108 年 國立成功大學土木工程系碩士班甲組《結構學》

核心觀念

本題考桁架的節點法：每個節點都滿足平面力系平衡，

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0.$$

先用整體平衡求支承反力，再逐節點求桿力。以下約定桿力為正表示拉力，負表示壓力。

解題方法

依原卷圖形判讀，A 為鉸支承，D 為僅能提供垂直反力的滾支承。圖中桿件為 $AB、BC、CD、DA、AF、BF、FE、CE、ED$。尺寸標示的水平分段總長為 $10\text{ m}$，不是題幹所列的 $11\text{ m}$；且 $BE$ 並非水平桿，圖中可見的是 $BF$ 與 $FE$。依圖取座標：

$$A(0,0),\quad B(3.5,2),\quad C(8.5,2),\quad D(10,-4),\quad E(6.5,-6),\quad F(1.5,-6).$$

令 A 點反力為 $A_x,A_y$，D 點反力為 $D_y$。整體平衡得

$$\sum M_A=0:\qquad 10D_y-20(6.5)=0 \quad\Rightarrow\quad D_y=13\text{ kN},$$ $$\sum F_y=0:\qquad A_y+D_y-20=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=7\text{ kN},$$ $$\sum F_x=0:\qquad A_x=0.$$

在 F、B 兩節點列平衡式。由桿件方向可得

$$F_{BF}=-F_{AF},\qquad F_{BF}=-\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{65}}F_{AB},$$

因此

$$F_{AF}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{65}}F_{AB},\qquad F_{FE}=\frac{2}{\sqrt{65}}F_{AB},\qquad F_{BC}=\frac{6}{\sqrt{65}}F_{AB}.$$

在 A 點，利用 $A_y=7\text{ kN}$：

$$\sum F_y=0:\qquad 7+\frac{4}{\sqrt{65}}F_{AB} -\frac{4}{\sqrt{17}}F_{AF} -\frac{2}{\sqrt{29}}F_{AD}=0.$$

代入 $F_{AF}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{65}}F_{AB}$，$F_{AB}$ 項互相抵消，得到

支承判讀與核心觀念

原卷圖中 A、B 兩端皆畫為固定端，並非鉸支承與滾支承；因此本題應視為兩端固定梁。若依文字誤視為簡支梁，則 B 端彎矩恆為零，無法形成題目所要求的非零最大負彎矩。

本題考查：

• 兩端固定梁的支承彎矩；
• 彎矩影響線定義；
• 固定端轉角與撓度相容條件；
• 以微分尋找影響線的最大負值。

求 B 端彎矩

令集中荷載 $P$ 距 A 端為

$$a=x,\qquad b=L-x$$

取跨內下凹彎矩為正，因此固定端的上拱彎矩為負。設 A、B 端彎矩分別為 $M_A$、$M_B$，A 端垂直反力為 $R_A$。

距 A 端 $s$ 處的彎矩為

$$M(s)= \begin{cases} M_A+R_A s, & 0\le s\le a,\\[4pt] M_A+R_A s-P(s-a), & a\le s\le L. \end{cases}$$

由 B 端彎矩可得

$$M_B=M_A+R_A L-Pb$$

因此

$$R_A L=M_B-M_A+Pb.$$

由於 A、B 兩端皆固定，兩端轉角及撓度均為零。因 $EI$ 為常數，彎矩面積相容條件為

$$\int_0^L M(s)\,ds=0$$

以及

$$\int_0^L (L-s)M(s)\,ds=0.$$

代入彎矩函數後得到

$$M_A L+\frac{R_A L^2}{2}-\frac{Pb^2}{2}=0,$$ $$\frac{M_A L^2}{2}+\frac{R_A L^3}{6}-\frac{Pb^3}{6}=0.$$

聯立求解可得兩端固定梁的端彎矩：

$$M_A=-\frac{Pab^2}{L^2},$$ $$M_B=-\frac{Pa^2b}{L^2}.$$

代入 $a=x$、$b=L-x$：

支承判讀與核心觀念

原卷圖中 A、B 兩端皆畫為固定端，並非鉸支承與滾支承；因此本題應視為兩端固定梁。若依文字誤視為簡支梁，則 B 端彎矩恆為零，無法形成題目所要求的非零最大負彎矩。

本題考查：

• 兩端固定梁的支承彎矩；
• 彎矩影響線定義；
• 固定端轉角與撓度相容條件；
• 以微分尋找影響線的最大負值。

求 B 端彎矩

令集中荷載 $P$ 距 A 端為

$$a=x,\qquad b=L-x$$

取跨內下凹彎矩為正，因此固定端的上拱彎矩為負。設 A、B 端彎矩分別為 $M_A$、$M_B$，A 端垂直反力為 $R_A$。

距 A 端 $s$ 處的彎矩為

$$M(s)= \begin{cases} M_A+R_A s, & 0\le s\le a,\\[4pt] M_A+R_A s-P(s-a), & a\le s\le L. \end{cases}$$

由 B 端彎矩可得

$$M_B=M_A+R_A L-Pb$$

因此

$$R_A L=M_B-M_A+Pb.$$

由於 A、B 兩端皆固定，兩端轉角及撓度均為零。因 $EI$ 為常數，彎矩面積相容條件為

$$\int_0^L M(s)\,ds=0$$

以及

$$\int_0^L (L-s)M(s)\,ds=0.$$

代入彎矩函數後得到

$$M_A L+\frac{R_A L^2}{2}-\frac{Pb^2}{2}=0,$$ $$\frac{M_A L^2}{2}+\frac{R_A L^3}{6}-\frac{Pb^3}{6}=0.$$

聯立求解可得兩端固定梁的端彎矩：

$$M_A=-\frac{Pab^2}{L^2},$$ $$M_B=-\frac{Pa^2b}{L^2}.$$

代入 $a=x$、$b=L-x$：

核心觀念

本題使用 moment-distribution method，重點為：

• 均佈載重造成的固定端彎矩。
• 桿端轉動剛度：遠端固定為 $4EI/L$，遠端鉸支承為 $3EI/L$。
• 分配因數與傳遞彎矩。
• C 點為鉸支承，因此 $M_{CB}=0$。

採用常用端矩號誌：桿端順時針為正；$M_{ij}$ 表示桿件 $ij$ 在 $i$ 端的端矩。依標準梁分析，忽略桿件軸向變形與節點平移。

1. 幾何資料

圖中 BC 的 $3\ \text{m}$ 是水平投影，垂直落差為 $4\ \text{m}$，故：

$$L_{BC}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{m}$$

而：

$$L_{AB}=4\ \text{m}$$

2. 固定端彎矩與剛度

AB 承受全跨均佈載重 $w=15\ \text{kN/m}$，其固定端彎矩為：

$$M_{AB}^{F}=-\frac{wL_{AB}^2}{12} =-\frac{15(4)^2}{12} =-20\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BA}^{F}=+\frac{wL_{AB}^2}{12} =+20\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

BC 無外加載重，且 C 為鉸支承，因此初始端矩為零。

在 B 點：

$$K_{BA}=\frac{4EI}{L_{AB}}=\frac{4EI}{4}=EI$$ $$K_{BC}=\frac{3EI}{L_{BC}}=\frac{3EI}{5}=0.6EI$$

因此分配因數為：

$$DF_{BA}=\frac{EI}{EI+0.6EI}=0.625$$ $$DF_{BC}=\frac{0.6EI}{EI+0.6EI}=0.375$$

3. B 點彎矩分配

B 點的初始不平衡矩為：

核心觀念

本題考查梁結構的矩陣勁度法，以及節點旋轉彈簧的等效勁度。採用下列自由度：

• 節點 $B$ 的垂直位移 $v_B$
• 節點 $B$ 的轉角 $\theta_B$
• 節點 $C$ 的轉角 $\theta_C$

節點 $A$ 固定，且節點 $C$ 的垂直位移受支承限制，因此

$$v_A=\theta_A=v_C=0$$

梁元素的局部勁度矩陣為

$$\mathbf{k}_e= \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12&6L&-12&6L\\ 6L&4L^2&-6L&2L^2\\ -12&-6L&12&-6L\\ 6L&2L^2&-6L&4L^2 \end{bmatrix}$$

節點 $C$ 的旋轉彈簧在勁度矩陣中增加

$$k_\theta=16\times10^3\ \text{kN}\cdot\text{m/rad}$$

以下取垂直向上及逆時針為正。

解題方法

已知

$$EI=40\times10^3\ \text{kN}\cdot\text{m}^2$$ $$L_{AB}=3\ \text{m},\qquad L_{BC}=4\ \text{m}$$

將 $A$、$C$ 的已知自由度消去後，對未知自由度

$$\mathbf{d}= \begin{bmatrix} v_B\\ \theta_B\\ \theta_C \end{bmatrix}$$

組合得到

$$\begin{bmatrix} 25.2778&-11.6667&15.0000\\ -11.6667&93.3333&20.0000\\ 15.0000&20.0000&56.0000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_B\\ \theta_B\\ \theta_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -40\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$

其中矩陣單位分別配合位移、轉角及節點力矩。

由第三列：

$$15v_B+20\theta_B+56\theta_C=0$$

解得

$$v_B=-2.235\ \text{m}$$ $$\theta_B=-0.441\ \text{rad}$$ $$\theta_C=0.756\ \text{rad}$$

BC 桿件端部內力

對桿件 $BC$，其端部節點力為