108 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《基礎工程》

本題為測驗學生對基礎工程基本觀念的掌握度，涵蓋土壤試驗、承載力理論、擋土牆穩定、開挖支撐系統及樁基礎等重要主題。

(1) 錐頭貫入試驗 (Cone Penetration Test, CPT) 在大地工程的應用非常廣泛，主要包含：
* 土壤分級與參數估計：透過量測錐頭貫入阻力 (qc) 和袖套摩擦力 (fs)，可大致判斷土壤類型（如砂土、黏土、粉土等），並估計土壤的強度參數（如內聚力 $c'$、內摩擦角 $\phi'$）及壓縮性。
* 樁基礎設計：CPT 數據可以直接用來評估樁的極限承載力（包括端阻力與側阻力），比傳統的標準貫入試驗 (SPT) 更為精確，尤其在某些土壤條件下。
* 地盤改良成效評估：在進行地盤改良（如砂樁、排水固結等）後，可利用 CPT 進行快速且密集的試驗，評估改良前後地盤性質的變化，檢核改良成效。
* 其他應用：還可用於地下水位偵測、土壤液化潛勢評估、邊坡穩定分析的參數輸入、污染調查等。

(2) Terzaghi 的極限承載力理論是針對「整體剪斷破壞 (General Shear Failure)」所建立的。然而，在某些土壤條件下，特別是軟弱黏土或高壓縮性土壤，實際發生的破壞模式可能是「局部剪斷破壞 (Local Shear Failure)」或「壓痕剪斷破壞 (Punching Shear Failure)」。
Terzaghi 修正局部剪斷破壞的方法，主要是透過調整土壤的強度參數：
* 參數調整：將原有的土壤強度參數（內聚力 $c$ 和內摩擦角 $\phi$）替換為修正後的參數 $c'$ 和 $\phi'$。
* 修正公式：
* 修正後的內聚力：$c' = 0.5c$
* 修正後的內摩擦角：$\phi' = \arctan(0.5 \tan\phi)$
* 應用：將這些修正後的參數 $c'$ 和 $\phi'$ 代入 Terzaghi 的承載力公式中，即可估算出考慮局部剪斷破壞的極限承載力。
這個修正方法背後的原理是，在局部剪斷或壓痕剪斷模式下，土壤的有效強度會比整體剪斷模式下來得低。

(3) 傳統式擋土牆（如重力式擋土牆、懸臂式擋土牆、錨定式擋土牆等）在設計時，必須滿足以下幾個主要的穩定性要求：
* 整體穩定性 (Overall Stability)：
* 滑動破壞 (Sliding Failure)：擋土牆必須能抵抗土壤推力所引起的牆體整體沿基礎底面滑動的趨勢。此要求通常透過檢查滑動面上的剪應力與抗剪強度之間的關係來評估。
* 傾覆破壞 (Overturning Failure)：擋土牆不能因為土壤推力產生的傾覆力矩大於牆體自重和土壤被動抗力產生的穩定力矩而發生傾覆。通常要求穩定力矩與傾覆力矩的比值（安全係數）大於特定值（如 1.5 或 2.0）。
* 承載力破壞 (Bearing Capacity Failure)：擋土牆底部基礎土壤的承載力必須足夠，以承受牆體及其上覆土壤的總壓力，避免基礎土壤發生極限承載力破壞。
* 局部穩定性 (Local Stability)：

本題主要測試學生對 Rankine 土壓力理論的理解、Mohr-Coulomb 破壞準則的應用，以及對 $K_0$ 值影響因素的認識。

(1) 核心觀念：利用 Mohr-Coulomb 破壞準則，結合 Rankine 主應力理論，繪製應力圓並計算主應力，進而求得主動及被動土壓力。

解題步驟：
首先，確定 Rankine 主動及被動土壓力理論的適用條件。此處假設為均質土壤，且牆面垂直、底部水平。
給定條件：
初始垂直有效應力 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$
土壤強度參數：$c' = 0$, $\phi' = 30^\circ$

a. 繪製 Mohr 圓：
在 Rankine 理論中，對於 $c'=0$ 的土壤，破壞面與主應力面之間的關係是固定的。

• 最大剪應力圓 (Mohr's Circle)：該圓與 $\tau$ 軸相切，其圓心在 $\sigma$ 軸上，且代表土壤的破壞點。

  • 圓心 $\sigma_c = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}$
  • 半徑 $R = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$
  • 破壞線（莫爾-庫倫準則）：$\tau_f = c' + \sigma_n \tan\phi'$。當 $c'=0$，則 $\tau_f = \sigma_n \tan\phi'$。
  • 對於 $c'=0$ 的土壤，最大剪應力圓通過原點 $(0,0)$ 且與 $\tau$ 軸相切的圓，其圓心為 $(\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}, 0)$，半徑為 $\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$。
  • 然而，更直觀的繪製法是考慮破壞準則。對於 $c'=0$，破壞準則為 $\frac{\sigma_1}{\sigma_3} = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$。
  • 在 Mohr 圓圖上，繪製 $\tau = \sigma \tan\phi'$ 這條直線（稱為 $\phi'$ 線）。所有代表土壤應力狀態的圓，若與此線相交，則表示土壤處於破壞狀態。
  • 對於 Rankine 理論，我們繪製通過原點的 $\phi'$ 線。
  • $\sin\phi' = \sin 30^\circ = 0.5$
  • $\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} = \frac{1+0.5}{1-0.5} = \frac{1.5}{0.5} = 3$

  主動土壓力 (Active Earth Pressure)：
  此時，垂直應力為最大主應力 $\sigma_1 = \sigma_v' = 100 \text{ kPa}$，水平應力為最小主應力 $\sigma_3 = \sigma_h' = \sigma_{a}'$。
  $\sigma_1 = \sigma_a' \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$
  $100 = \sigma_a' \times 3$
  $\sigma_a' = \frac{100}{3} \approx 33.33 \text{ kPa}$

  被動土壓力 (Passive Earth Pressure)：
  此時，垂直應力為最小主應力 $\sigma_3 = \sigma_v' = 100 \text{ kPa}$，水平應力為最大主應力 $\sigma_1 = \sigma_p'$。
  $\sigma_p' = \sigma_3 \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$
  $\sigma_p' = 100 \times 3 = 300 \text{ kPa}$

  繪製 Mohr 圓：
  我們需要繪製代表初始狀態的應力圓，以及代表主動和被動破壞狀態的應力圓。

  • 初始狀態應力圓：$\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$。由於是初始狀態，沒有外加側向應力，可以假設為 $K_0$ 狀態，但題目沒有給 $K_0$。題目要求的是「initial vertical effective stress of 100 kPa」，這可能是指在發生主動或被動運動之前的應力狀態。在沒有其他資訊下，我們可以假設初始狀態是靜止土壓力狀態 ($K_0$)，或者直接以 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$ 作為一個參考點。
    若要繪製「初始狀態」的 Mohr 圓，我們需要 $\sigma_v'$ 和 $\sigma_h'$。題目只給 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$。
    一種解釋是，題目要求繪製的是「破壞時」的應力圓。
    • 主動破壞應力圓：$\sigma_1 = 100 \text{ kPa}$, $\sigma_3 = \sigma_a' = 33.33 \text{ kPa}$。
      圓心 $C_a = \frac{100 + 33.33}{2} = \frac{133.33}{2} \approx 66.67 \text{ kPa}$。
      半徑 $R_a = \frac{100 - 33.33}{2} = \frac{66.67}{2} \approx 33.33 \text{ kPa}$。
      此圓與 $\phi'$ 線 ($\tau = \sigma \tan 30^\circ$) 相切。
    • 被動破壞應力圓：$\sigma_1 = \sigma_p' = 300 \text{ kPa}$, $\sigma_3 = 100 \text{ kPa}$。
      圓心 $C_p = \frac{300 + 100}{2} = \frac{400}{2} = 200 \text{ kPa}$。
      半徑 $R_p = \frac{300 - 100}{2} = \frac{200}{2} = 100 \text{ kPa}$。
      此圓與 $\phi'$ 線 ($\tau = \sigma \tan 30^\circ$) 相切。

  繪製圖示：

  1. 繪製 $\sigma$ 軸和 $\tau$ 軸。
  2. 繪製 $\phi'$ 線：通過原點 $(0,0)$，斜率為 $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$。
  3. 繪製主動破壞應力圓：圓心在 $\sigma$ 軸上約 66.67 kPa，半徑約 33.33 kPa。該圓與 $\phi'$ 線相切。
  4. 繪製被動破壞應力圓：圓心在 $\sigma$ 軸上 200 kPa，半徑 100 kPa。該圓與 $\phi'$ 線相切。
  5. 關於「初始垂直有效應力 100 kPa」的解釋：
     • 解釋一：題目可能指的是在主動或被動運動發生之前，土壤中的垂直應力為 100 kPa。那麼，如果我們考慮的是「初始應力狀態」，則需要知道初始水平應力 $\sigma_{h0}'$。若假設為靜止土壓力狀態 ($K_0$)，則 $\sigma_{h0}' = K_0 \sigma_v'$.
     • 解釋二：題目可能是指在計算主動和被動土壓力時，需要以 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$ 作為基準，並在此基準上計算主動和被動的水平應力。
     • 最常見的解釋：當土壤處於主動或被動破壞時，土壤中的垂直應力不一定等於 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$。題目給 $\sigma_v' = 100 \text{ kPa}$，並要求繪製主動和被動的 Mohr 圓，這通常意味著：

核心觀念

本題考查兩種樁基礎分析方法：

• Davisson 法：在樁的荷重－沉陷曲線上，找出與樁身彈性壓縮線平行、並向右偏移規定距離的判定線；兩線交點對應的荷重即為樁的極限承載力。
• 樁的承載力估算：樁端承載力以樁尖所在黏土層的不排水剪力強度計算；樁身摩擦力則分層計算，再加總各層貢獻。

(1) Davisson 法

先依樁身彈性壓縮量畫出基準線，其沉陷量為

$$s_e=\frac{PL}{AE}$$

其中 $P$ 為荷重、$L$ 為樁長、$A$ 為樁身截面積、$E$ 為樁材彈性模數。

Davisson 判定線在基準線上再加上偏移量：

$$s_D=\frac{PL}{AE}+4\text{ mm}+\frac{D}{120}$$

式中 $D$ 以毫米計。將此線畫在荷重－沉陷曲線上，交點的荷重即為 Davisson 法判定的極限荷重。此法的重點是扣除樁身彈性壓縮後，再以固定偏移量界定承載力。

(2)(a) Meyerhof 法：樁端極限承載力

樁尖位於下層粉質黏土，該層不排水剪力強度為 $c_u=80\text{ kPa}$。採用黏土樁端承載力係數 $N_c=9$：

$$q_{pu}=N_c c_u=9(80)=720\text{ kPa}$$

題目文字給定樁徑 $D=0.4\text{ m}$，樁端面積為

$$A_p=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.4)^2}{4} =0.1257\text{ m}^2$$

因此樁端極限承載力為

$$Q_{pu}=q_{pu}A_p =720(0.1257) \approx 90.5\text{ kN}$$

(2)(b) $\alpha$ 法：樁身極限摩擦力

樁身穿過上層 $6.1\text{ m}$ 粉質黏土，並進入下層粉質黏土 $12.2\text{ m}$。地下水位位於兩層交界；下層土的有效單位重為

$$\gamma'_2=\gamma_{\mathrm{sat},2}-\gamma_w =19.0-9.81 =9.19\text{ kN/m}^3$$

各層依平均有效上覆壓力計算 $\alpha$。

上層平均有效上覆壓力取層中點：

核心觀念

本題結合「偏心荷載的有效面積法」與「基礎底面的接觸壓力分布」。

依原圖，基礎底面位於上層砂土與下層黏土的交界。承載力採基底以下黏土的不排水總應力分析，取 $c_u=75\ \text{kPa}$、$\phi_u=0$；上層砂土則提供覆土壓力。

偏心荷載計算承載力時，使用有效尺寸 $B'$、$L'$；深度修正係數中的寬度仍採實際寬度 $B=2.0\ \text{m}$。接觸壓力則在實際基礎面積上計算。

解題方法

（1）承載力破壞的安全係數

① 求偏心距與有效面積

荷載偏心距為

$$e=\frac{M}{P} =\frac{67.5}{450} =0.15\ \text{m}.$$

基礎為方形，$B=L=2.0\ \text{m}$。只有一個方向偏心，因此

$$B'=B-2e=2.0-2(0.15)=1.70\ \text{m}, \qquad L'=L=2.0\ \text{m}.$$

有效面積與其平均施加壓力為

$$A'=B'L'=1.70(2.0)=3.40\ \text{m}^2,$$ $$q_{\mathrm{eff}}=\frac{P}{A'} =\frac{450}{3.40} =132.35\ \text{kPa}.$$

② 求覆土壓力與承載力係數

地下水位位於基礎底面，上方土層採題示單位重 $\gamma=16\ \text{kN/m}^3$：

$$q=\gamma D_f=16(1.2)=19.2\ \text{kPa}.$$

對 $\phi_u=0$ 的黏土：

$$N_c=5.14,\qquad N_q=1,\qquad N_\gamma=0.$$

因此一般承載力公式中的土重項為零，無須代入下層土的 $\gamma_{\mathrm{sat}}$。

③ 求修正係數

形狀修正採有效尺寸：

$$F_{cs} =1+\frac{B'N_q}{L'N_c} =1+\frac{1.70(1)}{2.0(5.14)} \approx1.165.$$

深度修正採實際寬度：

$$F_{cd} =1+0.4\frac{D_f}{B} =1+0.4\frac{1.2}{2.0} =1.24.$$

因 $\phi_u=0$，

$$F_{qs}=1,\qquad F_{qd}=1.$$

荷載沒有水平分力，合力方向仍為鉛直，故 $\beta=0$，取

$$F_{ci}=F_{qi}=1.$$

力矩造成的是偏心，已由有效面積法處理，不需另加荷載傾斜折減。

④ 計算極限承載力與安全係數

Meyerhof 一般承載力公式簡化為

$$q_u=c_uN_cF_{cs}F_{cd}+q.$$

代入數值：

$$q_u \approx75(5.14)(1.165)(1.24)+19.2 =576.1\ \text{kPa}.$$

以極限總承載壓力除以有效面積上的施加壓力：

$$FS=\frac{q_u}{q_{\mathrm{eff}}} =\frac{576.1}{450/3.40} \approx\boxed{4.35}.$$