111 年 國立成功大學建築學系碩士班戊組《建築結構力學》

核心觀念

1. 平面靜定桁架分析（節點法 Method of Joints 與斷面法 Method of Sections）：
   • 二力桿件平衡：桿件僅承受軸力（拉力 Tension，以正號或 T 表示；壓力 Compression，以負號或 C 表示）。
   • 節點平衡方程式：各節點滿足共點力系平衡 $\sum F_x = 0$ 與 $\sum F_y = 0$。
   • 剛體平衡方程式：整體結構滿足 $\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$ 與 $\sum M = 0$。
2. 軸向應力與容許強度檢核：
   • 軸向正應力公式：$\sigma = \frac{P}{A}$。
   • 彈性設計降伏準則：工作應力不得超過降伏強度（$\sigma \le F_y$），或極限容許軸力 $P_{\text{allow}} = F_y \cdot A$。

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解題方法

(1) 各桿件受力分析

步驟 1：幾何尺寸與支承條件設定

依題意與圖示幾何配置：

• 下弦節點為 A、E、D，水平向分佈：$\text{AE} = 1.5\text{ m}$，$\text{ED} = 2.0\text{ m}$（AD 總跨度為 $3.5\text{ m}$）。
• 上弦節點為 B、C。右側邊界為垂直牆面，C 位於 D 正上方，高度 $\text{CD} = 2.0\text{ m}$。
• 頂點 B 位於 E 正上方，高度 $\text{BE} = 2.0\text{ m}$。上弦桿件 BC 為水平桿（長度 $2.0\text{ m}$，高度均為 $2.0\text{ m}$）。
• 斜桿配置：AB（長度 $\sqrt{1.5^2 + 2.0^2} = 2.5\text{ m}$）、BD（長度 $\sqrt{2.0^2 + 2.0^2} = 2\sqrt{2}\text{ m} \approx 2.828\text{ m}$）。
• 外力：A 點作用集中垂直力 $P_A = 6\text{ kN} \downarrow$；E 點作用集中垂直力 $P_E = 8\text{ kN} \downarrow$。
• 支承：右側牆面上 C 為滾支承（提供水平反力 $R_{Cx}$）、D 為鉸支承（提供水平反力 $R_{Dx}$ 與垂直反力 $R_{Dy}$）。

步驟 2：整體外反力計算

取整體桁架為隔離體：

1. 對 D 點取力矩平衡（令逆時針為正）：

$$\sum M_D = 0 \implies -R_{Cx} \times 2.0 + 6 \times (1.5 + 2.0) + 8 \times 2.0 = 0$$ $$2.0 R_{Cx} = 6 \times 3.5 + 16 = 21 + 16 = 37 \implies R_{Cx} = 18.5\text{ kN}\ (\leftarrow)$$

2. 水平向靜力平衡：

$$\sum F_x = 0 \implies -R_{Cx} + R_{Dx} = 0 \implies R_{Dx} = 18.5\text{ kN}\ (\rightarrow)$$

3. 垂直向靜力平衡：

$$\sum F_y = 0 \implies R_{Dy} - 6 - 8 = 0 \implies R_{Dy} = 14\text{ kN}\ (\uparrow)$$

步驟 3：各節點平衡計算桿力（節點法，拉力設為正）

• 分析節點 A：
  受外力 $6\text{ kN} \downarrow$、水平桿 AE 力 $N_{AE}$（向右）、斜桿 AB 力 $N_{AB}$（沿向量 $(1.5, 2.0)$）。
  斜率三角形為 $3 : 4 : 5$（$\cos\theta = 0.6$，$\sin\theta = 0.8$）：

$$\sum F_y = 0 \implies N_{AB} \times \frac{2.0}{2.5} - 6 = 0 \implies N_{AB} = +7.5\text{ kN}\ (\text{拉力 T})$$ $$\sum F_x = 0 \implies N_{AE} + N_{AB} \times \frac{1.5}{2.5} = 0 \implies N_{AE} = -7.5 \times 0.6 = -4.5\text{ kN}\ (\text{壓力 C})$$

• 分析節點 E：
  E 點連接桿件 AE、ED、BE，以及垂直向下外力 $8\text{ kN}$：

$$\sum F_y = 0 \implies N_{BE} - 8 = 0 \implies N_{BE} = +8.0\text{ kN}\ (\text{拉力 T})$$ $$\sum F_x = 0 \implies -N_{AE} + N_{ED} = 0 \implies N_{ED} = N_{AE} = -4.5\text{ kN}\ (\text{壓力 C})$$

• 分析節點 B：
  桿件 AB 沿斜向向左下（力值 $+7.5\text{ kN}$，拉力向節點外）、BE 垂直向下（力值 $+8.0\text{ kN}$，拉力向下）、水平桿 BC 向右、斜桿 BD 沿向右下（夾角 $45^\circ$，斜率 $2 : 2$，長度 $2\sqrt{2}$）：

$$\sum F_y = 0 \implies -N_{AB} \times \frac{2.0}{2.5} - N_{BE} - N_{BD} \times \sin 45^\circ = 0$$ $$-7.5 \times 0.8 - 8.0 - N_{BD} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies -6.0 - 8.0 = N_{BD} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$N_{BD} = -\frac{14}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -14\sqrt{2} \approx -19.80\text{ kN}\ (\text{壓力 C})$$ $$\sum F_x = 0 \implies -N_{AB} \times \frac{1.5}{2.5} + N_{BC} + N_{BD} \times \cos 45^\circ = 0$$ $$-7.5 \times 0.6 + N_{BC} + (-14\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies -4.5 + N_{BC} - 14 = 0$$ $$N_{BC} = +18.5\text{ kN}\ (\text{拉力 T})$$

核心觀念

本題考查含內鉸與外伸段的梁之支承反力、剪力圖、彎矩圖，以及彎曲正應力。

• 內鉸不能傳遞彎矩，所以內鉸位置的彎矩為零。
• 剪力圖在集中力或支承反力處依其方向跳躍；兩集中力之間沒有分布載重時，剪力為常數，彎矩則為直線。
• 彎曲正應力使用 $\sigma_{\max}=M_{\max}/S$，其中 $S=I/c$。

依圖 2，內鉸位於距左端 $10\,\text{m}$ 與 $20\,\text{m}$ 處，滾支承位於 $15\,\text{m}$ 與 $30\,\text{m}$ 處，右端於 $35\,\text{m}$ 處受 $12\,\text{kN}$ 向下載重。

解題方法與支承反力

以內鉸將梁分段，先分析右側外伸段，再逐段向左求反力。以下取向上力為正，彎矩圖以正彎矩（下凹）為正。

右側外伸段：$20$ 至 $35\,\text{m}$

以 $x=20\,\text{m}$ 的內鉸取矩，令 $R_{30}$ 為 $x=30\,\text{m}$ 支承反力：

$$\sum M_{20}=0:\qquad 10R_{30}-12(15)=0$$ $$R_{30}=18\,\text{kN}\quad(\text{向上})$$

再由垂直力平衡，得 $x=20\,\text{m}$ 內鉸傳給右段的力為 $2\,\text{kN}$ 向下。

中間段：$10$ 至 $20\,\text{m}$

內鉸沒有彎矩，對 $x=10\,\text{m}$ 取矩：

$$\sum M_{10}=0:\qquad 5R_{15}+2(10)=0$$ $$R_{15}=-4\,\text{kN}$$

所以 $x=15\,\text{m}$ 的支承反力為 $4\,\text{kN}$ 向下。中間段垂直力平衡可得，$x=10\,\text{m}$ 內鉸傳給中間段的力為 $2\,\text{kN}$ 向上。

左側固定端

左段受 $6\,\text{kN}$ 向下載重，以及內鉸傳來的 $2\,\text{kN}$ 向下作用力，因此：

$$V_A=6+2=8\,\text{kN}\quad(\text{向上})$$ $$M_A=8(10)=80\,\text{kN}\cdot\text{m}\quad(\text{反力矩逆時針})$$

反力整理如下：

位置	垂直反力
左端固定支承	$8\,\text{kN}$ 向上
$x=15\,\text{m}$ 滾支承	$4\,\text{kN}$ 向下
$x=30\,\text{m}$ 滾支承	$18\,\text{kN}$ 向上

剪力圖與彎矩圖

各集中力位置的剪力跳躍依序為：$x=10\,\text{m}$ 減少 $6\,\text{kN}$、$x=15\,\text{m}$ 減少 $4\,\text{kN}$、$x=20\,\text{m}$ 減少 $4\,\text{kN}$、$x=30\,\text{m}$ 增加 $18\,\text{kN}$，並於自由端受 $12\,\text{kN}$ 向下載重後回到零。

剪力圖

核心觀念

本題是有側移的剛構架，不能將兩根柱各自當成懸臂柱分析。取各桿件的彎曲剛度均為常數 $EI$，忽略軸向與剪力變形；令水平力作用點為 $E$，則 $AE=EB=L$。

由桿件軸向變形忽略的假設，$B、C$ 具有相同的水平位移 $\Delta$，且沒有垂直位移。因此，固定支承時的未知數為：

$$\theta_B,\qquad \theta_C,\qquad \Delta$$

以下採節點轉角及桿端彎矩順時針為正，並令 $\delta=\Delta/L$。

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解題方法：斜率位移法，納入構架側移

柱 $AB$ 長 $2L$，中央承受水平力 $P$，其固定端彎矩為 $-PL/4、+PL/4$。斜率位移式為：

$$\begin{aligned} M_{AB}&=\frac{EI}{L}\left(\theta_B-\frac32\delta\right)-\frac{PL}{4},\\ M_{BA}&=\frac{EI}{L}\left(2\theta_B-\frac32\delta\right)+\frac{PL}{4},\\ M_{BC}&=\frac{2EI}{L}(2\theta_B+\theta_C),\\ M_{CB}&=\frac{2EI}{L}(\theta_B+2\theta_C),\\ M_{CD}&=\frac{2EI}{L}(2\theta_C-3\delta),\\ M_{DC}&=\frac{2EI}{L}(\theta_C-3\delta). \end{aligned}$$

$B、C$ 節點沒有外加力矩，因此：

$$M_{BA}+M_{BC}=0,\qquad M_{CB}+M_{CD}=0$$

再由構架水平力平衡：

$$\frac{M_{AB}+M_{BA}}{2L} +\frac{M_{CD}+M_{DC}}{L} =-\frac{P}{2}$$

代入後，得到三個聯立方程：

$$\begin{aligned} 6\theta_B+2\theta_C-\frac32\delta &=-\frac{PL^2}{4EI},\\ 2\theta_B+8\theta_C-6\delta&=0,\\ \frac32\theta_B+6\theta_C-\frac{27}{2}\delta &=-\frac{PL^2}{2EI}. \end{aligned}$$

解得：

$$\boxed{ \theta_B=-\frac{PL^2}{22EI},\qquad \theta_C=\frac{7PL^2}{132EI},\qquad \Delta=\frac{PL^3}{18EI} }$$

因此，順時針為正的桿端彎矩如下：

桿件	起端彎矩	終端彎矩
$AB$	$M_{AB}=-\dfrac{25}{66}PL$	$M_{BA}=+\dfrac{5}{66}PL$
$BC$	$M_{BC}=-\dfrac{5}{66}PL$	$M_{CB}=+\dfrac{4}{33}PL$
$CD$	$M_{CD}=-\dfrac{4}{33}PL$	$M_{DC}=-\dfrac{5}{22}PL$

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（1）軸力圖、剪力圖與彎矩圖

為統一圖上的正負號，各桿件依 $A\to B、B\to C、C\to D$ 方向取座標，並規定：

• 軸力 $N$：拉力為正。
• 截面彎矩 $M$：作用於起端側自由體的逆時針力矩為正。
• 剪力 $V$：依 $dM/ds=V$ 定義。

因此，彎矩圖起端值為該端桿端彎矩，終端值則為該端桿端彎矩的負值。

由各桿件平衡，可得支承反力：

$$\begin{aligned} &H_A=-\frac{43}{66}P,\qquad H_D=-\frac{23}{66}P,\\ &R_{Ay}=-\frac{1}{22}P,\qquad R_{Dy}=+\frac{1}{22}P. \end{aligned}$$

其中水平向右、垂直向上為正。

軸力圖與剪力圖

桿件或區段	軸力 $N$	剪力 $V$
$AE$	$+\dfrac{P}{22}$，拉力	$+\dfrac{43}{66}P$
$EB$	$+\dfrac{P}{22}$，拉力	$-\dfrac{23}{66}P$
$BC$	$-\dfrac{23}{66}P$，壓力	$-\dfrac{P}{22}$
$CD$	$-\dfrac{P}{22}$，壓力	$+\dfrac{23}{66}P$

軸力圖均為等值矩形；剪力圖也為等值矩形，但在 $E$ 點向下跳降 $P$：

核心觀念

本題的核心觀念為鋼筋混凝土（RC）柱或偏心受壓構件之軸力－彎矩互制關係（Axial Force-Moment Interaction, $P\text{--}M$ 互制曲線）與二階幾何非線性效應（$P\text{--}\Delta$ 效應）：

1. $P\text{--}M$ 互制關係：柱構件在同時承受軸力 $P$ 與彎矩 $M$ 時，其能抵抗的極限彎矩並非固定值，而是高度取決於所施加之軸力大小。截面之極限強度由混凝土受壓極限應變（$\epsilon_u \approx 0.003$）及鋼筋降伏應變（$\epsilon_y$）控制。
2. 平衡破壞點（Balanced Failure Point, $(M_b, P_b)$）：受拉鋼筋剛好降伏（$\epsilon_s = \epsilon_y$）與受壓側混凝土剛好達到壓碎極限（$\epsilon_c = \epsilon_u$）同時發生的臨界受力狀態。此點將截面承載行為劃分為兩大相異機制：
   • 拉力控制區（Tension-Controlled Region，$P < P_b$）
   • 壓力控制區（Compression-Controlled Region，$P > P_b$）

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解題方法

要完整說明「軸力大小對抗彎能力之影響」，切入點分為截面材料強度互制機制與構件幾何二階效應，並輔以標準 $P\text{--}M$ 互制曲線圖示解析：

1. 軸力－彎矩互制圖示（$P\text{--}M$ Interaction Diagram）

    軸向壓力 P 
         ▲
         │ 純軸壓強度 (P_0)
         │ * 
         │  \
         │   \  [壓力控制區 / 壓碎破壞]
         │    \ (軸力 P 增加，抗彎能力 M 下降)
         │     \
   P_b ──┼──────* 平衡破壞點 (M_b, P_b) ─── 抗彎能力最大值
         │     /
         │    / [拉力控制區 / 降伏破壞]
         │   /  (軸力 P 增加，抗彎能力 M 上升)
         │  /
         │ * 純彎矩強度 (M_0)
    ─────┼─────────────────────────► 彎矩 M
         │ * 純軸拉強度 (T_0)
         ▼ 軸向拉力 T

2. 影響機制之學理說明

軸力對抗彎能力的影響並非單向增加或減少，而是以平衡軸力 $P_b$ 為界線，呈現非線性的互制消長：

• 當軸壓力 $P < P_b$（拉力控制區）：
  此區域之構件因受拉鋼筋提早降伏而破壞。此時適度施加軸向壓力，等同於在斷面上預加一道壓應力，能有效延後受拉側混凝土開裂與鋼筋降伏的時機。因此在此區間內：
  $\text{軸壓力 } P \text{ 增加} \implies \text{截面可抵抗之彎矩 } M \text{ 隨之增大}$
  直到軸力達到平衡破壞載重 $P_b$ 時，截面之抗彎能力達到峰值 $M_b$。

核心觀念

**張弦梁系統（Beam String Structure, BSS）**是一種結合「剛性受彎構件」與「柔性預應力拉索（或拉桿）」的自平衡複合大跨距結構體系，主要由三大部分組成：

1. 上弦剛性構件（Beam/Arch）：通常為鋼梁、格位桁架（Truss）或微拱，負責承受結構自重與外加載重，並提供面外剛度。
2. 下弦拉索（Cable/Tension Chord）：高強度鋼索或拉桿，施加初始預應力（Pre-stressing force），做為整體抗彎抗變形的主要受拉元件。
3. 中間撐桿（Strut）：連接上弦梁與下弦索的垂直或斜向短柱，承受純軸向壓力，將拉索的向上分力傳遞至上弦梁。

力學原理關鍵：

• 反向等效荷載效應：下弦索在施加預張力 $T$ 後，透過中間撐桿對上弦梁施加向上的集中支撐力 $R_i \approx 2T \sin\theta_i$。此反向支撐力與外部向下垂直載重（如自重、屋面活載重）產生抵消作用，大幅降低上弦梁的正彎矩與垂直撓度。
• 自平衡封閉力系（Self-balancing System）：拉索通常錨固於上弦梁的兩端支座處。因此，預應力與外載在水平方向產生的水平推力（Thrust）主要在構件內部自行平衡，支承處通常僅需承擔垂直反力，免除傳統大跨距拱結構對下部結構（柱或基礎）產生巨大推力之困擾。

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解題方法

1. 結構組成圖示說明

               外載重 q (向下分佈載重)
        ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
    A ┌─────────────────────────────┐ B
     /  \         上弦鋼梁(Beam)      /  \
    /    \                           /    \
   ▲      |           |           |        ▲ (僅受垂直反力)
  支座     | 撐桿(Strut)| 撐桿(Strut)| 撐桿    支座
          |           |           |
           \         / \         /
            \       /   \       /
             \_____/     \_____/
                下弦拉索 (Cable，具預應力 T)

2. 受力與工作原理分步解析