108 年 國立成功大學土木工程系碩士班丙組《材料力學》

核心觀念

本題結合剛體平衡、幾何相容與雙線性應力－應變關係：

• 對剛桿 $AB$ 取 $A$ 點力矩，可求出鋼線拉力。
• 鋼線應力由 $\sigma=T/A$ 求得，再依雙線性圖計算應變。
• 鋼線伸長量等於 $D$ 點向下位移；剛桿繞 $A$ 轉動時，各點位移與到 $A$ 的距離成正比。

解題方法

1. 由剛桿力矩平衡求鋼線拉力

圖中 $AD=2b$、$DB=b$，所以 $AB=3b$。以 $A$ 點取力矩：

因此鋼線拉力為

2. 求鋼線應力與應變

鋼線截面積為 $A=20\text{ mm}^2$，故應力為

由圖可知，應力達 $400\text{ MPa}$ 後，斜率改為 $E_2=10\text{ GPa}$；初始斜率為 $E_1=200\text{ GPa}$。因此總應變為第一段應變加上第二段增量：

核心觀念

本題考察均布載重下的懸臂端外伸梁之剪力與彎矩，以及矩形截面的最大剪應力、最大正應力公式。由於梁與載重對稱，兩支承反力相等；最大剪應力由最大剪力決定，最大正應力由最大彎矩決定。

矩形截面的應力公式為

其中 $b$ 為截面寬度、$h$ 為截面深度。

解題方法

圖示兩支承分別距梁端 $A$、$B$ 為 $L/4$，均布載重 $w$ 作用於全長 $L$。由對稱性，支承反力為

支承間的剪力最大絕對值為

支承處的彎矩絕對值最大。以左端外伸段長度 $L/4$ 計算，支承處彎矩為

(a) 最大應力比

將最大剪力與最大彎矩代入矩形截面應力公式：

核心觀念

本題考查梁之複合應力狀態（Combined Stresses）與平面主應力分析（Principal Stress Analysis），主要涵蓋以下觀念與公式：

1. 懸臂梁內力分析：
   在距離自由端 $x$ 處之截面，剪力 $V(x) = P$，彎矩 $M(x) = P \cdot x$。
2. 梁之正應力公式（Flexure Formula）：
   $\sigma_x = \frac{M y}{I}$
   其中 $y$ 為計算點至中性軸（形心軸）之垂直距離，$I = \frac{b h^3}{12}$ 為矩形截面之面積慣性矩。
3. 橫向剪應力公式（Shear Formula）：
   $\tau_{xy} = \frac{V Q}{I b}$
   其中 $Q = A' \bar{y}'$ 為計算點外側部分截面對中性軸之一次面積矩（靜矩）。
4. 平面應力狀態之最大主應力（Maximum Principal Stress）：
   在點 $A$ 處，因無橫向外力故 $\sigma_y = 0$。最大主應力公式為：
   $\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$

解題方法

題目數據說明：
題目中點 $A$ 離底面之距離標記為 $d = 0.6\text{ mm}$，參照梁高 $h = 1.0\text{ m}$ 與其他公尺級尺寸，此處顯係原卷排版誤植（將 $\text{m}$ 誤印為 $\text{mm}$）。若取 $d = 0.6\text{ m}$，數值恰成完美可化簡之幾何與應力比值。以下以標準題意 $d = 0.6\text{ m}$ 進行嚴謹推導。

步驟一：計算幾何斷面性質

矩形截面寬 $b = 0.3\text{ m}$，高 $h = 1.0\text{ m}$：

• 形心（中性軸）位於距底面 $\frac{h}{2} = 0.5\text{ m}$ 處。
• 截面慣性矩：
  $I = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.3 \times 1.0^3}{12} = 0.025\text{ m}^4$
• 點 $A$ 距底面 $d = 0.6\text{ m}$，則其相對於中性軸之座標為：
  $y = d - \frac{h}{2} = 0.6 - 0.5 = 0.1\text{ m}\quad(\text{在中性軸上方})$
• 點 $A$ 以上區域對中性軸之一次面積矩 $Q$：
  $A' = b \times (0.5 - 0.1) = 0.3 \times 0.4 = 0.12\text{ m}^2$
  $\bar{y}' = \frac{0.1 + 0.5}{2} = 0.3\text{ m}$
  $Q = A' \bar{y}' = 0.12 \times 0.3 = 0.036\text{ m}^3$

步驟二：求點 $A$ 所在截面的內力與應力分量

在距自由端 $c = 1.0\text{ m}$ 處之截面：

• 剪力 $V = P$

核心觀念

本題為「剛桿搭配彈簧」的挫屈問題，兩根桿 $AB$、$BC$ 均視為長度 $L$ 的剛桿，彈性應變能全部儲存在彈簧中。採用總位能法：直立平衡位置的總位能二次項係數降至零時，即達到臨界挫屈荷重。

彈簧的應變能公式為

解題方法

1. 選取自由度與建立幾何關係

由圖可知，$A$ 點位置固定，$C$ 點受垂直導軌約束，只能上下移動。令下桿 $AB$ 偏離鉛直方向的轉角為 $\theta$。

因兩桿等長，且 $A$、$C$ 位於同一鉛直線，上桿 $BC$ 必須向相反方向轉動相同角度。因此，系統只有一個自由度 $\theta$，且：

• $A$ 點轉動彈簧的轉角為 $\theta$。
• $B$ 點轉動彈簧承受兩桿的相對轉角，大小為 $2\theta$。
• $B$ 點水平位移為 $u_B=L\sin\theta$。

挫屈後，$C$ 點高度由 $2L$ 變為 $2L\cos\theta$，故其向下位移為

在微小轉角下，

2. 計算彈簧應變能

$A$ 點轉動彈簧剛度為 $\beta_R/2$，其應變能為