114 年 國立成功大學土木工程系碩士班乙組《土壤力學》

本大題為土壤力學基礎概念的選擇題，主要考察學生對土壤基本定義、狀態參數、應力分析、剪力強度、異向性以及臨界狀態等核心知識的理解。

a. 土壤的三相：
土壤是由固體顆粒（Soil Solids, $V_s, W_s$）、水（Water, $V_w, W_w$）和空氣（Air, $V_a, W_a$）所組成。
相圖（Phase Diagram）：
相圖是一個簡化的模型，用來表示土壤的三相體積與重量的關係。通常將固體顆粒視為一個單元，水和空氣則填充在固體顆粒之間的孔隙中。
相圖通常包含以下幾項：

• 體積：固體體積 ($V_s$)、水體積 ($V_w$)、空氣體積 ($V_a$)、孔隙體積 ($V_v = V_w + V_a$)、總體積 ($V = V_s + V_w + V_a = V_s + V_v$)。
• 重量：固體重量 ($W_s$)、水重量 ($W_w$)、空氣重量 ($W_a \approx 0$)、總重量 ($W = W_s + W_w + W_a$)。
• 飽和度（S）：孔隙中水的體積佔孔隙體積的比例 ($S = V_w / V_v$)。
• 空隙比（e）：孔隙體積與固體體積的比例 ($e = V_v / V_s$)。
• 體積含水率（n）：孔隙體積與總體積的比例 ($n = V_v / V$)。
• 水含量（$\omega$）：水重量與固體重量的比例 ($\omega = W_w / W_s$)。
• 單位體積重量（$\gamma$）：總重量與總體積的比例 ($\gamma = W / V$)。
• 浮體單位體積重量（$\gamma'$）：在水中的土壤單位體積重量 ($\gamma' = (\gamma - \gamma_w)$)。
• 固體比重（$G_s$）：固體顆粒密度與水密度的比例 ($G_s = \rho_s / \rho_w = \gamma_s / \gamma_w$)。

相圖的表示方式通常是在垂直軸上表示重量，在水平軸上表示體積。

b. 土壤狀態參數的定義與關係：

• 孔隙比 (Void Ratio, e)：定義為土壤中孔隙體積 ($V_v$) 與固體顆粒體積 ($V_s$) 的比值。
  $e = \frac{V_v}{V_s}$
  孔隙比反映了土壤孔隙的大小與密實程度。其值可以大於 1 (疏鬆土壤) 或小於 1 (緻密土壤)。

• 體積含水率 (Porosity, n)：定義為土壤中孔隙體積 ($V_v$) 與總體積 ($V$) 的比值。
  $n = \frac{V_v}{V}$
  體積含水率反映了土壤孔隙所佔總體積的比例。其值介於 0 和 1 之間。

• 飽和度 (Degree of Saturation, S)：定義為孔隙中水的體積 ($V_w$) 與孔隙體積 ($V_v$) 的比值。
  $S = \frac{V_w}{V_v}$
  飽和度反映了孔隙中被水填充的程度。完全飽和土的 $S=1$ (或 100%)，部分飽和土的 $0 \le S < 1$。

關係：
這些參數之間存在密切的數學關係，可以從相圖推導出來：

1. 總體積 $V = V_s + V_v$
   將 $V_s$ 除到等式兩邊：
   $\frac{V}{V_s} = \frac{V_s}{V_s} + \frac{V_v}{V_s}$
   $\frac{1}{n} = 1 + e \implies n = \frac{1}{1+e}$
   或者，將 $V$ 除到等式兩邊：
   $1 = \frac{V_s}{V} + \frac{V_v}{V}$
   $1 = \frac{V_s}{V} + n$
   由於 $V_s = V - V_v$，所以 $\frac{V_s}{V} = 1 - n$。
   又 $e = V_v / V_s$，所以 $V_v = e V_s$。
   $V = V_s + e V_s = V_s (1+e)$
   $n = \frac{V_v}{V} = \frac{e V_s}{V_s (1+e)} = \frac{e}{1+e}$
   所以，$n = \frac{e}{1+e}$ 或 $e = \frac{n}{1-n}$。

2. 飽和度與其他參數的關係：
   $V_v = V_w + V_a$
   $S = \frac{V_w}{V_v}$
   水含量 $\omega = \frac{W_w}{W_s}$
   水的密度 $\rho_w = \frac{W_w}{V_w} \implies W_w = \rho_w V_w$
   固體比重 $G_s = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{W_s/V_s}{\rho_w} \implies W_s = G_s \rho_w V_s$
   將 $W_w$ 和 $W_s$ 代入 $\omega$ 的定義：
   $\omega = \frac{\rho_w V_w}{G_s \rho_w V_s} = \frac{V_w}{G_s V_s}$
   $V_w = \omega G_s V_s$
   將 $V_w$ 代入飽和度定義：
   $S = \frac{\omega G_s V_s}{V_v}$
   再結合 $V_v = e V_s$：
   $S = \frac{\omega G_s V_s}{e V_s} = \frac{\omega G_s}{e}$
   所以，$S \cdot e = \omega \cdot G_s$。
   這個關係式非常重要，當知道其中三個參數時，就可以求出第四個。

   • 如果土壤是完全飽和的 ($S=1$)，則 $e = \omega G_s$。
   • 如果土壤是乾燥的 ($V_w=0, \omega=0, S=0$)，則 $V_v = V_a$。

c. 應力分析：總應力、有效應力與孔隙水壓力：

• 總應力 (Total Stress, $\sigma$)：在土壤中的某一點，垂直於該點的單位面積上所承受的總壓力。它包含了固體顆粒之間的接觸壓力以及孔隙中的水壓力。在分析土壤的變形和穩定性時，總應力是初步考慮的應力。
  計算上，對於地表以下的某一點，總應力通常是該點以上土層的總單位體積重量乘以該點的深度。

本題考驗土壤基本狀態參數的計算。已知條件有固體比重 ($G_s$)、濕單位體積重量 ($\gamma$) 和含水率 ($\omega$)，要求計算乾單位體積重量 ($\gamma_d$)、孔隙比 ($e$)、體積含水率 ($n$) 和飽和度 ($S$)。

已知：
$G_s = 2.67$
$\gamma = 17.6$ kN/m³ (濕單位體積重量)
$\omega = 12\% = 0.12$
水的單位體積重量 $\gamma_w = 9.81$ kN/m³ (標準值，若題目未給則使用此值)

a) 乾單位體積重量 (Dry unit weight, $\gamma_d$)
濕單位體積重量 ($\gamma$) 與乾單位體積重量 ($\gamma_d$) 的關係為：
$\gamma = \gamma_d (1 + \omega)$
因此，
$\gamma_d = \frac{\gamma}{1 + \omega}$
$\gamma_d = \frac{17.6 \text{ kN/m³}}{1 + 0.12} = \frac{17.6}{1.12} \text{ kN/m³}$
$\gamma_d \approx 15.714$ kN/m³

b) 孔隙比 (Void ratio, e)
我們知道 $\gamma_d$ 與 $G_s$ 及 $e$ 的關係式為：
$\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1 + e}$
整理後可得：
$e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1$

本題考驗土壤狀態參數的計算與應用，特別是關於飽和度的調整。題目要求計算需要額外添加多少水才能使單位體積的砂土試樣達到 90% 的飽和度，且在此過程中孔隙比不變。

已知：
初始狀態：
濕單位體積重量 $\gamma = 1.90$ t/m³。由於 1 t = 1000 kg，水的密度 $\rho_w \approx 1000$ kg/m³，所以 1 t/m³ $\approx 10$ kN/m³。因此，$\gamma = 1.90 \times 10 = 19.0$ kN/m³。
含水率 $\omega = 20\% = 0.20$
固體比重 $G_s = 2.65$
水的單位體積重量 $\gamma_w = 10$ kN/m³ (使用 1 t/m³ $\approx$ 10 kN/m³ 的近似值，或 $\gamma_w = 9.81$ kN/m³)
為保持計算一致性，本題使用 $\gamma_w = 10$ kN/m³。

目標狀態：
飽和度 $S_{final} = 90\% = 0.90$

假設：
孔隙比 $e$ 在實驗前後保持不變。

步驟 1：計算初始狀態的乾單位體積重量 ($\gamma_{d,initial}$)
$\gamma = \gamma_d (1 + \omega)$
$\gamma_{d,initial} = \frac{\gamma}{1 + \omega} = \frac{19.0 \text{ kN/m³}}{1 + 0.20} = \frac{19.0}{1.20} \text{ kN/m³} \approx 15.833$ kN/m³

步驟 2：計算初始狀態的孔隙比 ($e$)
$\gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1 + e}$
$e = \frac{G_s \gamma_w}{\gamma_d} - 1$
$e = \frac{2.65 \times 10 \text{ kN/m³}}{15.833 \text{ kN/m³}} - 1$
$e = \frac{26.5}{15.833} - 1 \approx 1.6737 - 1 = 0.6737$
由於題目假設孔隙比不變，所以最終狀態的孔隙比 $e_{final} = e = 0.6737$。

步驟 3：計算初始狀態的體積含水率 ($n_{initial}$)
$n_{initial} = \frac{e}{1 + e} = \frac{0.6737}{1 + 0.6737} = \frac{0.6737}{1.6737} \approx 0.4025$
由於孔隙比不變，最終體積含水率 $n_{final} = n_{initial} \approx 0.4025$。

步驟 4：計算最終狀態的飽和度 ($S_{final}$) 為 90% 時，所需的孔隙水體積 ($V_{w,final}$)
我們知道 $S_{final} = \frac{V_{w,final}}{V_v}$，其中 $V_v$ 是孔隙體積。

本題考驗學生對莫爾-庫倫破壞準則的理解和應用，以及直接剪切試驗結果的判讀。題目給定了在直接剪切試驗中的法向應力、峰值剪應力以及土壤的黏聚力，要求計算土壤的內摩擦角。

已知：
法向應力 $\sigma_n = 150$ kPa
峰值剪應力 $\tau_{peak} = 60$ kPa
黏聚力 $c = 10$ kPa

莫爾-庫倫破壞準則的數學表達式為：
$\tau_f = c + \sigma_n \tan \phi$
其中：
$\tau_f$ 是破壞時的剪應力（在此題中為峰值剪應力 $\tau_{peak}$）
$c$ 是黏聚力
$\sigma_n$ 是法向應力
$\phi$ 是內摩擦角

將已知數值代入公式：
$60 \text{ kPa} = 10 \text{ kPa} + 150 \text{ kPa} \times \tan \phi$