114 年 國立成功大學建築學系碩士班丁組《建築結構力學》

核心觀念

本題考查：

• 平面桁架的節點法與整體平衡。
• 支承反力與基礎承載力。
• 桿件的拉力、壓力判定。
• Euler 桿件挫曲公式：

$$P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}$$

由圖可知，$E,D,C,B$ 位於同一直線上，間距皆為 $2\text{ m}$；$D$ 至 $F$ 為 $2\text{ m}$，因此：

$$EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ m}$$

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解題方法

1. 求最大荷重 $F$

將三個向下荷重皆設為 $F$，對整體桁架作平衡分析。

設 $A$ 點水平反力為 $A_x$，$B$ 點反力為 $B_x,B_y$。

對 $B$ 點取力矩：

$$\sum M_B=0$$

三個荷重距離 $B$ 點分別為 $6\text{ m}$、$4\text{ m}$、$2\text{ m}$，故：

$$12F-2A_x=0$$ $$A_x=6F$$

水平方向平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$B_x+A_x=0$$ $$B_x=-6F$$

鉛直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$B_y-3F=0$$ $$B_y=3F$$

因此，$B$ 點基礎所承受的合力為：

$$R_B=\sqrt{B_x^2+B_y^2} =\sqrt{(6F)^2+(3F)^2} =3\sqrt{5}F$$

由題意 $R_B=4\text{ kN}$：

$$3\sqrt{5}F=4$$ $$\boxed{F=\frac{4}{3\sqrt{5}}=0.596\text{ kN}}$$

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2. 求 $AF$、$CF$、$EF$ 桿件內力

（1）節點 $E$

在節點 $E$，$EF$ 與水平夾角為 $45^\circ$。

鉛直方向平衡：

$$EF\sin45^\circ-F=0$$ $$EF\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=F$$ $$EF=\sqrt2F$$

因此 $EF$ 為拉力。

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（2）節點 $D$

節點 $D$ 受向下荷重 $F$，且 $DF$ 為鉛直桿，因此：

$$DF=F$$

為拉力。

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（3）節點 $F$

核心觀念

本題考查：

• 三角形分布載重的合力與作用位置。
• 懸臂外伸梁的支承反力。
• 剪力圖與彎矩圖之間的關係：
  $\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)$
• 梁之彎曲應力與降伏判定：
  $\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}\leq F_y$

依圖示，梁長度為 $AC=13\text{ m}$，$AB=9\text{ m}$、$BC=4\text{ m}$；三角形分布載重作用於 $AB$ 段，從 $A$ 點的 $0$ 線性增加至 $B$ 點的 $50\text{ kN/m}$，且 $C$ 點有順時針力矩 $200\text{ kN}\cdot\text{m}$。

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解題方法：支承反力

三角形分布載重之合力為

$$W=\frac{1}{2}(9)(50)=225\text{ kN}$$

其作用位置距離小載重端 $A$ 為

$$x_W=\frac{2}{3}(9)=6\text{ m}$$

設 $A$ 點垂直反力為 $A_y$，$B$ 點垂直反力為 $B_y$。

垂直力平衡：

$$A_y+B_y-225=0$$

取 $A$ 點力矩，逆時針為正：

$$9B_y-225(6)-200=0$$

因此

$$B_y=\frac{1350+200}{9}=172.22\text{ kN}$$ $$A_y=225-172.22=52.78\text{ kN}$$

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（1）剪力圖與彎矩圖

取 $x$ 自 $A$ 點向右量，正彎矩為下凹型（受拉側在下方）。

AB 段剪力

三角形分布載重可表示為

$$w(x)=\frac{50}{9}x$$

由 $A$ 點至任意位置 $x$ 的載重合力為

$$\int_0^x \frac{50}{9}s\,ds =\frac{25}{9}x^2$$

因此 $AB$ 段剪力為

$$V_{AB}(x)=52.78-\frac{25}{9}x^2 \qquad (0\leq x\leq 9)$$

重要位置：

$$V_A=+52.78\text{ kN}$$ $$V_{B^-}=52.78-\frac{25}{9}(9)^2 =-172.22\text{ kN}$$

在 $B$ 點受到向上的反力 $172.22\text{ kN}$，故剪力圖跳升：

$$V_{B^+}=0$$

BC 段剪力

$BC$ 段沒有分布載重，因此

$$V_{BC}=0 \qquad (9\leq x\leq 13)$$

剪力圖形狀

• $A$ 點由 $+52.78\text{ kN}$ 開始。
• $AB$ 段為向下開口的拋物線。
• $B^-$ 為 $-172.22\text{ kN}$。
• $B$ 點向上跳升 $172.22\text{ kN}$ 至 $0$。
• $BC$ 段維持 $0$。

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AB 段彎矩

由

$$M(x)=\int V(x)\,dx$$

且 $M_A=0$，得

$$M_{AB}(x) =52.78x-\frac{25}{27}x^3 \qquad (0\leq x\leq 9)$$

在 $B$ 點：

$$M_B=52.78(9)-\frac{25}{27}(9)^3$$ $$M_B=475-675=-200\text{ kN}\cdot\text{m}$$

剪力為零的位置是彎矩極值位置：

$$V(x)=0$$ $$52.78-\frac{25}{9}x^2=0$$ $$x=\sqrt{19}=4.36\text{ m}$$

此處彎矩最大：

$$M_{\max,AB} =52.78(4.36)-\frac{25}{27}(4.36)^3$$ $$M_{\max,AB}=153.4\text{ kN}\cdot\text{m}$$

彎矩在 $AB$ 段再次通過零點的位置為

$$52.78x-\frac{25}{27}x^3=0$$ $$x=\sqrt{57}=7.55\text{ m}$$

BC 段彎矩

因為 $BC$ 段剪力為零，所以彎矩為常數：

$$M_{BC}=-200\text{ kN}\cdot\text{m} \qquad (9\leq x\leq 13)$$

彎矩圖形狀

核心觀念

本題考查平面剛架的支承反力、節點力與構件內力。先用整體平衡求反力，再取 AB 柱與 BC 梁分別作自由體圖，依序求剪力與彎矩。

圖示中 A 為鉸支承，C 為靠垂直牆面的滾支承，因此 C 只有水平反力。尺寸為 $AB=10\,\text{m}$、$BC=20\,\text{m}$；柱中點受 $10\,\text{kN}$ 向右力，梁中點受 $10\,\text{kN}$ 向下力。

解題方法與計算

1. 求支承反力

取向右、向上及逆時針為正。對整體列平衡式：

$$\sum F_y=0:\qquad A_y-10=0$$ $$\sum M_A=0:\qquad -10(5)-10(10)-C_x(10)=0$$

因此

$$A_y=10\,\text{kN},\qquad C_x=-15\,\text{kN}$$

再由水平力平衡：

$$\sum F_x=0:\qquad A_x+10+C_x=0$$ $$A_x=5\,\text{kN}$$

所以 A 點反力為 $5\,\text{kN}$ 向右、$10\,\text{kN}$ 向上；C 點反力為 $15\,\text{kN}$ 向左。

2. AB 柱的剪力圖與彎矩圖

令 $y$ 自 A 向上量。柱中點的水平集中力使剪力在該處跳變：

• A 至柱中點：剪力大小為 $5\,\text{kN}$。
• 柱中點至 B：剪力大小為 $15\,\text{kN}$。

取 A 至切面的下段作自由體，彎矩大小為

$$M_{AB}(y)= \begin{cases} 5y, & 0\le y\le 5\\ 5y+10(y-5), & 5\le y\le 10 \end{cases} \quad(\text{kN}\cdot\text{m})$$

關鍵位置的彎矩為

$$M_A=0,\qquad M_{y=5}=25\,\text{kN}\cdot\text{m},\qquad M_B=100\,\text{kN}\cdot\text{m}$$

因此 AB 柱的彎矩圖由 A 點的 0 線性增加至柱中點的 $25\,\text{kN}\cdot\text{m}$，再線性增加至 B 點的 $100\,\text{kN}\cdot\text{m}$。柱中點剪力有跳變，但彎矩連續。

3. BC 梁的剪力圖與彎矩圖

在 B 點，柱傳給梁的端彎矩大小為 $100\,\text{kN}\cdot\text{m}$。令 $x$ 自 B 向 C 量，採梁的下凹彎矩為正，則梁的彎矩為

$$M_{BC}(x)= \begin{cases} -100+10x, & 0\le x\le 10\\ 0, & 10\le x\le 20 \end{cases} \quad(\text{kN}\cdot\text{m})$$

梁中點荷重前，剪力為 $10\,\text{kN}$；荷重後至 C，剪力為 0。彎矩圖由 B 點的 $-100\,\text{kN}\cdot\text{m}$ 線性增加至梁中點的 0，之後維持 0 至 C 點。

構件位置	剪力大小	彎矩
AB 柱：A 至柱中點	$5\,\text{kN}$	$0\to25\,\text{kN}\cdot\text{m}$

本題為名詞解釋與現象分析題，考驗對結構力學基本概念的理解。

核心觀念：

1. 柱的受力與降伏： 壓應力、剪應力、彎曲應力與材料降伏準則。
2. 結構耐震性： 影響結構抗震能力的因素，如剛度、強度、韌性、質量分佈等。
3. 形抗結構 (Form-Resistant Structure)： 利用結構的幾何形狀來抵抗外力，減少材料使用。

解題過程：

(1) 獨立柱的降伏判斷

題目情境分析：
圖示顯示兩根獨立柱，都受到頂部的水平剪力 $F$。
柱 1：只承受水平剪力 $F$。
柱 2：除了水平剪力 $F$，還負擔軸向荷重 (題目未說明是壓力或拉力，但通常柱子會承受壓力，我們假設為壓力 $P$)。
兩根柱的幾何尺寸和材料相同。

核心觀念：
柱承受彎曲和剪切。柱 2 還承受軸向壓力。
降伏發生時，柱內最大應力達到材料的降伏強度 $F_y$。
柱內的應力主要包括：

• 彎曲正應力：$\sigma_b = \frac{My}{I}$
• 剪應力：$\tau = \frac{VQ}{It}$
• 軸向應力：$\sigma_a = \frac{P}{A}$

柱 1 的受力分析：
頂部剪力 $F$ 會在柱內產生剪力 $V=F$ 和彎矩 $M$。
假設柱長為 $L$。
在柱的底部，剪力 $F$ 和彎矩 $M$ 會由支承抵抗。
在柱的頂部，剪力 $F$ 會產生彎矩。
如果柱是懸臂梁形式（底部固定，頂部受力），則在底部會產生最大彎矩 $M = F \times L$。
同時，柱本身也會承受剪力 $V=F$。
柱內的應力分佈：

• 最大彎曲正應力：$\sigma_{b,max} = \frac{M y_{max}}{I} = \frac{FL y_{max}}{I}$。
• 最大剪應力：$\tau_{max}$ (發生在剪力中心附近)。

柱 2 的受力分析：
除了剪力 $F$ 和由此產生的彎矩 $M=FL$，還承受軸向壓力 $P$。
軸向壓力在整個柱的斷面上產生均勻的壓應力 $\sigma_a = \frac{P}{A}$。
在柱內，總應力是彎曲應力和軸向應力的疊加。

• 在柱的一側（受彎曲和軸壓力共同作用）：$\sigma_{total} = \sigma_a + \sigma_b$。
• 在柱的另一側（受軸壓力，彎曲應力為負）：$\sigma_{total} = \sigma_a - \sigma_b$。

降伏判斷：
我們需要比較兩根柱在何種條件下，其內部最大應力會首先達到 $F_y$。
通常，鋼結構的破壞模式是彎曲或剪切控制。對於細長柱，還可能發生挫曲。
這裡題目沒有給柱的長細比，我們假設不考慮挫曲，主要考慮材料的強度。

比較關鍵應力：

• 柱 1： 主要應力是彎曲應力 $\sigma_{b,max} = \frac{FL y_{max}}{I}$。 還有剪應力 $\tau$。
• 柱 2： 主要應力是 $\sigma_a = \frac{P}{A}$ 和 $\sigma_{b,max} = \frac{FL y_{max}}{I}$ 的組合。

考慮降伏準則：
對於鋼材，通常使用 Von Mises 準則或 Tresca 準則。
如果我們簡化問題，只考慮主要應力。

比較最大正應力：

• 柱 1 的最大正應力約為 $\sigma_{b,max}$ (忽略剪應力影響)。
• 柱 2 的最大正應力約為 $\sigma_a + \sigma_{b,max}$。

結論：
由於柱 2 同時承受軸向壓力 $P$，它在柱的某一側會產生 $\sigma_a + \sigma_{b,max}$ 的總應力。
而柱 1 的最大正應力約為 $\sigma_{b,max}$。
如果 $P>0$ (壓力)，則 $\sigma_a > 0$。
因此，柱 2 的總應力 $\sigma_a + \sigma_{b,max}$ 會比柱 1 的 $\sigma_{b,max}$ 更大。
當 $F$ 逐漸增加時，柱 2 的總應力會比柱 1 更快達到 $F_y$。
所以，柱 2 會先發生降伏。

理由：
柱 2 除了承受與柱 1 相同的彎曲應力外，還承受額外的軸向壓應力。這使得柱 2 內的總最大正應力（在受壓且受彎曲的一側）比柱 1 的最大彎曲應力更大。因此，在相同的水平剪力 $F$ 下，柱 2 的應力會先達到材料的降伏強度。

（9% 的配分，需要比較詳細的解釋）

進一步分析：

• 剪應力： 剪力 $F$ 在兩根柱中都會產生剪應力。但對於大多數柱形，彎曲應力遠大於剪應力。
• 挫曲： 如果柱很細長，軸向壓力 $P$ 會增加挫曲的風險。柱 2 在受軸壓力 $P$ 的情況下，其臨界挫曲荷重會降低，更容易發生挫曲。這也是柱 2 先破壞的一個原因。
• 降伏準則：
  • 柱 1 的最大 Von Mises 應力可能由彎曲應力主導。
  • 柱 2 的最大 Von Mises 應力會考慮軸向應力和彎曲應力。
  • 根據應力疊加原理，$\sigma_{max} = \sigma_a + \sigma_b$。
  • 如果 $\sigma_a > 0$ (壓力)，則 $\sigma_{max}$ 必大於 $\sigma_b$。
  • 因此，柱 2 的最大應力會先達到 $F_y$。

【答案】
柱 2 最先降伏。
理由： 柱 2 除了承受與柱 1 相同的水平剪力 $F$ 所引起的彎曲應力外，還額外承受軸向壓力 $P$。軸向壓力在柱的斷面上產生壓應力 $\sigma_a = P/A$。在柱的一側，總的正應力為 $\sigma_{total} = \sigma_a + \sigma_b$，其中 $\sigma_b$ 是彎曲應力。由於 $\sigma_a > 0$，則 $\sigma_{total} > \sigma_b$。因此，柱 2 內的總應力會比柱 1 的最大彎曲應力更快達到材料的降伏強度 $F_y$。此外，軸向壓力也會降低柱 2 的穩定性，使其更容易發生挫曲。

(2) 頂樓加蓋對結構耐震能力的影響