109 年 國立成功大學建築學系碩士班戊組《建築結構力學》

核心觀念

剪力與彎矩滿足

$$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

因此，無分布載重處剪力為常數、彎矩呈線性變化；有均布載重處剪力呈線性變化、彎矩呈二次曲線。彎矩極值出現在剪力為零的位置。

梁的總長為 $1.2+3.0+1.8=6.0\text{ m}$，均布載重範圍為 $x=1.2$ 至 $4.2\text{ m}$。斷面部分以彈性彎曲公式 $\sigma_{\max}=M_{\max}/S$，並要求 $\sigma_{\max}\le F_y$。

解題方法

(1) 剪力圖與彎矩圖

將均布載重換成合力：

$$W=20(3)=60\text{ kN}$$

合力作用於載重範圍中央，即距左支承 $1.2+1.5=2.7\text{ m}$。由平衡條件：

$$R_A+R_B=60$$ $$R_B(6)=60(2.7) \quad\Longrightarrow\quad R_B=27\text{ kN},\qquad R_A=33\text{ kN}$$

令 $x$ 自左支承起算，向上剪力為正、下凹彎矩為正。剪力函數為

$$V(x)= \begin{cases} 33, & 0\le x<1.2\\ 33-20(x-1.2), & 1.2\le x\le4.2\\ -27, & 4.2<x<6 \end{cases} \quad\text{kN}$$

載重段末端剪力為 $V(4.2)=33-20(3)=-27\text{ kN}$；到右支承時再向上跳 $27\text{ kN}$ 回到零。剪力圖關鍵座標如下：

位置 $x$（m）	$0^+$	$1.2$	$2.85$	$4.2$	$6^-$	$6^+$
剪力 $V$（kN）	$+33$	$+33$	$0$	$-27$	$-27$	$0$

彎矩由剪力積分，且兩端簡支彎矩為零：

$$M(x)= \begin{cases} 33x, & 0\le x\le1.2\\ 33x-10(x-1.2)^2, & 1.2\le x\le4.2\\ 27(6-x), & 4.2\le x\le6 \end{cases} \quad\text{kN}\cdot\text{m}$$

彎矩圖在 $0\le x\le1.2$ 為直線上升，在載重段為向下凹的拋物線，在 $4.2\le x\le6$ 為直線下降。幾個關鍵彎矩值為

核心觀念

本題為鉸接桁架，各桿件皆為二力構件，只承受軸向力。圖中各桿件長度均為 $10\text{ m}$，因此斜桿與水平線夾角為 $60^\circ$。

採用「拉力為正、壓力為負」：

$N>0：拉力,\qquad N<0：壓力$

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解題方法

1. 求支承反力

以整個桁架取平衡。A、D 間距為 $20\text{ m}$，載重作用於 E 點，距 A 為 $10\text{ m}$。

$$\sum M_A=0： \quad D_y(20)-100(10)=0$$

$D_y=50\text{ kN}$

垂直力平衡：

$$\sum F_y=0： \quad A_y+D_y-100=0$$

$A_y=50\text{ kN}$

水平方向無外力，因此：

$A_x=0$

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2. A 節點：求 $AB$、$AE$

A 節點受 $A_y=50\text{ kN}$，並假設 $AB$、$AE$ 為拉力。

垂直方向：

$$\sum F_y=0： \quad 50+N_{AB}\sin60^\circ=0$$ $$N_{AB} =-\frac{50}{\sin60^\circ} =-57.735\text{ kN}$$

因此 $AB$ 為壓力。

水平方向：

$$\sum F_x=0： \quad N_{AE}+N_{AB}\cos60^\circ=0$$ $$N_{AE} =-(-57.735)\cos60^\circ =28.868\text{ kN}$$

因此 $AE$ 為拉力。

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3. B 節點：求 $BE$、$BC$

B 節點平衡方程式為：

$$\sum F_y=0： \quad -N_{AB}\sin60^\circ-N_{BE}\sin60^\circ=0$$

因此：

$N_{BE}=-N_{AB}=57.735\text{ kN}$

$BE$ 為拉力。

水平方向：

$$\sum F_x=0： \quad -N_{AB}\cos60^\circ +N_{BE}\cos60^\circ+N_{BC}=0$$ $$N_{BC} =-57.735\text{ kN}$$

因此 $BC$ 為壓力。

由桁架及載重的左右對稱性：

$N_{CD}=N_{AB}=-57.735\text{ kN}$

$N_{CE}=N_{BE}=57.735\text{ kN}$

$N_{DE}=N_{AE}=28.868\text{ kN}$

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各桿件軸向力

核心觀念

構架在 $C$ 點有內鉸，因此 $M_C=0$，可在 $C$ 點將構架分成左右兩部分各自列平衡式。求得 $C$ 點傳力後，再對 $CD$ 梁取自由體圖。

剪力與彎矩採用「左截面向上剪力為正、下凹（正彎矩）為正」的慣例。均布載重 $w$ 下：

$$\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V$$

解題方法

1. 求 $C$ 點鉸接力

左側 $ABC$ 構架沒有外加載重。以 $A$ 點取矩，$C$ 點座標相對於 $A$ 為 $(5,5)\,\text{m}$，故

$$5C_y-5C_x=0 \quad\Rightarrow\quad C_x=C_y$$

此式中的 $C_x,C_y$ 是左側構架所受的鉸接力分量；右側構架所受的力方向相反，但兩分量仍相等。

對右側 $CDE$ 構架，以 $E$ 點取矩。$CD$ 梁上的均布載重合力為 $10(10)=100\,\text{kN}$，作用點距 $E$ 點水平距離 $5\,\text{m}$；柱上的 $50\,\text{kN}$ 水平力作用點距 $E$ 點高 $5\,\text{m}$。因此

$$-10C_y-10C_x+100(5)+50(5)=0$$ $$C_x+C_y=75\,\text{kN}$$

聯立可得右側構架在 $C$ 點所受的鉸接力：

$$C_x=C_y=37.5\,\text{kN}$$

2. 求 $CD$ 梁的剪力與彎矩

對整個右側構架列力平衡，可得支承 $E$ 的反力：

$$E_x+37.5-50=0 \quad\Rightarrow\quad E_x=12.5\,\text{kN}$$ $$E_y+37.5-100=0 \quad\Rightarrow\quad E_y=62.5\,\text{kN}$$

令 $x$ 自 $C$ 點沿梁量至右，$0\le x\le10\,\text{m}$。梁左端的垂直力為 $37.5\,\text{kN}$，全跨承受 $10\,\text{kN/m}$ 均布載重，因此

$$V(x)=37.5-10x\quad(\text{kN})$$

本題為結構力學與建築結構設計中的名詞解釋，需要清晰、簡潔地闡述概念。

1. 截面模數 (Section Modulus, S) 與塑性斷面模數 (Plastic Section Modulus, Z)

截面模數 (S)：

• 定義： 截面模數是斷面慣性矩 (I) 除以斷面形心到最外緣的距離 ($y_{max}$) 所得的物理量，即 $S = \frac{I}{y_{max}}$。
• 意義： 截面模數反映了斷面抵抗彎曲的能力。在相同的彎矩作用下，截面模數越大，斷面產生的最大彎曲應力就越小。它表示了斷面在彎曲破壞前能承受的最大彎矩與最大應力的關係 ($M_{max} = S \cdot \sigma_{max}$)。
• 單位： 長度的立方，例如 $\text{mm}^3$ 或 $\text{m}^3$。
• 圖示：
  🖼️【此處可繪製一個梁的斷面圖，標示出形心軸、最外緣距離 $y_{max}$，並說明 $S$ 的計算方式。】
  例如，對於矩形斷面寬 $b$ 高 $h$，則 $I = \frac{bh^3}{12}$，$y_{max} = \frac{h}{2}$，所以 $S = \frac{bh^3/12}{h/2} = \frac{bh^2}{6}$。
  對於工字鋼斷面，通常有兩個 $y_{max}$，分別是上半部和下半部，通常取較小的那個值來計算彎曲應力，但通常 $y_{max}$ 指的是斷面幾何中心到最遠纖維的距離。

塑性斷面模數 (Z)：

• 定義： 塑性斷面模數是指當斷面達到全塑性狀態時，斷面抵抗彎曲的能力。它由斷面的正彎矩區和負彎矩區的面積矩計算得出，即 $Z = \frac{M_p}{\sigma_y}$，其中 $M_p$ 是達到全塑性時的塑性彎矩，$\sigma_y$ 是材料的降伏強度。更精確地說，它是斷面面積對塑性中性軸 (Plastic Neutral Axis, PNA) 的靜矩。
• 意義： 塑性斷面模數用於評估材料在彈塑性行為下的承載能力，尤其在結構設計中，當允許結構進入塑性階段以達到更高的承載能力時（例如極限承載力設計），Z 值非常重要。相比於彈性斷面模數 S，Z 值通常更大，這意味著結構在進入塑性階段後，其抵抗彎矩的能力會有所提高。
• 單位： 同樣是長度的立方，例如 $\text{mm}^3$ 或 $\text{m}^3$。
• 圖示：
  🖼️【此處可繪製一個工字鋼斷面，標示出塑性中性軸 (PNA)，並說明其與彈性中性軸 (形心軸) 的區別。】
  例如，對於對稱的工字鋼斷面，彈性中性軸就是形心軸。但對於非對稱斷面，或當彎矩達到使斷面一部分達到降伏應力時，塑性中性軸可能與形心軸不重合。
  對於對稱工字鋼斷面，塑性中性軸與形心軸重合。
  $Z = A_{top} y_{top} + A_{bottom} y_{bottom}$，其中 $A$ 是面積，$y$ 是到 PNA 的距離。
  對於矩形斷面寬 $b$ 高 $h$，PNA 在 $h/2$ 處。上半面積 $A_{top} = b \times h/2$，下半面積 $A_{bottom} = b \times h/2$。