108 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

本題主要在考察學生對應力路徑 (stress path) 的基本概念、$K_f$ 線的意義，以及如何由 $K_f$ 線求得土壤的凝聚力 ($c$) 與內摩擦角 ($\phi$)。

核心觀念：

• 應力路徑 (Stress Path): 在三軸試驗中，描述土體內應力狀態隨時間或加載過程變化的軌跡。通常以 $\bar{p}$ (平均有效應力) 和 $\bar{q}$ (偏差應力) 的函數來表示，有時也繪製在 $p-q$ 圖上。
• $K_f$ 線: 在 $p-q$ 圖上，代表土體發生破壞時，所有可能應力狀態的軌跡。它與莫爾圓相切，且表示了土體的破壞準則。
• 由 $K_f$ 線求 $c$ 與 $\phi$: $K_f$ 線的斜率與截距與土壤的破壞參數有關。

解題過程：

(a) What is stress path? [5分]
應力路徑 (Stress Path) 是在三軸試驗（或其他應力狀態實驗）中，用來表示土體內有效應力狀態隨加載過程變化的幾何圖形。通常在 $p-q$ 圖上繪製，其中 $p = \frac{\sigma'_{1} + \sigma'_{3}}{2}$ 是平均有效應力，而 $q = \sigma'_{1} - \sigma'_{3}$ 是偏差應力（或剪應力）。應力路徑的起始點通常代表初始的應力狀態（如圍壓），而終點則表示試驗結束時的應力狀態，或是發生破壞時的應力狀態。不同的試驗條件（如 CU, CD, UU）和加載方式會產生不同的應力路徑。

(b) What does the $K_f$ line represent? [5分]
$K_f$ 線（或稱為破壞線，Failure Envelope）是土壤力學中，表示土體發生破壞時，所有可能應力狀態的軌跡。在 $p-q$ 圖上，$K_f$ 線是一條通過原點或與 $p$ 軸有截距的直線（或曲線，取決於破壞準則）。當應力路徑到達並觸碰到 $K_f$ 線時，土體即發生破壞。$K_f$ 線代表了土體的極限強度，其斜率和截距與土壤的破壞參數（內摩擦角 $\phi$ 和凝聚力 $c$）有關。

(c) How to find the cohesion and friction angle from the $K_f$ line? [10分]
在 $p-q$ 圖上，根據莫爾-庫倫破壞準則，對於飽和黏性土，破壞線 $K_f$ 的方程式可以表示為：
$q = \sigma'_{1} - \sigma'_{3} = (2c \cos\phi) + (\sigma'_{1} + \sigma'_{3}) \sin\phi$
或
$q = (2c \cos\phi) + 2p \sin\phi$

其中：

• $q$ 是偏差應力
• $p$ 是平均有效應力
• $c$ 是凝聚力
• $\phi$ 是內摩擦角

此方程式在 $p-q$ 圖上是一條直線。

1. 求內摩擦角 ($\phi$)：
   $K_f$ 線的斜率與 $\sin\phi$ 有關。從 $q = (2c \cos\phi) + 2p \sin\phi$ 式子可以整理出：
   $\frac{q}{p} = \frac{2c \cos\phi}{p} + 2 \sin\phi$
   這不是一個直接的線性關係。更常見的做法是從莫爾圓與破壞線相切的角度來理解。
   若破壞線是 $q = m p + b$，則：

本題屬於土壤基本物理性質的計算，需要利用給定的土體性質（比重、含水率、濕重）來推導其他重要的參數，如乾重、孔隙比、孔隙率和飽和度。

核心觀念：

• 單位重 (Unit Weight, $\gamma$)： 土體單位體積的重量。
• 濕單位重 ($\gamma_m$)： 土體在實際含水率下的單位重。
• 乾單位重 ($\gamma_d$)： 土體除去水分後的單位重。
• 含水率 ($w$)： 土體中水分重量佔土粒重量的百分比。
• 比重 ($G_s$)： 土粒的密度與水密度之比。
• 孔隙比 ($e$)： 土體中孔隙體積與土粒體積之比。
• 孔隙率 ($n$)： 土體中孔隙體積與總體積之比。
• 飽和度 ($S$)： 土體中水分體積佔孔隙體積的百分比。

基本關係式：

1. $\gamma_m = \gamma_d + \gamma_w \cdot n \cdot S = \gamma_d + \gamma_w \cdot \frac{V_v}{V} \cdot S$
2. $\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1+e}$
3. $\gamma_m = \frac{(G_s+Se) \gamma_w}{1+e}$
4. $w = \frac{W_w}{W_s}$
5. $V_w = \frac{W_w}{\gamma_w}$
6. $V_s = \frac{W_s}{\gamma_w G_s}$
7. $V_v = V_w + V_a$ (孔隙體積 = 水體積 + 空氣體積)
8. $V = V_s + V_v$ (總體積 = 土粒體積 + 孔隙體積)
9. $e = V_v / V_s$
10. $n = V_v / V = e / (1+e)$
11. $S = V_w / V_v$
12. $\gamma_w$ (水的單位重) 在台灣通常取 $9.81 \text{ kN/m}^3$。

解題過程：
給定：

• $G_s = 2.74$
• $\gamma_m = 20.6 \text{ kN/m}^3$
• $w = 16.6\% = 0.166$
• $\gamma_w = 9.81 \text{ kN/m}^3$ (假設)

1. 決定乾單位重 ($\gamma_d$) [5分]
我們知道 $\gamma_m = \gamma_d + \gamma_w \cdot n \cdot S$。
另外，我們也有關係式 $\gamma_m = \frac{\gamma_d (1+w)}{1} = \gamma_d (1+w)$。
此關係式 $\gamma_m = \gamma_d(1+w)$ 是錯誤的，正確的關係式是 $\gamma_m = \gamma_d + \gamma_w \cdot \frac{V_w}{V}$。
或從重量和體積關係：
$\gamma_m = \frac{W_t}{V} = \frac{W_s + W_w}{V}$
$\gamma_d = \frac{W_s}{V}$
$w = \frac{W_w}{W_s} \Rightarrow W_w = w W_s$
所以，$\gamma_m = \frac{W_s + w W_s}{V} = \frac{W_s(1+w)}{V} = \gamma_d (1+w)$。
這個關係式 $\gamma_m = \gamma_d(1+w)$ 是正確的，但要注意 $w$ 是指質量含水率。

利用 $\gamma_m = \gamma_d (1+w)$：
$20.6 \text{ kN/m}^3 = \gamma_d (1 + 0.166)$
$20.6 = \gamma_d (1.166)$
$\gamma_d = \frac{20.6}{1.166} \approx 17.667 \text{ kN/m}^3$

核心觀念

孔隙比定義為

$$e=\frac{V_v}{V_s} =\frac{V_{\text{cell}}-V_s}{V_s} =\frac{V_{\text{cell}}}{V_s}-1$$

假設土粒為直徑 $d$ 的相同球體，且忽略邊界效應。題圖中的兩種排列分別代表：

• (a) 立方排列（cubic packing）
• (b) 最密堆積排列（close packing，如 FCC 或 HCP）

單一球體體積為

$$V_s^{(1)}=\frac{\pi d^3}{6}$$

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(a) 立方排列

圖 (a) 中，每個球體中心與相鄰球體中心的距離為 $d$，因此可取邊長為 $d$ 的立方單位胞。

一個立方單位胞由八個角落球體共同組成，每個角落球體只有 $\frac18$ 位於此單位胞內，因此球體總數為

$$8\left(\frac18\right)=1$$

單位胞體積為

$$V_{\text{cell}}=d^3$$

其中固體體積為

$$V_s=\frac{\pi d^3}{6}$$

所以孔隙比為

$$e_a =\frac{d^3-\frac{\pi d^3}{6}}{\frac{\pi d^3}{6}}$$ $$e_a =\frac{6}{\pi}-1$$ $$\boxed{e_a\approx 0.91}$$

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(b) 最密堆積排列

圖 (b) 為交錯排列的最密堆積。可採用 FCC 單位胞計算：

本題主要考察學生對未排水不固結 (UU) 三軸試驗的理解，包括試驗的進行方式、試驗結果的呈現（莫爾圓與破壞包線）、以及未排水剪切強度 (undrained shear strength) 的方程式。

核心觀念：

• UU 試驗： 在試驗過程中，試樣不排水，且在加壓過程中不固結。這意味著試驗在短時間內完成，以確保試樣中的孔隙水壓力沒有足夠的時間消散。此試驗適用於對瞬間強度感興趣的飽和黏性土。
• 總應力分析： UU 試驗的結果是基於總應力分析的，因為孔隙水壓力在試驗過程中沒有被量測或控制。
• 莫爾圓 (Mohr's Circle)： 用來表示土體在某一點的應力狀態。在三軸試驗中，一系列的莫爾圓可以展示不同加載階段的應力狀態。
• 破壞包線 (Failure Envelope)： 顯示所有發生破壞的莫爾圓的切線。對於 UU 試驗，破壞包線代表總應力下的破壞準則。
• 未排水剪切強度 ($s_u$ 或 $c_u$)： 在 UU 試驗中，土體抵抗剪切破壞的能力。對於飽和黏性土，通常假設其凝聚力 $c_u$ 等於未排水剪切強度，而內摩擦角 $\phi_u$ 等於零。

解題過程：

(a) How it is performed? [進行方式]
未排水不固結 (UU) 三軸試驗的典型步驟如下：

1. 試樣準備： 從土樣中取出或製作圓柱形試樣（通常直徑與高度比例為 1:2）。
2. 試樣測量： 測量試樣的初始尺寸和重量。
3. 包覆橡皮膜： 在試樣外層套上橡皮膜，以防止試驗時水分滲入。
4. 放置於三軸壓力室： 將試樣放置在三軸壓力室的底座上，並連接到壓力室頂部的頂桿。
5. 施加圍壓 ($\sigma_3$)： 壓力室充滿水，並施加一個恆定的圍壓 ($\sigma_3$)。在這個階段，試樣處於固結狀態（但 UU 試驗的「不固結」是指在剪切階段不排水也不固結）。
6. 施加軸向壓力 (加載)： 通過頂桿緩慢地增加軸向壓力 ($\Delta\sigma$)，直到試樣發生破壞。這個加載過程應足夠快，以確保試樣中的孔隙水壓力沒有時間消散（即達到不排水條件）。
7. 記錄數據： 在加載過程中，連續記錄軸向壓力 ($\Delta\sigma$)、圍壓 ($\sigma_3$) 和孔隙水壓力 ($\Delta u$)（如果設備允許測量）。
8. 重複試驗： 使用相同種類的土樣，重複上述步驟，但施加不同的圍壓 ($\sigma_3$)，以獲得足夠的數據點來繪製莫爾圓。

(b) Draw the total stress Mohr's circles and failure envelope obtained from such test on fully saturated cohesive soil [繪製總應力莫爾圓與破壞包線]
對於飽和黏性土進行 UU 試驗，當施加不同的圍壓 $\sigma_{3i}$ 並快速加載直到破壞時，可以得到一系列的總應力莫爾圓。

• 總應力莫爾圓： 對於第 $i$ 次試驗，在破壞時，圍壓為 $\sigma_{3i}$。軸向壓力為 $\sigma_{1i} = \sigma_{3i} + \Delta\sigma_i$。
  • 圓心在 $p$ 軸上的位置為 $p_i = \frac{\sigma_{1i} + \sigma_{3i}}{2}$。
  • 圓的半徑為 $R_i = \frac{\sigma_{1i} - \sigma_{3i}}{2} = \frac{q_i}{2}$。
  • 在 $p-q$ 圖上，圓的偏差應力為 $q_i = \sigma_{1i} - \sigma_{3i}$。

核心觀念

本題考查飽和黏土在一維排水條件下的固結沉陷，以及 $e-\log \sigma'$ 關係。主要觀念包括：

• 黏土僅發生垂直變形，側向變形受限制。
• 外加荷重使超額孔隙水壓逐漸消散，應力逐步轉移至土骨架。
• 主固結沉陷 $S_c$ 由孔隙比變化所造成。
• 壓縮曲線分為：
  • 再壓縮段：斜率為膨脹指數 $C_s$。
  • 原始壓縮段：斜率為壓縮指數 $C_c$。
• 黏土層厚度為 $H$，初始孔隙比為 $e_0$。

一維固結的控制方程為 Terzaghi 一維固結方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = c_v\frac{\partial^2u}{\partial z^2}$$

其中，$u$ 為超額孔隙水壓，$t$ 為時間，$z$ 為深度座標，$c_v$ 為固結係數：

$$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$$

本題重點在於由有效應力變化計算主固結沉陷。

$e-\log \sigma'$ 關係

在半對數座標上，孔隙比 $e$ 與有效垂直應力 $\sigma'_v$ 的關係可表示如下。

再壓縮或膨脹段

$$e_2-e_1 = -C_s\log\left(\frac{\sigma'_{v2}}{\sigma'_{v1}}\right)$$

因此：

$$e_2 = e_1-C_s\log\left(\frac{\sigma'_{v2}}{\sigma'_{v1}}\right)$$

其中 $C_s$ 為膨脹指數，亦常稱為再壓縮指數。

原始壓縮段

$$e_2-e_1 = -C_c\log\left(\frac{\sigma'_{v2}}{\sigma'_{v1}}\right)$$

因此：

$$e_2 = e_1-C_c\log\left(\frac{\sigma'_{v2}}{\sigma'_{v1}}\right)$$

其中 $C_c$ 為壓縮指數。

土壤力學中 $\log$ 通常表示以 10 為底的對數。

主固結沉陷公式

土體體積應變與孔隙比變化的關係為：

$$\epsilon_v=\frac{\Delta e}{1+e_0}$$

若黏土層厚度為 $H$，則主固結沉陷為：

$$S_c=H\epsilon_v$$

因此：

$$S_c = H\frac{e_0-e_f}{1+e_0}$$

將 $e-\log \sigma'$ 關係代入，即可得到完整的沉陷公式。

一般完整形式

設：

• $\sigma'_{v0}$：初始有效垂直應力
• $\sigma'_p$：先期固結壓力
• $\sigma'_{vf}$：固結完成後的最終有效垂直應力
• $e_0$：初始孔隙比
• $H$：黏土層厚度

若初始應力低於先期固結壓力，而最終應力超過先期固結壓力，則沉陷包含再壓縮段與原始壓縮段：

$$S_c = \frac{H}{1+e_0} \left[ C_s\log\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_{v0}}\right) + C_c\log\left(\frac{\sigma'_{vf}}{\sigma'_p}\right) \right]$$

此式即為超固結黏土進入原始壓縮區時的完整一維主固結沉陷公式。

不同固結狀態的公式

正常固結黏土

若：

$$\sigma'_{v0}=\sigma'_p$$

則整個加載過程均位於原始壓縮段：

本題要求對一段關於土壤剪切強度的英文敘述進行完整詮釋與翻譯，並理解其在工程上的重要性。題目敘述本身就是對剪切強度定義及其應用領域的概述。

核心觀念：

• 剪切強度 (Shear Strength): 土體抵抗剪切破壞的能力，是土體穩定性分析的關鍵參數。
• 破壞與滑動 (Failure and Sliding): 土體在受力超過其極限抵抗能力時發生的破壞或沿某一平面滑動的現象。
• 工程應用： 剪切強度對於分析邊坡穩定、基礎承載力、擋土牆側壓力等至關重要。
• 相關概念： 土體性質（index properties）、土體分類（soil classification）、壓實（compaction）和固結（consolidation）等概念，也是理解和確定剪切強度不可或缺的基礎。

詮釋與翻譯：

原文：
"The shear strength of a soil mass is the internal resistance per unit area that the soil mass can offer to resist failure and sliding along any plane inside it. One must understand the nature of shearing resistance in order to analyze soil stability problems, such as bearing capacity, slope stability, and lateral pressure on earth-retaining structures. In addition, a selected number of concepts, including but not limited to index properties, soil classification, compaction, and consolidation are also important."

翻譯：
「土體之剪切強度，為該土體單位面積所能提供之內在抵抗力，用以抵抗其內部任何平面之破壞與滑動。為分析土體穩定性問題，例如基礎承載力、邊坡穩定性、以及擋土結構之側向壓力等，必須理解剪切抵抗之本質。此外，包括但不限於物理性質（index properties）、土體分類、壓實、與固結等之選定概念，亦為重要。」