定

$$F_{cs}=1+\frac{0.195B}{L}$$ $$F_{cd}=1+0.4\frac{D_f}{B}$$

代入 $N_c=5.14$，得

$$q_u = 5.14c_u \left(1+\frac{0.195B}{L}\right) \left(1+0.4\frac{D_f}{B}\right) + \gamma D_f$$

補償基礎的淨承載力

補償基礎開挖時，原有覆土重量所造成的壓力 $\gamma D_f$ 已被移除，因此應扣除覆土壓力。淨極限承載力為

$$q_{nu}=q_u-\gamma D_f$$

所以

$$q_{nu} = 5.14c_u \left(1+\frac{0.195B}{L}\right) \left(1+0.4\frac{D_f}{B}\right)$$

設基礎底面承受的毛壓力為

$$p=\frac{Q}{A}$$

則扣除開挖覆土壓力後，結構荷載所造成的淨壓力為

$$q_n=p-\gamma D_f \;=\; \frac{Q}{A}-\gamma D_f$$

因此安全係數為

$$FS = \frac{\text{淨極限承載力}} {\text{淨作用壓力}}$$

即

$$\boxed{ FS = \frac{ 5.14c_u \left(1+\frac{0.195B}{L}\right) \left(1+0.4\frac{D_f}{B}\right) }{ \displaystyle \frac{Q}{BL}-\gamma D_f } }$$

亦可寫成

$$\boxed{ FS = \frac{ BL\cdot 5.14c_u \left(1+\frac{0.195B}{L}\right) \left(1+0.4\frac{D_f}{B}\right) }{ Q-\gamma D_fBL } }$$

解題技巧

$\phi=0$ 的飽和黏土問題可直接記住：

$$N_c=5.14,\qquad N_q=1,\qquad N_\gamma=0$$

因此：

• $\gamma BN_\gamma$ 項消失。
• 覆土項 $\gamma D_fN_q$ 只存在於毛承載力中。
• 補償基礎應將覆土項扣除，最後安全係數以「淨承載力／淨壓力」表示。

若為完全補償，即

$$\frac{Q}{A}=\gamma D_f$$

核心觀念

樁的極限承載力由樁端阻力與樁身側阻力組成：

$$Q_u=Q_p+Q_s$$

樁身位於海床以下，計算側阻力時須使用土壤浮重度：

$$\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w,\qquad \gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$$

原卷中的 α 法公式為 $\alpha=0.5(\bar{\sigma}'_0/c_u)^{0.45}$；依原卷計算，不採用題幹誤植的 $(c_u/p_a)^{0.45}$。

解題方法與計算

樁徑 $D=0.5$ m，樁長 $L=30$ m。樁周長與樁端面積為：

$$P=\pi D=1.5708\ \text{m},\qquad A_p=\frac{\pi D^2}{4}=0.19635\ \text{m}^2$$

兩層土的浮重度及有效上覆壓力如下：

$$\gamma'_A=18.0-9.81=8.19\ \text{kN/m}^3$$ $$\gamma'_B=19.0-9.81=9.19\ \text{kN/m}^3$$

令 $z$ 為自海床向下的深度，則有效垂直應力為：

$$\sigma'_v(z)= \begin{cases} 8.19z, & 0\le z\le 10\\ 81.9+9.19(z-10), & 10<z\le 30 \end{cases}$$

因此，$z=10$ m 與樁尖 $z=30$ m 處的有效垂直應力分別為 $81.9$ kPa 與 $265.7$ kPa。

(a) Meyerhof（1976）法樁端極限承載力

樁尖位於 B 層黏土，$c_u=100$ kPa。取黏土樁端承載因數 $N_c=9$：

$$Q_p=N_c c_u A_p =9(100)(0.19635) =\boxed{176.7\ \text{kN}}$$

(b) 三種樁身極限側阻力

各層側阻力由單位側阻力沿樁身積分，再乘樁周長 $P$ 求得。

(a) α 法

$$Q_{s,\alpha} =P\int_0^{30}0.5\left(\frac{\sigma'_v(z)}{c_u}\right)^{0.45}c_u\,dz$$

分別以 A 層 $c_u=50$ kPa、B 層 $c_u=100$ kPa 計算，並依各層的有效應力變化積分：

$$Q_{s,\alpha} =P\left[ \int_0^{10}0.5\left(\frac{8.19z}{50}\right)^{0.45}(50)\,dz + \int_{10}^{30}0.5\left(\frac{81.9+9.19(z-10)}{100}\right)^{0.45}(100)\,dz \right]$$ $$\boxed{Q_{s,\alpha}=2327.9\ \text{kN}}$$

(b) β 法