111 年 國立成功大學土木工程系碩士班丙組《工程統計》

核心觀念

本題考查離散型隨機變數在**不放回抽樣（Sampling without replacement）**下的機率模型（負超幾何分配之特例，即等待第 1 次成功所需的試驗次數），涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 機率質量函數（PMF）：
   定義為 $p_Y(y) = P(Y = y)$，描述離散隨機變數取特定數值的機率，滿足 $\sum_{y} p_Y(y) = 1$。
2. 累積分布函數（CDF）：
   定義為 $F_Y(y) = P(Y \le y) = \sum_{t \le y} p_Y(t)$，為單調不減、右連續的階梯函數。
3. 期望值（Expected Value）： $$E[Y] = \sum_{y} y \cdot p_Y(y)$$ 對於在 $N$ 個物件（含 $K$ 個目標）中不放回抽樣直到出現第 1 個目標的等待時間，其期望值理論公式為 $E[Y] = \frac{N+1}{K+1}$。
4. 變異數（Variance）： $$Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \sum_{y} y^2 \cdot p_Y(y) - (E[Y])^2$$

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解題方法

(1) 求 $Y$ 的機率質量函數（PMF）

群體總人數 $N = 5$，其中 O+ 型血者 $K = 2$（a, b），非 O+ 型血者 $N - K = 3$（c, d, e）。
隨機不放回檢驗樣本，直到檢驗出第一位 O+ 為止。
因為非 O+ 者僅有 3 位，即便前 3 次皆非 O+，第 4 次檢驗必定為 O+。因此 $Y$ 的可能取值範圍（Support）為 $y \in \{1, 2, 3, 4\}$。

利用乘法定則（Conditional Probability Multiplication Rule）依序計算各項機率：

• $Y = 1$（第 1 次即為 O+）： $$P(Y = 1) = \frac{2}{5} = 0.4$$
• $Y = 2$（第 1 次非 O+，第 2 次為 O+）： $$P(Y = 2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} = 0.3$$
• $Y = 3$（前 2 次非 O+，第 3 次為 O+）： $$P(Y = 3) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{10} = 0.2$$
• $Y = 4$（前 3 次非 O+，第 4 次為 O+）： $$P(Y = 4) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{10} = 0.1$$

整理為機率質量函數（PMF）：

$$p_Y(y) = \begin{cases} 0.4, & y = 1 \\ 0.3, & y = 2 \\ 0.2, & y = 3 \\ 0.1, & y = 4 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

亦可寫成緊湊通式：$p_Y(y) = \frac{5-y}{10}, \quad y \in \{1, 2, 3, 4\}$。

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(2) 求 $Y$ 的累積分布函數（CDF）

累積分布函數 $F_Y(y) = P(Y \le y)$ 為逐段累加的階梯函數：

• 當 $y < 1$ 時：$F_Y(y) = 0$
• 當 $1 \le y < 2$ 時：$F_Y(y) = P(Y = 1) = 0.4$
• 當 $2 \le y < 3$ 時：$F_Y(y) = P(Y = 1) + P(Y = 2) = 0.4 + 0.3 = 0.7$
• 當 $3 \le y < 4$ 時：$F_Y(y) = 0.7 + P(Y = 3) = 0.7 + 0.2 = 0.9$
• 當 $y \ge 4$ 時：$F_Y(y) = 0.9 + P(Y = 4) = 0.9 + 0.1 = 1.0$

核心觀念

本題考查機率密度函數的合法性、累積分布函數，以及 Rayleigh 分布的機率計算。

連續型隨機變數的機率密度函數必須滿足：

1. 對所有 $x$，有 $f(x)\ge 0$。
2. 全部可能範圍的面積為 $1$：
   $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.$

本題的參數需滿足 $\sigma>0$。其累積分布函數為

$$F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.$$

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解題方法

(1) 驗證 $f(x,\sigma)$ 是否為合法的 pdf

當 $x>0$ 且 $\sigma>0$ 時，

$$f(x)=\frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}\ge 0.$$

當 $x\le 0$ 時，$f(x)=0$，因此非負性成立。

接著驗證總面積：

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_0^\infty \frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}\,dx.$$

令

$$u=\frac{x^2}{2\sigma^2}, \qquad du=\frac{x}{\sigma^2}\,dx.$$

當 $x=0$ 時，$u=0$；當 $x\to\infty$ 時，$u\to\infty$。因此

$$\int_0^\infty \frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}\,dx = \int_0^\infty e^{-u}\,du = \left[-e^{-u}\right]_0^\infty =1.$$

所以在 $\sigma>0$ 的條件下，$f(x,\sigma)$ 是合法的機率密度函數。

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(2) 當 $\sigma=100$ 時的機率

先求 $X$ 的累積分布函數。對 $x>0$，

$$F(x) = \int_0^x \frac{t}{\sigma^2}e^{-t^2/(2\sigma^2)}\,dt.$$

同樣令

$$u=\frac{t^2}{2\sigma^2}, \qquad du=\frac{t}{\sigma^2}\,dt.$$

則

$$F(x) = \int_0^{x^2/(2\sigma^2)}e^{-u}\,du = 1-e^{-x^2/(2\sigma^2)}.$$

代入 $\sigma=100$、$x=200$：

$$\frac{x^2}{2\sigma^2} = \frac{200^2}{2(100)^2} = 2.$$

因此

$P(X\le 200)$

$$P(X\le 200) = F(200) = 1-e^{-2} \approx 0.8647.$$

$P(X<200)$

因為 $X$ 是連續型隨機變數，

$$P(X=200)=0.$$

所以

$$P(X<200)=P(X\le 200)=1-e^{-2}\approx 0.8647.$$

$P(X\ge 200)$

$$P(X\ge 200) = 1-P(X<200) = 1-(1-e^{-2}) = e^{-2} \approx 0.1353.$$

核心觀念

本題考查母體平均數 $\mu$ 的區間估計與假設檢定。由於母體變異數 $\sigma^2=5.25$ 已知，因此使用標準常態分配 $Z$：

• 平均數的抽樣分配：

  $\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$

• 信賴區間：

  $\bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$

• 標準化檢定統計量：

  $Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$

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解題方法與計算

（1）決定估計 $\mu$ 所需的樣本數

要求估計誤差不超過 $1$ 年，信賴度為 $99\%$。

因此：

$E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$

其中：

$\alpha=1-0.99=0.01,\qquad z_{\alpha/2}=z_{0.005}=2.58$

又因為：

$\sigma=\sqrt{5.25}$

令估計誤差 $E=1$，則：

$1=2.58\frac{\sqrt{5.25}}{\sqrt n}$

平方後得：

$n=(2.58)^2(5.25)$

$n=34.9461$

樣本數必須取整數，且為確保誤差不超過 $1$ 年，必須無條件進位：

$n=\lceil34.9461\rceil=35$

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（2）求 $\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間

已知：

$n=144,\qquad \bar x=12.13,\qquad \sigma^2=5.25$

因此：

$\sigma=\sqrt{5.25}$

$95\%$ 信賴區間使用：

$z_{0.025}=1.96$

標準誤為：

$$\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{\sqrt{5.25}}{\sqrt{144}} =\frac{\sqrt{5.25}}{12} \approx0.19094$$

誤差範圍為：

$E=1.96(0.19094)\approx0.37424$

所以信賴區間為：

$\bar x\pm E=12.13\pm0.37424$

$11.75576<\mu<12.50424$

因此，$\mu$ 的 $95\%$ 信賴區間約為：

$\boxed{(11.756,\ 12.504)}$

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核心觀念

本題要比較兩種設計的平均組裝時間，檢定兩母體平均數是否相同，並估計平均時間差 $\mu_A-\mu_B$。

題目附上的合併變異數公式 $S_p^2$，對應「兩組獨立樣本、母體變異數相等」的兩樣本 $t$ 檢定。以下依此公式計算。題幹另提到兩種設計由「同一批 25 位工人」組裝，這代表配對資料；若依此敘述做配對檢定，還需要每位工人在兩種設計下的時間差資料，或兩組樣本的共變異數，單憑題目所列摘要無法計算配對檢定。

解題方法

令 $\mu_A$、$\mu_B$ 分別為設計 A 與設計 B 的母體平均組裝時間。題目問兩者是否有差異，因此採雙尾檢定；依附註使用等變異數的合併兩樣本 $t$ 檢定。

(1) 假設檢定

設定假設：

$$H_0:\mu_A-\mu_B=0$$ $$H_1:\mu_A-\mu_B\ne 0$$

顯著水準為 $\alpha=0.05$。先計算合併樣本變異數：

$$S_p^2 = \frac{(25-1)(0.8481)+(25-1)(1.3020)}{25+25-2} = 1.07505$$

因此：

$$S_p=\sqrt{1.07505}\approx 1.0368$$

平均數差的標準誤為：

$$SE = S_p\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{25}} \approx 1.0368\sqrt{0.08} \approx 0.2933$$

檢定統計量為：

$$t = \frac{\bar{x}_A-\bar{x}_B}{SE} = \frac{6.288-6.016}{0.2933} \approx 0.928$$

自由度為 $25+25-2=48$。雙尾檢定的臨界值約為 $t_{0.025,48}=2.011$。因為 $|0.928|<2.011$，不拒絕 $H_0$；雙尾 $p$ 值約為 $0.358$，也大於 $0.05$。

核心觀念

本題使用單因子變異數分析（one-way ANOVA），比較四種儲藏時間下小麥鈣含量的平均數是否相同。

設四種儲藏時間的母體平均數分別為 $\mu_0,\mu_1,\mu_2,\mu_4$，則：

• 處理組數：$k=4$
• 每組觀測數：$n_i=6$
• 總觀測數：$N=24$

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_T=SS_{\text{Treatment}}+SS_E$$

其中：

• $SS_T$：總平方和
• $SS_{\text{Treatment}}$：處理間平方和
• $SS_E$：誤差平方和

自由度為：

$$df_{\text{Treatment}}=k-1$$ $$df_E=N-k$$ $$df_T=N-1$$

均方為：

$$MS_{\text{Treatment}} =\frac{SS_{\text{Treatment}}}{df_{\text{Treatment}}}$$ $$MS_E=\frac{SS_E}{df_E}$$

檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_{\text{Treatment}}}{MS_E}$$

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解題方法

題目已提供：

$$SS_{\text{Treatment}}=30,\qquad SS_T=70$$

因此先計算誤差平方和：

$$SS_E=SS_T-SS_{\text{Treatment}} =70-30=40$$

（1）完成 ANOVA 表

處理間自由度

$$df_{\text{Treatment}}=k-1=4-1=3$$

因此：

$$(b)=3$$

誤差自由度

$$df_E=N-k=24-4=20$$

因此：

$$(c)=20$$

總自由度

$$df_T=N-1=24-1=23$$

因此：

$$(d)=23$$

也可驗算：

$$3+20=23$$

處理間均方

$$MS_{\text{Treatment}} =\frac{30}{3}=10$$

因此：

$$(e)=10$$

誤差均方

$$MS_E=\frac{40}{20}=2$$

因此：

$$(f)=2$$

$F$ 統計量

$$F=\frac{10}{2}=5$$

因此：

$$(g)=5$$

完成的 ANOVA 表如下：

來源	SS	DF	MS	F
Treatment	30	3	10	5
Error	40	20	2
Total	70	23

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（2）假設檢定與結論

假設

虛無假設為四種儲藏時間的平均鈣含量相同：

$$H_0:\mu_0=\mu_1=\mu_2=\mu_4$$

對立假設為並非所有平均數都相同：

$$H_1:\text{至少有一個儲藏時間的平均鈣含量不同}$$

注意，對立假設不必指定是哪兩組不同，只要存在平均數差異即可。