108 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程統計》

本題考驗離散型隨機變數的機率計算，特別是事件機率的合併與互補。

首先，我們需要理解題目給定的機率質量函數 (pmf)，它描述了在特定時間點，六條電話線中，使用中電話線數量 $X$ 的機率分佈。

(1) 計算 {至少三條線在使用中} 的機率：
這表示 $X \ge 3$。我們需要將 $X=3, 4, 5, 6$ 的機率相加。
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$
$P(X \ge 3) = 0.25 + 0.2 + 0.06 + 0.04 = 0.55$
【答案】0.55

(2) 計算 {介於兩條線與五條線之間，包含兩端，在使用中} 的機率：
這表示 $2 \le X \le 5$。我們需要將 $X=2, 3, 4, 5$ 的機率相加。
$P(2 \le X \le 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(2 \le X \le 5) = 0.2 + 0.25 + 0.2 + 0.06 = 0.71$
【答案】0.71

(3) 計算 {介於兩條線與四條線之間，包含兩端，沒有在使用中} 的機率：

本題考驗連續隨機變數的機率密度函數 (pdf) 的性質與機率計算。

(1) 求常數 $k$ 的值：
對於一個有效的機率密度函數，其在整個定義域上的積分必須等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$
在本題中，pdf 只在 $2 \le x \le 4$ 的區間內非零。
$\int_{2}^{4} k[1-(x-3)^2] dx = 1$
我們需要計算這個積分。令 $u = x-3$，則 $du = dx$。當 $x=2$ 時，$u = 2-3 = -1$；當 $x=4$ 時，$u = 4-3 = 1$。
$\int_{-1}^{1} k[1-u^2] du = 1$
$k \int_{-1}^{1} (1-u^2) du = 1$
$k \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 1$
$k \left[ \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) \right] = 1$
$k \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) \right] = 1$
$k \left[ \frac{2}{3} - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) \right] = 1$
$k \left[ \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right] = 1$
$k \left[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right] = 1$
$k \left[ \frac{4}{3} \right] = 1$
$k = \frac{3}{4}$
【答案】$k = \frac{3}{4}$

(2) 計算實際追蹤重量大於預設重量的機率：
預設重量是 3 g。我們需要計算 $P(X > 3)$。
$P(X > 3) = \int_{3}^{\infty} f(x) dx$
由於 pdf 在 $x > 4$ 時為 0，積分範圍變為 $3 \le x \le 4$。
$P(X > 3) = \int_{3}^{4} \frac{3}{4}[1-(x-3)^2] dx$
再次令 $u = x-3$，則 $du = dx$。當 $x=3$ 時，$u = 3-3 = 0$；當 $x=4$ 時，$u = 4-3 = 1$。
$P(X > 3) = \int_{0}^{1} \frac{3}{4}(1-u^2) du$
$P(X > 3) = \frac{3}{4} \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$P(X > 3) = \frac{3}{4} \left[ \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right) \right]$
$P(X > 3) = \frac{3}{4} \left[ 1 - \frac{1}{3} \right]$
$P(X > 3) = \frac{3}{4} \left[ \frac{2}{3} \right] = \frac{1}{2}$
【答案】$\frac{1}{2}$

(3) 計算實際重量在預設重量的 25 g 以內的機率：
預設重量是 3 g。實際重量在預設重量的 25 g 以內，表示 $|X - 3| \le 0.25$。
這等價於 $-0.25 \le X - 3 \le 0.25$，即 $3 - 0.25 \le X \le 3 + 0.25$，也就是 $2.75 \le X \le 3.25$。

本題考驗建構母體平均數 $\mu$ 的信賴區間 (Confidence Interval, CI)。題目已給定母體標準差 $\sigma=3$，且假設母體為常態分佈，因此我們可以使用 Z-分佈來建構信賴區間。信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數，$n$ 是樣本大小，$\sigma$ 是母體標準差，$z_{\alpha/2}$ 是 Z-分佈的臨界值，使得上尾機率為 $\alpha/2$。信賴區間的寬度為 $2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

(1) 計算 95% CI for $\mu$：
給定 $\bar{x} = 58.3$, $n=25$, $\sigma=3$。
對於 95% CI，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。因此，$\alpha/2 = 0.025$。
從題目提供的表格中，我們找到 $\Phi(z) = 0.975$ 時的 $z$ 值，即 $z_{0.025} = 1.96$。
信賴區間為：
$58.3 \pm 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{25}}$
$58.3 \pm 1.96 \times \frac{3}{5}$
$58.3 \pm 1.96 \times 0.6$
$58.3 \pm 1.176$
信賴區間為 $[58.3 - 1.176, 58.3 + 1.176] = [57.124, 59.476]$。
【答案】[57.124, 59.476]

本題考驗統計檢定中的假設檢定，包括設定虛無與對立假設、選擇檢定統計量、計算檢定統計量值以及根據顯著水準做決策。

已知樣本大小 $n=16$，樣本平均數 $\bar{x}=2160$，樣本標準差 $s=30$。母體標準差 $\sigma$ 未知。

(1) 設定假設檢定：
我們想要檢定「滾筒矯正法 (roller method) 的平均抗拉強度是否超過 2150 N/mm²」。
因此，虛無假設 ($H_0$) 是平均抗拉強度等於或小於 2150 N/mm²，而對立假設 ($H_a$) 是平均抗拉強度大於 2150 N/mm²。
$H_0: \mu \le 2150$
$H_a: \mu > 2150$
或者，也可以寫成：
$H_0: \mu = 2150$ (通常虛無假設設定為等號，因為檢定是針對這個值進行)
$H_a: \mu > 2150$
【答案】$H_0: \mu = 2150$, $H_a: \mu > 2150$ (或 $H_0: \mu \le 2150$, $H_a: \mu > 2150$)

(2) 選擇檢定統計量：
由於母體標準差 $\sigma$ 未知，且假設樣本來自常態分佈的母體，我們應該使用 t-檢定。
檢定統計量為：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均數值。
自由度為 $df = n-1 = 16-1 = 15$。

本題考驗對變異數分析表 (ANOVA table) 的理解與計算，以及迴歸分析中的基本概念。

首先，我們需要了解 ANOVA 表中各個欄位和列之間的關係：
SS (Sum of Squares): 各類型的離均平方和。
DF (Degrees of Freedom): 各自由度。
MS (Mean Square): 各均方，即 $MS = SS/DF$。
F: F 統計量，即 $F = MS_{Model} / MS_{Error}$。
Prob. > F: P 值，即觀察到的 F 值或更極端值的機率。

對於迴歸分析，總變異 (Total SS) 等於模型變異 (Model SS) 加上誤差變異 (Error SS)。
$SS_{Total} = SS_{Model} + SS_{Error}$。
自由度方面，對於簡單線性迴歸 ($y = \beta_0 + \beta_1 x$)：
$DF_{Model} = 1$ (迴歸係數 $\beta_1$ 的數量)。
$DF_{Error} = n - DF_{Model} - 1 = n - 1 - 1 = n-2$ (其中 $n$ 是觀察值數量)。
$DF_{Total} = n-1$。
注意：題目中給的 $n=16$ 是觀察值數量。

(1) 填寫缺失的數字：

首先，根據 SS 的關係：
$SS_{Total} = SS_{Model} + SS_{Error}$
$3034.43 = 2059.78 + 974.65$ (此為驗證，數字正確)

接下來，根據自由度 (DF) 的關係：
$DF_{Total} = n-1 = 16-1 = 15$。所以 (c) = 15。
$DF_{Model} = 1$ (因為是簡單線性迴歸，只有一個自變數 $x$)。所以 (a) = 1。
$DF_{Error} = DF_{Total} - DF_{Model} = 15 - 1 = 14$。所以 (b) = 14。
(驗證：$DF_{Error} = n-2 = 16-2 = 14$。正確。)

然後，計算 MS (Mean Square)：
$MS_{Model} = SS_{Model} / DF_{Model} = 2059.78 / 1 = 2059.78$。所以 (d) = 2059.78。

本題考驗假設檢定與信賴區間之間的關係，以及如何正確設定假設檢定的虛無與對立假設。

(1) 假設檢定與信賴區間的關係：
題目給定：母體為常態分佈，$\sigma=2.5$。檢定假設為 $H_0: \mu = 1$ vs. $H_a: \mu \neq 1$ (雙尾檢定)。
檢定得到的 p-value = 0.022。

假設檢定與信賴區間有密切的關係。對於一個顯著水準為 $\alpha$ 的雙尾檢定，如果我們能夠建構一個 $(1-\alpha) \times 100\%$ 的信賴區間，並且這個信賴區間不包含虛無假設中的參數值，那麼我們就可以拒絕虛無假設。反之，如果信賴區間包含虛無假設中的參數值，我們就無法拒絕虛無假設。

在此題中，p-value = 0.022。
若我們使用顯著水準 $\alpha = 0.05$ 進行檢定：
因為 p-value (0.022) < $\alpha$ (0.05)，所以我們拒絕虛無假設 $H_0: \mu = 1$。
這表示在 0.05 的顯著水準下，我們有足夠證據支持對立假設 $H_a: \mu \neq 1$。
相對應的，一個 $(1-0.05) \times 100\% = 95\%$ 的信賴區間，應該不包含虛無假設中的值 $\mu=1$。

選項分析：
(a) A 95% confidence interval for $\mu$ will include the value 1.
由於 p-value < 0.05，我們拒絕 $H_0: \mu=1$。因此 95% CI 應該不包含 1。此選項錯誤。

(c) A 99% confidence interval for $\mu$ will include the value 1.
若我們使用顯著水準 $\alpha = 0.01$ 進行檢定：
因為 p-value (0.022) > $\alpha$ (0.01)，所以我們無法拒絕虛無假設 $H_0: \mu = 1$。