108 年 國立成功大學建築學系碩士班戊組《建築結構力學》

核心觀念

本題考查：

1. 鉸接點不能傳遞彎矩，因此各鉸接端皆有
   $M=0$

2. 集中力作用於桿件中點時，須將外力分解為桿軸方向與垂直桿軸方向，分別形成軸力與剪力。

3. 內力圖的基本關係為：

   • 軸力圖：集中力沿桿軸方向作用時產生跳躍。
   • 剪力圖：集中力垂直桿軸方向作用時產生跳躍。
   • 彎矩圖：剪力為常數時呈直線變化。

4. 支承螺栓須分別檢核抗拉與抗剪，螺栓數取兩者需求值的較大者。

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解題方法

設圖 1 中左、右斜桿皆與水平夾角 $45^\circ$，斜桿長度為

$$L=\sqrt{2}l$$

兩個斜桿中點各受鉛直向下集中力 $P$。

由於中間鉸接點 $B$ 不傳遞彎矩，且左右結構對稱，先由各桿件平衡及 $B$ 點力平衡求得端部作用力。

斜桿端部的水平力與鉛直力為：

$$H=\frac{P}{2},\qquad V=P$$

因此支承 $A$、$C$ 所受的水平正向力與鉛直剪力大小分別為：

$$N_A=N_C=\frac{P}{2}$$ $$V_A=V_C=P$$

固定端反力矩大小為：

$$M_A=M_C=Pl$$

方向相反。

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左右水平桿的內力圖

以左側水平桿 $A$ 至左斜桿端點為例，右側水平桿完全對稱。

軸力圖

水平桿兩端受到相向的水平力，因此全桿為壓縮：

$$N=-\frac{P}{2}$$

所以水平桿軸力圖為常數壓縮值 $P/2$。

剪力圖

水平桿承受端部鉛直力 $P$，故剪力全跨為常數，大小為：

$$|V|=P$$

左右兩桿剪力方向相反。

彎矩圖

固定端彎矩大小為 $Pl$，鉸接端彎矩為零，因此彎矩圖呈三角形：

$$|M_A|=Pl,\qquad |M_{\text{鉸接端}}|=0$$

左桿由 $A$ 端向鉸接端線性降為零；右桿則由鉸接端向 $C$ 端線性增加至 $Pl$，方向與左端相反。

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斜桿的內力圖

斜桿上的鉛直力 $P$ 分解後：

沿斜桿方向的分量為

$$P_{\parallel}=P\sin45^\circ=\frac{P}{\sqrt2}$$

垂直斜桿方向的分量為

$$P_{\perp}=P\cos45^\circ=\frac{P}{\sqrt2}$$

斜桿兩端的支承力分解後，各端垂直桿軸方向的反力為：

$$\frac{P}{2\sqrt2}$$

左斜桿軸力圖

左斜桿中點左側，其軸力大小為：

$$N_1=\frac{3P}{2\sqrt2}$$

中點右側，其軸力大小為：

$$N_2=\frac{P}{2\sqrt2}$$

兩段皆為壓縮，因此：

$$N_1=-\frac{3P}{2\sqrt2},\qquad N_2=-\frac{P}{2\sqrt2}$$

軸力圖在集中力作用處發生跳躍。

右斜桿的軸力圖為左斜桿的對稱圖形，中點兩側數值互換。

核心觀念

本題考查靜定平面桁架之受力分析與軸向降伏斷面設計，主要包含以下核心原理：

1. 桁架節點平衡法（Method of Joints）：
   理想桁架各桿件僅受軸力（拉力 $T > 0$ 或壓力 $C < 0$）。在平面桁架中，各節點皆處於共點力系平衡狀態，滿足： $$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0$$
2. 斜桿分力關係：
   本題每一節間長度為 $4'$, 高度亦為 $4'$, 各斜桿與水平夾角均為 $45^\circ$, 其水平與鉛直分力大小均為： $$N \cos 45^\circ = N \sin 45^\circ = \frac{N}{\sqrt{2}}$$
3. 軸向降伏強度設計：
   為確保材料不發生降伏破壞，各桿件斷面之最大軸應力不可超過降伏強度 $F_y$: $$\sigma = \frac{|N|_{\max}}{A} \le F_y \implies A_{\min} = \frac{|N|_{\max}}{F_y}$$

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解題方法

(1) 求各斷面軸力大小

本桁架左端 $G$、$A$ 點固定於剛性壁體，右側為自由懸臂端，故可由最右側僅有兩未知桿力的自由節點 $D$ 開始，依序往左由節點法逐一求解。為計算便利，將外力化為 $\text{kip}$（$1\text{ kip} = 1000\text{ lb}$）：

• 節點 $D$ 集中載重：$P_D = 800\text{ lb} = 0.8\text{ kip}$（向下）
• 節點 $C$ 集中載重：$P_C = 600\text{ lb} = 0.6\text{ kip}$（向下）
• 節點 $B$ 集中載重：$P_B = 600\text{ lb} = 0.6\text{ kip}$（向下）

步驟 1：分析節點 D

節點 $D$ 連接桿件 $CD$（水平向左）與斜桿 $ED$（朝左上方，夾角 $45^\circ$）：

• 鉛直平衡： $$\sum F_y = 0 \implies \frac{N_{ED}}{\sqrt{2}} - 0.8 = 0$$ $$N_{ED} = 0.8\sqrt{2} \approx 1.131\text{ kip} \quad (\text{拉力})$$
• 水平平衡： $$\sum F_x = 0 \implies -N_{CD} - \frac{N_{ED}}{\sqrt{2}} = 0$$ $$N_{CD} = -0.8\text{ kip} \implies |N_{CD}| = 0.800\text{ kip} \quad (\text{壓力})$$

步驟 2：分析節點 E

節點 $E$ 連接水平桿 $FE$、垂直桿 $EC$ 與斜桿 $ED$：

• 水平平衡： $$\sum F_x = 0 \implies -N_{FE} + \frac{N_{ED}}{\sqrt{2}} = 0$$ $$N_{FE} = \frac{0.8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 0.800\text{ kip} \quad (\text{拉力})$$
• 鉛直平衡： $$\sum F_y = 0 \implies -N_{EC} - \frac{N_{ED}}{\sqrt{2}} = 0$$ $$N_{EC} = -0.8\text{ kip} \implies |N_{EC}| = 0.800\text{ kip} \quad (\text{壓力})$$

步驟 3：分析節點 C

節點 $C$ 承受外力 $0.6\text{ kip}$（向下），連接桿件 $CD$、垂直桿 $EC$、水平桿 $BC$ 及斜桿 $FC$（朝左上方，夾角 $45^\circ$）：

• 鉛直平衡： $$\sum F_y = 0 \implies N_{EC} + \frac{N_{FC}}{\sqrt{2}} - 0.6 = 0$$ 代入 $N_{EC} = -0.8\text{ kip}$： $$-0.8 + \frac{N_{FC}}{\sqrt{2}} - 0.6 = 0 \implies \frac{N_{FC}}{\sqrt{2}} = 1.4\text{ kip}$$ $$N_{FC} = 1.4\sqrt{2} \approx 1.980\text{ kip} \quad (\text{拉力})$$
• 水平平衡： $$\sum F_x = 0 \implies -N_{BC} + N_{CD} - \frac{N_{FC}}{\sqrt{2}} = 0$$ 代入 $N_{CD} = -0.8\text{ kip}$ 與 $\frac{N_{FC}}{\sqrt{2}} = 1.4\text{ kip}$： $$-N_{BC} + (-0.8) - 1.4 = 0 \implies N_{BC} = -2.2\text{ kip}$$ $$|N_{BC}| = 2.200\text{ kip} \quad (\text{壓力})$$

步驟 4：分析節點 B

節點 $B$ 承受外力 $0.6\text{ kip}$（向下），連接水平桿 $AB$、$BC$ 及垂直桿 $BF$：

• 鉛直平衡： $$\sum F_y = 0 \implies N_{BF} - 0.6 = 0$$ $$N_{BF} = 0.600\text{ kip} \quad (\text{拉力})$$

核心觀念

本題考查平面剛架的：

• 支承反力與整體平衡
• 剛接構架的軸力圖、剪力圖與彎矩圖
• 彎矩降伏判定
• 右側柱腳支承條件改變後，內力圖的變化

圖中取：

$AB=BC=CD=4\,\text{m}$

水平力 $4$ 噸作用於 $B$ 點，鉛直力 $10$ 噸作用於 $BC$ 中點。各接頭視為剛接，三構件具有相同的 $EI$。

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(1) 軸力、剪力、彎矩圖

1. 支承反力

$A$ 為鉸支承，$D$ 為滾支承，因此反力為 $A_x,A_y,D_y$。

整體平衡：

$\sum F_x=0：\quad A_x+4=0$

$A_x=-4\ \text{噸}$

取 $A$ 點力矩：

$\sum M_A=0：\quad 4D_y-4(4)-10(2)=0$

$D_y=9\ \text{噸}$

再由鉛直力平衡：

$A_y+D_y-10=0$

$A_y=1\ \text{噸}$

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2. 軸力圖

以拉力為正：

• $AB$ 柱軸力：$1$ 噸
• $BC$ 梁軸力：$0$
• $CD$ 柱軸力：$9$ 噸，實際為受壓

因此：

$N_{AB}=1\ \text{噸}$

$N_{BC}=0$

$N_{CD}=9\ \text{噸（壓力）}$

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3. 剪力圖

構件 $AB$

$AB$ 承受水平反力 $4$ 噸，因此全柱剪力為：

$V_{AB}=4\ \text{噸}$

構件 $BC$

由左端向右取截面：

• 從 $B$ 到集中力作用點前：

$V=+1\ \text{噸}$

• 通過 $10$ 噸鉛直力後：

$V=1-10=-9\ \text{噸}$

所以 $BC$ 剪力圖為：

$$V_{BC}= \begin{cases} +1\ \text{噸}, & 0<x<2\,\text{m}\\ -9\ \text{噸}, & 2<x<4\,\text{m} \end{cases}$$

構件 $CD$

右側為滾支承，沒有水平反力，因此：

$V_{CD}=0$

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4. 彎矩圖

剛架內力以剛度法或斜率位移法求得各接頭彎矩。彎矩圖的關鍵值如下，單位為噸・米：

位置	彎矩
$A$	$0$
$B$	$16$
$BC$ 中點	$18$
$C$	$0$
$D$	$0$

因此：

• $AB$：彎矩由 $A$ 點的 $0$ 線性增加至 $B$ 點的 $16$
• $BC$：由 $B$ 點 $16$ 線性變化至中點 $18$，再線性下降至 $C$ 點 $0$
• $CD$：彎矩為 $0$

彎矩最大值為：

$M_{\max}=18\ \text{噸・米}$

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(2) 是否有桿件受彎矩降伏？

矩形斷面：

$b=h=0.2\ \text{m}$

彈性截面模數：

$$S=\frac{bh^2}{6} =\frac{0.2(0.2)^2}{6} =1.333\times10^{-3}\ \text{m}^3$$