111 年 國立成功大學土木工程系碩士班戊組《工程經濟》

本題考驗對現金流量與比例關係的理解。題目要求將建設成本（Construction Cost, CC）以銷售價格（Selling Price, SP）表示。

已知銀行貸款額為建設成本的 50%，即銀行貸款 $= 0.5 \times CC$。
開發商的還款能力來自於降低售價和出售部分資產。
降低 20% 的公寓銷售價格，意味著實際的銷售收入為 $SP \times (1 - 0.20) = 0.8 \times SP$。
出售 25% 的項目價值，這部分價值通常可以理解為資產的回收價值或剩餘價值。題目中提到「 sells 25% of the project worth」，這裡的 "project worth" 最直接的理解應是與建設成本相關的價值，或者也可以理解為最終的銷售總值。但考慮到是「還款」，通常是指能夠變現的部分。若將其理解為 $0.25 \times CC$，則開發商能用於還款的部分是 $0.8 \times SP + 0.25 \times CC$。

然而，題目更自然的解讀是，開發商能從銷售中獲得的總金額（假設全部賣出）是 $SP$，但為了快速回籠資金，他願意以 $SP \times (1-0.20) = 0.8 SP$ 的價格出售，並且還能額外從其他項目或資產（"project worth"）中獲得 $0.25 \times SP$ (假設 "project worth" 等同於 SP，因為 SP 是最終目標) 的資金。

核心觀念

本題考查「償債基金法（sinking fund）」與「現值、終值」觀念。

• 儲蓄從 2023 年底開始，至 2039 年底止，共有 $17$ 次等額存款。
• 年有效利率為 $i=3\%$。
• 所有支出均換算至 2039 年底比較。
• 2037、2038、2039 年各有兩部電梯需要汰換。

各年度支出如下：

年度	每部電梯成本	電梯數量	年度支出
2037	2 百萬元	2	4 百萬元
2038	2.1 百萬元	2	4.2 百萬元
2039	2.2 百萬元	2	4.4 百萬元

等額年存款 $A$ 於 2039 年底的終值為：

$$F_A=A\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right]$$

其中：

$$n=2039-2023+1=17$$

因此：

$$F_A=A\left[\frac{(1.03)^{17}-1}{0.03}\right]$$ $$\frac{(1.03)^{17}-1}{0.03}=21.7616$$

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2.1 不考慮通貨膨脹

解題方法

將各筆電梯支出全部換算至 2039 年底：

• 2037 年支出距 2039 年底還有 $2$ 年，累積 $2$ 年。
• 2038 年支出距 2039 年底還有 $1$ 年，累積 $1$ 年。
• 2039 年支出在 2039 年底發生，不需累積。

因此，2039 年底所需基金為：

$$F =4(1.03)^2+4.2(1.03)+4.4$$ $$F=4(1.0609)+4.326+4.4$$ $$F=12.9696\text{ 百萬元}$$

令每年存款為 $A$，則：

$$A(21.7616)=12.9696$$ $$A=\frac{12.9696}{21.7616}$$ $$A\approx 0.5960\text{ 百萬元}$$

因此每年應存：

$$\boxed{A\approx \text{NT}\$596,000}$$

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2.2 考慮每年 2% 通貨膨脹

解題假設

題目未明確說明 2 百萬元、2.1 百萬元與 2.2 百萬元是「2022 年幣值」或「各該年度名目價格」。以下依工程經濟題目的標準解讀，將題目所列成本視為 2022 年幣值，並以 2% 年通貨膨脹率換算至實際付款年度。

先計算通貨膨脹後的成本

2037 年距 2022 年底 $15$ 年：

$$\text{每部成本} =2(1.02)^{15} \approx 2.6917\text{ 百萬元}$$

核心觀念

本題考查：

1. 等額本息貸款：利用年金現值公式求每月付款額。
2. 貸款餘額：以剩餘期數的付款額折現，或用原始貸款累積值扣除已付款項。
3. 轉貸比較：比較新舊貸款的每月付款差額，並以最低吸引報酬率 $MARR$ 折現，求回收轉貸成本所需的期間。

名目年利率按月複利時：

$$i_m=\frac{\text{名目年利率}}{12}$$

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3.1 每月應繳付款

原始貸款本金為：

$$P=5,000,000$$

貸款期間：

$$n=20\times 12=240\text{ 個月}$$

月利率：

$$i=\frac{3.6\%}{12}=0.003$$

等額本息貸款的現值公式為：

$$P=A\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)$$

因此每月付款額：

$$A=P\left(\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\right)$$

代入：

$$A=5,000,000 \left[ \frac{0.003}{1-(1.003)^{-240}} \right]$$ $$\boxed{A\approx NT\$29,256/月}$$

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3.2 付款 5 年後的剩餘本金

已付款：

$$5\times 12=60\text{ 個月}$$

剩餘期間：

$$240-60=180\text{ 個月}$$

付款 5 年後，剩餘本金等於未來 180 期付款的現值：

$$B_{60}=A\left(\frac{1-(1+i)^{-180}}{i}\right)$$

代入原貸款月付款額及月利率：

$$B_{60} =29,255.6 \left[ \frac{1-(1.003)^{-180}}{0.003} \right]$$ $$\boxed{B_{60}\approx NT\$4,064,000}$$

亦可用另一公式驗算：

$$B_{60}=P(1+i)^{60} -A\left(\frac{(1+i)^{60}-1}{i}\right)$$

兩種方法皆得到約 $NT$$4.064 百萬元。

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3.3 是否轉貸，以及至少應停留多久

新銀行的每月付款額

新銀行提供剩餘 15 年、月複利名目年利率 $2.4\%$ 的貸款。

新月利率：

$$i_2=\frac{2.4\%}{12}=0.002$$

剩餘期數：

$$n_2=15\times 12=180\text{ 個月}$$

以原貸款剩餘本金作為新貸款本金：

$$A_2=B_{60} \left[ \frac{i_2}{1-(1+i_2)^{-180}} \right]$$

本題考驗淨現值 (PW) 的計算，包含稅務、折舊、通貨膨脹等因素。

首先，我們需要釐清題目中的利率和現金流量。
成本 (Cost) = $50,000 預期年利潤 (Revenue - Expenses) =$19,000 (每年，未來 4 年)
稅率 (Tax Rate) = 40%
折舊方法：直線法 (Straight-Line Depreciation)，殘值為 0。
資產壽命 = 4 年。
實質稅後 MARR = 10% (這是實質利率，因為是 "real after-tax MARR")。

4.1 What is the PW of this investment? Should the contractor purchase the machine tools?

我們需要計算稅後現金流量。

1. 折舊 (Depreciation):
   直線法折舊每年為 $\frac{\text{Cost} - \text{Salvage Value}}{\text{Life}} = \frac{50,000 - 0}{4} = 12,500$ 美元/年。

2. 稅前利潤 (Profit before tax):
   每年 $19,000。

3. 稅務 (Taxes):
   稅基 = 稅前利潤 - 折舊 (折舊可以抵稅)
   稅基 = $19,000 - 12,500 = 6,500$ 美元/年。
   稅額 = 稅基 $\times$ 稅率 = $6,500 \times 40\% = 2,600$ 美元/年。

4. 稅後淨利潤 (After-tax profit):
   稅後淨利潤 = 稅前利潤 - 稅額 = $19,000 - 2,600 = 16,400$ 美元/年。
   另一種計算方式：稅後淨利潤 = (稅前利潤 - 折舊) $\times$ (1 - 稅率) + 折舊
   = $(19,000 - 12,500) \times (1 - 0.40) + 12,500$
   = $6,500 \times 0.60 + 12,500 = 3,900 + 12,500 = 16,400$ 美元/年。

5. 稅後現金流量 (After-tax cash flow):
   現金流量 = 稅後淨利潤 + 折舊 (因為折舊是非現金費用，需要加回)
   現金流量 = $16,400 + 12,500 = 28,900$ 美元/年。
   這個現金流量發生在第 1 年到第 4 年。

6. 淨現值 (PW):
   初始投資是期初 (第 0 年) 的現金流出 $50,000。 PW = (期初現金流) + (未來現金流的現值) PW =$-50,000 + 28,900 \times (P/A, 10%, 4)$

   計算 (P/A, 10%, 4) 的值：
   $(P/A, 10\%, 4) = \frac{1 - (1+0.10)^{-4}}{0.10} = \frac{1 - (1.10)^{-4}}{0.10}$
   $(1.10)^{-4} \approx 0.68301$
   $(P/A, 10\%, 4) = \frac{1 - 0.68301}{0.10} = \frac{0.31699}{0.10} = 3.1699$

   PW = $-50,000 + 28,900 \times 3.1699$
   PW = $-50,000 + 91,610.11$
   PW = $41,610.11$ 美元。

7. 決策：
   由於 PW ($41,610.11) > 0，該投資是可行的。
   Should the contractor purchase the machine tools? 是的，應該購買。

4.2 What is the PW of this investment if the general inflation is 3% in the 4 years period? Should the contractor purchase the machine tools?

這裡需要考慮通貨膨脹。
題目給定的 MARR 是「real after-tax MARR」，即實質利率 $i_r = 10\% = 0.10$。
通貨膨脹率 $f = 3\% = 0.03$。
我們需要計算名目利率 $i$。
$i = (1+i_r)(1+f) - 1 = (1.10)(1.03) - 1 = 1.133 - 1 = 0.133 = 13.3\%$。

現在，我們需要確定哪些現金流量會受到通貨膨脹的影響。

• 初始投資 $50,000：這通常是今天的支出，不隨通貨膨脹影響（除非是今天簽訂的未來採購合同）。我們假定它是今天的支出。
• 稅前利潤 $19,000：這通常會隨通貨膨脹增長。
• 折舊 $12,500：折舊是基於初始投資的，所以它是一個固定金額，不隨通貨膨脹增長。
• 稅率 40%：稅率通常是固定的。

計算通貨膨脹下的稅後現金流量：
我們需要計算名目稅後現金流量。
名目稅前利潤 (Nominal Profit before tax) 在第 t 年 = $19,000 \times (1+f)^{t-1}$。
由於折舊是固定的，所以稅基也會隨之變化。

另一種處理方式是，將所有現金流量都視為實質現金流量，然後使用實質利率進行折現。
然而，題目中提到「general inflation」，並且要求計算 PW。

如果我們將 19,000 視為實質利潤 (即，每年 19,000 的購買力)，則：

• 初始投資 (實質值) = $50,000。
• 每年實質利潤 = $19,000。
• 折舊 (實質值) = $12,500。
• 稅基 (實質值) = 實質利潤 - 折舊 = $19,000 - 12,500 = 6,500$。
• 稅額 (實質值) = 實質稅基 $\times$ 稅率 = $6,500 \times 40\% = 2,600$。
• 實質稅後淨利潤 = 實質利潤 - 實質稅額 = $19,000 - 2,600 = 16,400$。
• 實質現金流量 = 實質稅後淨利潤 + 折舊 = $16,400 + 12,500 = 28,900$ 美元/年。

這個實質現金流量是從第 1 年到第 4 年。
我們使用實質利率 $i_r = 10\%$ 來折現。
PW = (初始投資的實質值) + (實質現金流的現值)
PW = $-50,000 + 28,900 \times (P/A, 10\%, 4)$
PW = $-50,000 + 28,900 \times 3.1699 = 41,610.11$ 美元。

這與第一小題的結果相同。這表明，如果 19,000 是實質利潤，並且使用實質利率折現，那麼通貨膨脹的影響在計算上就抵消了。

但是，題目要求計算「if the general inflation is 3%」。這暗示我們應該考慮通貨膨脹對現金流量的影響。
通常，利潤會隨通貨膨脹而增長。
如果 19,000 是名目利潤，並且我們使用名目利率 13.3% 來折現。
初始投資 = $50,000。 折舊 =$12,500 (固定)。
稅率 = 40%。
通貨膨脹率 $f = 3\%$。
名目利率 $i = 13.3\%$。
實質利率 $i_r = 10\%$。

我們需要計算每年名目稅後現金流量。
第 1 年：
名目利潤 = $19,000$
稅基 = $19,000 - 12,500 = 6,500$
稅額 = $6,500 \times 0.40 = 2,600$
名目現金流量 = $(19,000 - 2,600) + 12,500 = 18,900$。

第 2 年：
名目利潤 = $19,000 \times (1.03)^1 = 19,570$
稅基 = $19,570 - 12,500 = 7,070$
稅額 = $7,070 \times 0.40 = 2,828$
名目現金流量 = $(19,570 - 2,828) + 12,500 = 19,242$。

第 3 年：
名目利潤 = $19,000 \times (1.03)^2 = 20,157.1$
稅基 = $20,157.1 - 12,500 = 7,657.1$
稅額 = $7,657.1 \times 0.40 = 3,062.84$
名目現金流量 = $(20,157.1 - 3,062.84) + 12,500 = 19,594.26$。

第 4 年：
名目利潤 = $19,000 \times (1.03)^3 = 20,761.813$
稅基 = $20,761.813 - 12,500 = 8,261.813$
稅額 = $8,261.813 \times 0.40 = 3,304.725$
名目現金流量 = $(20,761.813 - 3,304.725) + 12,500 = 19,957.088$。

現在，我們用名目利率 $i = 13.3\%$ 將這些名目現金流量折現到第 0 年。
PW = $-50,000 + \frac{18,900}{(1.133)^1} + \frac{19,242}{(1.133)^2} + \frac{19,594.26}{(1.133)^3} + \frac{19,957.088}{(1.133)^4}$

計算折現因子：
$(1.133)^{-1} \approx 0.88261$
$(1.133)^{-2} \approx 0.77899$
$(1.133)^{-3} \approx 0.68755

核心觀念

本題考「設備汰換」的稅後經濟比較。原設備的建造成本已是沉沒成本，不列入現在的比較；但原設備的帳面價值會影響出售時的應稅利益，剩餘折舊也會影響繼續使用與汰換方案的稅後現金流。

以「出售舊設備並建造新設備」相對於「保留舊設備」計算增額現金流，再以稅後資金成本 12% 計算淨現值。增額淨現值大於零才值得汰換。

解題方法與計算

1. 計算舊設備帳面價值與出售淨收入

舊設備採 20 年直線折舊，每年折舊額為：

$$\frac{400{,}000}{20}=20{,}000$$

使用 10 年後，帳面價值為：

$$400{,}000-20{,}000(10)=200{,}000$$

現在以 $250,000 出售，出售利益為 $50,000，須繳稅 $20,000。因此，出售舊設備的稅後收入為：

$$250{,}000-(250{,}000-200{,}000)(0.40)=230{,}000$$

建造新設備需 $500,000，故第 0 年的增額投資為：

$$500{,}000-230{,}000=270{,}000$$

2. 計算每年稅後增額現金流

新設備每年預期節省 $4,000，且保險費由 $20,000 降至 $15,000，每年另省 $5,000。因此，每年的增額營運利益為 $9,000。

新設備年折舊額為 $50,000；舊設備剩餘 10 年的年折舊額為 $20,000。汰換後每年多出 $30,000 折舊，可增加稅盾：

$$(50{,}000-20{,}000)(0.40)=12{,}000$$