111 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

本題考驗對剛架結構在承受外力作用下彎矩圖的繪製能力，並需額外標示受壓側彎矩。

(a) 該結構為單跨靜定梁，承受均佈荷載 $w$。
彎矩圖為拋物線。
最大彎矩發生在跨中，大小為 $M_{max} = \frac{wL^2}{8}$。
彎矩圖的受壓側為梁的上緣。

(b) 該結構為靜定梁，由兩個部分組成，並有一個鉸接。
左側梁受力為 $P$。
右側梁受力為 $P$。
此梁為靜定結構，可透過剪力與彎矩分析求得各點彎矩。
在鉸接處，左右兩側的彎矩均為零。
梁的受壓側取決於彎矩的方向。

核心觀念

本題利用：

1. 整體結構的平衡方程式；
2. 對稱性判斷支承反力；
3. 接點法分析接點 $A$；
4. 桿件軸力的方向與幾何分解。

由圖可知，三個集中力皆為 $480\ \text{kN}$，作用於 $V、H、G$，且結構與載重對稱。

解題方法

整體結構取鉛直方向平衡：

$$A_y+E_y=3(480)=1440\ \text{kN}$$

由對稱性：

$$A_y=E_y=720\ \text{kN}$$

考察接點 $A$。接點 $A$ 所連接的桿件為 $AB$ 與 $AJ$，其中 $AJ$ 為鉛直桿，故 $AB$ 必須提供鉛直分力平衡 $A_y$。

由圖中幾何關係，桿件 $AB$ 的水平投影為 $4\ \text{m}$，鉛直投影為 $x$，因此：

$$L_{AB}=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$$

設 $AB$ 的軸力大小為 $N_{AB}$，則其鉛直分量為：

$$N_{AB}\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$$

接點 $A$ 的鉛直方向平衡：

核心觀念

本題為含內部鉸接（Internal Hinge）之一次超靜定梁。解題核心在於利用**傾角變位法（Slope-Deflection Method）**處理包含側移／節點垂直變位（Chord Rotation）的變位平衡問題：

1. 基本剛度與材料性質：

   $$E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2$$ $$I = 200 \times 10^6 \, \text{mm}^4 = 200 \times 10^{-6} \, \text{m}^4 = 2 \times 10^{-4} \, \text{m}^4$$ $$EI = \left(200 \times 10^6\right) \times \left(2 \times 10^{-4}\right) = 40{,}000 \, \text{kN}\cdot\text{m}^2$$

2. 未知變位（Degrees of Freedom）：

   • 固定端 A、C：$\theta_A = 0$、$\theta_C = 0$、$\Delta_A = \Delta_C = 0$。
   • 內部鉸接點 B：無垂直支承，存在共同垂直向下變位 $\Delta_B$；鉸接兩側梁端轉角獨立，分別為 $\theta_{BA}$ 與 $\theta_{BC}$。
   • 弦轉角（以順時針為正，設垂直向下變位 $\Delta_B > 0$）：
     • 跨度 AB（長度 $L_1 = 5 \, \text{m}$）：B 端相對 A 端向下變位 $\Delta_B$，使桿件順時針傾斜，弦轉角 $\psi_{AB} = +\dfrac{\Delta_B}{5}$。
     • 跨度 BC（長度 $L_2 = 7 \, \text{m}$）：B 端向下變位 $\Delta_B$、C 端不動，使桿件逆時針傾斜，弦轉角 $\psi_{BC} = -\dfrac{\Delta_B}{7}$。

3. 固端彎矩（Fixed-End Moments, FEM）（以順時針為正）：
   均布載重 $w = 10 \, \text{kN/m}$：

   $$\text{FEM}_{AB} = -\frac{w L_1^2}{12} = -\frac{10 \times 5^2}{12} = -\frac{125}{6} \, \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$\text{FEM}_{BA} = +\frac{w L_1^2}{12} = +\frac{125}{6} \, \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$\text{FEM}_{BC} = -\frac{w L_2^2}{12} = -\frac{10 \times 7^2}{12} = -\frac{245}{6} \, \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$\text{FEM}_{CB} = +\frac{w L_2^2}{12} = +\frac{245}{6} \, \text{kN}\cdot\text{m}$$

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解題方法

步驟一：建立傾角變位方程式

標準傾角變位公式為 $M_{ij} = \dfrac{2EI}{L} \left(2\theta_i + \theta_j - 3\psi\right) + \text{FEM}_{ij}$。將邊界條件 $\theta_A = 0$、$\theta_C = 0$ 代入：

• AB 桿：

  $$M_{AB} = \frac{2EI}{5} \left(\theta_{BA} - \frac{3\Delta_B}{5}\right) - \frac{125}{6}$$ $$M_{BA} = \frac{2EI}{5} \left(2\theta_{BA} - \frac{3\Delta_B}{5}\right) + \frac{125}{6}$$

• BC 桿：

  $$M_{BC} = \frac{2EI}{7} \left(2\theta_{BC} + \frac{3\Delta_B}{7}\right) - \frac{245}{6}$$ $$M_{CB} = \frac{2EI}{7} \left(\theta_{BC} + \frac{3\Delta_B}{7}\right) + \frac{245}{6}$$

步驟二：建立平衡方程式

1. 鉸接點 B 兩側彎矩為零：

   $$M_{BA} = 0 \implies \frac{2EI}{5} \left(2\theta_{BA} - \frac{3\Delta_B}{5}\right) + \frac{125}{6} = 0 \quad \text{--- (1)}$$ $$M_{BC} = 0 \implies \frac{2EI}{7} \left(2\theta_{BC} + \frac{3\Delta_B}{7}\right) - \frac{245}{6} = 0 \quad \text{--- (2)}$$

2. 鉸接點 B 之垂直剪力平衡方程式：

   • 取 AB 桿對 A 點取力矩平衡，求出鉸接處 B 作用於 AB 桿的垂直向上力 $V_{BA}$： $$\sum M_A = 0 \implies M_{AB} + M_{BA} + \frac{1}{2} w L_1^2 - V_{BA} L_1 = 0$$ $$V_{BA} = \frac{M_{AB} + 0 + \frac{1}{2}(10)(5^2)}{5} = \frac{M_{AB} + 125}{5}$$
   • 取 BC 桿對 C 點取力矩平衡，求出鉸接處 B 作用於 BC 桿的垂直向上力 $V_{BC}$： $$\sum M_C = 0 \implies M_{BC} + M_{CB} + V_{BC} L_2 - \frac{1}{2} w L_2^2 = 0$$ $$V_{BC} = \frac{\frac{1}{2}(10)(7^2) - M_{CB} - 0}{7} = \frac{245 - M_{CB}}{7}$$
   • B 點為內部無外加集中載重之鉸接，根據牛頓第三定律與鉸接剪力平衡： $$V_{BA} + V_{BC} = 0 \implies \frac{M_{AB} + 125}{5} + \frac{245 - M_{CB}}{7} = 0 \quad \text{--- (3)}$$

步驟三：聯立求解未知變位

由式 (1) 可得：

$$\theta_{BA} = \frac{3}{10} \Delta_B - \frac{625}{24 EI}$$

代入 $M_{AB}$：

$$M_{AB} = \frac{2EI}{5}\left[\left(\frac{3}{10} \Delta_B - \frac{625}{24 EI}\right) - \frac{3}{5} \Delta_B\right] - \frac{125}{6} = -\frac{3 EI}{25} \Delta_B - \frac{125}{4}$$

由式 (2) 可得：

$$\theta_{BC} = -\frac{3}{14} \Delta_B + \frac{1715}{24 EI}$$

代入 $M_{CB}$：

$$M_{CB} = \frac{2EI}{7}\left[\left(-\frac{3}{14} \Delta_B + \frac{1715}{24 EI}\right) + \frac{3}{7} \Delta_B\right] + \frac{245}{6} = \frac{3 EI}{49} \Delta_B + \frac{245}{4}$$

將 $M_{AB}$ 與 $M_{CB}$ 代入剪力平衡式 (3)：

本題考驗對固定端梁承受均佈荷載時，固定端彎矩的推導。

結構特徵：

• 梁 AB 為固定端梁，兩端均為固定支撐。
• 梁 AB 承受均佈荷載 $w \, \text{kN/m}$。
• 梁的長度為 $L$。

目標：證明固定端彎矩為 $\frac{wL^2}{12}$。

證明方法：

1. 斜率-撓度法 (Slope-Deflection Method)
   固定端梁的特點是兩端均不能產生位移和轉角。
   即 $\theta_A = \theta_B = 0$ 且 $\Delta_A = \Delta_B = 0$.
   斜率-撓度方程式為：
   $M_{AB} = 2EI \frac{\theta_A + \theta_B}{L} + \frac{6EI}{L^2} \Delta_{AB} + FEM_{AB}$
   $M_{BA} = 2EI \frac{\theta_A + \theta_B}{L} + \frac{6EI}{L^2} \Delta_{AB} + FEM_{BA}$
   由於 $\theta_A = \theta_B = 0$ 且 $\Delta_{AB} = 0$, 方程式簡化為：
   $M_{AB} = FEM_{AB}$
   $M_{BA} = FEM_{BA}$

   對於承受均佈荷載 $w$ 的固定端梁，其固定端彎矩為：
   $FEM_{AB} = -\frac{wL^2}{12}$ (逆時針，通常表示為負值)
   $FEM_{BA} = \frac{wL^2}{12}$ (順時針，通常表示為正值)

   題目要求證明「moments at Points A and B are $\frac{wL^2}{12}$」。
   這通常是指彎矩的大小。
   在 A 點的彎矩 $M_A = |FEM_{AB}| = \frac{wL^2}{12}$。
   在 B 點的彎矩 $M_B = |FEM_{BA}| = \frac{wL^2}{12}$。

2. 虛功原理 (Principle of Virtual Work)
   我們知道，對於一個承受均佈荷載 $w$ 的固定端梁，其彎矩圖為一拋物線，最大彎矩發生在梁的跨中，大小為 $\frac{wL^2}{8}$。
   固定端彎矩可以通過虛功原理來推導。
   考慮梁 AB 承受均佈荷載 $w$。
   在 A 點施加一個單位反力彎矩 $m_A = 1$，方向為順時針。
   在 B 點施加一個單位反力彎矩 $m_B = 1$，方向為順時針。
   梁的實際彎矩圖為 $M(x) = \frac{w}{2} (Lx - x^2)$ (跨中最大)。
   實際彎矩的最大值發生在 $x=L/2$, $M_{max} = \frac{w}{2} (\frac{L^2}{2} - \frac{L^2}{4}) = \frac{wL^2}{8}$。
   固定端彎矩 $M_A$ 和 $M_B$ 可以通過虛功原理求解。
   由於梁是固定的，A 和 B 點的轉角為零。
   我們需要施加虛擬荷載來求解。

   更直接的方法是利用對稱性。
   由於梁是均佈荷載且兩端固定，結構是對稱的。
   因此，A 點和 B 點的彎矩大小相等。
   考慮梁 AB 在 A 點的轉角為零。
   通過積分法或虛功原理，可以推導出固定端彎矩。

   使用積分法 (Integration Method)
   梁的撓曲線微分方程式為 $EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$。
   對於固定端梁，承受均佈荷載 $w$.
   我們需要建立彎矩 $M(x)$ 的表達式。
   假設 A 點為原點 (0, 0)。
   梁上的彎矩 $M(x) = M_A + R_A x - \frac{wx^2}{2}$.
   由於 A 點是固定端， $M_A$ 和 $R_A$ 是未知數。

核心觀念

本題考查平面剛架的直接勁度法。每個節點具有三個自由度：

• 水平位移 $u$
• 垂直位移 $v$
• 節點轉角 $\theta$

構件採用二維梁柱元素，同時考慮軸向變形與彎曲變形。單一構件的局部勁度矩陣為

$$\mathbf{k}^{(e)} = \begin{bmatrix} \dfrac{EA}{L}&0&0&-\dfrac{EA}{L}&0&0\\ 0&\dfrac{12EI}{L^3}&\dfrac{6EI}{L^2}&0&-\dfrac{12EI}{L^3}&\dfrac{6EI}{L^2}\\ 0&\dfrac{6EI}{L^2}&\dfrac{4EI}{L}&0&-\dfrac{6EI}{L^2}&\dfrac{2EI}{L}\\ -\dfrac{EA}{L}&0&0&\dfrac{EA}{L}&0&0\\ 0&-\dfrac{12EI}{L^3}&-\dfrac{6EI}{L^2}&0&\dfrac{12EI}{L^3}&-\dfrac{6EI}{L^2}\\ 0&\dfrac{6EI}{L^2}&\dfrac{2EI}{L}&0&-\dfrac{6EI}{L^2}&\dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix}.$$

圖中自由度順序為

$$\mathbf{d} = [u_C,\theta_C,\theta_B,v_B,u_B,v_C,u_A,v_A,\theta_A]^T.$$

由支承條件：

• $A$ 點為鉸支承：$u_A=v_A=0$
• $C$ 點為滾支承：$v_C=0$

因此約束自由度為

$$d_6=d_7=d_8=0,$$

未知自由度為

$$d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_9.$$

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解題方法

圖中資料為

$$L_{AB}=5\,\text{m}=5000\,\text{mm}, \qquad L_{BC}=6\,\text{m}=6000\,\text{mm},$$ $$E=200\,\text{GPa}=200\,\text{kN/mm}^2,$$ $$I_{AB}=I_{BC}=5\times10^6\,\text{mm}^4, \qquad A=4000\,\text{mm}^2.$$

所以

$$EA=200(4000)=8.0\times10^5\,\text{kN},$$ $$EI=200(5\times10^6) =1.0\times10^9\,\text{kN}\cdot\text{mm}^2.$$

將 $AB$、$BC$ 兩個梁柱元素轉換至整體座標後組合，依照圖示自由度順序建立整體方程式：

$$\mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{P}.$$

外力向量只有 $C$ 點水平力：

$$\mathbf{P} = [100,0,0,0,0,0,0,0,0]^T\ \text{kN}.$$

消去 $d_6,d_7,d_8$ 後，求得各節點位移與轉角。由於本結構外部反力數量為三個，且可由整體靜力平衡直接求得反力。

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邊界反力

對整體結構取平衡：

$$\sum F_x=0: \qquad A_x+100=0,$$

因此

$$A_x=-100\,\text{kN}.$$ $$\sum M_A=0: \qquad C_y(6)-100(5)=0,$$ $$C_y=\frac{500}{6} =83.333\,\text{kN}.$$

再由垂直力平衡：