113 年 國立成功大學建築學系碩士班丁組《建築結構力學》

核心觀念

本題為靜定平面桁架分析，採用：

1. 整體平衡方程式求支承反力：
   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
2. 接點法求各桿件軸力。
3. 桿件內力以拉力為正、壓力為負。
4. 壓力桿需同時滿足降伏與 Euler 挫屈限制：
   $N_c\leq \min(F_yA,\;P_{cr})$
   $P_{cr}=\frac{\pi^2EI_{\min}}{(KL)^2}$

圖中假設 A 為鉸支承、D 為滾支承，各斜桿與水平夾角為 $45^\circ$，且 $AB=BC=CD=GE=EC=GB=10\text{ m}$。

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一、基礎反力

對整個桁架取平衡。

由 A 點取力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$D_y(30)-P(20)=0$$

因此

$$D_y=\frac{2P}{3}$$

再由鉛直力平衡：

$$A_y+D_y-P=0$$ $$A_y=\frac{P}{3}$$

水平方向無外力，因此：

$$A_x=0$$

所以基礎反力為：

$$\boxed{A_x=0,\qquad A_y=\frac{P}{3},\qquad D_y=\frac{2P}{3}}$$

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二、各桿件內力

以下令桿件拉力為正，壓力為負。

1. A 接點

A 接點連接 $AB$ 與 $AG$。

鉛直方向：

$$\frac{N_{AG}}{\sqrt{2}}+\frac{P}{3}=0$$ $$N_{AG}=-\frac{\sqrt{2}}{3}P$$

因此 $AG$ 為壓力桿。

水平方向：

$$N_{AB}+\frac{N_{AG}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{AB}=\frac{P}{3}$$

因此 $AB$ 為拉力桿。

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2. D 接點

D 接點連接 $CD$ 與 $ED$。

鉛直方向：

$$\frac{N_{ED}}{\sqrt{2}}+\frac{2P}{3}=0$$ $$N_{ED}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}P$$

因此 $ED$ 為壓力桿。

水平方向：

$$-N_{CD}-\frac{N_{ED}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{CD}=\frac{2P}{3}$$

因此 $CD$ 為拉力桿。

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3. B 接點

B 接點連接 $AB$、$BC$ 與 $BG$。

鉛直方向沒有外力：

$$N_{BG}=0$$

水平方向：

$$-N_{AB}+N_{BC}=0$$ $$N_{BC}=\frac{P}{3}$$

因此 $BC$ 為拉力桿，而 $BG$ 為零力桿。

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4. E 接點

E 接點連接 $GE$、$EC$ 與 $ED$。

水平方向：

$$-N_{GE}+\frac{N_{ED}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{GE}=-\frac{2P}{3}$$

因此 $GE$ 為壓力桿。

鉛直方向：

$$-N_{EC}-\frac{N_{ED}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{EC}=\frac{2P}{3}$$

因此 $EC$ 為拉力桿。

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5. C 接點

C 接點連接 $BC$、$CD$、$GC$ 與 $EC$，並承受向下荷重 $P$。

水平方向：

$$-N_{BC}+N_{CD}-\frac{N_{GC}}{\sqrt{2}}=0$$

代入 $N_{BC}=P/3$、$N_{CD}=2P/3$：

$$-\frac{P}{3}+\frac{2P}{3}-\frac{N_{GC}}{\sqrt{2}}=0$$ $$N_{GC}=\frac{\sqrt{2}}{3}P$$

因此 $GC$ 為拉力桿。

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三、桿件內力整理

桿件	內力	性質
$AB$	$\dfrac{P}{3}$	拉力
$BC$	$\dfrac{P}{3}$	拉力
$CD$	$\dfrac{2P}{3}$	拉力
$AG$	$\dfrac{\sqrt{2}}{3}P$	壓力
$BG$	$0$	零力桿

核心觀念

圖 2 是兩端固定、全長 $7\,\text{m}$ 的等剛度梁，$AB=2\,\text{m}$、$BC=5\,\text{m}$，於 $B$ 點受順時針集中力偶 $1000\,\text{kN}\cdot\text{m}$。集中力偶會使彎矩圖在作用點跳躍，但不會使剪力圖跳躍。

採用「正彎矩為下凹、正剪力使梁段順時針轉動」的符號約定。固定端的斜率與撓度皆為零，因此可用梁的曲率關係 $EI v''=M$，對全梁積分求出支承反力與彎矩圖。

解題方法與計算

令 $x$ 自 $A$ 點起算，$R_A$ 為 $A$ 點垂直反力（向上為正），$M_A$ 為 $A$ 點支承反力矩（逆時針為正）。由截面平衡，彎矩為

$$M(x)= \begin{cases} R_Ax-M_A, & 0\le x<2,\\ R_Ax-M_A+1000, & 2<x\le 7, \end{cases}$$

單位為 $\text{kN}\cdot\text{m}$。在 $B$ 點，彎矩向上跳 $1000\,\text{kN}\cdot\text{m}$，符合順時針外加力偶造成的彎矩跳躍。

固定端 $C$ 的轉角與撓度皆為零，且 $EI$ 全梁相同，因此：

$$\int_0^7 M(x)\,dx=0$$ $$\int_0^7(7-x)M(x)\,dx=0$$

代入分段彎矩式：

$$24.5R_A-7M_A+5000=0$$ $$\frac{343}{6}R_A-24.5M_A+12500=0$$

解得

$$R_A=-174.93\,\text{kN},\qquad M_A=102.04\,\text{kN}\cdot\text{m}$$

負的 $R_A$ 表示反力向下。由垂直力平衡，$R_C=174.93\,\text{kN}$ 向上；由整體力矩平衡，$C$ 點支承反力矩為 $326.53\,\text{kN}\cdot\text{m}$ 順時針。水平反力為零，梁的軸力亦為零。

剪力全梁為常數：

$$V(x)=R_A=-174.93\,\text{kN}$$

各關鍵位置的彎矩為

$$M_A=-102.04\,\text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{B^-}=-451.90\,\text{kN}\cdot\text{m},\qquad M_{B^+}=548.10\,\text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_C=-326.53\,\text{kN}\cdot\text{m}$$

核心觀念

本題的沉陷方向為鉛直向下，而支承 $D$ 位於豎直桿件 $BD$ 的軸線上。沉陷本身不會直接造成水平位移或桿件彎曲；必須先判斷：

1. 沉陷方向是否為桿件的橫向位移；
2. 結構是否因此產生節點轉角；
3. 是否考慮桿件軸向變形。

圖中未提供截面積 $A$、軸向剛度 $EA$，因此本題應採結構力學常用的「彎曲分析模型」：只分析剪力與彎矩，$D$ 點沉陷視為沿 $BD$ 桿軸方向的位移。

解題方法

1. 梁柱節點的變形

$A$、$C$ 支承位置均未發生位移，且沒有外加荷載。水平構件 $AC$ 可以保持原來的直線形狀，因此

$$v_A=v_B=v_C=0$$

又因為 $A$ 固定、$D$ 固定，且沒有造成梁柱節點的轉動，故

$$\theta_A=\theta_B=\theta_C=\theta_D=0$$

$D$ 點雖向下沉陷 $d$，但其位移方向與桿件 $BD$ 的軸線相同，因此只會造成 $BD$ 的軸向伸長或縮短，不造成彎曲變形。

2. 各桿件內力

沒有橫向變位與轉角，故各桿件的曲率為零：

$$\frac{d^2v}{dx^2}=0$$

由梁的基本關係式

$$M=EI\frac{d^2v}{dx^2}$$

可得所有桿件彎矩均為零：

$$M_{AB}=M_{BA}=M_{BC}=M_{CB}=M_{BD}=M_{DB}=0$$

又因為彎矩圖為零，剪力亦為零：

$$V_{AB}=V_{BC}=V_{BD}=0$$

因此：

• $AB$：無剪力、無彎矩；
• $BC$：無剪力、無彎矩；
• $BD$：無剪力、無彎矩；
• 所有節點不產生彎矩反力。

3. 軸力說明

本題為概念題，主要考驗對結構工程中常見名詞與破壞機制的理解與闡述能力。

(1) 同心斜撐、偏心斜撐系統 (Concentric and Eccentric Bracing Systems)

定義：
斜撐系統 (Bracing System) 是結構中用於抵抗水平力（如風力、地震力）並維持結構穩定性的構件系統，通常由斜向桿件組成。

• 同心斜撐系統 (Concentric Bracing):

  • 定義： 指斜撐桿件的軸線匯交於一點（或一條線上），且該匯交點位於該斜撐系統所連接的結構構件（如梁柱節點）的重心線上。換句話說，斜撐桿件的軸力主要通過節點傳遞，不會在節點處產生額外的彎矩。
  • 結構特點： 桿件主要承受軸向拉力或壓力。力的傳遞路徑直接、清晰。
  • 常見形式：
    • V 型斜撐 (V-Bracing): 兩個斜撐桿件從同一點伸出，匯交於梁或柱的節點。
    • 倒 V 型斜撐 (Inverted V-Bracing): 與 V 型斜撐相反。
    • X 型斜撐 (X-Bracing): 兩個斜撐桿件在結構構件中部交叉，兩端連接到節點。
    • K 型斜撐 (K-Bracing): 類似 X 型，但斜撐的連接點在梁或柱的中間。
  • 優點： 效率高，桿件主要承受軸力，材料利用率高，易於分析和設計。
  • 缺點： 可能會阻礙空間使用，影響建築設計。
  • 圖示說明：
    🖼️【此處應繪製 V 型、X 型等同心斜撐的示意圖，顯示桿件軸線匯交於節點】

• 偏心斜撐系統 (Eccentric Bracing):

  • 定義： 指斜撐桿件的軸線不匯交於一點，或者斜撐與梁柱節點的連接點不在同一條線上，導致斜撐桿件在節點處產生偏心。這種偏心會使得斜撐桿件在承受軸力時，同時也產生彎矩。
  • 結構特點： 斜撐桿件除了承受軸向拉力或壓力外，還會承受彎矩。力的傳遞路徑較為複雜，可能涉及梁的彎曲變形。
  • 常見形式：
    • 偏心斜撐梁 (Eccentrically Braced Frame, EBF): 在斜撐與梁柱節點之間設置一段梁（稱為剪力連結段 Shear Link），這段梁會承受剪力和彎矩，並在地震時通過延展變形吸收能量。
  • 優點： 結合了斜撐系統的剛度和梁的延性，能夠提供較好的抗震性能。
  • 缺點： 設計和分析相對複雜，剪力連結段的設計要求較高。
  • 圖示說明：
    🖼️【此處應繪製偏心斜撐梁（EBF）的示意圖，顯示剪力連結段以及力的傳遞】

(2) 短柱效應、牆體斜向剪力破壞成因 (Short Column Effect, Diagonal Shear Failure in Walls)

• 短柱效應 (Short Column Effect):
  • 定義： 指當柱的長度與其橫截面尺寸的比例（長細比）非常小時，柱在承受軸向壓力時，其破壞模式與長柱不同。長柱主要因挫屈 (buckling) 而破壞，而短柱則可能因材料的壓潰 (crushing) 或剪力破壞而失效。
  • 原因：